Zgrubne Grafy i Kompleksy Symplicjalne

Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Karol Strzałkowski Nr albumu: 262973 Zgrubne Grafy i Kompleksy Symplicalne Praca licencacka na kierunku MATEMATYKA Praca wykonana pod kierunkiem prof. Sławomira Nowaka Ma 2010

Oświadczenie kieruącego pracą Potwierdzam, że niniesza praca została przygotowana pod moim kierunkiem i kwalifikue się do przedstawienia e w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego. Data Podpis kieruącego pracą Oświadczenie autora (autorów) pracy Świadom odpowiedzialności prawne oświadczam, że niniesza praca dyplomowa została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązuącymi przepisami. Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześnie przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższe uczelni. Oświadczam ponadto, że niniesza wersa pracy est identyczna z załączoną wersą elektroniczną. Data Podpis autora (autorów) pracy

Streszczenie W poniższe pracy definiuę oraz opisuę podstawowe własności grafów zgrubnych i zgrubnych kompleksów symplicalnych. W szczególności konstruuę graf zgrubny dla dowolne przestrzeni metryczne oraz dowodzę równoważności grafów zgrubnych odpowiadaących zgrubnie równoważnym przestrzeniom metrycznym. Przedstawiam też analogiczne twierdzenia dla kompleksów zgrubnych, oraz opisuę własności wymiaru asymptotycznego i zgrubne n-spóności w terminach kompleksów zgrubnych. Słowa kluczowe graf, kompleks symplicalny, spóność, wymiar asymptotyczny, zgrubna geometria 11.1 Matematyka Dziedzina pracy (kody wg programu Socrates-Erasmus) 57-xx Mainfolds and cell complexes 57M-xx Low-dimensional topology 57M15 Relations with graph theory 54-xx General topology 54F-xx Special properties 54F45 Dimension theory Klasyfikaca tematyczna Coarse Graphs and Simplicial Complexes Tytuł pracy w ęzyku angielskim

Spis treści Wprowadzenie..................................... 5 1. Podstawowe poęcia................................ 7 1.1. Zgrubne przestrzenie metryczne........................ 7 1.2. Grafy...................................... 8 1.3. Kompleksy symplicalne............................ 9 2. Grafy zgrubne................................... 13 2.1. Grafy Ripsa................................... 13 2.2. Zgrubne grafy, zgrubne grafy przestrzeni metrycznych........... 14 2.3. Morfizmy grafów zgrubnych.......................... 17 3. Zgrubne kompleksy symplicalne....................... 25 3.1. Kompleksy zgrubne............................... 25 3.2. Wymiar asymptotyczny kompleksów zgrubnych............... 31 3.3. Spóność kompleksów zgrubnych i zgrubna geodezyność.......... 33 3.4. Zgrubna ednospóność............................. 37 3.5. Zgrubna spóność w wyższych wymiarach.................. 40 Bibliografia....................................... 43 3

Wprowadzenie Zgrubna geometria est dziedziną stosunkowo młodą w matematyce. Zastosowanie zaś do e badania nieskończonych systemów grafów lub kompleksów symplicalnych est pomysłem eszcze nowszym. W poniższe pracy postaram się przedstawić podstawowe konstrukce zgrubnych grafów i kompleksów symplicalnych. Spróbuę też pokazać ich powiązania z przestrzeniami metrycznymi, oraz płynące z tego wnioski. Pierwszy rozdział poświęcony est przypomnieniu podstawowych poęć wykorzystywanych w dalszych częściach pracy. Na początku omawiane są własności i definice dotyczące zgrubne geometrii. Tematy te opisane są bardzie szczegółowo w [Roe] oraz [Bedl]. Następnie przypominane są poęcia dotyczące grafów i kompleksów symplicalnych, oraz ustalane są pewne konwence. Dokładniesze informace na ich temat można znaleźć między innymi w [Eng]. W drugim rozdziale opisywana est konstrukca grafów Ripsa i grafów zgrubnych odpowiadaących dane przestrzeni metryczne oraz dowód faktu, iż przekształcenia bornologiczne między przestrzeniami metrycznymi są w naturalne biekci z morfizmami odpowiadaących im grafów zgrubnych. Przedstawione definice oraz wyniki są zaczerpnięte z pracy [Comb]. Mó wkład polegał na sprawdzeniu, iż morfizmy w kategorii grafów zgrubnych są dobrze zdefiniowane, uporządkowaniu dowodu twierdzenia 2.3.5, prezentaci przykładu 2.3.8 oraz przedstawieniu alternatywnego dowodu twierdzenia 2.3.9. W rozdziale trzecim omawiane est poęcie zgrubnego kompleksu odpowiadaącego dane przestrzeni metryczne. W szczególności pokazane est, że zachodzą analogiczne twierdzenia, ak w przypadku grafów zgrubnych. Pewne poęcia dotyczące przestrzeni metrycznych, takie ak wymiar asymptotyczny, zgrubna geodezyność czy zgrubna n - spóność są opisywane ponadto w terminach odpowiednich własności kompleksów zgrubnych. W końcu prezentowane est twierdzenie o warunkach dostatecznych i wystarczaących na to, by dana przestrzeń metryczna była zgrubnie równoważna z drzewem. Definice i twierdzenia w tym rozdziale wzięte są z pracy [Comb]. Mó wkład polegał na podaniu wszystkich przykładów w sekci 3.5 pokazuących, że udowodnionych wcześnie twierdzeń dla zgrubne ednospóności na ogół nie da się uogólnić na wyższe wymiary. 5

Rozdział 1 Podstawowe poęcia W rozdziale tym omówimy pewne podstawowe poęcia, które będą używane w dalsze pracy. Przypomnimy podstawowe poęcia dotyczące kategorii zgrubnych przestrzeni metrycznych, następnie wprowadzimy poęcie grafu oraz ego geometryczne realizaci. Na koniec przypomnimy poęcie kompleksu symplicalnego. 1.1. Zgrubne przestrzenie metryczne Przypomnimy kilka definici dotyczących zgrubnego patrzenia na przestrzenie metryczne: Definica 1.1.1. Niech X oraz Y będą przestrzeniami metrycznymi. Wówczas f : X Y est bornologiczna, eżeli R< SR < x,y X d(x, y) < R d(f(x), f(y)) < S Definica 1.1.2. Niech f, g : X Y. Mówimy, że f, g są bliskie, eżeli: d< x X d(f(x), g(x)) < d Oznaczamy to f ls g. Możemy wówczas również powiedzieć, że f i g są d-bliskie. Spostrzeżenie 1.1.3. Funkca bliska funkci bornologiczne również est bornologiczna. Ponadto, relaca bliskości funkci est relacą równoważności wśród funkci bornologicznych f : X Y. W pracy te będziemy zamować się kategorią przestrzeni metrycznych (z metryką mogącą przymować również wartości nieskończone) z funkcami bornologicznymi ako morfizmami, gdzie utożsamiamy funkce sobie bliskie. Funkce bornologiczne są to funkce nie rozrywaące zanadto punktów, widziane z duże odległości wydaą się więc ciągłe. Patrząc z odpowiednie odległości nie rozróżniamy ponadto funkci, które niewiele się od siebie różnią, stąd utożsamienie funkci bliskich. Przestrzenie izomorficzne w sensie te kategorii nazywać będziemy zgrubnie równoważnymi. Zbiór morfizmów w te kategorii z X do Y oznaczać będziemy [X; Y ]. 7

U przestrzeni metrycznych ze zgrubnego punktu widzenia esteśmy w stanie wyodrębnić kilka własności, będących niezmiennikami zgrubne równoważności. Jedną z nich est zgrubna spóność: Definica 1.1.4. Mówimy, że przestrzeń metryczna X est zgrubnie spóna, eżeli metryka na X przymue tylko skończone wartości Oczywiście, podobnie ak w zwykłych przestrzeniach topologicznych, również tuta esteśmy w stanie mówić o zgrubnych spónych składowych przestrzeni metryczne. Inną ważną własnością będącą niezmiennikiem zgrubne równoważności przestrzeni metrycznych est wymiar asymptotyczny. Istniee wiele równoważnych definici dla tego poęcia, zwłaszcza w wypadku przestrzeni metrycznych, nam ednak wystarczy edna, bezpośrednio nawiązuąca do wymiaru pokryciowego Lebesgue a przestrzeni topologicznych. Napierw podamy ednak kilka definici pomocniczych: Definica 1.1.5. Mówimy, iż pokrycie U przestrzeni metryczne X ma krotność n, eżeli dla dowolnych istotnie różnych elementów U 0, U 1,..., U n U zachodzi U 0 U 1... U n =. Mówimy przy tym, że ma krotność n, eżeli ma krotność n, ale nie ma krotności n 1. Definica 1.1.6. Rodzinę podzbiorów U przestrzeni metryczne X nazywamy ednostanie ograniczoną (przez B), eżeli B< U U diam(u) < B. Definica 1.1.7. Niech V, U będą pokryciami przestrzeni metryczne X. Pokrycie V nazywamy wpisanym w pokrycie U, eżeli V V U U V U. Definica 1.1.8. Niech X będzie przestrzenią metryczną. Mówimy, że: X ma wymiar asymptotyczny n, eżeli dla każdego e ednostanie ograniczonego pokrycia V istniee ednostanie ograniczone pokrycie U o krotności n + 1 takie, że V est wpisane w U. Oznaczamy to Asdim(X) n. X ma wymiar asymptotyczny równy n, eżeli Asdim(X) n, ale nieprawdą est, że Asdim(X) n 1. Oznaczamy to wówczas Asdim(X) = n. X ma wymiar asymptotyczny, eżeli dla dowolnego n < nieprawdą est, że Asdim(X) n. Oznaczamy to Asdim(X) =. 1.2. Grafy Stosuąc kombinatoryczne podeście do problemów wielkie skali, istotną rolę odgrywaą między innymi grafy. Graf G = (V (G), E(G)), gdzie V est zbiorem wierzchołków, zaś E to zbiór krawędzi, będziemy utożsamiać z przestrzenią metryczną (V (G), d), w które punktami są wierzchołki grafu, zaś metryka est wyznaczona przez długości nakrótszych ścieżek miedzy wierzchołkami: d(x, y) = min n : x=x0,x 1,...,x n=y(x i 1, x i ) E(G), i = 1, 2,..n 8

Jeżeli dane dwa wierzchołki nie są połączone żadną ścieżką, będziemy przymować d(x, y) =. Metrykę taką będziemy czasem nazywali metryką krawędziową. Czasami ednak geometryczna realizaca grafu pod postacią edynie zbioru wierzchołków nie est wystarczaąca. Z tego względu ako G oznaczać będziemy realizacę geometryczną grafu G. Przestrzeń ta, poza wierzchołkami V (G) składa się też z odcinków izometrycznych z przedziałem [0; 1], łączących wierzchołki x, y (x, y) E(G). Jako metrykę na całym G przymuemy metrykę geodezyną generowaną przez metryki na odpowiednich odcinkach. Łatwo zauważyć, że metryka ta obcięta do V (G) pokrywa się z uprzednio ustaloną metryką na G. Podamy teraz kilka uwag dotyczących przekształceń z grafów w przestrzenie metryczne. Mamy następuące: Stwierdzenie 1.2.1. Niech G będzie grafem, zaś X - przestrzenią metryczną. Wówczas funkca f : G X est bornologiczna est Lipschitzowska. Dowód. ( ) Ponieważ każda funkca Lipschitzowska est bornologiczna, dowód est natychmiastowy. ( ) Niech f : X Y będzie funkcą bornologiczną, i niech d(x, y) 1 d(f(x), f(y)) S 1. Pokażemy, że f est Lipschitzowska ze stałą S 1. Niech d(x, y) = k (zauważmy, że metryka w grafie przymue edynie wartości całkowite). Wówczas istnieą x = x 0, x 1,..., x k = y takie, że (x i 1, x i ) E(G), i = 1, 2,..k. Zatem: d(f(x), f(y)) d(f(x 0 ), f(x 1 )) +... + d(f(x n 1 ), f(x n )) ks 1 Zatem f est Lipschitzowska, q.e.d. Widać zatem, iż badaąc przekształcenia bornologiczne z grafu, badamy w istocie przekształcenia Lipschitzowskie. Szczególna rolę wśród takich przekształceń odgrywaą tzw. funkce krótkie: Definica 1.2.2. Funkcę f : X Y nazywamy krótką, eżeli est Lipschitzowska ze stałą 1. Zauważmy w szczególności, iż eżeli X i Y są grafami, to f est krótka wtedy i tylko wtedy, gdy zachowue krawędzie. Są to więc przekształcenia symplicalne miedzy grafami, gdzie graf traktuemy ako 1-wymiarowy kompleks symplicalny. 1.3. Kompleksy symplicalne Za pomocą grafów, ak zobaczymy, dae się wyrazić dosyć dużo, nie zawsze ednak wystarczaąco wiele. Dlatego czasami będziemy się zamować kompleksami symplicalnymi. Zauważmy, że na danym kompleksie symplicalnym K możemy zdefiniować metrykę krawędziową podobnie, ak dla grafów. Jeżeli ako przestrzeń metryczną weźmiemy edynie zbiór wierzchołków kompleksu, uzyskana ak wcześnie przestrzeń nie będzie różnić się niczym od grafu będącego 1-wymiarowym szkieletem K. Graf taki oznaczać będziemy przez G(K), na ogół ednakże nie będziemy rozróżniać między K i G(K). Czasami 9

będziemy zainteresowani ednak geometryczną realizacą kompleksu K. Jako realizacę geometryczną poedynczego sympleksu = [v 0, v 1,..., v n ] rozumieć będziemy zbiór formalnych kombinaci liniowych n i=0 t i v i, gdzie t i 0 oraz n i=0 t i = 1. Jako metrykę przymuemy metrykę dziedziczoną z l 1. Z kolei przez realizacę geometryczną kompleksu K będziemy rozumieć zbiór złożony z sumy wszystkich sympleksów należących do K, z metryką geodezyną generowaną przez metryki na poszczególnych sympleksach. Podobnie ak dla grafów, również w przypadku kompleksów symplicalnych istniee prosta charakteryzaca funkci bornologicznych: Stwierdzenie 1.3.1. Niech f : G(K) X, gdzie K est kompleksem symplicalnym. Wówczas f est bornologiczna (a więc i Lipschitzowska) zbiór {f( ) : K} est ednostanie ograniczony. Dowód. ( ) Zauważmy, że =[v0,v 1,...,v n] Kdiam( ) 1, zatem z bornologiczności f istniee S 1 takie, że diam(f( )) S 1. ( ) Niech rodzina f( ) : K będzie ednostanie ograniczona przez stałą C. Niech d(x, y) k (b.s.o. k est całkowite). Wówczas istnieą x = x 0, x 1,..., x k = y takie, że [x i 1, x i ] K, i = 1, 2,..k. Wtedy: d(f(x), f(y)) d(f(x 0 ), f(x 1 )) +... + d(f(x n 1 ), f(x n )) kc Zatem f est bornologiczna, q.e.d. Ponieważ utożsamiamy ze sobą K i G(K), możemy treść powyższego stwierdzenia przyąć za definicę: funkcę f : K X w przestrzeń metryczną nazywać będziemy bornologiczną wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór {f( ) : K} est ednostanie ograniczony. Podobnie w przypadku funkci f : K X. Dla funkci symplicalnych istniee również poęcie będące pewnym odpowiednikiem bliskości funkci wśród funkci bornologicznych: Definica 1.3.2. Niech K oraz L będą kompleksami symplicalnymi, zaś f, g : K L funkcami symplicalnymi. Wówczas mówimy, że f i g są sąsiednie, eżeli dla dowolnego sympleksu K istniee L taki, że f( ) g( ), i oznaczamy to f c g Zauważmy, że powyższa relaca nie est to na ogół relacą równoważności, nie zawsze est bowiem przechodnia. Pozwala ona ednak na dość precyzyne określenie, kiedy funkce symplicalne są do siebie zbliżone. Rzeczywiście, każde dwie funkce sąsiednie są bliskie ako funkce bornologiczne, co więce, zachodzi następuące: Stwierdzenie 1.3.3. Funkce ciągłe f, g : K L, eżeli są sąsiednie, to są ze sobą homotopine. Dowód. Zadamy homotopię wzorem: H(x, t) = f(x) t + g(x) (1 t). H est dobrze określona, gdyż każdy punkt x K zawiera się w pewnym sympleksie, zaś wiemy, iż f( ) oraz g( ) zawieraą się w pewnym sympleksie L. H est również oczywiście ciągłe, oraz H(, 0) = g, H(, 1) = f. 10

W pracy przydatne też będzie kilka bardzie szczegółowych poęć dotyczących kompleksów symplicalnych, między innymi to, ak maąc dany graf uzyskać możliwie duży kompleks symplicalny: Definica 1.3.4. Niech G będzie grafem. Wówczas kompleksem symplicalnym rozpiętym przez G nazywamy kompleks F (G) taki, że = [v 0, v 2,.., v n ] F (G) wtedy i tylko wtedy, gdy (v i, v ) E(G) dla i, = 0,...n. Spostrzeżenie 1.3.5. Niech G, H będą grafami, zaś f : G H - funkcą krótką. Wówczas f : F (G) F (H) est przekształceniem symplicalnym. Definica 1.3.6. Niech K będzie kompleksem symplicalnym, zaś v - ego wierzchołkiem. Wówczas gwiazdą domkniętą przy wierzchołku v nazywamy zbiór { : v } K i oznaczamy go St(v). Definica 1.3.7. Niech X będzie przestrzenią metryczna, zaś U - e pokryciem. Wówczas dla U U gwiazdą U w pokryciu U nazywamy zbiór {U U : U U }. Gwiazdę U oznaczamy St(U, U). Gwiazda opisue więc pewne nabliższe sąsiedztwo danego wierzchołka w kompleksie, zaś dla pokrycia - nabliższe otoczenie danego zbioru. Ostatnim poęciem, akie przypomnimy, est nerw pokrycia przestrzeni. Jest to kompleks utworzony ze zbiorów tworzących pokrycie dane przestrzeni, pamiętaący strukturę tego pokrycia, a więc mówiący trochę o same przestrzeni. W nerwie pokrycia zbiory są wierzchołkami, zaś każde niepuste przecięcie zbiorów reprezentowane est ako pewien sympleks. Łatwo można zauważyć, że gwiazdom danych zbiorów w pokryciu odpowiadać będą gwiazdy odpowiedniego wierzchołka w otrzymanym kompleksie: Definica 1.3.8. Niech X będzie przestrzenią metryczną, zaś U = {U i } i I e pokryciem. Wówczas nerwem pokrycia U nazywamy kompleks symplicalny N X (U) o wierzchołkach N(U) = {U i : i I} takim, że [U i0,..., U in ] N(U) U i0... U in. Jeżeli wiemy, do akie przestrzeni metryczne odnosi się nerw, oznaczamy go po prostu N(U). 11

Rozdział 2 Grafy zgrubne Okazue się, że przestrzenie metryczne można w pewien sposób przybliżać grafami. Zazwycza nie są to przybliżenia zbyt dobre, gdyż nie każda przestrzeń metryczna est zgrubnie równoważna z grafem. Można ednak skonstruować skierowany ciąg grafów coraz lepie przybliżaących daną przestrzeń metryczną, które to ciągi są w pewnym sensie równoważne przestrzeniom metrycznym: ciągi grafów odpowiadaące danym przestrzeniom są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzenie te są zgrubnie równoważne, podobnie każde funkci bornologiczne miedzy przestrzeniami metrycznymi odpowiada dokładnie edno przekształcenie między odpowiadaącymi ich ciągami grafów i na odwrót. W ciągu tym est więc w istocie zapisana cała informaca o dane przestrzeni ze zgrubnego punktu widzenia. W rozdziale tym omówimy na początku grafy Ripsa, następnie zdefiniuemy zgrubne grafy odpowiadaące przestrzeniom metrycznym, oraz morfizmy miedzy nimi. Udowodnimy miedzy innymi twierdzenie, iż istniee naturalna biekca między funkcami bornologicznymi miedzy przestrzeniami metrycznymi, a morfizmami odpowiadaących ich grafów zgrubnych. 2.1. Grafy Ripsa Jednym z naważnieszych przykładów grafu przybliżaącego daną przestrzeń metryczną est tzw. graf Ripsa (zwany też grafem Ripsa-Vietorisa). Idea przyświecaąca konstrukci tego grafu est dosyć prosta: niech wierzchołkami grafu będą wszystkie punkty dane przestrzeni metryczne, punkty zaś są połączone krawędzią, gdy znaduą się dostatecznie blisko siebie. Oczywiście dla przestrzeni, które nie są dyskretne, otrzymany graf est dość monstrualny, dlatego lepie ako przykłady patrzeć na grafy zbudowane dla przestrzeni dyskretnych. Definica 2.1.1. Niech X będzie przestrzenią metryczną, zaś U e ednostanie ograniczonym pokryciem. Grafem Ripsa przestrzeni X (odpowiadaącym pokryciu U) nazywamy graf RipsG U (X), w którym: V (RipsG U (X)) = X 13

(x, y) E(RipsG U (X)) U U x, y U Szczególnym przypadkiem grafu Ripsa est graf odpowiadaący pokryciu kulami domkniętymi o średnicy t. Graf taki oznaczamy RipsG t (X). Można zauważyć, że graf Ripsa dae się równie dobrze zdefiniować bez założenia o ednostane ograniczoności pokrycia U. Istniee ednak naturalne rzutowanie p : RipsG U (X) X które każdemu wierzchołkowi przyporządkowue punkt emu odpowiadaący. Założenie o ednostane ograniczoności pokrycia U est równoważne bornologiczności tego rzutowania, a tylko taki przypadek będzie nas interesować. Przykład 2.1.2. Niech Z będzie zbiorem liczb całkowitych ze standardową metryką. Rozważamy RipsG t (X) dla t R +. Wówczas: 1. t < 1. Wtedy żadne dwa punkty nie są połączone, otrzymuemy zatem graf dyskretny: 2. t = 1. Wówczas połączone będą każde dwa sąsiednie punkty: 3. t = 2. Wówczas krawędzie łączyć będą nie tylko sąsiednie wierzchołki, ale również punkty będące w odległości o 2 od siebie: 4. itd. Można w powyższym przykładnie zobaczyć, że eżeli bierzemy pokrycie przestrzeni większymi zbiorami, punkty w otrzymanym grafie są bliże siebie (według metryki krawędziowe). Wzięcie pokrycia większymi zbiorami odpowiada więc sporzeniu na tę sama przestrzeń metryczną, lecz z większe odległości; to, co dotychczas było od siebie dość odległe, po dokonaniu kroku w tył wygląda na bliższe sobie. 2.2. Zgrubne grafy, zgrubne grafy przestrzeni metrycznych Jak zostało powiedziane we wstępie do tego rozdziału, poedynczy graf może okazać się niewystarczaący, by dobrze przybliżyć daną przestrzeń metryczną - można zbudować graf odpowiadaący patrzeniu na przestrzeń z dowolnie duże odległości, zawsze ednak można się trochę oddalić. Sposobem na tę niedogodność okazue się konstrukca ciągu grafów, które koleno przybliżaą przestrzeń metryczną tak, akbyśmy coraz bardzie się od nie oddalali. W ten sposób dla dowolne odległości obserwaci dane przestrzeni esteśmy w stanie znaleźć stosowne przybliżenie grafem. 14

Definica 2.2.1. Niech G będzie grafem (z metryką krawędziową). Jako A(G) oznaczamy graf o tych samych wierzchołkach, co G, za to taki, że (x, y) E(A(G)) z G (x, z), (z, y) E(G). Innymi słowy mówiąc, A(G) = RipsG 2 (G). Definica 2.2.2. Grafem zgrubnym nazywamy skierowany ciąg grafów {V 1 V 2...} wraz z krótkimi funkcami i n,m : V n V m, n m takimi, że: 1. n1 i n,n = id Vn 2. nkm i k,m i n,k = i n,m 3. n1 m>n takie, że i n,m : A(V n ) V m est krótkie. Graf zgrubny to zatem ciąg grafów takich, że każdy z nich zawiera się w ednym z kolenych, o ile patrzy się na nie z dostatecznie duże odległości. Ciekawsza sytuaca zachodzi, gdy dany graf zgrubny chcemy powiązać z akąś przestrzenią metryczną: Definica 2.2.3. Grafem zgrubnym przestrzeni metryczne X nazywamy zgrubny graf {V 1 V 2...} wraz z Lipschitzowskimi rzutowaniami p n : V n X, n 1 takimi, że: 1. n1 p n ls p n+1 i n,n+1, czyli przemienny est diagram: X p 1 p 2 p 3 V 1 i 1,2 V 2 i 2,3 V 3 i 3,4... 2. dla dowolne funkci Lipschitzowskie g : V X z grafu V istniee n 1 oraz funkca krótka g n : V V n taka, że g ls p n g n : X g V p n... V in 1,n n g n i n,n+1... 3. eżeli V est grafem oraz g, h : V V n są funkcami krótkimi takimi, że p n g ls p n h, to istniee m n takie, że i n,m g ls i n,m h: X p n g V p n h p n... V in 1,n n i n,m g i n,m h i n,n+1... V mim,m+1... 15

Poęcie zgrubnego grafu przestrzeni metryczne pokazue, iż za pomocą grafów dae się wyrazić rzeczywiście dużo. Wszystkie rzutowania na przestrzeń metryczną X (z warunku 1) są zgodne; z warunku 2 wynika, iż każde przekształcenie z grafu dae się przybliżyć za pomocą funkci w graf zgrubny dane przestrzeni; warunek 3 zaś mówi, iż odpowiednie przybliżenia dwóch funkci są praktycznie równoważne (zgrubnie), o ile funkce były takie pierwotnie. Co więce, każda przestrzeń metryczna posiada odpowiadaący e graf zgrubny: Stwierdzenie 2.2.4. Niech X będzie przestrzenią metryczną, zaś U 1, U 2,... ciągiem e pokryć ednostanie ograniczonych takich, że U n est wpisane w U n+1 dla n 1, oraz takich, że lim n λ(u n ) =, gdzie λ(u) to liczba Lebesgue a pokrycia U. Wówczas ciąg: X p 1 p 2 p 3 RipsG U1 (X) i 1,2 RipsG U2 (X) i 2,3 RipsG U3 (X)... gdzie p n : RipsG Un (X) X, n 1 są standardowymi rzutowaniami na X, zaś i n,m : RipsG Un (X) RipsG Um (X), 1 n m są identycznościami, tworzy graf zgrubny przestrzeni metryczne X. Dowód. Pokażemy napierw, iż {RipsG U1 (X) RipsG U2 (X)...} tworzy graf zgrubny. Każda funkca i n,m, 1 n m est krótka, gdyż pokrycie U n est wpisane we wszystkie pokrycia U m, m n, zatem (x, y) E(RipsG Un (X)) (x, y) E(RipsG Um (X)). Warunki 1. i 2. definici 2.2.2 grafu zgrubnego są spełnione w oczywisty sposób. Żeby pokazać spełnienie warunku 3., ustalmy n 1 i niech pokrycie U n będzie ednostanie ograniczone przez C <. Weźmy m n takie, żeby λ(u m ) > 2C. Wówczas (x, y) E(A(RipsG Un (X))) istnieą U 1, U 2 U n oraz z X takie, że x U 1, y U 2, z U 1 U 2. Wówczas d(x, y) d(x, z) + d(z, y) 2C, czyli istniee U U m takie, że (x, y) U. Zatem przekształcenie i n,m : RipsG Un RipsG Um est krótkie. Pokażemy teraz, że zgrubny graf {RipsG U1 (X) RipsG U2 (X)...} odpowiada przestrzeni metryczne X. Warunek 1. definici 2.2.3 est spełniony natychmiastowo. Aby pokazać spełnienie warunku 2., weźmy graf V oraz funkcę Lipschitzowską g : V X ze stałą C. Niech n 1 będzie takie, że λ(u n ) C. Wówczas widać, iż g : V RipsG Un (X), traktowane ako przekształcenie w odpowiedni graf Ripsa, est krótkie: eżeli (x, y) E(V ), to d(g(x), g(y)) C, zatem d(g(x), g(y)) E(RipsG Un (X)). Pozostał nam do pokazania warunek 3. Niech g, h : V RipsG Un (X) będą funkcami krótkimi takimi, że p n g oraz p n h są d-bliskie. Wówczas niech m n będzie takie, że λ(u m ) > d. Wtedy funkce i n,m g oraz i n,m h są krótkie (ako złożenia funkci krótkich), oraz x X d X (g(x), h(x)) < d, gdzie g i h traktuemy ako funkce w X, zatem (g(x), h(x)) E(RipsG Um (X)). Funkce i n,m g oraz i n,m h są więc 1-bliskie, q.e.d. Przykład 2.2.5. Rozważmy pokrycia przestrzeni metryczne X kulami o promieniach będących dodatnimi liczbami całkowitymi. Wówczas otrzymuemy następuący odpowia- 16

daący e graf zgrubny: RipsG 1 (X) i1,2 RipsG 2 (X) i2,3 RipsG 3 (X) i3,4... Graf ten oznaczać będziemy RipsG (X). 2.3. Morfizmy grafów zgrubnych Tak ak między przestrzeniami metrycznymi, między zgrubnymi grafami również można rozpatrywać pewne przekształcenia. Jako że zgrubne grafy są skierowanym ciągiem grafów, przekształcenia są po prostu zgodną rodziną przekształceń z każdego grafu w grafie zgrubnym. Ponieważ ednak interesue nas sporzenie z duże odległości, będziemy utożsamiać przekształcenia, które obserwowane z odpowiednie odległości są bliskie. i 1,2 i 2,3 Definica 2.3.1. Pre-morfizmem grafów zgrubnych V = {V 1 V 2...} oraz W = 1,2 2,3 {W 1 W 2...} nazywamy zbiór krótkich przekształceń F = {f i : V i W nf (i), i 1} takich, że dla każdego k 1 istniee m n F (k +1) takie, że nf (k),m f k ls nf (k+1),m f k+1 i k,k+1 : W 1 1,2... W nf (1)... W nf (2)... W nf (3)... f 1 f 2 V 1 V i 2 V 1,2 i 3... 2,3 i 3,4 f 3 Zauważmy, że powyższy diagram nie musi być przemienny, ważne, by stawał się taki, eśli sporzymy na odpowiednio daleki graf w grafie zgrubnym W. Żeby otrzymać zbiór morfizmów między danymi grafami zgrubnymi, powinniśmy utożsamić eszcze te premorfizmy, które widziane z dostateczne odległości (czyli patrząc na odpowiednio daleki graf w grafie zgrubnym) są bliskie siebie: Definica 2.3.2. Zbiorem morfizmów między grafami zgrubnymi V i W nazywamy zbiór klas abstrakci relaci ls na zbiorze pre-morfizmów z V do W, gdzie dwa pre-morfizmy F, G : V W uznaemy za równoważne (F ls G) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego k 1 istniee m max{n F (k), n G (k)} takie, że nf (k),m f k ls ng (k),m g k : W 1 1,2... W nf (k)... W ng (k)... W m... f k g k f k... i V k i... g k Pre-morfizmy równoważne w sensie powyższe relaci nazywamy zgrubnie równoważnymi. Jak się okazue, pre-morfizmy oraz morfizmy grafów zgrubnych zachowuą się dosyć porządnie, co pokazue następuące stwierdzenie: 17

Stwierdzenie 2.3.3. Złożenie pre-morfizmów est pre-morfizmem. Co więce, eżeli F, F : V W oraz G, G : W Z są pre-morfizmami takimi, że F ls F oraz G ls G, to również G F ls G F. i i l l Dowód. Niech V = {V 1 V 2...}, W = {W 1 W 2...} oraz Z = {Z 1 Z 2...} będą grafami zgrubnymi, zaś F : V W oraz G : W Z. Chcemy pokazać, że dla k 1 istniee m n G F (k+1) takie, że l ng F (k),m g nf (k) f k ls l ng F (k+1),m g nf (k+1) f k+1 i k,k+1 :... Z ng F (k) g nf (k) l Z ng F (k+1) g nf (k+1) l Z ng (m 1 ) g m1 l Z m2...... W nf (k) f k W nf (k+1) f k+1 W m1...... V k i V k+1... Ponieważ F est pre-morfizmem, istniee m 1 n F (k + 1) takie, że nf (k),m 1 f k ls nf (k+1),m 1 f k+1 i k,k+1. Ponadto, ponieważ G est pre-morfizmem, istniee m 2 n G (m 1 ) takie, że l ng F (k),m 2 g nf (k) ls l ng (m 1 ),m 2 g m1 nf (k),m 1 oraz l ng F (k+1),m 2 g nf (k+1) ls l ng (m 1 ),m 2 g m1 nf (k+1),m 1. Mamy zatem: l ng F (k),m 2 g nf (k) f k ls l ng (m 1 ),m 2 g m1 nf (k),m 1 f k ls ls l ng (m 1 ),m 2 g m1 nf (k+1),m 1 f k+1 i k,k+1 ls l ng F (k+1),m 2 g nf (k+1) f k+1 i k,k+1 Biorąc m = m 2 otrzymuemy tezę. Niech teraz F, F : V W oraz G, G : W Z będą pre-morfizmami takimi, że F ls F oraz G ls G. Pokażemy, że złożenia G F oraz G F są zgrubnie równoważne, czyli biorąc dowolne k 1 istniee dla niego m takie, że l ng F (k),m g nf (k) f k ls l ng F (k),m g n F (k) f k :... Z ng F (k) g nf (k) l Z ng F (k) g n F (k) l Z ng (m 1 ) g m1 g m 1 l Z n G (m 1 ) Z m2...... W nf (k) f k f k W nf (k) W m1...... V k... Ponieważ F ls F, istniee m 1 takie, że nf (k),m 1 f k ls nf (k),m 1 f k. Ponadto, ponieważ G, G są pre-morfizmami oraz G ls G, więc istniee m 2 takie, że: l ng (m 1 ),m 2 g m1 ls l n G (m 1 ),m 2 g m 1 l ng F (k),m 2 g nf (k) ls l ng (m 1 ),m 2 g m1 nf (k),m 1 18

l ng F (k),m 2 g n F (k) ls l ng (m 1 ),m 2 g m 1 nf (k),m 1 Wówczas: l ng F (k),m 2 g nf (k) f k ls l ng (m 1 ),m 2 g m1 nf (k),m 1 f k ls ls l ng (m 1 ),m 2 g m 1 nf (k),m 1 f k ls l ng (m 1 ),m 2 g m 1 nf (k),m 1 f k ls ls l ng F (k),m 2 g n F (k) f k Biorąc zatem m = m 2 dowodzimy całości stwierdzenia. Wniosek 2.3.4. Złożenie dwóch morfizmów F : V W, G : W Z est dobrze określonym morfizmem G F : V Z. Z powyższego wniosku oraz tego, że w grafie zgrubnym zawsze istniee morfizm identycznościowy Id : V V wynika, że grafy zgrubne tworzą kategorię. Jak się okazue, kategoria ta ma dość rozległe powiązania z kategorią przestrzeni metrycznych i funkci bornologicznych: Twierdzenie 2.3.5. Niech X, Y będą przestrzeniami metrycznymi, zaś V, W - odpowiadaącymi im zgrubnymi grafami z rzutowaniami: p : V X oraz q : W Y. Wówczas istniee naturalna biekca między bornologicznymi funkcami X Y (z dokładnością do zgrubne równoważności), a morfizmami V W, tzn. maąc daną funkcę bornologiczną f : X Y, istniee dokładnie eden morfizm F : V W taki, że poniższy diagram est przemienny w wielkie skali: p X f Y (2.1) q V F W i na odwrót: dla każdego morfizmu F : V W istniee dokładnie edno (z dokładnością do zgrubne równoważności) przekształcenie bornologiczne f : X Y uprzemienniaące powyższy diagram. Dowód. Zaczniemy od dowodu pierwsze części twierdzenia. Załóżmy, że f : X Y est funkcą bornologiczną. Wówczas przekształcenia f p k : V k Y, i 1 są bornologiczne, zatem Lipschitzowskie (bo V k, k 1 są grafami). Z definici grafu zgrubnego przestrzeni metryczne istniee zbiór przekształceń krótkich F = {f k : V k W nf (k), k 1}, takich, że dla każdego k 1: q nf (k) f k ls f p k. Mamy zatem przekształcenie F : V W uprzemienniaące zadany diagram, wystarczy pokazać, że est ono pre-morfizmem i est wyznaczone (z dokładnością do zgrubne równoważności) ednoznacznie. Ustalmy k 1 i zauważmy, że z definici zgrubnego grafu przestrzeni metryczne oraz określenia F mamy: q nf (k+1) nf (k),n F (k+1) f k ls q nf (k) f k ls f p k ls ls f p k+1 i k,k+1 ls q nf (k+1) f k+1 i k,k+1 19

X f Y p q V k p f k W nf (k) q i V k+1 f k+1 W nf (k+1) q W m Mamy więc dwa przekształcenia: nf (k),n F (k+1) f k, f k+1 i k,k+1 : V k W nf (k+1) takie, że po złożeniu z q nf (k+1) są zgrubnie równoważne. Ponownie korzystaąc z definici zgrubnego grafu przestrzeni metryczne widzimy, że istniee m n F (k + 1) takie, że nf (k),m f k ls nf (k+1),m f k+1 i k,k+1. F est zatem pre-morfizmem. Załóżmy teraz, że mamy dwa pre-morfizmy F, G : V W takie, że q F ls q G ls f p, czyli dla każdego i 1 mamy q nf (k) f k ls q ng (k) g k. Bez straty ogólności możemy założyć, że n F (k) n G (k). Wówczas oczywiście q ng (k) g k ls q nf (k) f k ls q ng (k) ng (k),n F (k) f k. Z definici grafu zgrubnego przestrzeni metryczne istniee zatem m 1 takie, że nf (k),m f k ls ng (k),m g k. Pre-morfizmy F i G są zatem równoważne, q.e.d. Załóżmy teraz, że mamy dany pre-morfizm F : V W. Zauważmy, że zgodnie z przykładem 2.2.5 mamy odpowiadaący X graf zgrubny RipsG (X) = {RipsG 1 (X) l 1,2 RipsG 2 (X) l 2,3...}, wraz z rzutowaniem r : RipsG (X) X. Stosuąc pierwszą, udowodnioną uż część twierdzenia do przekształcenia identycznościowego X id X otrzymuemy pre-morfizm H : RipsG (X) V taki, że p H ls id r. Ponieważ wierzchołki RipsG t (X) pokrywaą się z punktami X, możemy wybrać eden z grafów RipsG k (X), k 1 i określić przekształcenie f : X Y ako: f = q nf (n H (k)) f nh (k) h k. Pokażemy, że tak określone przekształcenie nie zależy w istocie od wyboru k (z dokładnością do równoważności w wielkie skali), oraz że est bornologiczne. Niech k 1, pokażemy, że q nf H (k) (f h) k ls q nf H (k+1) (f h) k+1 l k,k+1. Ponieważ przekształcenia l są identycznościowe, możemy e późnie w praktyce pominąć. Na początku zauważmy, że ponieważ F H est pre-morfizmem, to istniee m takie, że nf H (k),m (f h) k ls nf H (k+1),m (f h) k+1 l k,k+1. Oczywiście q nf H (k) ls q m nf H (k),m oraz q nf H (k+1) ls q m nf H (k+1),m. Stąd: q nf H (k) (f h) k ls q m nf H (k),m (f h) k ls ls q m nf H (k+1),m (f h) k+1 l k,k+1 ls q nf H (k+1) (f h) k+1 l k,k+1 20

X id X f Y r p q RipsG k (X) r h k V nh (k) p f nh (k) W nf H (k) q l RipsG k+1 (X) h k+1 i V nh (k+1) f nh (k+1) W nf H (k+1) q W m Widzimy, że ustalone wcześnie f = q nf H (k) (f h) k nie zależy w wielkie skali od wyboru k, zatem możemy bez straty ogólności przyąć k = 1. Żeby pokazać, że f est bornologiczne, weźmy R <, możemy założyć, że R est całkowite. Oznaczmy g = q nf H (R) (f h) R. Wówczas g : RipsG R (X) Y est Lipschitzowska, więc istniee C < taka, że d(x, y) < R d(g(x), g(y)) < C. Ponadto, g ls f, zatem istniee d < takie, że d(f(x), g(x)) < d dla dowolnego x X. Stąd eżeli d(x, y) < R, to: d(f(x), f(y)) d(f(x), g(x)) + d(g(x), g(y)) + d(g(y), f(x)) < 2d + C f est zatem bornologiczna. By pokazać przemienność diagramu (1) zauważmy, że ponieważ zarówno V ak i RipsG (X) są grafami zgrubnymi dla X, więc dla przekształcenia identycznościowego X id X istniee dokładnie eden morfizm grafów V S RipsG (X) uprzemienniaący diagram: p X id r X id p X f q Y V S RipsG (X) H V F W Zauważmy ponadto, że morfizm identycznościowy Id : V V ma tę własność, że id X p ls p Id V,a ponieważ (korzystaąc z pierwsze części twierdzenia) istniee dokładnie eden taki morfizm, więc H S ls Id V. Mamy zatem: f p ls q F H S ls q F Id V ls q F Pozostae wykazać, iż f est z dokładnością do równoważności w wielkie skali edyne, tzn. maąc dwie funkce bornologiczne f, g : X Y takie, że f p ls q F ls g p, to f ls g. Jeżeli ednak ponownie rozpatrzymy zgrubny graf Ripsa RipsG (X) oraz morfizm RipsG (X) H V przemienny z identycznością X id X, to widzimy, że ponieważ 21

rzutowanie RipsG (X) r X est identycznością na wierzchołkach, utożsamiaąc X i RipsG (X) mamy: f ls f id X r ls f p H ls g p H ls g id X r ls g Wniosek 2.3.6. Dowolne dwa grafy zgrubne przestrzeni metryczne X są zgrubnie równoważne. Wniosek 2.3.7. Jeżeli przestrzeń metryczna X est zgrubnie równoważna przestrzeni Y, to odpowiadaące im grafy zgrubne również są sobie zgrubnie równoważne. Wnioski te pokazuą, iż nie est właściwie istotne, aki graf zgrubny przestrzeni metryczne X rozpatruemy. Patrząc w szczególności na zgrubne grafy Ripsa, nie est istotne, względem akie dokładnie rodziny pokryć e rozpatruemy. Powyższe twierdzenie pozwala nam w istocie uzyskać funktor wierny i pełny, przyporządkowuący każde przestrzeni metryczne e zgrubny graf Ripsa. Można by się zastanowić, czy funktor ten może być równoważnością tych kategorii. Żeby tak ednak było, każdemu grafowi zgrubnemu musielibyśmy umieć przypisać akąś przestrzeń metryczną, co nie zawsze dae się zrobić. Jeden z dość prostych przykładów est zamieszczony poniże: Przykład 2.3.8. Niech D n będzie grafem dyskretnym z ponumerowanymi n wierzchołkami. Dla n m mamy zanurzenie i n,m : D n D m, każdemu wierzchołkowi przyporządkowuące wierzchołek o tym samym numerze. Wówczas D = {D 1 D 2...} est i i grafem zgrubnym. Rzeczywiście, wszystkie trzy warunki definici są spełnione w oczywisty sposób. Pokażemy ednak, że nie est on grafem zgrubnym dla żadne przestrzeni metryczne. Załóżmy nie wprost, że istniee przestrzeń metryczna X taka, że D wraz z pewnymi rzutowaniami p : D X est e grafem zgrubnym. Wówczas zauważmy, że biorąc dowolne n 2 obrazy różnych wierzchołków D n przy rzutowaniu p n leżą w innych zgrubnych spónych składowych X. Załóżmy bowiem, że istniee n 2 takie, że dla pewnych różnych k, l n : d(p n (v k ), p n (v l )) <. Niech f : D 2 D n będzie takie, że f(v 1 ) = v k, f(v 2 ) = v l, oraz g : D 2 D k będzie takie, że g(v i ) = v k, i = 1, 2. Wówczas oczywiście p n f ls p n g, nie istniee ednak m n takie, że i n,m f ls i n,m g. Zatem rzeczywiście dla k l mamy d(p n (v k ), p n (v l )) =. Z powyższych rozważań płynie wniosek, iż X ma nieskończenie wiele zgrubnych spónych składowych, gdyż ma ich więce od n dla każdego n N. Rozważmy ednak graf dyskretny D o przeliczalne nieskończone liczbie wierzchołków. Wówczas f : D X przyporządkowuące każdemu wierzchołkowi punkt z inne zgrubne składowe est oczywiście bornologiczne, zatem istniee n 1 oraz f n : D D n takie, że f ls p n f n. Zauważmy ednak, że muszą wtedy istnieć dwa różne wierzchołki v k, v l D takie, że f n (v k ) = f n (v l ). Wtedy ednak d(f(v k ), p n f n (v k )) = lub d(f(v l ), p n f n (v l )) =, co prowadzi do sprzeczności. Grafowi D nie da się więc sensownie przypisać żadne przestrzeni metryczne. 22

Na koniec tego rozdziału podamy eszcze edno twierdzenie, wskazuące na ważność grafów wśród przestrzeni metrycznych: Twierdzenie 2.3.9. Funkca bornologiczna f : X Y est zgrubną równoważnością dla dowolnego grafu G odwzorowanie g f g wyznacza biekcę zbiorów [G; X] oraz [G; Y ] Dowód. ( ) ponieważ f est zgrubną równoważnością, istniee h : Y X takie, że h f ls id X, f h ls id Y. Rozpatruąc funkcę g h g z [G; Y ] do [G; X], dla g : G X mamy: g f g h f g ls g zatem przyporządkowanie g f g est różnowartościowe. Patrząc na podobne złożenie dla g : G Y otrzymuemy wniosek, że f est również na, więc f est biekcą, q.e.d. ( ) Załóżmy, że f wyznacza w określony wyże sposób biekcę między [G; X] a [G; Y ] dla każdego grafu G. Biorąc za G grafy Ripsa RipsG t (Y ), t = 1, 2,... oraz rzutowania q t : RipsG t (Y ) Y, otrzymuemy ciąg przekształceń Lipschitzowskich r t : RipsG t (Y ) X takich, że f r t ls q t dla t 1. Ponieważ są to przekształcenia z grafów, rozważaąc graf zgrubny RipsG (X) przestrzeni X z rzutowaniami p, otrzymuemy ciąg przekształceń krótkich g t : RipsG t (Y ) RipsG nf (t)(x). Pokażemy, że ciąg ten definiue zgrubny izomorfizm grafów G : RipsG (Y ) RipsG (X), z odwrotnością F : RipsG (X) RipsG (Y ), gdzie F odpowiada f : X Y. Na początek pokażemy, że G istotnie est pre-morfizmem. Oznaczmy przekształcenia wewnątrz grafu RipsG (Y ) ako, zaś RipsG (X) ako i. Oczywiście dla k 1 mamy q k ls q k+1 k,k+1, skąd f r k ls f r k+1 k,k+1, zatem: f p ng (k) g k ls f p ng (k+1) g k+1 k,k+1 Ponieważ, z definici f, istniee dokładnie edno (z dokładnością do zgrubne równoważności) przekształcenie RipsG k (Y ) X takie, że po złożeniu z f dae q k, więc musi być p ng (k) g k ls p nf (k+1) g k+1 k,k+1. Zastępuąc p ng (k) przez p ng (k+1) i ng (k),n G (k+1) otrzymuemy dwa przekształcenia krótkie RipsG k (Y ) RipsG ng (k+1)(x) takie, że po złożeniu z p ng (k+1) staą się one równoważne. Z definici grafu zgrubnego istniee więc m takie, że: i ng (k),m g k ls i ng (k+1),m g k+1 k,k+1 q Y p X f Y q RipsG (X) F RipsG k (Y ) q g k RipsG ng (k)(x) p RipsG (Y ) F RipsG k+1 (Y ) g k+1 i RipsG ng (k+1)(x) p i RipsG m (X) 23

Zatem G istotnie est pre-morfizmem. Widać też, że q F G ls f p G ls q, czyli F G ls Id RipsG (Y ). Pozostae pokazać, że również G F ls Id RipsG (X). Zauważmy ednak, że: f p G F ls q F G F ls q F ls f p Ponieważ ednak z definici f istniee dokładnie edno przekształcenie RipsG (X) X takie, że po złożeniu z f dae f p, więc p G F ls p, skąd G F ls Id RipsG (X), q.e.d. 24

Rozdział 3 Zgrubne kompleksy symplicalne W poprzednim rozdziale mogliśmy się przekonać, że w grafie zgrubnym odpowiadaącym przestrzeni metryczne zapisana est w istocie cała informaca o te przestrzeni ze zgrubnego punktu widzenia. Istniee ednak wiele niezmienników zgrubne równoważności, które łatwo daą się wyrazić w przestrzeniach metrycznych, często zaś trudno powiedzieć, ak własności te przenoszą się na strukturę odpowiednich grafów zgrubnych. Dlatego też bardzie owocne okazue się badanie odpowiednich ciągów kompleksów symplicalnych odpowiadaących dane przestrzeni metryczne. Jak się okazue, dodanie te dodatkowe struktury pozwala wyrazić zaskakuąco wiele. W rozdziale tym na początku podamy definicę zgrubnego kompleksu symplicalnego, a następnie przedstawimy ważne przykłady: zgrubny kompleks Ripsa i kompleks Čecha. Późnie zamiemy się definiowaniem pewnych własności przestrzeni metrycznych w ęzyku kompleksów zgrubnych: wymiaru asymptotycznego oraz zgrubne n-spóności. 3.1. Kompleksy zgrubne Zgrubne kompleksy symplicalne oraz kompleksy odpowiadaące danym przestrzeniom metrycznym esteśmy w stanie skonstruować niemal tak samo, ak w przypadku grafów, zastępuąc edynie grafy kompleksami symplicalnymi, oraz funkce krótkie - symplicalnymi: Definica 3.1.1. Niech K będzie kompleksem symplicalnym (z metryką krawędziową). Jako A(K) oznaczamy kompleks o tych samych wierzchołkach, co K, w którym = [v 0, v 1,..., v n ] A(K) wtedy i tylko wtedy, gdy istniee wierzchołek w K taki, że v i St(w) dla i = 0,..., n (czyli innymi słowy: istniee w taki, że [v i, w] K dla i = 0,..., n). Definica 3.1.2. Zgrubnym kompleksem symplicalnym nazywamy skierowany ciąg kompleksów symplicalnych {K 1 K 2...} wraz z funkcami symplicalnymi i n,m : K n K m, n m takimi, że: 1. n1 i n,n = id Kn 25

2. nkm i k,m i n,k = i n,m 3. n1 m>n takie, że i n,m : A(K n ) K m est symplicalne. Definica 3.1.3. Zgrubnym kompleksem symplicalnym przestrzeni metryczne X nazywamy zgrubny kompleks symplicalny {K 1 i 1,2 K 2 i 2,3...} wraz z bornologicznymi rzutowaniami p n : K n X, n 1 takimi, że: 1. n1 p n ls p n+1 i n,n+1 2. dla dowolne funkci bornologiczne g : K X z kompleksu symplicalnego K istniee n 1 oraz funkca symplicalna g n : K K n taka, że g ls p n g n. 3. eżeli K est kompleksem symplicalnym oraz g, h : K K n są funkcami symplicalnymi takimi, że p n g ls p n h, to istniee m n takie, że i n,m g oraz i n,m h są sąsiednie (i n,m g c i n,m h). Jak widać, powyższe poęcia są prostym przeniesieniem poęć poznanych przez nas wcześnie do świata symplicalnego. Zauważmy ednak, iż rozpatruąc przekształcenia z kompleksu symplicalnego w kompleks symplicalny, zamiast o funkcach bliskich mówimy o funkcach sąsiednich. Jest to mocnieszy warunek, w istocie ednak, ze względu na warunek 3 definici kompleksu zgrubnego, są one w wielkie skali równoważne. Jeżeli mamy dwa przekształcenia bliskie sobie w kompleks zgrubny, oraz złożymy e z zanurzeniami w odpowiednio daleki kompleks w ciągu, okażą się one sąsiednie. Będziemy więc czasem posługiwali się tymi poęciami w odniesieniu do zgrubnych kompleksów zamiennie. Jak się również okazue, do świata kompleksów symplicalnych dae się przenieść również poęcia grafu Ripsa i zgrubnego grafu Ripsa: Definica 3.1.4. Niech X będzie przestrzenią metryczną, zaś U e ednostanie ograniczonym pokryciem. Kompleksem Ripsa przestrzeni X (odpowiadaącym pokryciu U) nazywamy kompleks symplicalny Rips U (X) rozpięty przez graf Rips U (X): Rips U (X) def = F (RipsG U (X)) Szczególnym przypadkiem kompleksu Ripsa est kompleks odpowiadaący pokryciu kulami domkniętymi o średnicy t. Graf taki oznaczamy Rips t (X). Podobnie ak w przypadku grafów, możemy łatwo zdefiniować rzutowanie p : Rips U (X) X przyporządkowuące danemu wierzchołkowi odpowiadaący mu punkt. Jednostana ograniczoność pokrycia U ponownie gwarantue nam, iż p est bornologiczne. Przykład 3.1.5. Niech Z będzie zbiorem liczb całkowitych ze standardową metryką. Rozważamy Rips t (X) dla t R +. Wówczas: 1. t < 1. Wtedy żadne dwa punkty nie są połączone, otrzymuemy zatem kompleks dyskretny: 26

2. t = 1. Wówczas otrzymany kompleks est grafem, gdzie krawędzią połączone będą każde dwa sąsiednie punkty: 3. t = 2. Wtedy w kompleksie Ripsa poawią się sympleksy wymiaru 2, rozpięte na każdych trzech sąsiaduących ze sobą wierzchołkach:...... Stwierdzenie 3.1.6. Niech X będzie przestrzenią metryczną, zaś U 1, U 2,... ciągiem e pokryć ednostanie ograniczonych takich, że U n est wpisane w U n+1 dla n 1, oraz takich, że lim n λ(u n ) =, gdzie λ(u) to liczba Lebesgue a pokrycia U. Wówczas ciąg: X p 1 p 2 p 3 Rips U1 (X) i 1,2 Rips U2 (X) i 2,3 Rips U3 (X)... gdzie p n : Rips Un (X) X, n 1 są standardowymi rzutowaniami na X, zaś i n,m : Rips Un (X) Rips Um (X), 1 n m są identycznościami, tworzy zgrubny kompleks symplicalny przestrzeni metryczne X. Dowód. Pokażemy na początku, iż {Rips U1 (X) Rips U2 (X)...} tworzy zgrubny kompleks symplicalny. Ponieważ U n est wpisane w U m dla m n, każda funkca i n,m est symplicalna. Ustalmy zatem n 1 i niech pokrycie U n będzie ednostanie ograniczone przez C. Weźmy m n takie, że λ(u m ) > 2C. Wówczas eżeli weźmiemy A(Rips Un (X)), to istniee wierzchołek v Rips Un (X) taki, że dla dowolnych dwóch wierzchołków v 1, v 2 mamy [v, v 1 ], [v, v 2 ] Rips Un (X), zatem: d X (v 1, v 2 ) d X (v, v 1 ) + d X (v, v 2 ) 2C Stąd wniosek, że dla A(Rips Un (X)) mamy diam X ( ) < 2C, więc przekształcenie i n,m : A(Rips Un (X)) Rips Um (X) est symplicalne. Pokażemy teraz, że skonstruowany powyże graf zgrubny odpowiada przestrzeni metryczne X. Z definici przekształceń p oraz i otrzymuemy natychmiast, że p n ls p n+1 i n,n+1. Niech teraz f : K X będzie funkcą bornologiczną z kompleksu symplicalnego. Niech rodzina{f( ) : K} będzie ednostanie ograniczona przez C, oraz niech n 1 będzie takie, że λ(u n ) > C. Wówczas dla dowolnego sympleksu = [v 0,.., v n ] K mamy diam({f(v 0 ),..., f(v n )}) < C, zatem [f(v 0 ),..., f(v n )] Rips Un (X). Funkca f n : K Rips Un (X), taka, że f n (v) = f(v) est więc symplicalna, oraz oczywiście f ls p n f n. 27

Pozostae pokazać warunek 3. definici kompleksu zgrubnego przestrzeni metryczne. Niech f, g : K Rips Un (X) będą takie, że p n f oraz p n g są d-bliskie. Oznaczmy ponadto przez C 1 ograniczenie rodziny {p n f( ) : K}, zaś przez C 2 -ograniczenie rodziny {p n g( ) : K}. Weźmy też m n takie, żeby λ(u m ) > d + max{c 1, C 2 }. Wówczas eśli v, w należą do pewnego sympleksu K, to: d(p n f(v), p n g(w)) d(p n f(v), p n g(v)) + d(p n g(v), p n g(w)) < d + max{c 1, C 2 } Stąd uż łatwo widać, iż i n,m f oraz i n,m g są sąsiednie, gdyż dla = [v 0,..., v n ] K sympleks [f(v 0 ),..., f(v n ), g(v 0 ),..., g(v n )] Rips Um (X). Przykład 3.1.7. Niech X będzie przestrzenią metryczną. Rozważmy e pokrycia kulami domkniętymi o promieniach t = 1, 2,... Wówczas mamy następuący kompleks zgrubny odpowiadaący X: Rips 1 (X) i1,2 Rips 2 (X) i2,3 Rips 3 (X) i3,4... Kompleks ten oznaczać będziemy Rips (X). Powyższe stwierdzenie pokazue, iż dla każde przestrzeni metryczne esteśmy w stanie skonstruować kompleks zgrubny e odpowiadaący, w sposób niemalże taki sam, w aki konstruowaliśmy graf zgrubny. Okazue się ednak, że nie est to edyny pomysł na konstrukcę kompleksu zgrubnego dla dane przestrzeni metryczne. Innym przykładem takiego kompleksu est Kompleks Čecha: Stwierdzenie 3.1.8. Niech X będzie przestrzenią metryczną, zaś U 1, U 2,... ciągiem e pokryć ednostanie ograniczonych takich, że: dla każdego n 1 oraz U U n istniee U U n+1 taki, że St(U, U n ) U (U n est gwiazdowo wpisane w U n+1 ) lim n λ(u n ) =, gdzie λ(u) to liczba Lebesgue a pokrycia U. Mamy wtedy następuący ciąg nerwów pokryć: X p 1 p 2 p 3 N X (U 1 ) i 1,2 N X (U 2 ) i 2,3 N X (U 3 )... gdzie p n : N X (U n ) X, n 1 są funkcami przyporządkowuącymi wierzchołkowi U ni U n dowolny punkt ze zbioru U ni X, zaś i n,n+1 : N X (U n ) N X (U n+1 ) są funkcami przyporządkowuącymi każdemu wierzchołkowi U ni wierzchołek U n+1i taki, że St(U ni, U n ) U n+1i. Wówczas powyższy ciąg tworzy zgrubny kompleks symplicalny przestrzeni metryczne X. 28

Dowód. Na początku powinniśmy pokazać, że funkce p są bornologiczne, zaś i -symplicalne. Weźmy n 1 oraz = [U 0,..., U k ] N(U n ). Wtedy U 0... U k. Niech pokrycie U n będzie ednostanie ograniczone przez C. Wówczas dla l, m {0,..., k} mamy: d(p n (U l ), p n (U m )) < diam(u l ) + diam(u m ) < 2C Rodzina {p n ( ) : N(U n )} est więc ednostanie ograniczona przez 2C, p n est zatem bornologiczne. Żeby pokazać, że i est symplicalne, zauważmy, że eżeli = [U 0,..., U k ] N(U n ), to U 0... U k. Stąd oczywiście i(u 0 )... i(u k ) U 0... U k, zatem [i(u 0 ),..., i(u k )] N(U n+1 ). Dowodzi to symplicalności i. Pokażemy teraz, że kompleks Čecha est kompleksem zgrubnym. Wiemy uż, że i są symplicalne, weźmy więc n 1 i rozważmy A(N(U n )). Jeżeli [U 0,..., U k ] A(N(U n )), to istniee U U n taki, że U U dla = 0,..., k. Wówczas oczywiście U St(U, U n ) i(u ), skąd i(u 0 )... i(u k ). Zatem funkca i n,n+1 : A(N(U n )) N(U n+1 ) est symplicalna. Pozostae pokazać, że kompleks Čecha est kompleksem zgrubnym przestrzeni X. Weźmy n 1 i niech pokrycie U n+1 będzie ednostanie ograniczone przez C. Wówczas oczywiście dla U U n zarówno p n (U), ak i p n+1 i n,n+1 są zawarte w pewnym zbiorze U U n+1. Stąd wniosek, że p n oraz p n+1 i n,n+1 są sobie C-bliskie. Rozważmy teraz funkcę bornologiczną f : K X z kompleksu symplicalnego K. Jeżeli rodzina {f( ) : K} est ednostanie ograniczona przez C, to wybierzmy n takie, że λ(u n ) > C. Zdefiniumy funkcę f n+1 : K N(U n+1 ) następuąco: dla każdego wierzchołka v K wybierzmy U v U n taki, że f(v) U v i określmy f n+1 (v) = i n,n+1 (U v ). Z wyboru n widzimy, że dla = [v 0,..., v k ] K zbiór {f(v 0 ),..., f(v k )} U dla pewnego U U n. Wynika stąd, że i n,n+1 (U v0 )... i n,n+1 (U vk ) U, zatem f n,n+1 est symplicalne. Ponadto, eżeli pokrycie U n+1 est ednostanie ograniczone przez D, to oczywiście d(f(v), p n+1 f n+1 (v)) < D. f oraz p n+1 f n+1 są więc D-bliskie. Na koniec rozważmy dwie funkce symplicalne f, g : K N(U n ) takie, że p n f oraz p n g są d-bliskie. Niech ponadto zbiór {p n f( ) : K} będzie ednostanie ograniczony przez C 1 zaś {p n g( ) : K}-przez C 2. Wtedy istniee m n takie, że λ(u m ) > d + max{c 1, C 2 }. Łatwo wówczas zauważyć, że dla = [v 0,..., v k ] K zbiór p n f( ) p n g( ) est ograniczony przez d+max{c 1, C 2 }, zatem istniee zbiór U U m taki, że p n f( ) p n g( ) U. Łatwo zauważyć (ak wyże), że: [i n,m+1 f(v 0 ),..., i n,m+1 f(v k ), i n,m+1 g(v 0 ),..., i n,m+1 g(v k )] N(U m+1 ) zatem i n,m+1 g oraz i n,m+1 g są sąsiednie, q.e.d. Kompleks Čecha przestrzeni X (z wybranym odpowiednim ciągiem pokryć U = {U 1, U 2,...}) oznaczać będziemy Čech U(X) (lub po prostu Čech (X)). Zauważmy, że dokładnie tak samo, ak dla grafów, możemy wprowadzić pre-morfizmy i morfizmy między kompleksami zgrubnymi, zastępuąc edynie w odpowiednich miescach relacę bliskości przez relacę sąsiedztwa funkci: 29

i 1,2 i 2,3 Definica 3.1.9. Pre-morfizmem kompleksów zgrubnych K = {K 1 K 2...} oraz 1,2 2,3 L = {L 1 L 2...} nazywamy zbiór funkci symplicalnych: F = {f i : K i L nf (i), i 1} takich, że dla każdego k 1 istniee m n F (k+1) takie, że nf (k),m f k c nf (k+1),m f k+1 i k,k+1 : L 1 1,2... L nf (1)... L nf (2)... L nf (3)... f 1 f 2 K 1 K i 2 K 1,2 i 3... 2,3 i 3,4 f 3 Definica 3.1.10. Zbiorem morfizmów między kompleksami zgrubnymi K i L nazywamy zbiór klas abstrakci relaci ls na zbiorze pre-morfizmów z K do L, gdzie dwa premorfizmy F, G : K L uznaemy za równoważne (F ls G) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego k 1 istniee m max{n F (k), n G (k)} takie, że nf (k),m f k c ng (k),m g k : L 1 1,2... L nf (k)... L ng (k)... L m... f k g k f k... i K k i... g k Podobnie ak dla grafów, możemy łatwo stwierdzić, że złożenie dwóch morfizmów est dobrze określone. Możemy również w dokładnie analogiczny sposób wyprowadzić kilka istotnych faktów świadczących o głębokie analogii między przestrzeniami metrycznymi i odpowiadaącymi im kompleksami zgrubnymi: Twierdzenie 3.1.11. Niech X, Y będą przestrzeniami metrycznymi, zaś K, L - odpowiadaącymi im kompleksami zgrubnymi z rzutowaniami: p : K X oraz q : L Y. Wówczas istniee naturalna biekca między bornologicznymi funkcami X Y (z dokładnością do zgrubne równoważności), a morfizmami K L, tzn. maąc daną funkcę bornologiczną f : X Y, istniee dokładnie eden morfizm F : K L taki, że poniższy diagram est przemienny w wielkie skali: p X f q Y K F L i na odwrót: dla każdego morfizmu F : K L istniee dokładnie edno (z dokładnością do zgrubne równoważności) przekształcenie bornologiczne f : X Y uprzemienniaące powyższy diagram. Wniosek 3.1.12. Dowolne dwa zgrubne kompleksy symplicalne przestrzeni metryczne X są zgrubnie równoważne. 30