POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA

POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA Wydział Elektryczny AUTOREFERAT ROZPRAWY DOKTORSKIEJ Mgr inż. Krzysztof Rogowski Wybrane zagadnienia teorii dwuwymiarowych układów niecałkowitego rzędu opisanych modelem Roessera Promotor: Prof. zw. dr hab. inż. Tadeusz Kaczorek Białystok 211

Spis treści 1 Wprowadzenie 3 1.1 Wykaz ważniejszych oznaczeń.......................... 6 2 Wprowadzenie do dwuwymiarowego rachunku różniczkowego i różnicowego niecałkowitych rzędów 7 2.1 Definicje pochodno-całek niecałkowitych rzędów funkcji dwuwymiarowych.. 7 2.2 Definicje różnic niecałkowitych rzędów funkcji dwuwymiarowych....... 9 2.3 Aproksymacja pochodnych niecałkowitych rzędów jedno- i dwuwymiarowych funkcji ciągłych różnicami niecałkowitych rzędów............... 1 3 Uogólnione dwuwymiarowe układy ciagłe niecałkowitego rzędu opisane modelem Roessera 11 3.1 Równania stanu uogólnionego dwuwymiarowego układu ciągłego niecałkowitego rzędu............................... 11 3.2 Równanie stanu standardowego dwuwymiarowego układu ciągłego niecałkowitego rzędu............................... 15 3.3 Uogólnienie twierdzenia Cayley a-hamiltona.................. 17 4 Uogólnione dwuwymiarowe układy dyskretne niecałkowitego rzędu opisane modelem Roessera 18 4.1 Równania stanu uogólnionego dwuwymiarowego układu dyskretnego niecałkowitego rzędu............................... 18 4.2 Równania stanu standardowego dwuwymiarowego układu dyskretnego niecałkowitego rzędu............................... 22 4.3 Uogólnienie twierdzenia Cayley a-hamiltona.................. 24 4.4 Dodatniość standardowych dwywymiarowych układów dyskretnych niecałkowitego rzędu opisanych modelem Roessera............... 24 4.5 Stabilność i stabilizacja dwuwymiarowego modelu Roessera niecałkowitego rzędu za pomocą sprzężeń zwrotnych...................... 25 5 Przykłady zastosowań dwuwymiarowych układów niecałkowitego rzędu opisanych modelem Roessera 29 5.1 Równanie dyfuzji niecałkowitego rzędu..................... 3 5.2 Równania linii długiej niecałkowitego rzędu................... 32 6 Algorytmy komputerowe 35 7 Podsumowanie 36 2

1 Wprowadzenie Zainteresowanie układami dwuwymiarowymi (2D) sięga lat siedemdziesiątych XX wieku 2 25 16. Znalazły one zastosowanie w wielu dziedzinach współczesnej inżynierii takich jak przetwarzanie obrazów cyfrowych 16 poprawa jakości zdjęć rentgenowskich śledzenie dyfuzji w naczyniach krwionośnych 12 analiza skażenia rzek 23 oraz procesów ogrzewania pary wodnej i absorbcji gazu 82. Cechą wspólną wyżej wymienionych zjawisk jest konieczność analizy sygnałów (funkcji) zależnych od dwóch zmiennych liniowo niezależnych np. czasu i jednej zmiennej przestrzennej lub dwóch zmiennych przestrzennych. Najbardziej popularnymi modelami układów dwuwymiarowych są modele wprowadzone przez Roessera 16 Fornasiniego i Marchesiniego 24 25 oraz Kurka 79. Koniec XX wieku i początek XXI wieku zaowocowały wieloma pracami dotyczącymi układów dwuwymiarowych. Problemowi stabilności asymptotycznej poświęcono prace 26 47 5 51 78 81 116 117 124. Dodatniości dotyczyły prace 22 36. Rozwiązane zostały również zagadnienia sterowalności osiągalności i obserwowalności układów 2D (patrz 19 7 71 72 73 74 75 ) oraz problem realizacji 18 2 27. Singularność modeli dwuwymiarowych badano w pracach 28 33. Dwuwymiarowym układom dyskretnym poświęcono monografie 4 5 32 37 a dwuwymiarowe układy ciągłe i dyskretne zostały opisane w 29. Równolegle do teorii układów dwuwymiarowych rozwijało się zainteresowanie naukowców i inżynierów rachunkiem różniczkowym i różnicowym niecałkowitego rzędu. Dowodem tego są liczne monografie 62 68 84 85 86 91 99. Rozwój nowych materiałów oraz wymagania wysokiej dokładności modelowania zjawisk fizycznych zmusiły badaczy do poszukiwań nowych operatorów matematycznych które pozwoliłyby na zadowalającą precyzję opisu matematycznego rzeczywistych zjawisk. Okazało się że równania różniczkowe lub różnicowe o całkowitych rzędach pochodnych (różnic) są niewystarczającym narzędziem matematycznym i zwróciło uwagę badaczy na uogólnienie operatora różniczki i różnicy na niecałkowite (rzeczywiste) rzędy. Rozwój takich nauk jak nanotechnologia doprowadził do powstania nowych materiałów których własności elektryczne i mechaniczne zależą od warunków w których znajdowały się w przeszłości. Cechą charakterystyczną operatorów pochodnej i różnicy niecałkowitych rzędów jest to że wprowadzają do układu pamięć przeszłych stanów. Ten fakt uczynił rachunek niecałkowitego rzędu doskonałym narzędziem pozwalającym precyzyjnie opisywać własności elektryczne i mechaniczne uzyskanych materiałów. W pracach 3 11 pokazano że rachunek różniczkowy niecałkowitego rzędu.5 znajduje zastosowanie w równaniu opisującym proces rozchodzenia się ciepła w pręcie. Następnie dowiedziono w kolejnych pracach 13 115 121 że modelowanie superkondensatorów wymaga tego nowego narzędzia. Teoria sterowania znalazła zastosowanie tego typu operatorów do konstrukcji regulatorów niecałkowitego rzędu takich jak P I λ D µ 1 119 122 lub 3

CRONE 93 94 113 które dały możliwość sterowania układami spełniającego najbardziej wymagające kryteria stawiane układom regulacji. Podjęto próby stworzenia ogólnej teorii obejmującej wszystkie te zjawiska fizyczne opisywane równaniami niecałkowitego rzędu i podania własności tych układów poprzez przeniesienie tych zagadnień w przestrzeń stanu. Tematykę tę podejmowano w pracach 89 91 96 98 15 118 dla układów ciągłych oraz 13 14 9 97 115 dla układów dyskretnych. Zbadano już wiele zagadnień dotyczących jednowymiarowych układów niecałkowitego rzędu opisanych w przestrzeni stanu między innymi ich dodatniość 42 43 49 58 59 oraz stabilność asymptotyczną 6 7 9 1 11 15 17 45 14. Stabilność i stabilizacja dodatnich układów niecałkowitego rzędu była tematem prac 54 55 61. sterowalności osiagalności i obserwowalności w pracach 16 38 39 76 77. układów niecałkowitego rzędu poświęcone są prace 46 92 114. Rozwiązano problemy Realizacji Obecnie rachunek różniczkowy i różnicowy niecałkowitego rzędu zaczyna być stosowany do zagadnień bardziej skomplikowanych które dotyczą dwóch lub większej liczy wymiarów. W literaturze odnaleźć można wiele prac w których autorzy dowodzą że opis zjawisk fizycznych z różnych obszarów nauki za pomocą równań różniczkowych i różnicowych cząstkowych niecałkowitego rzędu daje lepsze rezultaty niż stosowanie klasycznych równań całkowitych rzędów. Najbardziej popularnym zjawiskiem tego typu jest równanie dyfuzji niecałkowitego rzędu opisujące procesy tzw. superdyfuzji i anormalnej adwekcji 83 95 123. Innymi przykładami są równanie linii długiej niecałkowitego rzędu 87 88 12 oraz badanie procesów lepkosprężystości 21 3. W pracy 41 T. Kaczorek wprowadził pojęcie dwuwymiarowego dyskretnego układu niecałkowitego rzędu. Rozpoczęło to analizę modeli dwuwymiarowych w przestrzeni stanu o niecałkowitych rzędach różnic. Rozpatrzono podstawowe zagadnienia teorii sterowania tego typu modeli tj. dodatniość 44 52 stabilność 48 6 i osiągalność 56. Wyniki te podsumowane są monografiami 57 62. Wszystkie wyżej wymienione prace dotyczą standardowych układów dyskretnych. literaturze brakuje modeli ciągłych dwuwymiarowych układów niecałkowitego rzędu. Analiza równań niecałkowitych rzędów opisujących zjawiska gdzie analizowane sygnały (funkcje) są zależne od dwóch zmiennych niezależnych pokazuje że zapis w przestrzeni stanu daje modele singularne (z osobliwą macierzą E stojącą przy pochodnych/różnicach niecałkowitych rzędów). Stało się to motywacja dla autora aby za cel rozprawy doktorskiej postawić opracowanie teorii ciagłych oraz dyskretnych modeli dwuwymiarowych układów niecałkowitego rzędu która uwzględni również ich singularność. Przyjęto strukturę modelu podobną do tej którą zaproponował dla układów dyskretnych R. P. Roesser 16. Charakteryzuje się ona podziałem wektora stanu na dwa podwektory horyzontalny (poziomy) oraz wertykalny (pionowy). Dla każdego z podwektorów stosuje się różnicę w innym wymiarze (względem innej zmiennej ciągłej lub dyskretnej). Opierając W 4

się na tej zasadzie w 64 wprowadzono pojęcie dwuwymiarowego układu dyskretnego niecałkowitego rzędu. Następnie w 11 wprowadzono podobny model dla układów ciągłych. W niniejszej rozprawie przedstawione zostaną ciągłe i dyskretne uogólnione układy dwuwymiarowe niecałkowitych rzędów. W ogólnym przypadku zakładamy że macierz E może być macierzą nieosobliwą. Ponadto przyjęto że parametry modeli są niezależne od zmiennych (są niezmienne w czasie i w przestrzeni). Teza tej pracy jest następująca: "Teoria dwuwymiarowych układów niecałkowitego rzędu o strukturze Roessera jest użytecznym narzędziem do analizy zjawisk opisanych równaniami różniczkowymi i różnicowymi niecałkowitego rzędu." Rozprawa składa się z 7 rozdziałów bibliografii oraz załącznika w postaci płyty CD. W Rozdziale 1 dokonano przeglądu literatury dotyczącej tematu rozprawy doktorskiej. Następnie przedstawiono cel i tezę pracy. W Rozdziale 2 przedstawiono podstawowe definicje pochodnych i całek niecałkowitych rzędów jedno- i dwuwymiarowych funkcji ciągłych oraz podano transformaty Laplace a tych operatorów matematycznych. Podobnie dla funkcji dyskretnych sformułowano definicje różnic niecałkowitych rzędów oraz wyprowadzono przekształcenia zet tych różnic. Rozdział 3 poświęcony jest dwuwymiarowym układom ciągłym niecałkowitego rzędu. Sformułowano równania w przestrzeni stanu uogólnionego i standardowego dwuwymiarowego układu ciągłego niecałkowitego rzędu. Wyprowadzono rozwiązania równań stanu dla wprowadzonych modeli. Dla układów standardowych podano uogólnienie klasycznego twierdzenia Cayley a-hamiltona. Dwuwymiarowym układom dyskretnym niecałkowitego rzędu poświęcono Rozdział 4. Podano i wyprowadzono rozwiązanie równań stanu dla standardowych i uogólnionych dwuwymiarowych układów dyskretnych niecałkowitych rzędów. Dla układów standardowych podane zostały uogólnienie twierdzenia Cayley a-hamiltona oraz warunki dodatniości i stabilności asymptotycznej. Rozpatrzono problem stabilizacji za pomocą sprzężeń zwrotnych od wektora stanu. W Rozdziale 5 pokazane zostało że równanie dyfuzji niecałkowitego rzędu oraz równania linii długiej niecałkowitego rzędu mogą być przedstawione w postaci uogólnionych modeli wprowadzonych przez autora. W Rozdziale 6 opisano działanie programów środowiska MATLAB pozwalających na symulację dwuwymiarowych układów standardowych niecałkowitych rzędów. Ponadto przedstawiono algorytm pozwalający na wyznaczanie macierzy wzmocnienia w torze sprzężenia zwrotnego takiego że dyskretny dwuwymiarowy układ niecałkowitego rzędu ze sprzężeniem zwrotnym jest dodatni i stabilny asymptotycznie. Opracowane programy zamieszczono w załączonej do pracy płyty CD. Rozprawę kończy Podsumowanie gdzie wyszczególniono oryginalne wyniki autora rozprawy oraz pokazano potencjalne kierunki rozwoju opracowanej teorii. 5

1.1 Wykaz ważniejszych oznaczeń I n O n m R R + Z Z + macierz jednostkowa stopnia n macierz o wszystkich elementach zerowych wymiaru n m zbiór liczb rzeczywistych zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych zbiór liczb całkowitych zbiór liczb całkowitych nieujemnych N zbiór liczb naturalnych (N = {1 2 3...}) Γ(x) funkcja Gamma Eulera C Dt α f(t) pochodna Caputo rzędu α funkcji f(t) względem zmiennej t It α f(t) całka Riemmana-Lieuville a rzędu α funkcji f(t) względem zmiennej t Dt α f(t) różniczko-całka rzędu α funkcji f(t) względem zmiennej t h αf ij v β f ij deta A 1 A T różnica (horyzontalna) niecałkowitego rzędu α funkcji f ij względem zmiennej i różnica (wertykalna) niecałkowitego rzędu β funkcji f ij względem zmiennej j wyznacznik macierzy A odwrotność macierzy A transpozycja macierzy A 6

2 Wprowadzenie do dwuwymiarowego rachunku różniczkowego i różnicowego niecałkowitych rzędów W tym rozdziale przedstawione zostaną definicje pochodnych i całek oraz pochodno-całek niecałkowitych rzędów. Spośród wielu definicji pochodnych niecałkowitego rzędu wybrana jest definicja według Caputo gdyż ma ona największe znaczenie w praktyce inżynierskiej 91. Następnie pokazane zostaną uogólnienia tych definicji na przypadek funkcji dwuwymiarowych. W drugim podrozdziale przedstawiona zostanie definicja różnicy niecałkowitego rzędu jednowymiarowej funkcji dyskretnej oparta na definicji Grünwalda-Letnikova. Podobnie jak w przypadku funkcji ciągłych rozpatrzona zostanie różnica cząstkowa dwuwymiarowych funkcji dyskretnych (horyzontalna i wertykalna różnica niecałkowitego rzędu). Własności stosowanych w pracy operatorów matematycznych zostały szczegółowo opisane w monografii 91. W ostatnim podrozdziale przedstawione zostaną dyskretne przybliżenia jedno- i dwuwymiarowych pochodnych niecałkowitych rzędów funkcji ciągłych. Kierując się klasycznym inżynierskim podejściem zakładamy że analizowane funkcje jedno- i dwuwymiarowe są określone w przedziale t T T > dla funkcji jednowymiarowych f(t) oraz t 1 T 1 T 1 > t 2 T 2 T 2 > dla funkcji dwuwymiarowych f(t 1 t 2 ). 2.1 Definicje pochodno-całek niecałkowitych rzędów funkcji dwuwymiarowych Definicja 1. (Caputo) 62 91 99 Pochodna niecałkowitego rzędu α funkcji f(t) określona jest wzorem C D α t f(t) = gdzie f (N) (τ) = dn f(τ) dτ N 1 α < N N N oraz N jest funkcją Gamma Eulera. Γ(x) = 1 t f (N) (τ) dτ (1) Γ(N α) (t τ) α+1 N e t t x 1 dt dla x > (2) Definicja 2. (Riemanna-Liouville a) 62 91 99 Całka niecałkowitego rzędu β > funkcji f(t) określona jest wzorem I β t f(t) = 1 Γ(β) t (t τ) β 1 f(τ)dτ. (3) Podobnie możemy zdefiniować pochodne i całki niecałkowitego rzędu funkcji f(t 1 t 2 ) o dwóch zmiennych liniowo niezależnych t 1 t 2 R. 7

Definicja 3. Pochodną cząstkową niecałkowitego rzędu α i dwuwymiarowej funkcji f(t 1 t 2 ) względem zmiennej t i nazywamy funkcję określoną wzorem C D α i t i f(t 1 t 2 ) = α i t α i i = f(t 1 t 2 ) 1 Γ(N i α i ) ti f (N i) t i (τ) (t i τ) α i+1 N i dτ (4) gdzie N i 1 α i < N i N i N α i R + jest rzędem pochodnej cząstkowej dla i = 1 2 oraz f (N i) t i (τ) = N 1 f(τ t 2 ) τ N 1 N 2 f(t 1 τ) τ N 2 dla i = 1 dla i = 2. Powyższa definicja jest uogólnieniem na funkcje dwuwymiarowe definicji jednowymiarowej pochodnej niecałkowitego rzędu według Caputo 62 91 99. Definicja 4. Całką niecałkowitego rzędu β i dwuwymiarowej funkcji f(t 1 t 2 ) względem zmiennej t i nazywamy funkcję określoną wzorem I β i t i f(t 1 t 2 ) = 1 Γ(β i ) ti gdzie β i > jest rzędem całkowania dla i = 1 2 oraz (5) (t i τ) β i 1 f ti (τ)dτ (6) f ti (τ) = { f(τ t2 ) dla i = 1 f(t 1 τ) dla i = 2. (7) Powyższa definicja jest uogólnieniem na funkcje dwuwymiarowe definicji jednowymiarowej całki niecałkowitego rzędu według Riemanna-Liouville a 62 91 99. Definicja 5. Pochodno-całką niecałkowitego rzędu α i dwuwymiarowej funkcji f(t 1 t 2 ) względem zmiennej t i dla i = 1 2 nazywamy funkcję określoną wzorem D α i t i f(t 1 t 2 ) = { C D α i t i f(t 1 t 2 ) dla α i R + I α i t i f(t 1 t 2 ) dla α i < (8) Definicja 5 określa operator różniczko-całki dla dowolnego α i R i = 1 2; przy czym dla rzędów ujemnych otrzymujemy całkę niecałkowitego rzędu a dla rzędów dodatnich pochodną niecałkowitego rzędu funkcji f(t 1 t 2 ) względem zmiennej t 1 lub t 2. Dla α i = mamy oryginał funkcji f(t 1 t 2 ). Ponadto dla całkowitych rzędów różniczko-całki otrzymujemy n krotne całkowanie lub różniczkowanie funkcji dwuwymiarowej. Jest to zatem uogólnienie klasycznego pojęcia pochodnej lub całki n tego rzędu na rzędy rzeczywiste. 8

2.2 Definicje różnic niecałkowitych rzędów funkcji dwuwymiarowych Definicja 6. 62 91 99 Różnicą niecałkowitego rzędu α dwuwymiarowej funkcji dyskretnej f i i Z + nazywamy funkcję dyskretną określoną wzorem α f i = i ( ) α ( 1) k f i k (9) k k= gdzie α R + oraz ( ) α = k 1 dla k = α(α 1) (α k + 1) k! dla k N (1) Podobnie możemy zdefiniować różnice niecałkowitych rzędów funkcji f ij zmiennych liniowo niezależnych i j Z +. o dwóch Definicja 7. Różnicą horyzontalną (poziomą) niecałkowitego rzędu α dwuwymiarowej funkcji dyskretnej f ij ; i j Z + nazywamy wyrażenie h αf ij = i c α (k)f i kj k= (11a) gdzie α R + oraz c α (k) = 1 dla k = k α(α 1) (α k + 1) ( 1) k! dla k N (11b) Definicja 8. Różnicą wertykalną (pionową) niecałkowitego rzędu β dwuwymiarowej funkcji dyskretnej f ij ; i j Z + nazywamy wyrażenie v βf ij = j c β (l)f ij l l= (12a) gdzie β R + oraz c β (l) = 1 dla l = l β(β 1) (β l + 1) ( 1) l! dla l N (12b) 9

2.3 Aproksymacja pochodnych niecałkowitych rzędów jedno- i dwuwymiarowych funkcji ciagłych różnicami niecałkowitych rzędów Definicja 9. 99 Dyskretnym przybliżeniem jednowymiarowej pochodnej niecałkowitego rzędu funkcji f(t) (1) nazywamy funkcję określoną zależnością C D α t f(t) = lim h h α t/h k= gdzie h jest krokiem dyskretyzacji a współczynnik ( 1) k ( α k ) f(t kh) (13) ( ) α określony jest zależnością (1). k Z definicji 9 wynika że pochodną niecałkowitego rzędu (1) jednowymiarowej funkcji f(t) można przybliżyć za pomocą różnicy niecałkowitego rzędu (9) dyskretnej funkcji f i przy czym wartości dyskretnej funkcji f i dla i Z + są odpowiednio wartościami funkcji f(t) dla t = 1h 2h.... Otrzymujemy zatem i+1 ( ) α C Dt α f(t) h α ( 1) k f i k+1 = h α α f i+1 (14) k k= przy czym h jest odpowiednio małym krokiem dykretyzacji a α f i jest różnicą niecałkowitego rzędu dyskretnej funkcji f i określoną zależnością (9). Podobnie zdefiniować możemy dyskretne przybliżenia pochodnych niecałkowitego rzędu dwuwymiarowych funkcji f(t 1 t 2 ). Definicja 1. Dyskretnym przybliżeniem pochodnej niecałkowitego rzędu funkcji f(t 1 t 2 ) (4) względem zmiennej t 1 (t 2 ) nazywamy funkcję określoną zależnością C Dt α 1 f(t 1 t 2 ) h α 1 1 h α 1 f i+1j ( C Dt α 2 f(t 1 t 2 ) h α 2 2 v α 2 f ij+1 ) (15) przy czym h 1 h 2 są odpowiednio małymi krokami dyskretyzacji a h α 1 f ij v α 2 f ij są horyzontalną i wertykalną różnicą niecałkowitych rzędów dyskretnej funkcji f ij określonymi zależnościami (11a) oraz (12a). 1

3 Uogólnione dwuwymiarowe układy ciagłe niecałkowitego rzędu opisane modelem Roessera 3.1 Równania stanu uogólnionego dwuwymiarowego układu ciagłego niecałkowitego rzędu Rozważmy liniowy układ ciągły niecałkowitego rzędu opisany równaniami E C D α 1 t 1 x h (t 1 t 2 ) C D α 2 t 2 x v (t 1 t 2 ) y(t 1 t 2 ) = C = A x h (t 1 t 2 ) x v (t 1 t 2 ) x h (t 1 t 2 ) x v (t 1 t 2 ) + Bu(t 1 t 2 ) (16a) + Du(t 1 t 2 ) (16b) gdzie N i 1 < α i < N i N i N dla i = 1 2; x h (t 1 t 2 ) R n 1 x v (t 1 t 2 ) R n 2 (n = n 1 + n 2 ) są odpowiednio wektorami horyzontalnym i wertykalnym u(t 1 t 2 ) R m jest wektorem wymuszenia y(t 1 t 2 ) R p jest wektorem odpowiedzi oraz E A R n n B R n m C R p n D R p m. Zakładamy że macierz E może być macierzą osobliwą tzn. det E =. W takim przypadku model (16) nazywamy singularnym. Jeśli natomiast det E to model nazywamy standardowym dwuwymiarowym układem niecałkowitego rzędu. Warunki brzegowe dla (16) dane są w postaci dla k = 1... N 1 1; t 2 x h(k) k x h (t 1 t 2 ) ( t 2 ) = t k 1 x v(l) l x v (t 1 t 2 ) (t 1 ) = t k 2 t 1 = t 2 = = x h(k) (t 2 ) (17a) = x v(l) (t 1 ) (17b) gdzie l = 1 2... N 2 1; t 1 oraz x h(k) (t 2 ) x v(l) (t 1 ) są danymi funkcjami. Twierdzenie 1. Rozwiązanie równania stanu (16a) dla warunków brzegowych (17) ma postać 11

x h (t 1 t 2 ) = T x v ij (t 1 t 2 ) i= µ ( 1 j= µ 2 N 1 t iα 1+k 1 1 E 1 D (j+1)α 2 t Γ(iα 1 + k) 2 k=1 ( N 2 t jα 2+l 1 2 +E 2 Γ(jα 2 + l) +B ( l=1 M 2 1 x h(k 1) (t 2 ) + D (i+1)α 1 t 1 x v(l 1) (t 1 ) + D (i+1)α 1 (j+1)α 2 t 1 t 2 u(t 1 t 2 ) + M 1 1 k= l= M 1 1 k= M 2 1 t (j+1)α 2+l 2 l u(t + Γ(j + 1)α 2 + l + 1 D (i+1)α 1 1 t 2 ) t 1 + przy czym l= M 1 1 k= M 2 1 l= t (j+1)α 2+l 2 Γ(j + 1)α 2 + l + 1 t (i+1)α 1+k 1 Γ(i + 1)α 1 + k + 1 t (i+1)α 1+k 1 Γ(i + 1)α 1 + k + 1 D (j+1)α 2 t 2 l t2 = t (i+1)α 1+k 1 t (j+1)α 2 2 Γ(i + 1)α 1 + k + 1Γ(j + 1)α 2 + l + 1 E = k t 1 k (t 2 ) l x h(k 1) t l 2 k x v(l 1) t k (t 1 ) 1 k u(t 1 t 2 ) t 2 t 1 k l l t u(t 1 t 2 ) 2 t 1 = t1 =t 2 = t2 = t1 = ) (18) E 1 E 2 E 1 R n n 1 E 2 R n n 2 (19) M 1 1 < (i + 1)α 1 M 1 M 2 1 < (j + 1)α 2 M 2 ; M 1 M 2 N (2) a macierze tranzycji opisane są zależnościami E 1 T 1 + E 2 T 1 AT 1 1 = I n E 1 T ij 1 + E 2 T i 1j AT i 1j 1 = dla i µ 1 i oraz j µ 2 j T ij = (macierz zerowa) dla i < µ 1 oraz/lub j < µ 2 (21) ) ) Przykład 1. Dany jest dwuwymiarowy układ (16) o niecałkowitych rzędach α 1 =.8 α 2 =.4 oraz macierzach 1 1 1 2 E = A = B = 1 1 1 C = D =. 1 (22) Poszukiwać będziemy odpowiedzi układu y(t 1 t 2 ) dla t 1 t 2 na wymuszenie w postaci dwuwymiarowego skoku jednostkowego { u(t 1 t 2 ) = H(t 1 t 2 ) = dla t 1 < i/lub t 2 < 1 dla t 1 t 2 (23) 12

dla danych warunków brzegowych x h (t 2 ) = dla t 2 x v (t 1 ) = 1 dla t 1. (24) Para macierzy E A jest regularna gdyż p α 1 1 s α 2 2 detg(p s) = 1 = pα 1 + 1 (25) dla każdego s oraz pewnych wartości p. Z (25) wynika że współczynnik stojący przy najwyższych potęgach zmiennych p i s jest niezerowy (d r1 r 2 = d 1 = 1 ) więc indeks modelu tworzy para skończonych liczb naturalnych µ 1 µ 2. Macierze tranzycji możemy wyznaczyć na podstawie zależności (21) otrzymując 1 2 T 1 1 = T i 1 = dla i 1 (26) 1 T i 2 = dla i T ij = dla pozostałych wartości i j. Z (26) wynika że indeksy układu µ 1 = 1 µ 2 = 2. Łatwo pokazać że D α 1 α 2 t 1 t 2 H(t 1 t 2 ) = t α 1 1 t α 2 2 Γ(1 + α 1 )Γ(1 + α 2 ) (27) dla α 1 α 2 R. Uwzględniając (27) oraz (23) w (18) otrzymujemy odpowiedź układu na wymuszenie (23) oraz warunki brzegowe (24) y(t 1 t 2 ) = + 1 H(t 1 t 2 ) + 1 { 2 t (i+1)α 1 1 Γ1 + (i + 1)α i= 1 )} t (i+1)α 1 1 t α 2 2 Γ1 + (i + 1)α 1 Γ( α 2 + 1) 1 Łatwo pokazać że współczynniki we wzorze (28) silnie maleją przy rosnących Γ( ) wartościach i. Zatem możemy założyć że liczba i w sumie w równaniu (28) jest ograniczona przez pewną liczbę naturalną L 1. Wykresy składowych wektora odpowiedzi y 1 (t 1 t 2 ) oraz y 2 (t 1 t 2 ) dla t 1 5 t 2 5 oraz L 1 = 2 są pokazane na rysunkach 1 i 2. (28) 13

Rysunek 1: Wykres składowej y 1 (t 1 t 2 ) wektora odpowiedzi (Przykład 1) Rysunek 2: Wykres składowej y 2 (t 1 t 2 ) wektora odpowiedzi (Przykład 1) 14

3.2 Równanie stanu standardowego dwuwymiarowego układu ciagłego niecałkowitego rzędu Weźmy pod uwagę liniowy układ ciągły niecałkowitego rzędu opisany równaniami C D α 1 t 1 x h (t 1 t 2 ) C D α 2 t 2 x v (t 1 t 2 ) y(t 1 t 2 ) = C = A x h (t 1 t 2 ) x v (t 1 t 2 ) x h (t 1 t 2 ) x v (t 1 t 2 ) + Bu(t 1 t 2 ) (29a) + Du(t 1 t 2 ) (29b) gdzie N i 1 < α i < N i N i N dla i = 1 2; x h (t 1 t 2 ) R n 1 x v (t 1 t 2 ) R n 2 (n = n 1 + n 2 ) są odpowiednio wektorami horyzontalnym i wertykalnym u(t 1 t 2 ) R m jest wektorem wymuszenia y(t 1 t 2 ) R p jest wektorem odpowiedzi oraz E A R n n B R n m C R p n D R p m. Warunki brzegowe dla modelu (29) dane są w postaci gdzie k = 1... N 1 1; t 2 x h(k) k x h (t 1 t 2 ) ( t 2 ) = t k 1 x v(l) l x v (t 1 t 2 ) (t 1 ) = t k 2 t 1 = t 2 = = x h(k) (t 2 ) (3a) = x v(l) (t 1 ) (3b) gdzie l = 1 2... N 2 1; t 1 oraz x h(k) (t 2 ) x v(l) (t 1 ) są danymi funkcjami. Układ (29) jest szczególnym przypadkiem uogólnionego dwuwymiarowego modelu niecałkowitego rzędu opisanego modelem Roessera (16) przy czym E = I n. Twierdzenie 2. Rozwiązanie równania (29a) dla warunków brzegowych (3) ma postać x h (t 1 t 2 ) x v (t 1 t 2 ) = i= + + j= N 2 l=1 { N1 t k+iα 1 1 1 T ij Γ(k + iα 1 ) D jα 2 t 2 k=1 t l+jα 2 1 2 t 1 Γ(l + jα 2 ) D iα 1 B 1 x v(l 1) (t 1 ) D (i+1)α 1 jα 2 t 1 t 2 u (t 1 t 2 ) + x h(k 1) (t 2 ) B 2 D iα 1 (j+1)α 2 t 1 t 2 u (t 1 t 2 ) } (31) przy czym B = B 1 B 2 B 1 R n 1 m B 2 R n 2 m (32) 15

a macierze tranzycji określone są wzorem I n (n = n 1 + n 2 ) dla i = j = T ij = T 1 T i 1j + T 1 T ij 1 dla i + j > (i j Z) dla i < i/lub j < (33) gdzie T 1 = A 11 A 12 T 1 = A 21 A 22. (34) Przykład 2. Dany jest dwuwymiarowy układ niecałkowitego rzędu (29) gdzie α 1 =.7 α 2 =.9 a macierze.9.7 1 A = B =.3 1 1 C = D =. 1 (35) Poszukiwać będziemy odpowiedzi skokowej układu tj. wartości wektora odpowiedzi y(t 1 t 2 ) dla t 1 t 2 na wymuszenie w postaci dwuwymiarowego skoku jednostkowego { u(t 1 t 2 ) = H(t 1 t 2 ) = dla t 1 < i/lub t 2 < 1 dla t 1 t 2 (36) przy zerowych warunkach początkowych x h (t 2 ) = dla t 2 x v (t 1 ) = dla t 1. (37) Podstawiając (35) (37) (27) do (31) oraz uwzględniając że N 1 N 2 = 1 otrzymujemy x h (t 1 t 2 ) x v (t 1 t 2 ) 1 t (i+1)α 1 1 t jα 2 2 = T ij Γ1 + (i + 1)α i= j=1 1 Γ(1 + jα 2 ) 1 t (i+1)α 1 1 + T i Γ1 + (i + 1)α i= 1 + t (j+1)α 2 2 T j 1 Γ1 + (j + 1)α j= 2 t iα 1 1 t (j+1)α 2 2 + T ij 1 Γ(1 + iα 1 )Γ1 + (j + 1)α 2 i=1 j= (38) a macierze tranzycji możemy obliczyć z zależności (33). Wzór (38) określa odpowiedź skokową układu (29) o macierzach (35). Łatwo pokazać że 1 współczynniki we wzorze (38) silnie maleją przy rosnących wartościach i oraz j. Zatem Γ( ) możemy założyć że liczby i oraz j są ograniczone przez pewne liczby naturalne L 1 i L 2. 16

Rysunek 3: Wykres zmiennej stanu horyzontalnej x h (t 1 t 2 ) (Przykład 2) Wykresy zmiennych stanu (odpowiedzi skokowej układu) dla L 1 L 2 = 5 są pokazane na rysunkach 3 i 4. 3.3 Uogólnienie twierdzenia Cayley a-hamiltona Twierdzenie 3. Niech I n1 p α 1 A 11 p α 1 A 12 detg(p s) = s α 2 A 21 I n2 s α 2 A 22 n1 = n 2 a n1 kn 2 lp kα 1 s lα 2 (39) k= l= będzie wielomianem charakterystycznym układu (29). Macierze tranzycji T ij (33) spełniają zależność dla m 1 m 2 = 1.... n 1 n 2 a kl T k+m1 l+m 2 = (4) k= l= 17

Rysunek 4: Wykres zmiennej stanu wertykalnej x v (t 1 t 2 ) (Przykład 2) 4 Uogólnione dwuwymiarowe układy dyskretne niecałkowitego rzędu opisane modelem Roessera 4.1 Równania stanu uogólnionego dwuwymiarowego układu dyskretnego niecałkowitego rzędu Rozważmy liniowy układ dyskretny niecałkowitych rzędów α 1 > α 2 > opisany równaniami E h α1 x h i+1j v α 2 x v ij+1 y ij = C x h ij x v ij = A x h ij x v ij + Bu ij (41a) + Du ij ; i j Z + (41b) gdzie x h ij R n 1 x v ij R n 2 są odpowiednio horyzontalnym (poziomym) oraz wertykalnym (pionowym) wektorem stanu w punkcie (i j) n = n 1 + n 2 u ij R m jest wektorem wymuszenia y ij R p jest wektorem odpowiedzi w punkcie (i j) a macierze E A R n n B R n m C R p n D R p m. Zakładamy że macierz E może być macierzą osobliwą (dete = ). W takim przypadku model (41) nazywamy układem singularnym. Jeśli dete to model nazywamy standardowym dwuwymiarowym układem niecałkowitego rzędu. Układ (41) możemy uzyskać dyskretyzując równania uogólnionego dwuwymiarowego układu niecałkowitego rzędu (16). Stosując przybliżenia (15) do równania (16a) otrzymujemy E h α 1 1 I n1 h α 2 2 I n2 h α1 x h i+1j v α 2 x v ij+1 18 = A x h ij x v ij + Bu ij (42)

gdzie h 1 h 2 są odpowiednio małymi krokami dyskretyzacji dla zmiennych t 1 i t 2 natomiast x h ij x v ij u ij są wartościami funkcji x h (t 1 t 2 ) x v (t 1 t 2 ) u(t 1 t 2 ) dla dyskretnych wartości zmiennych t 1 = h 1 2h 1... oraz t 2 = h 2 2h 2.... Zatem uogólnionemu dwuwymiarowemu układowi ciągłemu niecałkowitego rzędu (16) o macierzach E A B C D odpowiada uogólniony dwuwymiarowy układ dyskretny niecałkowitego rzędu (41) o macierzach E A B C D przy czym E = E h α 1 1 I n1 h α 2 2 I n2 B = B C = C D = D. A = A (43) E Korzystając z Definicji 7 i 8 z równania (41a) otrzymujemy x h i+1j x v ij+1 = A x h ij x v ij i+1 + Bu ij E c α1 (k) k=2 x h i k+1j j+1 E c α2 (l) l=2 x v ij l+1 (44) gdzie współczynniki c α1 (k) c α2 (l) są opisane wzorami (11b) (12b) oraz α 1 I n1 A = A + E. (45) α 2 I n2 Zauważmy że ze wzoru (44) wynika że uogólniony dwuwymiarowy dyskretny układ niecałkowitego rzędu jest układem z opóźnieniami o całkowitych rzędach różnic. Liczba opóźnień rośnie wraz ze wzrostem zmiennych i oraz j. Z (11b) and (12b) wynika że współczynniki c α (k) oraz c β (l) w równaniu (44) silnie maleją dla rosnących k oraz l. Dlatego w praktycznych problemach można założyć że k oraz l są ograniczone przez pewne liczby naturalne L 1 oraz L 2. W takim przypadku równanie stanu (44) przyjmuje postać E x h i+1j x v ij+1 = A x h ij x v ij + Bu ij E L 1 +1 k=2 c α1 (k) x h i k+1j E L 2 +1 l=2 c α2 (l) x v ij l+1 (46) Warunki brzegowe dla układów (41a) (44) (46) dane są w postaci x h j dla j Z + x v i dla i Z +. (47) 19

Twierdzenie 4. Rozwiązanie równania stanu (41a) z warunkami brzegowymi (47) ma postać x h ij x v ij i+µ 1 1 = + k= T i k 1j E 2 x v k + k= i+µ 1 1 j+µ 2 1 l= j+µ 2 1 l= T i k 1j l 1 Bu kl T ij l 1 E 1 x h l (48) gdzie E = E 1 E 2 E 1 R n n 1 E 2 R n n 2 (49) a macierze tranzycji opisane są zależnościami T = I n T pq = dla p µ 1 p oraz q µ 2 q (5a) T pq = (macierz zerowa) dla q < µ 1 oraz/lub q < µ 2 przy czym T pq = E 1 ( T pq 1 + p+µ 1 k=2 q+µ 2 c α1 (k)t p kq 1 ) ( ) + E 2 T p 1q + c α2 (l)t p 1q l AT p 1q 1 l=2 (5b) dla p µ 1 oraz q µ 2. Zauważmy że do wyznaczenia wartości wektorów stanu x h ij x v ij w dowolnym obszarze i N 1 oraz j N 2 (N 1 N 2 Z + ) wymagana jest znajomość wartości warunków brzegowych oraz wymuszenia spoza tego obszaru tj. x h j x v i oraz u ij z obszaru i N 1 + µ 1 1 oraz j N 2 + µ 2 1. Przykład 3. (ciąg dalszy Przykładu 1) Weźmy pod uwagę dwuwymiarowy układ ciągły (16) o niecałkowitych rzędach α 1 =.8 α 2 =.4 oraz danych macierzach (22). W wyniku dyskretyzacji układu ciągłego korzystając z (43) otrzymujemy dyskretny dwuwymiarowy układ niecałkowitego rzędu (41) o macierzach E = C = h.8 1 h.4 2 A = 1 D = 1 1 2 1 B = przy czym h 1 h 2 są odpowiednio małymi krokami dyskretyzacji. 1 (51) 2

Poszukiwać będziemy odpowiedzi układu y ij dla i j Z + na wymuszenie w postaci dwuwymiarowego dyskretnego skoku jednostkowego u ij = { dla danych warunków brzegowych Pęk macierzy (E A) jest regularny gdyż det { E dla i < i/lub j < 1 dla i j Z + (52) x h j = dla j Z + x v i = 1 dla i Z +. (53) λ 1 λ 2 A } = λ 1 h.8 1 +.8h.8 1 + 1 (54) dla każdego λ 2 prawie wszystkich λ 2 oraz dowolnych wartości kroków dyskretyzacji h 1 h 2. Ponadto zauważmy że współczynnik przy najwyższych potęgach zmiennych λ 1 λ 2 jest niezerowy d r1 r 2 = d 1 = h.8 1 zatem indeksy modelu (pary macierzy E A) µ 1 oraz µ 2 mają skończone wartości. Macierze tranzycji możemy wyznaczyć na podstawie zależności (5) otrzymując T 1 1 = T 1 = 1 T 2 = h.8 1 2h.8 1.4h1.8 h.4 2 T iq = ( h.8 1 +.8 ) T i 1q h1.8 h2.4 i c.8 (k)t i kq dla i > q = 1 2 k=2 T ij = dla pozostałych wartości i j. Z (55) wynika że indeksy modelu przyjmują wartości µ 1 = 1 µ 2 = 2. Korzystając z Twierdzenia 4 dla macierzy tranzycji (55) oraz macierzy układu (51) otrzymujemy x h ij x v ij = = j+1 i T i k 1j E 2 x v k + T ij l 1 E 1 x h l + k= l= i (T i k 1 1 Bu kj + T i k 1 2 Bu kj+1 ). k= j+1 i T i k 1j l 1 Bu kl Podstawiając do (56) i = a następnie j = otrzymujemy zależności określające dopuszczalne warunki brzegowe dla danego wymuszenia. k= l= (55) (56) 21

Uwzględniając w (56) postaci wymuszenia (52) oraz warunków początkowych (53) otrzymujemy równanie opisujące odpowiedź tego układu na wymuszenie (52) dla danych warunków początkowych (53) y ij = x h ij x v ij i = (T i k 1 1 k= 1 + T i k 1 2 1 ) (57) przy czym macierze tranzycji dane są zależnościami (55). 4.2 Równania stanu standardowego dwuwymiarowego układu dyskretnego niecałkowitego rzędu Rozważmy liniowy układ dyskretny niecałkowitych rzędów α 1 > α 2 > opisany równaniami w przestrzeni stanu h α 1 x h i+1j = A v α 2 x v ij+1 y ij = C x h ij x v ij x h ij x v ij + Bu ij (58a) + Du ij i j Z + (58b) gdzie A = A 11 A 12 A 21 A 22 B = B 1 B 2 (59) oraz x h ij R n 1 x v ij R n 2 (n = n 1 + n 2 ) są odpowiednio horyzontalnym (poziomym) i wertykalnym (pionowym) wektorem stanu w punkcie (i j) oraz u ij R m jest wektorem wymuszenia y ij R p jest wektorem odpowiedzi w punkcie (i j) a macierze A 11 R n 1 n 1 A 12 R n 1 n 2 A 21 R n 2 n 1 A 22 R n 2 n 2 B 1 R n 1 m B 2 R n 2 m C R p n D R p m. Układ (58) możemy uzyskać dyskretyzując równania standardowego dwuwymiarowego układu niecałkowitego rzędu (29). Stosując przybliżenia (15) do równania (29a) otrzymujemy h α 1 1 I n1 h α 2 2 I n2 h α1 x h i+1j v α 2 x v ij+1 = A x h ij x v ij + Bu ij (6) gdzie h 1 h 2 są odpowiednio małymi krokami dyskretyzacji dla zmiennych t 1 i t 2 natomiast x h ij x v ij u ij są wartościami funkcji x h (t 1 t 2 ) x v (t 1 t 2 ) u(t 1 t 2 ) dla dyskretnych wartości zmiennych t 1 = h 1 2h 1... oraz t 2 = h 2 2h 2.... Zatem standardowemu dwuwymiarowemu układowi ciągłemu niecałkowitego rzędu (29) o macierzach A B C D odpowiada standardowy dwuwymiarowy układ dyskretny 22

niecałkowitego rzędu (58) o macierzach A B C D przy czym A = h α 1 1 I n1 h α 2 2 I n2 A B = C = C D = D. h α 1 1 I n1 h α 2 2 I n2 Korzystając z Definicji 7 i 8 możemy napisać równanie (58) w postaci x h i+1j x v ij+1 = Ā11 A 12 A 21 Ā 22 x h ij x v ij + B 1 B 2 B i+1 c α1 (k)x h i k+1j u ij k=2 j+1 c α2 (l)x v ij l+1 l=2 (61) (62) przy czym Ā11 = A 11 + αi n1 oraz Ā22 = A 22 + βi n2. Ze wzoru (62) wynika że dwuwymiarowy dyskretny układ niecałkowitego rzędu jest układem z opóźnieniami o całkowitych rzędach różnic których liczba rośnie wraz ze wzrostem i oraz j. Z (11b) and (12b) wynika że współczynniki c α1 (k) oraz c α2 (l) w równaniu (62) silnie maleją gdy k oraz l rosną. Dlatego w praktycznych problemach zakłada się że k oraz l są ograniczone przez pewne liczby naturalne L 1 oraz L 2. W takim przypadku równanie stanu (62) przyjmuje postać x h i+1j x v ij+1 = Ā11 A 12 A 21 Ā 22 x h ij x v ij + B 1 B 2 u ij L 1 +1 k=2 L 2 +1 Warunki brzegowe dla równań (58a) (62) (63) dane są w postaci c α1 (k)x h i k+1j c α2 (l)x v ij l+1 l=2 (63) x h j dla j Z + x v i dla i Z +. (64) Twierdzenie 5. Rozwiązanie równania stanu (62) z warunkami brzegowymi (64) ma postać x h ij x v ij = i T i pj p= x v p + j T ij q q= x h q + i p= q= j ( Ti p 1j q B 1 + T i pj q 1 B 1) u pq (65a) gdzie B 1 = B 1 B 1 = B 2 (65b) 23

a macierze tranzycji T pq R n n są określone zależnością I n dla p = q = T pq = T pq dla p + q > (p q Z + ) (macierz zerowa) dla p < i/lub q < (65c) przy czym p T pq =T 1 T p 1q k=2 c α1 (k)i n1 T p kq + T 1 T pq 1 q l=2 c α2 (l)i n2 T pq l (65d) oraz T 1 = A 11 A 12 T 1 = A 21 A 22. (65e) 4.3 Uogólnienie twierdzenia Cayley a-hamiltona Niech oraz G(z 1 z 2 ) = Ḡ 11 = I n1 z1 1 Ā 11 + Ḡ 22 = I n2 z2 1 Ā 22 + Ḡ 11 z1 1 A 12 z2 1 A 21 Ḡ 22 p= q= L 1 k=2 L 2 l=2 (66a) c α1 (k)z k 1 I n1 (66b) c α2 (l)z l 2 I n2 (66c) N 1 N 2 detg(z 1 z 2 ) = a N1 pn 2 qz p 1 z q 2 (67) gdzie N 1 N 2 Z + określone są przez liczby L 1 oraz L 2 w (63). Twierdzenie 6. Niech (67) będzie wielomianem charakterystycznym układu (63). macierze tranzycji T pq spełniają równanie Wtedy N 1 N 2 a pq T pq =. (68) p= q= 4.4 Dodatniość standardowych dwywymiarowych układów dyskretnych niecałkowitego rzędu opisanych modelem Roessera Definicja 11. Układ (62) nazywamy dodatnim (wewnętrznie dodatnim) wtedy i tylko wtedy gdy x h ij R n 1 + x v ij R n 2 + oraz y ij R p + i j Z + dla dowolnych nieujemnych warunków 24

brzegowych x h j R n 1 + j Z + i x v i R n 2 + i Z + oraz wszystkich nieujemnych wymuszeń u ij R m + i j Z +. Twierdzenie 7. Dwuwymiarowy układ niecałkowitego rzędu (62) dla α 1 α 2 R < α 1 1 < α 2 1 jest dodatni wtedy i tylko wtedy gdy Ā11 A 12 A 21 Ā 22 C 1 C 2 R n n + B 1 B 2 R p n + D R p m +. R n m + 4.5 Stabilność i stabilizacja dwuwymiarowego modelu Roessera niecałkowitego rzędu za pomoca sprzężeń zwrotnych Rozważmy dodatni model Roessera (62) ze sprzężeniem zwrotnym o postaci u ij = K 1 K 2 x h ij x v ij (69) (7) przy czym K = K 1 K 2 R m n K j R m n j j = 1 2 jest macierzą wzmocnienia. Poszukiwać będziemy takiej macierzy wzmocnienia K żeby układ ze sprzężeniem zwrotnym x h i+1j x v ij+1 = Ā11 + B 1 K 1 A 12 + B 1 K 2 A 21 + B 2 K 1 Ā 22 + B 2 K 2 był stabilnym asymptotycznie układem dodatnim. x h ij x v ij i+1 c α1 (k)x h i k+1j k=2 j+1 c α2 (l)x v ij l+1 Twierdzenie 8. Dodatni układ niecałkowitego rzędu ze sprzężeniem zwrotnym (71) jest dodatni i stabilny asymptotycznie wtedy i tylko wtedy gdy istnieją macierz blokowa l=2 (71) Λ = blockdiag Λ 1 Λ 2 Λ k = diag λ k1... λ knk λ kj > k = 1 2; j = 1... n k (72) i macierz rzeczywista D = D 1 D 2 D k R m n k k = 1 2 (73) spełaniające warunki Ā11 Λ 1 + B 1 D 1 A 12 Λ 2 + B 1 D 2 A 21 Λ 1 + B 2 D 1 Ā 22 Λ 2 + B 2 D 2 25 R n n + (74)

oraz A 11 Λ 1 + B 1 D 1 A 12 Λ 2 + B 1 D 2 1 n1 < (75) A 21 Λ 1 + B 2 D 1 A 22 Λ 2 + B 2 D 2 1 n2 T przy czym 1 nk = 1... 1 R n k + k = 1 2 ( T oznacza transpozycję macierzy ). Macierz wzmocnienia dana jest wzorem K = K 1 K 2 = D 1 Λ 1 1 D 2 Λ 1 2. (76) Jeśli warunki Twierdzenia 8 sa spełnione to macierz wzmocnienia może być wyznaczona na postawie następującej procedury. Procedura Krok 1. Wybrać blokowo-diagonalną macierz (72) i rzeczywistą macierz (73) spełniające warunki (74) oraz (75). Krok 2. Na postawie wzoru (76) obliczyć macierz wzmocnienia K. Twierdzenie 9. Dodatni dwuwymiarowy układ niecałkowitego rzędu opisany modelem Roessera (58) jest niestabilny jeżeli przynajmniej jeden element na głównej przekątnej macierzy A 11 A 12 (77) A 21 A 22 jest dodatni. Przykład 4. Dany jest dwuwymiarowy układ dyskretny niecałkowitego rzędu (62) z α 1 =.4 α 2 =.5 oraz macierzami.5.1 A 11 =.1.1.3.1 A 21 =.2.1.2 B 1 =.1.1.1 A 12 =.2.1 1.1 A 22 =.4.1.3 B 2 =..2 (78) Znajdź macierz wzmocnienia K = K 1 K 2 K p R 1 2 p = 1 2 taką żeby układ ze sprzężeniem zwrotnym od wektora stanu był stabilnym asymptotycznie układem dodatnim. 26

Rysunek 5: Wykres składowych wektora stanu układu przed stabilizacją (Przykład 4) Układ (62) z macierzami (78) nie jest układem dodatnim gdyż.1.1.1.1 Ā11 A 12.1.41.2.1 = A 21 Ā 22.3.1.5.1.2.1.4.6 (79) a macierze B 1 B 2 mają ujemne elementy oraz jest układem niestabilnym gdyż macierz.5.1.1.1 A 11 A 12.1.1.2.1 = A 21 A 22.3.1 1.1.2.1.4.1 (8) ma dwa dodatnie elementy na głównej przekątnej. Wykresy zmiennych stanu układu o macierzach (78) są pokazane na rysunku 5. Korzystając z Procedury otrzymujemy. 27

Krok 1. Wybieramy Λ = blockdiagλ 1 Λ 2.4 Λ 1 = Λ 2 =.4.2.3 (81) oraz D = D 1 D 2 D 1 = D 2 =.4.2 (82) które spełniają warunki (74) i (75) gdyż.4.6.1 Ā 11 Λ 1 + B 1 D 1 = A 12 Λ 2 + B 1 D 2 =.144.1 A 21 Λ 1 + B 2 D 1 =.2.2.3 Ā 22 Λ 2 + B 2 D 2 =.14 oraz A 11 Λ 1 + B 1 D 1 A 12 Λ 2 + B 1 D 2 A 21 Λ 1 + B 2 D 1 A 22 Λ 2 + B 2 D 2 1 n1 1 n2 =.5.6.3.1. Krok 2. Z (76) otrzymujemy macierz wzmocnienia K = K 1 K 2 2.5 K 1 =.4.2 = 1.5 2.5 5 K 2 =.4.2 = 2.67 3.33 Układ ze sprzężeniem zwrotnym jest układem dodatnim gdyż macierze.1.3.33 Ā 11 + B 1 K 1 = A 12 + B 1 K 2 =.36.33.5.1.1 A 21 + B 2 K 1 = Ā 22 + B 2 K 2 =.467 mają wszystkie elementny nieujemne. Układ ze sprzężeniem zwrotnym jest stabilny asymptotycznie gdyż jego wielomian charakterystyczny det I n1 z (A 11 + B 1 K 1 ) (A 12 + B 1 K 2 ) (A 21 + B 2 K 1 ) I n2 z (A 22 + B 2 K 2 ). = z 4 +.773z 3 +.173z 2 +.1z +.2 28

Rysunek 6: Wykres składowych wektora stanu układu po zastosowaniu sprzężenia zwrotnego od zmiennych stanu (Przykład 4) ma wszystkie współczynniki dodatnie. Wykresy zmiennych stanu po zastosowaniu sprzężenia zwrotnego od wektora stanu są pokazane na rysunku 6. 5 Przykłady zastosowań dwuwymiarowych układów niecałkowitego rzędu opisanych modelem Roessera Głównym zastosowaniem dwuwymiarowych układów opisanych modelami w przestrzeni stanu jest analiza zjawisk fizycznych opisanych równaniami różniczkowymi i różnicowymi cząstkowymi. W ogólnym przypadku zaproponowane przez autora pracy modele pozwalają na analizę zjawisk których równania różniczkowe cząstkowe mają postać = f u(t 1 t 2 ) x(t 1 t 2 ) C D α 1 t 1 x(t 1 t 2 ) C D α 2 C D α 1 t C 1 D α 2 t 2 x(t 1 t 2 ) C D α 2 y(t 1 t 2 ) = g x(t 1 t 2 ) u(t 1 t 2 ) t 2 C D α 1 t 2 x(t 1 t 2 ) t 1 x(t 1 t 2 )... (83) 29

gdzie x(t 1 t 2 ) jest wektorem o składowych zależnych od dwóch zmiennych t 1 i t 2 u(t 1 t 2 ) jest wektorem funkcji wymuszających y(t 1 t 2 ) jest wektorem wyjść α 1 α 2 są niecałkowitymi rzędami pochodnych Caputo odpowiednio względem zmiennych t 1 oraz t 2. f oraz g są pewnymi funkcjami wektorowymi. 5.1 Równanie dyfuzji niecałkowitego rzędu Weźmy pod uwagę równanie dyfuzji niecałkowitego rzędu w dwóch wymiarach 1 C D α x E(x y) + C D β y E(x y) + k 2 E(x y) = Φ(x y) (84) gdzie E(x y) jest funkcją opisującą potencjał elektryczny ciśnienie akustyczne wysokość fali; Φ(x y) jest funkcją wymuszającą k = 2π λ jest długością fali 1 < α 2 1 < λ β 2 są odpowiednio rzędami pochodnych niecałkowitych rzędów względem zmiennych przestrzennych x i y. gdzie Równanie (84) możemy przedstawić w postaci macierzowej 1 1 C D α x x h (x y) C D β y x v (x y) = k 2 1 1 x h (x y) x v (x y) x h (x y) E(x y) = 1 + x v (x y) + 1 u(x y) u(x y) (85a) (85b) x h (x y) = x v (x y) = E(x y) u(x y) = Φ(x y) (85c) Układ (85) jest przykładem singularnego dwuwymiarowego układu ciągłego niecałkowitego rzędu opisanego w przestrzeni stanu (16) gdzie t 1 = x t 2 = y są zmiennymi przestrzennymi; α 1 = α α 2 = β są niecałkowitymi rzędami układu a macierze 1 1 k 2 E = A = 1 1 1 B = C = 1 D =. (86) Para macierzy E A jest regularna gdyż p α + k 2 s β detg(p s) = 1 1 = pα + s β + k 2 (87) dla prawie wszystkich wartości p oraz s oraz dowolnej wartości k. Współczynnik przy najwyższych potęgach p i s w wielomianie (87) jest zerowy (d 11 = ) więc indeks układu (pary macierzy E A) ma przynajmniej jedną wartość nieskończoną. 3

Macierze tranzycji dla danych macierzy (86) możemy wyznaczyć na podstawie zależności (21) otrzymując przy czym T ij = T 1 ij T 2 ij T 1 1 = (88a) 1 = T i 1j+1 k 2 T i 1j ; dla i j < ; (88b) T 1 1 = 1 1 T 2 2 = 1 1 T 1 ij = dla i < oraz/lub j ; (88c) T 2 ij = dla i < oraz/lub j 1 (88d) (86) Z (88) wynika że indeksy modelu wynoszą µ 1 = 1 µ 2 =. Korzystając z Twierdzenia 1 otrzymujemy rozwiązanie równania stanu (85a) dla macierzy x h (x y) x v (x y) 2 + gdzie k=1 x iα+k 1 = ( 1 i= j= D (j+1)β T 1 ij M 2 1 y E (k 1) ( y) + Γ(iα + k) ( l= 2 y jβ+l 1 Dx (i+1)α E (l 1) (x ) + Γ(jβ + l) l=1 + D (i+1)α (j+1)β xy Φ(x y) + M 2 1 + + l= M 1 1 k= M 1 1 k= y (j+1)β+l Γ(j + 1)β + l + 1 D (i+1)α x M 2 1 l= M 1 1 k= x (i+1)α+k y (j+1)β+l Γ(j + 1)β + l + 1 x (i+1)α+k Γ(i + 1)α + k + 1 Γ(i + 1)α + k + 1 D (j+1)β y l Φ(x y) y l y= x (i+1)α+k y (j+1)β Γ(i + 1)α + k + 1Γ(j + 1)β + l + 1 l y l E(k 1) ( y) k x k E(l 1) (x ) k Φ(x y) x k k l Φ(x y) x k l y x= x=y= M 1 1 < (i + 1)α M 1 M 2 1 < (j + 1)β M 2 ; M 1 M 2 N. (9) y= x= ) ) (89) Korzystając z (16b) oraz (86) otrzymujemy E(x y) = 1 x h (t 1 t 2 ) x v (t 1 t 2 ). (91) 31

Wzory (91) oraz (89) są analitycznym rozwiązaniem równania dyfuzji niecałkowitego rzędu (84) dla dowolnych dopuszczalnych warunków brzegowych oraz wymuszenia Φ(x y). E (k) (x ) E (k) ( y) dla k = 1 W wyniku dyskretyzacji równania (84) korzystając z (43) otrzymujemy dyskretny dwuwymiarowy układ niecałkowitego rzędu (41) o macierzach E h α 1 h β 2 = A = A = B 1 = B = C = C = 1 przy czym h 1 h 2 są krokami dyskretyzacji. k 2 1 1 D = D = Dla macierzy (92) możemy otrzymać rozwiązanie równania stanu dla danych dopuszczalnych wymuszeń Φ ij dla i j Z + oraz dopuszczalnych warunków brzegowych E i dla i Z + oraz E j dla j Z + korzystając z Twierdzenia 4. (92) 5.2 Równania linii długiej niecałkowitego rzędu Weźmy pod uwagę równania linii długiej (równanie telegrafistów) niecałkowitego rzędu w czasie i przestrzeni 87 88 C D α x u(x t) = Ri(x t) + L C D β t i(x t) C D α x i(x t) = Gi(x t) + C C D β t u(x t) (93) gdzie u(x t) jest napięciem a i(x t) prądem w odległości x od początku linii w czasie t; R jest rezystancją jednostkową linii L jest indukcyjnością jednostkową linii G jest konduktancją a C pojemnością jednostkową odcinka linii; < α 1 oraz < β 1 są niecałkowitymi rzędami względem zmiennej przestrzennej x oraz czasu t. Elementarny odcinek linii długiej przedstawiony jest na Rysunku 7. Równania (93) możemy przedstawić w postaci macierzowej 1 L R 1 C C Dx α x h (x t) G x h (x t) C D β = (94a) t x v (x t) 1 1 x v (x t) 1 1 u(x t) 1 x h (x t) = (94b) i(x t) 1 x v (x t) 32

Rysunek 7: Schemat zastępczy elementarnego odcinka linii długiej gdzie x h (x t) = x v u(x t) (x t) =. (94c) i(x t) Układ (94) jest przykładem singularnego dwuwymiarowego układu ciągłego niecałkowitego rzędu opisanego w przestrzeni stanu modelem o strukturze Roessera (16) przy czym t 1 = x jest zmienną przestrzenną określającą odległość od początku linii t 2 = t jest zmienną określającą czas; α 1 = α jest niecałkowitym rzędem pochodnej względem zmiennej przestrzennej natomiast α 2 = β jest niecałkowitym rzędem pochodnej względem czasu a macierze 1 L 1 C E = B =O 4 1 C = A = R G 1 1 1 1 1 D = O 2 1. 1 (95) Para macierzy E A jest regularna gdyż detg(p s) =p 2α LCs 2β (GL + RC)s β GR (96) dla prawie wszystkich wartości p s oraz dowolnych parametrów linii długiej. Współczynnik przy najwyższych potęgach p i s w wielomianie (96) jest zerowy (d 22 = ) więc indeks układu (pary macierzy E A) ma przynajmniej jedną wartość nieskończoną. Macierze tranzycji dla danych macierzy (95) możemy wyznaczyć na podstawie zależności (21) otrzymując O 2 2 O n1 2 T 1 1 = (97a) O 2 2 I 2 33

T ij = L R Tij 1 Tij 2 C = L T G i 1j+1 R dla i j < przy czym T 1 1 = C I 2 I 2 C G L T 2 2 C = L T 1 ij = O 4 2 dla i < oraz/lub j ; T i 1j (97b) (97c) (95) T 2 ij = O 4 2 dla i < oraz/lub j 1 (97d) Z (97) wynika że indeksy modelu wynoszą µ 1 = 1 µ 2 =. Korzystając z Twierdzenia 1 otrzymujemy rozwiązanie równania stanu (94a) dla macierzy x h (x t) = x v (x t) { ( i= 1 x iα Γ(iα + 1) t jβ L + Γ(jβ + 1) C przy czym 1 j= D (j+1)β t T 1 ij M u( t) 2 1 t (j+1)β+l + i( t) Γ(j + 1)β + l + 1 l= } Dx (i+1)α u(x ) i(x ) l t l u( t) i( t) t= ) (98) M 2 1 < (j + 1)β M 2 ; M 2 N. (99) Korzystając z (16b) oraz (95) otrzymujemy u(x t) i(x t) = 1 1 x h (x t) x v (x t) (1) Wzory (1) oraz (98) są analitycznym rozwiązaniem równań linii długiej niecałkowitego rzędu (93) dla dowolnych parametrów R L C G linii niecałkowitych rzędów < α < 1 < β < 1 oraz dopuszczalnych warunków brzegowych u(x ) u( t) dla x > dla t >. i(x ) i( t) 34

W wyniku dyskretyzacji równania (93) korzystając z (43) otrzymujemy dyskretny dwuwymiarowy układ niecałkowitego rzędu (41) o macierzach E = E = h α 1 h β 2 h α 1 h β 2 R G A = A = 1 1 1 1 B = B =O 4 1 C 1 = C = D = D = O 2 1. 1 przy czym h 1 h 2 są krokami dyskretyzacji. (11) Dla macierzy (11) możemy otrzymać rozwiązanie równania stanu dla dopuszczalnych warunków brzegowych u i i i dla i Z + oraz u j i j j Z + korzystając z Twierdzenia 4. 6 Algorytmy komputerowe W tym rozdziale opisane zostaną ogólne zasady działania programów stworzonych w postaci m-plików środowiska MATLAB. Programy te pozwalają na symulację ciągłych i dyskretnych standardowych układów dwuwymiarowych niecałkowitego rzędu opisanych modelem Roessera. Ponadto stworzono program wyznaczający macierz sprzężenia zwrotnego od wektora stanu która czyni dwuwymiarowy układ dyskretny niecałkowitego rzędu stabilnym asymptotycznie układem dodatnim. Pliki z wszystkimi programami opisanymi w tym rozdziale znajdują się na załączonej do rozprawy płycie CD. Odpowiedź skokowa standardowego dwuwymiarowego układu ciągłego niecałkowitego rzędu Program step_frac_std_cont.m wyznacza wykresy odpowiedzi skokowej standardowych dwuwymiarowych układów niecałkowitego rzędu (29). Dla podanych wartości niecałkowitych rzędów α 1 α 2 oraz macierzy układu wyznaczany jest wykres odpowiedzi skokowej zgodnie ze wzorem (38). Ponadto wymagane jest podanie zakresów zmiennych t 1 oraz t 2 dla których wykres ma być wykreślony. Ostatnimi parametrami funkcji są liczby naturalne L 1 L 2 które stanowią górne ograniczenie sum w (38). Wynikiem działania programu są wykresy składowych wektora odpowiedzi dla wymuszenia w postaci dwuwymiarowego skoku jednostkowego (36) oraz zerowych warunków brzegowych (37). Wyznaczanie odpowiedzi standardowego dwuwymiarowego układu dyskretnego niecałkowitego rzędu 35

Program sim_frac_std_disc.m wyznacza odpowiedzi standardowych dwuwymiarowych układów dyskretnych niecałkowitego rzędu (58a) na dowolne wymuszenie u ij oraz dowolne warunki brzegowe (64). Użytkownik musi określić parametry modelu (macierze i niecałkowite rzędy różnic) oraz zdefiniować warunki brzegowe oraz wymuszenie dla analizowanego przypadku. Ponadto wymagane jest podanie zakresów zmiennych i oraz j dla których wykres ma być sporządzony. Ostatnimi parametrami funkcji są liczby naturalne L 1 L 2 które stanowią górne ograniczenie sum w (63). Wynikiem działania programu są wykresy składowych wektora odpowiedzi dla podanego wymuszenia oraz zdefiniowanych wcześniej warunków brzegowych (64). Stabilizacja standardowych dwuwymiarowych układów dyskretnych niecałkowitego rzędu Program pos_stab_frac.m ma za zadanie wyznaczenie macierzy sprzężenia zwrotnego K 1 K 2 od wektora stanu dla dwuwymiarowego standardowego układu niecałkowitego rzędu który jest niestabilny oraz/lub niedodatni. Układ ze sprzężeniem zwrotnym jest dodatnim stabilnym asymptotycznie układem dwuwymiarowym niecałkowitego rzędu. Działanie programu opiera się na warunkach Twierdzenia 8. Poszukiwanie macierzy D oraz Λ odbywa się poprzez rozwiązanie liniowych nierówności macierzowych (LMI) opisanych w pracy 53. Wynikiem działania programu jest wyświetlenie wartości macierzy wzmocnienia w torze sprzężenia zwrotnego. Ponadto otrzymujemy informacje pozwalające zweryfikować poprawność wyników. 7 Podsumowanie W pracy podjęto próbę bardzo ogólnego podejścia do zagadnienia dwuwymiarowych układów niecałkowitego rzędu. Pokazano że równania różniczkowe cząstkowe niecałkowitego rzędu opisujące analizowane obecnie w literaturze zjawiska fizyczne można przedstawić w postaci zaproponowanych przez autora modeli. Według najlepszej wiedzy autora ciągłe układy dwuwymiarowe niecałkowitego rzędu nie były dotychczas rozpatrywane. W niniejszej pracy rozpatrzono standardową i singularną wersję takich modeli. Podano rozwiązanie równań stanu i pokazano ich przydatność w analizie i modelowaniu zjawisk opisanych równaniami różniczkowymi cząstkowymi niecałkowitego rzędu. Znane z literatury modele dyskretne dwuwymiarowych układów niecałkowitego rzędu uzupełniono o model singularny. Wersja dyskretna tego modelu jest szczególnie przydatna gdyż przy obecnym stanie i tempie rozwoju sprzętu komputerowego często stosowana jest dyskretyzacja rozpatrywanych równań i ich analiza w dziedzinie zmiennych dyskretnych. Przeprowadzono analizę własności tego typu układów dotyczących szczególnie ich dodatniości i stabilności. 36

Do najważniejszych własnych osiągnięć prezentowanych w pracy autor zalicza: wprowadzenie pojęcia uogólnionego ciągłego układu dwuwymiarowego niecałkowitego rzędu opisanego modelem o strukturze Roessera wprowadzenie pojęcia uogólnionego dyskretnego układu dwuwymiarowego niecałkowitego rzędu opisanego modelem Roessera wyprowadzenie rozwiązań równań stanu zaproponowanych modeli uogólnienie klasycznego twierdzenia Cayley a-hamiltona dla standardowych układów 2D niecałkowitego rzędu opisanych modelem o strukturze Roessera podanie analitycznych warunków dodatniości i stabilności dwuwymiarowych układów dyskretnych niecałkowitego rzędu opracowanie komputerowego algorytmu sprawdzania kryteriów stabilności asymptotycznej oraz wyznaczania macierzy sprzężenia zwrotnego stabilizującego dodatni dwuwymiarowy układ dyskretny niecałkowitego rzędu opracowanie algorytmów wyznaczania rozwiązania stanu i odpowiedzi standardowych układów 2D niecałkowitego rzędu. Warto zauważyć że wprowadzenie operatorów niecałkowitego rzędu do obszaru układów dwuwymiarowych spowodowało że rozpatrywane problemy są dużo bardziej skomplikowane. Literatura dotycząca tematu jest w chwili obecnej bardzo uboga ale liczba publikowanych prac gwałtownie wzrasta. Wiąże się to głównie z rozpowszechnianiem się wiedzy na temat rachunku różniczkowego i różnicowego niecałkowitych rzędów a to wpływa na odkrywanie przydatności tego operatora matematycznego do modelowania rzeczywistych zjawisk z wielu obszarów badań. Operator różniczki i różnicy niecałkowitego rzędu wprowadza do układu pamięć stanów w jakich się on znajdował w przeszłości. Jest to bardzo ważne spostrzeżenie szczególnie że nowoczesne materiały polimerowe i kompozytowe mają własności wykazujące ten rodzaj pamięci. To pozwala przewidywać że stosowanie rachunku niecałkowitego rzędu znajdzie zastosowanie w takich przypadkach. Teoria układów dwuwymiarowych niecałkowitego rzędu jest dziedziną młodą i znaczna większość zagadnień nowoczesnej teorii sterowania dla tego typu układów jest nadal nierozwiązana. Do najbardziej obiecujących przyszłych kierunków badań zaliczyć można: zbadanie warunków analitycznych dodatniości stabilności asymptotycznej układów ciągłych 2D niecałkowitego rzędu analiza dwuwymiarowych układów ciągłych niecałkowitego rzędu opisanych modelami o strukturach podobnych do modeli Fornasiniego i Marchesiniego oraz modelu Kurka 37