Algorytmiczna teoria grafów

Transkrypt

1 Podstawowe pojęcia i klasy grafów Wykład 1

2 Grafy nieskierowane Definicja Graf nieskierowany (graf) G = (V,E) jest to uporządkowana para składająca się z niepustego skończonego zbioru wierzchołków V oraz zbioru krawędzi E, gdzie krawędzie to nieuporządkowane pary wierzchołków: E {{u,v} u,v V}. Przykład 1: G = (V,E): V = {v 1,v 2,v 3,v 4,v 5 } E = {{v 1,v 2 },{v 2,v 3 },{v 3 },{v 3,v 4 }, {v 2,v 4 },{v 4,v 5 },{v 2,v 5 },{v 2,v 5 }}. v1 e1 e8 v2 e7 e2 e5 v3 e4 e3 {v 2,v 4 },{v 4,v 5 },{v 2,v 5 },xxxxxx}. v5 e6 v4

3 Definicja Rząd grafu G = (V,E), ozn. przez n, jest to V. Rozmiar grafu G = (V,E), ozn. przez m, jest to E. Graf z Przykładu 1 jest rzędu 5 oraz ma rozmiar 8. Definicja Relacja I = {(v,e) V E : v e} to relacja incydencji. Czyli, jeśli v e, to: wierzchołek v jest incydentny z krawędzią e w grafie G; krawędź e jest incydentna z wierzchołkiem v w grafie G.

4 v2 e3 e1 e2 v3 v1 e8 e7 e5 e4 W grafie z Przykładu 1: v5 e6 v4 wierzchołek v 1 jest incydentny z e 1, v 3 jest incydentny z e 3,e 4, itd.; krawędź e 2 jest incydentna z v 2 i v 3, e 3 jest incydentna z v 4, itd.

5 Rozróżniamy trzy typy krawędzi: pętle, czyli krawędzie incydentne z dokładnie jednym wierzchołkiem; krawędzie jednokrotne; krawędzie wielokrotne (równoległe, multikrawędzie). v2 e3 e1 e2 v3 v1 e8 e7 e5 e4 W grafie z Przykładu 1: krawędź e 3 jest pętlą; v5 e6 krawędź e 1 jest krawędzią jednokrotną, itd.; krawędź e 7 jest krawędzią wielokrotną. v4

6 Definicja Grafy nieskierowane dzielimy na grafy proste (bez pętli i multikrawędzi), multigrafy (bez pętli) oraz pseudografy (pozostałe grafy).

7 Krawędzie e,ê E sąsiadują ze sobą w grafie = G(V,E) wtedy i tylko wtedy, gdy e ê. Wierzchołki u,v V sąsiadują ze sobą w G = (V,E) wtedy i tylko wtedy, gdy u = v i {v} E lub u v i {u,v} E. v2 e3 e1 e2 v3 v1 e8 e7 e5 e4 W grafie z Przykładu 1: krawędź e 1 jest sąsiednia z e 2, krawędź e 3 jest sąsiednia z e 4, itd.; krawędź jest sąsiednia sama z sobą; wierzchołek v 1 jest sąsiedni z v 2, a v 3 jest sąsiedni z samym sobą, itd. v5 e6 v4

8 Definicja Zbiór N(v) = {u V : u sąsiaduje z v} to sąsiedztwo wierzchołka v w grafie G = (E,V). Zbiór N[v] = N(v) {v} to domknięte sąsiedztwo wierzchołka v. v2 e3 e1 e2 v3 v1 e8 e7 e5 e4 W grafie z Przykładu 1: v5 e6 v4 N(v 1 ) = {v 2 }, N[v 1 ] = {v 1,v 2 }; N(v 3 ) = N[v 3 ] = {v 2,v 3,v 4 }.

9 Definicja Stopień wierzchołka v w grafie G = (E,V), ozn. deg G (v), to liczba incydentnych z nim krawędzi [pętla liczona jest podwójnie]. Wierzchołki stopnia 0 noszą nazwę wierzchołków izolowanych, a wierzchołki stopnia 1 to liście (wierzchołki wiszące). v2 e3 e1 e2 v3 v1 e8 e7 e5 e4 W grafie z Przykładu 1: deg G (v 1 ) = 1, czyli v 1 jest liściem; deg G (v 3 ) = 4. v5 e6 v4

10 Definicja Liczba (G) = max v V deg G (v) dla danego grafu G = (E,V) nosi nazwę maksymalnego stopnia (bądź stopnia); natomiast stopień minimalny grafu G to δ(g) = min v V deg G (v). v2 e3 e1 e2 v3 v1 e8 e7 e5 e4 W grafie z Przykładu 1: (G) = 5, δ(g) = 1 v5 e6 v4

11 Przykład 2 G1 v1 v3 e3 G3 v3 e1 e2 v2 e5 v5 e4 v4 e3 v4 v5 G2 G4 v1 e1 e2 v2 v3 v3 v2 e3 v4 e1 e5 e2 v1 v5

12 Definicja Graf G = (V(G),E(G)) jest podgrafem grafu H = (V(H),E(H)) (H jest nadgrafem grafu G) wtedy i tylko wtedy, gdy V(G) V(H), E(G) E(H). Jeżeli G jest podgrafem H, to piszemy G H. Podgraf G jest podgrafem właściwym (nadgraf H grafu G jest nadgrafem właściwym), jeśli G H.

13 G1 v1 v3 e3 G3 v3 e1 e2 v2 e5 v5 e4 v4 e3 v4 v5 G2 G4 v1 e1 e2 v2 v3 v3 v2 e3 v4 e1 e5 e2 v1 v5 Np. G 4 jest podgrafem właściwym G 1 (G 4 G 1 ). Np. G 1 jest nadgrafem właściwym G 2, G 3 i G 4.

14 Definicja Dla niepustego zbioru U V, podgraf grafu G = (V,E) powstały przez usunięcie z niego wierzchołków należących do V \U i wszystkich incydentnych z nimi krawędzi to podgraf indukowany przez zbiór U. ozn. G U lub G[U]; jeżeli G jest rzędu przynajmniej 2 i v V, to G v = G[V \{v}]; jeżeli U V, to G U = G[V \U]; Podgraf grafu G powstały poprzez usunięcie z niego krawędzi oznaczamy przez G e. Podgraf grafu G powstały poprzez usunięcie z niego krawędzi należących do zbioru F E oznaczamy przez G F.

15 G1 v1 v3 e3 G3 v3 e1 e2 v2 e5 v5 e4 v4 e3 v4 v5 G2 G4 v1 e1 e2 v2 v3 v3 v2 e3 v4 e1 e5 e2 v1 v5 G 2 = G 1 {v 4,v 5 } = G 1 [{v 1,v 2,v 3 }]; G 4 = G 1 e 4.

16 Definicja Grafy G i H są identyczne (G = H), jeśli V(G) = V(H) oraz E(G) = E(H). Definicja Dwa multigrafy G 1 = (V 1,E 1 ) i G 2 = (V 2,E 2 ) są izomorficzne, jeżeli istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość h : V 1 V 2 pomiędzy wierzchołkami G 1 i wierzchołkami G 2 taka, że {u,v} E 1 {h(u),h(v)} E 2. Zapisujemy G 1 = G 2 Ogólnie: grafy izomoroficzne można traktować jak identyczne (mają taką samą reprezentację graficzną z dokładnością do etykiet).

17 G 1 2 H f g 6 7 a b j e c h 9 d 4 i

18 G 1 2 H f g 6 7 a b j e c h 9 d 4 i Czy G = H?

19 G 1 2 H f g 6 7 a b j e c h 9 d 4 i Czy G = H? Odp.: TAK

20 G 1 2 H f g 6 7 a b j e c h 9 d 4 i a b c d e f g h i j

21 Twierdzenie Jeżeli dwa multigrafy G 1 = (V 1,E 1 ) i G 2 = (V 2,E 2 ) są izomorficzne, to: G 1 i G 2 mają tyle samo wierzchołków: V 1 = V 2. G 1 i G 2 mają tyle samo krawędzi: E 1 = E 2. dla dowolnego k multigrafy G 1 i G 2 mają tyle samo wierzchołków stopnia k.

22 Twierdzenie Jeżeli dwa multigrafy G 1 = (V 1,E 1 ) i G 2 = (V 2,E 2 ) są izomorficzne, to: G 1 i G 2 mają tyle samo wierzchołków: V 1 = V 2. G 1 i G 2 mają tyle samo krawędzi: E 1 = E 2. dla dowolnego k multigrafy G 1 i G 2 mają tyle samo wierzchołków stopnia k. Czy to wystarczy, aby dwa grafy były izomorficzne?

23 Twierdzenie Jeżeli dwa multigrafy G 1 = (V 1,E 1 ) i G 2 = (V 2,E 2 ) są izomorficzne, to: G 1 i G 2 mają tyle samo wierzchołków: V 1 = V 2. G 1 i G 2 mają tyle samo krawędzi: E 1 = E 2. dla dowolnego k multigrafy G 1 i G 2 mają tyle samo wierzchołków stopnia k. Czy to wystarczy, aby dwa grafy były izomorficzne? Odp.: NIE

24 G a H 1 e 5 d h f b g 7 c 3

25 G a H 1 e 5 d h f b g 7 c 3 V(G) = V(H)

26 G a H 1 e 5 d h f b g 7 c 3 V(G) = V(H) E(G) = E(H)

27 G a H 1 e 5 d h f b g 7 c 3 V(G) = V(H) E(G) = E(H) ciąg stopni dla grafu G: (3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2) ciag stopni dla grafu H: (3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2)

28 G a H 1 e 5 d h f b g 7 c 3 V(G) = V(H) E(G) = E(H) ciąg stopni dla grafu G: (3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2) ciag stopni dla grafu H: (3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 2) jednak G = H

29 Problem izomorfizmu grafów jest bardzo ważny, np. ze względu na zastosowania. Jednakże dotychczas nie jest znany wielomianowy algorytm rozstrzygający, czy dane dwa grafy są izomorficzne.

30 Problem izomorfizmu grafów jest bardzo ważny, np. ze względu na zastosowania. Jednakże dotychczas nie jest znany wielomianowy algorytm rozstrzygający, czy dane dwa grafy są izomorficzne. BONUS termin: dd.mm.2018 (przesłanie na adres ) Dla jakich klas grafów problem izomorfizmu grafów jest rozwiązywalny w czasie wielomianowym? Zapoznać się z programem NAUTY ( algorith/implement/nauty/implement.shtml; algorith/files/graphisomorphism.shtml) i zaprezentować szukanie grafów izomorficznych.

31 Twierdzenie Niech G = (V,E) będzie grafem prostym, n = V i m = E. Wówczas m n(n 1) 2.

32 Twierdzenie Niech G = (V,E) będzie grafem prostym, n = V i m = E. Wówczas m n(n 1) 2. Dowód W grafie prostym każda krawędź odpowiada parze różnych wierzchołków z V. Jako że brak jest krawędzi wielokrotnych, otrzymujemy m ( n 2).

33 Twierdzenie ( o uściskach dłoni) Niech G = (V,E) będzie grafem. Wówczas deg G (v) = 2 E. v V

34 Twierdzenie ( o uściskach dłoni) Niech G = (V,E) będzie grafem. Wówczas deg G (v) = 2 E. v V Dowód Sumując stopnie wierzchołków grafu liczymy, ile jest w sumie krawędzi incydentnych z jego wierzchołkami. Każda krawędź zostanie policzona dwukrotnie, zatem suma stopni równa się podwojonej liczbie krawędzi.

35 Definicja Liczba d(g) = G = (V,E). v V deg G (v) V jest to średni stopień grafu

36 Definicja Liczba d(g) = G = (V,E). v V deg G (v) V jest to średni stopień grafu Twierdzenie wersja 1 Niech k N. Załóżmy, że G = (V,E), E 1, jest (multi)grafem o średnim stopniu d(g) 2k. Wówczas G posiada podgraf H G taki, że δ(h) k + 1.

37 Twierdzenie wersja 2 Załóżmy, że G = (V, E), E 1, jest (multi)grafem. Wówczas G posiada podgraf H, taki że δ(h) > d(h) 2 d(g) 2.

38 Ciągi grafowe Definicja Ciąg c liczb naturalnych jest ciągiem graficznym, jeśli istnieje graf prosty, którego stopnie wierzchołków odpowiadają elementom ciągu c.

39 Ciągi grafowe Definicja Ciąg c liczb naturalnych jest ciągiem graficznym, jeśli istnieje graf prosty, którego stopnie wierzchołków odpowiadają elementom ciągu c. Twierdzenie (Havel 1955, Hakimi 1962) Rozważmy następujące dwa nierosnące ciągi liczb naturalnych: (1) s,t 1,...,t s,d 1,...,d k, (2) t 1 1,...,t s 1,d 1,...,d k. Wówczas ciąg (1) jest ciągiem graficznym wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg (2) jest ciągiem graficznym. Na przykład ciąg (3, 2, 2, 2, 1) jest graficzny, podczas gdy ciągi (3, 3, 3, 1, 1) oraz (4, 4, 4, 4, 2) już nie są graficzne.