Wielkopolska Liga Matematycza Z A D A N I A I Wielkopolska Liga Matematycza A1. Ciąg (a) liczb całkowitych dodatich spełia dla każdego całkowitego dodatiego waruki Wykazać, że ciąg te jest ściśle rosący. a 2 = 3a 1, a 2+1 = 3a + 1. A2. W czworokącie wypukłym ABCD spełioy jest waruek AB = BC + DA. Dwusiecze kątów ABC i DAB przeciają się w pukcie P. Udowodić, że CP = DP. A3. Niech będzie liczbą całkowitą dodatią. Trójkąt rówoboczy o boku rozcięto a t trójkątów rówoboczych o boku 1 oraz pewą liczbę rombów o boku 1 i kącie ostrym 60. Udowodić, że t. A4. Liczby a, b, c są całkowite dodatie, przy czym a 2 + b 2 = c 2. Dowieść, że c 2 + 2 ab jest całkowita i złożoa. 3 B1. Z kostek domia o wymiarach 2 1 ułożoo kwadrat. Udowodić, że z pewych dwóch kostkek ułożoy jest kwadrat o wymiarach 2 2. B2. Liczby m i są względie pierwsze. Wykazać, że rówaie a + b = c m posiada ieskończeie wiele rozwiązań w trójkach (a, b, c) liczb całkowitych dodatich. B3. Day jest trójmia kwadratowy T (x) = x 2 + 4x + 2. Dla liczby całkowitej dodatiej defiiujemy P (x) = T (T (... T (x)...)) (we wzorze T występuje razy). W zależości od wyzaczyć wszystkie liczby rzeczywiste x, spełiające rówaie P (x) = 0. B4. Na boku AC trójkąta ABC wybrao pukt Q. Pukt P jest środkiem odcika BC. Odciki AP i BQ przeciają się w pukcie T. Pukt R jest środkiem odcika AT, atomiast pukt S leży a odciku BT i spełia rówość BS = QT. Dowieść, że prosta P S jest rówoległa do prostej QR. C1. Wyzaczyć wszystkie liczby pierwsze p, dla których liczba p + 8 jest podziela przez p. (Symbol x ozacza ajwiększą liczbę całkowitą ie większą od x.) C2. W zależości od 2 wyzaczyć ajwiększą możliwą liczbę szachowych wież, którą moża w taki sposób ustawić a szachowicy o wymiarach, by spełioy był astępujący waruek: jeśli jeda z wież jest szachowaa przez dwie ie, to wszystkie trzy stoją a jedej lii. C3. Day jest trójkąt ABC. Okrąg o środku D jest styczy do odcika BC oraz do prostych AB i AC w puktach leżących poza trójkątem ABC. Wykazać, że prosta AD przechodzi przez środek okręgu opisaego a trójkącie BCD. C4. Liczby rzeczywiste dodatie a, b, c spełiają astępujące rówości: Dowieść, że max{a, b, c} 8. a + b + c = 17, a b c = 64.
II Wielkopolska Liga Matematycza A1. Najkrótsza przekąta dziewięciokąta foremego o boku a ma długość d. Udowodić, że jego ajdłuższa przekąta ma długość a + d. A2. Liczby całkowite dodatie a, b, c, d, e spełiają rówości a + b = c + d + e, a 2 + b 2 + c 2 = d 2 + e 2. Wykazać, że przyajmiej jeda z liczb a, b jest złożoa. A3. Mamy 60 żetoów, każdy o wartości 2, 3, 4, 5 lub 6 złotych. Wykazać, że moża wypłacić tymi żetoami kwotę 60 złotych, bez koieczości rozmiay. A4. Liczby dodatie a, b, c spełiają waruek a + b + c = 1. Dowieść, że zachodzi astępująca ierówość: a bc + b ca + c ab 2, o ile liczby występujące pod pierwiastkami są ieujeme. B1. Udowodić, że dowoly wielościa wypukły posiada parzystą liczbę ścia będących wielokątami o ieparzystej liczbie boków. B2. Day jest okrąg o 1 i jego cięciwa AB. Okrąg o 2 jest styczy wewętrzie do o 1 w pukcie C oraz do odcika AB w pukcie D. Wykazać, że CD jest dwusieczą kąta ACB. B3. Wielomia a x + a 1 x 1 +... + a 1 x + a 0 azywamy palidromiczym, jeżeli a 0 oraz a k = a k dla k = 0, 1,...,. Udowodić, że iloczy dwóch wielomiaów palidromiczych jest także wielomiaem palidromiczym. B4. Rozstrzygąć, czy istieją liczby całkowite dodatie m,, spełiające rówaie m m2 = (2 2 ) 2. C1. Fukcja f : R R spełia dla każdej liczby rzeczywistej x zależość f(x) = f(f(x)) + x. Udowodić, że fukcja f ma dokładie jedo miejsce zerowe. C2. Rozstrzygąć, czy istieje ciąg liczb całkowitych dodatich, spełiający astępujące własości: 1. Każda liczba całkowita dodatia występuje w tym ciągu dokładie raz. 2. Każdy wyraz, począwszy od drugiego, jest dzielikiem lub wielokrotością poprzediego wyrazu. C3. Pukt P leży wewątrz rówoległoboku ABCD. Wykazać, że jeśli P BA = P DA, to rówież P AB = P CB. C4. Płaszczyzę podzieloo a trójkąty rówobocze w te sposób, że w każdym wierzchołku (będziemy dalej azywać je węzłami) spotyka się sześć trójkątów. W każdym węźle zajduje się lampka, atomiast a każdym trójkącie jest włączik, który zmieia sta lampek zajdujących się w węzłach będących wierzchołkami tego trójkąta (zgaszoe zapalają się, a zapaloe gasą). Rozstrzygąć, czy zaczyając od sytuacji w której wszystkie lampki są zgaszoe, możemy doprowadzić to tego, by paliła się dokładie jeda lampka.
III Wielkopolska Liga Matematycza A1. Róże liczby rzeczywiste x, y, z spełiają waruek Udowodić, że (x + y)(y + z)(z + x) = 1. x 2 y = y 2 z = z 2 x. A2. Przez s() ozaczmy sumę cyfr zapisu dziesiętego liczby całkowitej 1. Wyzaczyć ajmiejszą oraz ajwiększą wartość wyrażeia s(2) s(). A3. Daa jest liczba całkowita 2 oraz ciąg 1 zaków miejszości i większości. Wykazać, że liczby 1, 2,..., moża tak wstawić między zaki, aby zachodzące ierówości były spełioe (a przykład dla = 5 i ciągu zaków (<, >, >, <) mamy 4 < 5 > 2 > 1 < 3). A4. Pukt T jest środkiem boku CD czworokąta wypukłego ABCD. Dowieść, że jeśli trójkąt ABT jest rówoboczy, to BC + DA AB 3. B1. Odciek AB jest dłuższą podstawą trapezu ABCD, w którym zachodzi rówość ACB+ CAD = 180. Udowodić, że AB AD = BC CD. B2. Fukcje f, g : N N spełiają dla każdej liczby aturalej astępujące waruki: Wykazać, że fukcja g jest okresowa. g() = f(f()) = f( + 1), f() + 1. B3. Każdy z 2 podzbiorów zbioru {1, 2,..., } wypisao a jedej z kart poumerowaych od 1 do. Dowieść, że dla pewego k a k-tej karcie zajduje się zbiór zawierający k oraz zbiór, który ie zawiera k. B4. Rozstrzygąć, czy istieje ściśle rosący ciąg liczb całkowitych dodatich (a 1, a 2,...), który spełia astępujące waruki a a 1 + a 2 +... + a 1, a < a 1 + a 2 +... + a 1 dla wszystkich 4. C1. Udowodić, że rówaie a a + b b = c c ie posiada rozwiązań w liczbach całkowitych dodatich a, b, c. C2. W czworokącie wypukłym ABCD zachodzą astępujące związki: ABD = 2 ACD, ADB = 2 ACB. Wykazać, że AC jest dwusieczą kąta BAD. C3. W turieju szachowym każdy gracz rozegrał z każdym partię, zakończoą wygraą, przegraą bądź remisem. Okazało się, że dla dowolych graczy A, B, C jeśli A wygrał z B i B wygrał z C, to C wygrał z A. Dowieść, że jeśli gracz A i wygrał z A i+1 dla i = 1, 2,..., 1 oraz gracz A wygrał z A 1, to jest liczbą podzielą przez 3. C4. Wielomia P o współczyikach rzeczywistych ma stopień. Dowieść, że fukcja jest stała. f(x) = ( ) P (x) 0 ( ) P (x + 1) + 1 ( ) ( ) P (x + 2)... + ( 1) P (x + ) 2
IV Wielkopolska Liga Matematycza A1. Rozstrzygąć, czy istieje liczba aturala miejsza od iloczyu swoich cyfr w zapisie dziesiętym. A2. Liczby a, b, c, d są całkowite dodatie i róże. Udowodić, że przyajmiej dwie spośród liczb są większe od ajmiejszej z liczb a, b, c, d. ab cd, ac bd, ad bc A3. Niech będzie liczbą całkowitą dodatią oraz iech A {1, 2, 3,..., 3} będzie zbiorem k-elemetowym. Każdy podzbiór zbioru A ma sumę elemetów różą od k. W zależości od wyzaczyć ajwiększą liczbę k, dla której jest to możliwe. A4. Day jest trójkąt ostrokąty ABC. Wykazać, że istieje pukt P, leżący a tej samej płaszczyźie co trójkąt ABC, dla którego zachodzą rówości AB 2 CP 2 = BC 2 AP 2 = CA 2 BP 2. B1. W pięciokącie wypukłym ABCDE spełioe są rówości Udowodić, że AB = BC. AEB = BEC = ADB = BDC. B2. Liczby dodatie a, b, c spełiają rówość a + b + c = 1. Wykazać, że 3a 1 1 a + 3b 1 2 1 b + 3c 1 0. 2 1 c2 B3. Na płaszczyźie leży 3 puktów. Wszystkie odciki o końcach w tych puktach mają róże długości. Wypiszmy te długości w porządku malejącym: d 1 > d 2 > d 3 >.... Wykazać, że d 1 d + d 1. B4. Niech a 2 i 1 będą liczbami całkowitymi. Dowieść, że jeśli liczba a 2 + a + 1 jest pierwsza, to jest potęgą trójki o wykładiku całkowitym ieujemym. C1. Dae są liczby całkowite a > b > 0 oraz taka liczba pierwsza p > 3, że p 2 jest dzielikiem a 3 b 3. Udowodić, że p < a 3. C2. Pukt I jest środkiem okręgu wpisaego w trójkąt ABC. Prosta prostopadła do CI, przechodząca przez pukt I, przecia odciki AC i BC w puktach odpowiedio P i Q. Wykazać, że AP + BQ < AB. C3. W zależości od liczby aturalej 2 wyzaczyć liczbę ciągów (x 1, x 2,..., x ) liczb rzeczywistych, spełiających układ rówań x 2 1 = 2x 1 x 2 + 1, x 2 2 = 2x 2 x 3 + 1,... x 2 1 = 2x 1 x + 1, x 2 = 2x x 1 + 1. C4. Każdej parze uporządkowaej (x, y) elemetów zbioru -elemetowego A przyporządkowujemy F (x, y) A, przy czym dla wszystkich x, y A zachodzi rówość F (F (x, y), F (y, x)) = F (F (y, x), F (x, y)). Dowieść, że istieje przyajmiej 7/3 uporządkowaych czwórek (a, b, c, d) elemetów zbioru A, dla których jedocześie zachodzą rówości F (a, b) = F (c, d) i F (b, a) = F (d, c).
V Wielkopolska Liga Matematycza A1. Rozwiązać rówaie a + b = a 2 ab + b 2 w liczbach całkowitych a i b. A2. Day jest trójkąt ABC. Pukty P, Q, R leżą a odcikach odpowiedio BC, CA, AB, przy czym AP jest dwusieczą kąta BAC oraz BP R = CP Q = BAC. Wykazać, że trójkąty BP R i CP Q są przystające. A3. W zależości od 2 wyzaczyć liczbę rozwiązań poiższego układu w liczbach rzeczywistych: x 1 x 2 = x 1 + x 2,. x 1 x = x 1 + x, x x 1 = x + x 1. A4. Dwusiecze kątów A i B trójkąta ABC przeciają odciki BC i CA w puktach odpowiedio P i Q. Wykazać, że jeżeli symetrale odcików AP i BQ przeciają się a odciku AB, to AB 2 = BC CA. A5. Na tablicy apisao pewie skończoy ciąg o wyrazach w zbiorze {1, 2, 3}. Liczba jedyek a miejscach parzystych jest taka sama, jak a ieparzystych; aalogiczie dla dwójek i trójek. Możemy: 1. Zmazywać dwa koleje wyrazy, jeśli są oe rówe; 2. Jeśli trzy koleje wyrazy x, y, z są róże, to moża je zastąpić przez z, y, x. Dowieść, że stosując te operacje, możemy całkowicie wymazać wyjściowy ciąg. B1. Czworokąt ABCD jest wypukły. Pukty P oraz Q są środkami odcików odpowiedio CD i AB. Wykazać, że jeśli AP CQ i BP DQ, to czworokąt ABCD jest rówoległobokiem. B2. Wykazać, że liczba 111 }{{... 1} 222 }{{... 2} jest iloczyem pewych dwóch kolejych liczb aturalych. jedyek dwójek B3. Ustalmy liczbę aturalą. Niech A ozacza zbiór puktów płaszczyzy (x, y) różych od O = (0, 0), o współrzędych x i y całkowitych, spełiających waruki x i y. W zależości od zaleźć ajmiejszą liczbę m o astępującej własości: Każdy m-elemetowy podzbiór zbioru A zawiera takie pukty P i Q, że kąt P OQ jest prosty. B4. Dowieść, że jeśli a, b, c są długościami boków pewego trójkąta, to prawdziwa jest ierówość a 3 + b 3 + c 3 + 3abc a 2 b + ab 2 + b 2 c + bc 2 + c 2 a + ca 2. B5. Wyzaczyć wszystkie iestałe wielomiay P o współczyikach całkowitych, spełiające waruek: Dla każdej liczby całkowitej dodatiej co ajwyżej jeda z liczb P (1), P (2),..., P (2 1) dzieli się przez. C1. Wyzaczyć wszystkie fukcje f : R R, spełiające dla każdego x R waruek xf(x) + f( x) = 1. C2. W pewym kraju każde dwa spośród 3 miast są połączoe drogą jedokierukową, ale z każdego miasta moża dojechać do dowolego iego (iekoieczie bezpośredio). Nazwijmy trójkątem takie trzy miasta A, B, C, że istieją bezpośredie drogi z A do B, z B do C i z C do A. Wykazać, że każde miasto ależy do pewego trójkąta. C3. Liczby aturale a i b są dzielikami. Wykazać, że jeśli liczba + jest podziela przez a i b, to liczba a b jest podziela przez (NWW(a,b))2. NWD(a,b) C4. Wysokość opuszczoa a bok BC trójkąta ostrokątego ABC ma długość rówą średiej arytmetyczej długości jego wszystkich boków. Okręgi o 1 i o 2 są stycze zewętrzie i mają jedakowe promieie r. Poadto okrąg o 1 jest styczy do odcików AB i BC, atomiast okrąg o 2 jest styczy do odcików BC i CA. Dowieść, że BC = 5r. C5. Ciąg (a) zdefiioway jest astępująco: a 1 = 1, a 1 2 k+1 = 1+a k a 2 k dla wszystkich 1. dla k 1. Dowieść, że a 1 a 2... a < 1 2
VI Wielkopolska Liga Matematycza A1. Każdemu wierzchołkowi dwudziestościau foremego przypisao jedą liczbę ze zbioru {0, 1,..., 6}. Na każdej ściaie zapisao sumę liczb przypisaych jej wierzchołkom. Udowodić, że a pewych dwóch ściaach zapisao taką samą liczbę. A2. Day jest trapez ABCD o podstawach AB i CD. Dwusiecze kątów ABC i BCD przeciają się w pukcie P leżącym a odciku AD. Wykazać, że P jest środkiem odcika AD. A3. Niech x 1, x 2,..., x k będą ieujeme oraz s k = x 1+x 2 +...+x k dla k = 1, 2,...,. Wykazać, że k (s 1 + 1)(s 2 + 1)... (s + 1) (x 1 + 1)(x 2 + 1)... (x + 1). A4. Niech p > 2 będzie liczbą pierwszą, która ie jest dzielikiem żadej z liczb całkowitych a, b. Liczby a 2 + b 2 i a 3 + b 3 dają resztę 1 z dzieleia przez p. Dowieść, że a + b + 2 dzieli się przez p. A5. Zaleźć wszystkie liczby aturale, dla których istieje taki wielomia -tego stopia P (x) o współczyikach rzeczywistych, że wielomia Q(x) = P (x 2 + 1) jest podziely przez P (x). B1. W czworokącie ABCD kąty przy wierzchołkach B i C są proste. Pukt P leży a odciku BC. Rozstrzygąć, czy jest możliwe, by trójkąty ABP, CDP i DAP miały jedakowe pola. B2. Niech k i będą liczbami całkowitymi dodatimi spełiającymi waruek k k 2. Udowodić, że wśród liczb /i dla i = k, k + 1,..., 2k jest przyajmiej jeda liczba ieparzysta. B3. Rozstrzygąć, czy istieje taki ciąg (a 1, a 2,...) liczb wymierych dodatich, że każda liczba wymiera dodatia występuje w im dokładie raz, a poadto a jest liczbą aturalą dla wszystkich 1. B4. Wyróżioo k spośród 2 podzbiorów zbioru {1, 2,..., }, przy czym k < 2. Dla każdych dwóch wyróżioych podzbiorów A i B, podzbiory A B i A \ B rówież są wyróżioe. W zależości od wyzaczyć ajwiększą liczbę k, dla której powyższa sytuacja jest możliwa. B5. Day jest czworościa ABCD. Ozaczmy przez I środek okręgu wpisaego w trójkąt ABC. Pukt K leży a krawędzi AD, przy czym AK = AB+BC+CA. Pukt L jest puktem przecięcia prostej AI z bokiem KD BC BC. Odciki KL i DI przeciają się w pukcie P. Dowieść, że IP = DP. C1. Niech p 1, p 2,..., p będą różymi liczbami pierwszymi i iech 1 p 1 + 1 p 2 +... + 1 że ułamek zajdujący się po prawej stroie tej rówości jest ieskracaly. p = a p 1 p 2...p. Udowodić, C2. Na płaszczyźie, lecz ie a jedej prostej, leżą odciki AB i CD o jedakowej długości. Wykazać, że istieje taki pukt P, że trójkąty ABP i CDP są przystające. C3. W zależości od 2 wyzaczyć ajwiększą liczbę rzeczywistą c o astępującej własości: Jeśli ciągi liczb rzeczywistych dodatich (x 1,..., x ) i (y 1,..., y ) mają takie same wyrazy (choć iekoieczie w tej samej kolejości), to x 1 y 1 + y 2 + x 2 y 2 + y 3 +... + x 1 y 1 + y + x y + y 1 c. C4. Na płaszczyźie zazaczoo 2 puktów, żade trzy ie leżą a jedej prostej oraz odległości pomiędzy każdymi dwoma z ich są róże. Nazwijmy odciek AB dziwym, jeśli pukt B jest położoy ajbliżej puktu A ze wszystkich pozostałych zazaczoych puktów, a pukt A jest położoy ajdalej od puktu B ze wszystkich zazaczoych puktów. W zależości od wyzaczyć ajwiększą możliwą liczbę dziwych odcików. C5. Wyzaczyć wszystkie liczby całkowite dodatie, posiadające dzielik d > 2, spełiający waruek NWD( + 1, d 2) > + 1.
VII Wielkopolska Liga Matematycza A1. Rozwiązać układ rówań x y = z 7, y z = x 7, z x = y 7 w liczbach rzeczywistych x, y, z. A2. Liczby a i b są całkowite dodatie, poadto a 3 + b 3 = p dla pewej liczby pierwszej p i liczby aturalej. Udowodić, że p = 2 lub p = 3. A3. Nazwijmy grubym prostokąt o bokach x i y, spełiających waruek 1 x < y < 2x. Wyzaczyć wszystkie 2 liczby aturale, dla których z kafelków o wymiarach 1 1, 1 2,..., 1 moża ułożyć gruby prostokąt, przy czym każdy z tych kafelków powieie być użyty dokładie jede raz. A4. Rozstrzygąć, czy istieje taki ciąg (a 1, a 2,...) liczb ieujemych, że dla wszystkich 2 zachodzą ierówości a +1 < a oraz s +1 > s, gdzie s jest średią arytmetyczą początkowych wyrazów ciągu (a). A5. W pięciokącie wypukłym ABCDE zachodzą astępujące rówości: Wyzaczyć miary kątów tego pięciokąta. AB = BC = CD, AE = EB = BD, AC = CE = ED. B1. Niech A 1, B 1, C 1 będą środkami boków trójkąta ABC, leżących aprzeciw wierzchołków odpowiedio A, B, C. Dowieść, że z odcików długości AA 1, BB 1, CC 1 moża zbudować trójkąt. B2. Na kole (z brzegiem) o promieiu 1 zajduje się pchła. Wyzaczyć wszystkie liczby dodatie d, dla których pchła potrafi dostać się z każdego puktu koła a każdy, wykoując pewą liczbę skoków o długości rówej d i ie opuszczając przy tym koła. B3. Zaleźć wszystkie pary liczb aturalych (m, ), dla których m 2 m 4 + m +. B4. W rówoległoboku ABCD kąt przy wierzchołku A ma miarę α < 60. Pukt P D spełia waruek P AB = P CB = α. Wykazać, że AP B = CP D. B5. Niech x 1, x 2,..., x będą liczbami rzeczywistymi, przy czym 0 x i 1 dla i = 1, 2,...,. Połóżmy x 0 = x i x +1 = x 1 oraz y i = x i+x i 1 xi+x i+1 dla i = 1, 2,...,. Dowieść, że 2 2 8y + 4 11x, gdzie x = x 1+x 2 +...+x i y = y 1+y 2 +...+y. C1. Niech a, k, l 2 będą liczbami aturalymi. Udowodić, że liczby M = 1 + a k + a 2k +... + a (l 1)k i N = 1 + a l + a 2l +... + a (k 1)l posiadają wspóly dzielik większy od 1. C2. Wykazać, że dla 2 wszystkie współczyiki wielomiau ( P (x) = x + 1 ) ( x + 1 ) ( x + 1 1 2 3 są miejsze od. )... ( x + 1 ) C3. W trójkącie ostrokątym ABC kąt przy wierzchołku A ma miarę większą iż 45. Pukty K i L leżą odpowiedio a odcikach AB i AC, przy czym zachodzi rówość AK = AL. Udowodić, że AB 2 + AC 2 < (BL + CK) 2. C4. Dla ustaloej liczby rzeczywistej c > 0 i liczby aturalej a 1 1 określamy astępujący ciąg (a 1, a 2,...): dla > 1 liczba a jest ajmiejszą wielokrotością ie miejszą iż ca 1. Wyzaczyć wszystkie takie c > 0, że iezależie od wartości a 1, dla pewego m zachodzi rówość a m = m. C5. Wszystkie ściay pewego wielościau wypukłego są trójkątami. Poadto w każdym jego wierzchołku, za wyjątkiem dokładie dwóch, spotyka się parzysta liczba ścia. Dowieść, że te dwa wyjątkowe wierzchołki ie są końcami jedej krawędzi.
VIII Wielkopolska Liga Matematycza A1. Rozwiązać rówaie! + 2 = m 3 w liczbach całkowitych dodatich m,. A2. Day jest trójkąt ABC. Pukt D leży a odciku BC, a pukt E a odciku AD, przy czym spełioe są rówości AC = BC = AD oraz BD = ED. Udowodić, że ABE + 2 DBE = 90. A3. Wykazać, że dla liczb rzeczywistych x, y, z 1, spełiających waruek xyz = 1 zachodzi ierówość 2 2 + 2 + 2 x + y + z + 3. x y z A4. W trójkącie różoboczym ABC kąt ACB ma miarę 60. Pukty P A i Q B leżą a okręgu opisaym a trójkącie ABC oraz spełiają zależości AP BC i BQ AC. Wykazać, że AP = BQ. A5. W zależości od liczby aturalej 2 wyzaczyć ajwiększą liczbę k o astępującej własości: Moża wybrać k takich podzbiorów zbioru {1, 2,..., }, że każde dwa róże wybrae podzbiory mają co ajwyżej jede elemet wspóly. B1. Prostopadłościa P o wymiarach a b c złożoy jest z abc sześciaików o wymiarach 1 1 1. Dwóch graczy wbija a zmiaę igły w P, rówolegle do wybraej krawędzi, przebijając tym samym a, b lub c sześciaików. Żade sześciaik ie może być przebity dwa razy. Przegrywa gracz, który jako pierwszy ie może wbić igły zgodie z podaymi prawidłami. Wyzaczyć wszystkie trójki (a, b, c), dla których rozpoczyający grę posiada strategię zapewiającą mu wygraą iezależie od tego, co zrobi przeciwik. B2. Róże liczby aturale a, b, d spełiają waruki: d = NWD(a, b) oraz d + 1 = NWD(a + 1, b + 1). Udowodić, że d < a b. B3. Day jest trójkąt ABC oraz takie pukty D, E, F, że pukt C jest środkiem odcika BD, pukt A jest środkiem odcika CE oraz pukt B jest środkiem odcika AF. Udowodić, że środki ciężkości trójkątów ABC i DEF się pokrywają. B4. Na tablicy apisao 1 liczb całkowitych dodatich miejszych od 2 i iekoieczie różych. Następie, dopóki było to możliwe, wykoywao operację polegającą a zmazaiu dwóch zapisaych liczb a, b > 1 i dopisaiu liczby ab a+b. Wykazać, że a tablicy pozostała przyajmiej jeda jedyka. B5. Niech p 1, p 2,..., p k będą różymi liczbami pierwszymi, miejszymi od liczby aturalej. Liczba przy dzieleiu przez p 1, p 2,..., p k daje iezerowe reszty odpowiedio r 1, r 2,..., r k. Połóżmy p = mi{p 1, p 2,..., p k } oraz r = max{r 1, r 2,..., r k }. Dowieść, że r > p k. C1. Day jest wielomia P o współczyikach rzeczywistych. Każda liczba całkowita dodatia występuje w ciągu P (1), P (2), P (3),... przyajmiej raz. Udowodić, że stopień wielomiau P jest rówy 1. C2. Wyzaczyć wszystkie liczby pierwsze p o astępującej własości: w rozwiięciu dziesiętym ułamka 1 p a p-tym miejscu po przeciku zajduje się cyfra zero. C3. Kwadrat o wymiarach podzieloo a 2 kwadratów jedostkowych. Każdy odciek będący bokiem któregokolwiek z kwadratów 1 1 pomalowao a biało lub czaro. Okazało się, że każdy kwadrat jedostkowy ma dokładie dwa boki białe i dwa czare. Udowodić, że liczba białych odcików jedostkowych a brzegu kwadratu jest parzysta. C4. Przekąte czworokąta ABCD wpisaego w okrąg o środku O przeciają się w pukcie P. Okręgi opisae a trójkątach ABP i CDP przeciają się w pukcie E P, a okręgi opisae a trójkątach BCP i DAP w pukcie F P. Wykazać, że pukty E, F, O, P leżą a jedym okręgu. C5. Fukcja f określoa dla argumetów rzeczywistych dodatich i przyjmująca wartości rzeczywiste spełia dla każdego x > 0 rówość f(x) 2 = 1 + (x 1)f(x + 1). Dowieść, że jeśli f(x) > 0 dla wszystkich x 1, to f(x) x dla wszystkich x 1.
IX Wielkopolska Liga Matematycza A1. Ozaczmy przez S(k) sumę cyfr liczby aturalej k w zapisie dziesiętym. Wyzaczyć wszystkie liczby aturale 1, które spełiają rówość S(11 ) = 2. A2. Dowieść, że dla każdego aturalego 1 zachodzi ierówość 1 + 1 +1 + 1 +2 +... + 1 3 > 1. A3. Trójkąt ABC wpisay jest w okrąg o środku O i promieiu R. Proste AC i BC przeciają symetralą odcika AB w puktach odpowiedio P i Q. Wykazać, że R = OP OQ. A4. Fukcja f : N + N + spełia dla każdej liczby aturalej > 0 rówość f(f(... f( )...)) =. }{{} Wykazać, że dla ieskończeie wielu zachodzi podzielość f(). A5. Ustalmy liczbę aturalą 2. Będziemy dalej rozważać ciągi -elemetowe, z których każdy zawiera wszystkie liczby aturale od 1 do, w pewej kolejości. Nazwijmy dwa takie ciągi (a 1, a 2,..., a ) i (b 1, b 2,..., b ) podobymi, jeśli a i = b i dla przyajmiej jedego i {1, 2,..., }. W zależości od wyzaczyć ajwiększą liczbę k, dla której prawdziwe jest zdaie: Istieje k różych ciągów, z których każde dwa są podobe. B1. Trójkąt ABC jest prostokąty. Pukt C jest spodkiem wysokości tego trójkąta, opuszczoej a przeciwprostokątą AB. Pukty K i L leżą odpowiedio a odcikach AC i BC, przy czym CK = CL = CC. Proste AC i LC przeciają się w pukcie P, a proste BC i KC w Q. Dowieść, że AP + BQ = AB. B2. Na okręgu o środku O pomalowao a czerwoo pewą liczbę rozłączych łuków wraz z końcami. Łącza długość wszystkich czerwoych łuków jest większa iż połowa długości okręgu. Dowieść, że jeśli 0 < α 180, to istieją takie czerwoe pukty A i B, że AOB = α. B3. Liczba aturala 1 jest ieparzysta. Dla k {1, 2,..., } iech a k będzie liczbą aturalą, dla której zachodzą ierówości 2 a k 1 k < 2a k. Dowieść, że a1 + a 3 + a 5 +... + a =. B4. Pięciokąt ABCDE jest wypukły i spełia waruki AB CE, BC DA, CD EB, DE AC. Wykazać, że EA BD. B5. W ciągu (a 1, a 2, a 3,..., a 4 ) występują liczby 1 i 1, każda z ich po 2 razy. Wyzaczyć ajwiększą możliwą wartość wyrażeia a1 a 2 a 3 + a 2 a 3 a 4 + a 3 a 4 a 5 +... + a 4 2 a 4 1 a 4 + a 4 1 a 4 a 1 + a 4 a 1 a 2. C1. Niech 3 będzie liczbą aturalą. Dowieść, że wśród dowolie wybraych 3 puktów płaszczyzy o obu współrzędych ze zbioru {1, 2,..., } moża wskazać takie cztery róże pukty A, B, C i D, że AB = CD. C2. Trzy cięciwy pewego okręgu przeciają się w pukcie P różym od jego środka O, każde dwie pod kątem 60. Dowieść, że środki tych cięciw są wierzchołkami trójkąta rówoboczego. C3. Niech P (x) = x + a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a 1 x + a 0 będzie wielomiaem o współczyikach rzeczywistych oraz iech Q(x) = P (P (x)). Udowodić, że jeśli P posiada pierwiastek rzeczywisty dodati, to Q rówież posiada pierwiastek rzeczywisty dodati. C4. Okrąg o jest częścią wspólą sfer s 1 i s 2. Trzy róże pukty A, B i C leżą a okręgu o, a pukt P leży a zewątrz sfer s 1 i s 2. Prosta P A przecia sfery s 1 i s 2 w puktach odpowiedio A 1 A i A 2 A. Prosta P B przecia sfery s 1 i s 2 w puktach odpowiedio B 1 B i B 2 B. Prosta P C przecia sfery s 1 i s 2 w puktach odpowiedio C 1 C i C 2 C. Dowieść, że płaszczyzy A 1 B 1 C 1 i A 2 B 2 C 2 są rówoległe. C5. Niech d(k) ozacza ilość dzielików liczby aturalej k. Ustalmy liczbę rzeczywistą a > 1. Dowieść, że d(1) a 1 + d(2) a 2 + d(3) a 3 dla wszystkich aturalych 1. +... + d() a < 1 a 1 1 + 1 a 2 1 + 1 a 3 1 +... + 1 a 1