Geometria mas. Bartłomiej Bzdęga. 27 października 2018 r. Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu

Transkrypt

1 Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu 27 października 2018 r.

2 Zasada dźwigni dwustronnej r1 r2 A 1 (m 1 ) S A 2 (m 2 ) x 1 x 2 x m 1 x 1 +m 2 x 2 m 1 +m 2 m 1 r1 + m 2 r2 = 0 m 1 m 2 = r 2 r 1

3 Więcej mas i współrzędnych S środek masy (barycentrum) układu punktów A 1,..., A n z masami odpowiednio m 1,..., m n. A 3 (m 3 ) S = ( ) m1 x m nx n m m n, m 1y m ny n m m n r r2 A 2 (m 2 ) r1 rn A 1 (m 1 ) A n (m n ) m 1 r1 + m 2 r m n rn = 0

4 Dziel i zwyciężaj S1(M1) S S2(M2) Twierdzenie. Podzielmy układ mas punktowych na dwa (lub więcej) podukładów. Każdy podukład zastępujemy jego środkiem masy, któremu przypisujemy całą masę tego podukładu. Po dokonaniu takiego zastąpienia środek masy całego układu nie ulegnie zmianie.

5 Zastosowania Oznaczenia odnoszą się do rysunku z poprzedniego slajdu. Aby dowieść współliniowości trzech punktów, wystarczy znaleźć układ mas ze środkiem masy w jednym z tych punktów (S) i podzielić go na dwa podukłady, których środkami są pozostałe punkty (S 1 i S 2 ). W sytuacji opisanej powyżej można wyznaczyć proporcję: SS 1 SS 2 = M 2 M 1. Układ można podzielić na podukłady o środkach S 1 i S 2 na wiele sposobów, ale każda tak otrzymana prosta S 1 S 2 przechodzi przez punkt S. To się przydaje do dowodzenia współpękowości.

6 Odrobina klasyki Środkowe trójkąta przecinają się w jednym punkcie i dzielą w stosunku 2 : 1. Środki boków czworokąta są wierzchołkami pewnego równoległoboku. W czworościanie odcinki łączące środki przeciwległych krawędzi przecinają się w połowie, wszystkie trzy w jednym punkcie. W tym samym punkcie przecinają się środkowe czworościanu (czyli odcinki łączące wierzchołki ze środkami ciężkości przeciwległych ścian) i dzielą się w stosunku 3 : 1. Jeśli wielokąt posiada osie symetrii, to istnieje punkt wspólny dla wszystkich osi. Przypiszmy wierzchołkom trójkąta masy proporcjonalne do długości przeciwległych boków. Środkiem masy takiego układu jest środek okręgu wpisanego w trójkąt. Analogicznie jest dla czworościanu i pól jego ścian.

7 Przykład: twierdzenie Cevy i van Aubela C(mC ) b1 Q a2 P b2 S a1 A(mA) c1 R c2 B(mB) S środek masy punktów A, B, C z dowolnie dobranymi masami. Twierdzenie Cevy: a 1 b 1 c 1 = a 2 b 2 c 2. Twierdzenie van Aubela: CS SR = a 2 a 1 + b 1 b 2.

8 Zadania We wszystkich zadaniach kluczowe jest przypisanie występującym w nich punktom odpowiednich mas. Należy to zrobić w ten sposób, by móc skorzystać z wymienionych wcześniej zastosowań. Odrobina klasyki też bywa pożyteczna.

9 Zadania 1 Punkty P, Q i R leżą odpowiednio na bokach BC, CA i AB trójkąta ABC, przy czym AQ = BP = 1, AR = CQ = 2, BR = CP = 3. W jakim stosunku dzielą się odcinki PQ i CR? 2 Na bokach trójkąta ABC, po jego zewnętrznej stronie, zbudowano trójkąty BCP, CAQ i ABR, których środkami ciężkości są X, Y i Z. Dowieść, że środki ciężkości trójkątów ABC, PQR i XYZ leżą na jednej prostej. 3 Punkt P leży we wnętrzu sześciokąta wypukłego ABCDEF. Punkty S 1, S 2, S 3, S 4, S 5 i S 6 są środkami ciężkości trójkątów odpowiednio ABP, BCP, CDP, DEP, EFP i FAP. Wykazać, że środki ciężkości trójkątów S 1 S 3 S 5 i S 2 S 4 S 6 pokrywają się.

10 Zadania 4 Dany jest czworościan ABCD. Oznaczmy przez I środek okręgu wpisanego w trójkąt ABC. Punkt K leży na krawędzi AD, przy czym AK KD AB + BC + CA =. BC Punkt L jest punktem przecięcia prostej AI z bokiem BC. Odcinki KL i DI przecinają się w punkcie P. Dowieść, że IP = DP. 5 W czworościanie ABCD pola ścian ABD, BCD i CAD są równe. Wykazać, że wierzchołek D, środek sfery wpisanej oraz środek ciężkości tego czworościanu leżą na jednej prostej.