ZASTOSOWANIE MODELI IRT W KONSTRUKCJI ROZMYTEGO SYSTEMU WAG DLA ZMIENNYCH W ZAGADNIENIU PORZĄDKOWANIA LINIOWEGO NA PRZYKŁADZIE METODY TOPSIS

Transkrypt

1 PRAE NAUKOWE UNIWERSYTETU EKONOMIZNEGO WE WROŁAWIU nr 7 RESEARH PAPERS OF WROŁAW UNIVERSITY OF EONOMIS nr Taksonoma 4 ISSN Klasyfkacja analza danych teora zastosowana e-issn 39-4 Bartłomej Jefmańsk Unwersytet Ekonomczny we Wrocławu e-mal: bartlomej.jefmansk@ue.wroc.pl ZASTOSOWANIE MODELI IRT W KONSTRUKJI ROZMYTEGO SYSTEMU WAG DLA ZMIENNYH W ZAGADNIENIU PORZĄDKOWANIA LINIOWEGO NA PRZYKŁADZIE METODY TOPSIS Streszczene: Rozmyta metoda TOPSIS zakłada, że oceny kryterów /lub współczynnk wagowe wyrażone są w postac trójkątnych lczb rozmytych. Otwartą kwestą pozostaje sposób ustalena parametrów tych lczb. Możlwym rozwązanem jest zastosowane model teor reakcj na pozycje skal (IRT). elem artykułu jest zaprezentowane propozycj metody ustalana rozmytych współczynnków wagowych, opartej na trzech modelach IRT: PM (Partal redt Model), GPM (Generalsed Partal redt Model) oraz RSM (Ratng Scale Model). Proponowaną metodę zlustrowano na przykładze emprycznym dotyczącym uporządkowana lnowego wybranych model smartfonów. Słowa kluczowe: porządkowane lnowe, rozmyta metoda TOPSIS, lczby rozmyte, rozmyte wag, modele IRT. DOI:.56/pn Wstęp Rozmyta metoda TOPSIS umożlwa prowadzene analz w warunkach nformacj rozmytej, tj. gdy oceny obektów /lub wag kryterów wyrażone są w postac wartośc lngwstycznych. Pozwala to respondentom formułować oceny w sposób bardzej naturalny nż za pomocą lczb, ale jednocześne powoduje, że ops ten jest mnej precyzyjny subektywny. Pomocna okazuje sę teora zborów rozmytych, która pozwala m.n. wyrazć pojęca neostre nejednoznaczne za pomocą lczb rozmytych. Z uwag na to, że wynk porządkowana lnowego obektów mogą zależeć od parametrów opsujących lczby rozmyte, sposób ch estymacj wymaga odpowednch metod. elem artykułu jest przedstawene propozycj metody ustalana rozmytych współczynnków wagowych opartej na trzech modelach IRT: modelu punktów częścowych (PM), uogólnonym modelu punktów częścowych (GPM) oraz

2 Zastosowane model IRT w konstrukcj rozmytego systemu wag 7 welokategoralnym modelu Rascha (RSM). Proponowana metoda zakłada, że krytera charakteryzujące obekty wyrażone są na skal metrycznej, natomast współczynnk wagowe w postac wartośc lngwstycznych.. Rozmyta metoda TOPSIS Załóżmy, że dany jest zbór obektów A { A,..., n} { j j,..., m}, gdze X ~ { ~ x,..., n; j,..., m} ocen, a W ~ { w~ j j,..., m} zbór kryterów oznacza zbór rozmytych zbór rozmytych wag. Uporządkowane lnowe obektów przy wyżej wyszczególnonych założenach możlwe jest m.n. poprzez zastosowane rozmytej metody TOPSIS. Rozmyta metoda TOPSIS wymaga realzacj następujących kroków [hen ]: Krok. Oblczene znormalzowanych ocen: z ( x) x n Krok. Oblczene ważonych znormalzowanych ocen: Krok 3. Wyznaczene wzorca x,,..., n; j,..., m. () v ( x) wz ( x). () j + A antywzorca A rozwoju: {,,..., m } {(max ),(mn ),..., } {,,..., m } {(mn ),(max ),..., } A v x v x v x v x j J v x j J n, (3) A v x v x v x v x j J v x j J n, (4) gdze J oraz J są odpowedno kryteram wpływającym stymulująco destymulująco na kryterum syntetyczne. + Krok 4. Oblczene dla każdego obektu odległośc od wzorca d antywzorca rozwoju d (w orygnalnej pracy jest to odległość eukldesowa). Krok 5. Oblczene mary syntetycznej: + d d + + d, (,..., n). (5) Wartośc mary (5) unormowane są w przedzale <; >. Im mnejsza odległość obektu od wzorca, a wększa od antywzorca, tym wartość mary syntetycznej jest blższa jednośc. Krok 6. Ustalene rankngu obektów. Najlepszy obekt posada najwększą wartość mary syntetycznej.

3 8 Bartłomej Jefmańsk 3. Konstrukcja rozmytych współczynnków wagowych z zastosowanem model IRT Modele IRT stanową alternatywę dla klasycznej teor pomaru. Pozwalają na wyjaśnene mechanzmu leżącego u podstaw odpowadana respondenta na pozycje skal z punktu wdzena zarówno własnośc skal, jak cech respondentów zwązanych z merzonym zjawskem (np. zdolnośc, kompetencj, zaangażowana emocjonalnego tp.) [Sagan 5]. Umożlwają przekształcene wynków pomaru ze skal porządkowej w skalę przedzałową, a parametry charakteryzujące respondentów pozycje skal wyrażone zostają wspólną jednostką pomaru (określaną manem logtu) na tym samym kontnuum. Szczegółową charakterystykę model IRT można znaleźć m.n. w opracowanach: Hambleton n. [99], Embretson Rese [], Ostn Nerng [6], DeMars []. 3.. Ogólna charakterystyka wybranych model IRT Propozycja metody ustalana rozmytych współczynnków wagowych dotyczy trzech model dla kategor uporządkowanych: PM Partal redt Model [Masters 98], GPM Generalzed Partal redt Model [Murak 99] oraz RSM Ratng Scale Model [Andrch 978]. U podstaw wyszczególnonych model leżą założena o jednowymarowośc skal (wszystke pozycje skal merzą wyłączne jedną zmenną ukrytą) oraz lokalnej nezależnośc pozycj skal (odpowedź na określoną pozycję skal jest nezależna od odpowedz na nne pozycje). Modele ne znajdują zastosowana w analze ekstremalnych wzorców odpowedz na pozycje skal (np. w sytuacj, gdy respondent wybera kategorę zdecydowane neważne w ramach wszystkch pozycj skal). Prawdopodobeństwo wyboru przez n-tego respondenta kategor x ( x,,..., m) na -tej pozycj skal, odpowedno dla model PM, GPM oraz RSM, wyrażone jest wzorem: π π exp j nx m k exp k j exp exp k j x ( βn ) x ( βn ) ( ) α β n j nx m k ( ) α β n, (6), (7)

4 Zastosowane model IRT w konstrukcj rozmytego systemu wag 9 π j nx m k x k j exp βn δ + j, (8) exp βn ( δ + j) gdze: β n stopeń zdolnośc n-tego respondenta do udzelena poprawnej odpowedz na -tą pozycję skal, δ stopeń trudność -tej pozycj skal, wartość progowa dla j-tej kategor w ramach -tej pozycj skal, α parametr dyskrymnacj dla -tej pozycj skal. W modelu PM GPM odległośc mędzy wartoścam progowym ne są równe w ramach wybranej pozycj skal mogą sę różnć mędzy poszczególnym pozycjam. Model GPM różn sę od PM dodatkowym parametrem dyskrymnacj α. Model RSM jest bardzej restrykcyjny w swoch założenach w stosunku do model PM GPM, bowem zakłada, że odległośc mędzy wartoścam progowym są jednakowe dla wszystkch pozycj skal. Ponadto w ramach modelu RSM szacowany jest dodatkowy parametr δ charakteryzujący stopeń trudnośc odpowednej pozycj skal. 3.. Współczynnk wagowe jako trójkątne lczby rozmyte Wag kryterów w rozmytej metodze TOPSIS zaproponowanej przez hena [] mają postać trójkątnych lczb rozmytych scharakteryzowanych za pomocą trzech parametrów: w ~ a, b, c, (9) gdze: w ~ waga j-tego kryterum nadana przez -tego respondenta, a lewy zakres dzedzny lczby rozmytej, b środek dzedzny lczby rozmytej, dla którego wartość funkcj przynależnośc wynos, c prawy zakres dzedzny lczby rozmytej. Proponowane podejśce polega na wykorzystanu wartośc progowych, szacowanych w ramach wyszczególnonych wcześnej model IRT, do ustalena trzech parametrów lczb rozmytych. Wartośc parametrów dla uporządkowanych punktów szacunkowych skal pomarowych (określanych manem kategor lub wartośc lngwstycznych) ustalane są zgodne z odpowadającym tym punktom wartoścam progowym. Wartośc progowe wyznaczane są na kontnuum zmennej ukrytej w punkce przecęca krzywych charakterystycznych sąsadujących ze sobą kategor. Zatem wartość progową stanow punkt, w którym prawdopodobeństwo wyboru przez respondenta jednej z dwóch sąsadujących kategor jest take samo wynos,5.

5 3 Bartłomej Jefmańsk Przyjmując jako przykład 5-stopnową skalę oceny ważnośc o następujących punktach: zdecydowane neważne (ZN), neważne (N), średno ważne (ŚW), ważne (W), zdecydowane ważne (ZW), formuły na ustalene parametrów trójkątnych lczb rozmytych dla każdego z tych punktów przedstawono w tab.. Tabela. Formuły dla parametrów trójkątnych lczb rozmytych Kategora Parametry lczb rozmytych a b c ZN -4-4 N + ŚW W ZW 4 Źródło: opracowane własne. W proponowanym podejścu dwa z trzech parametrów lczb rozmytych przyporządkowanych kategorom skrajnym ustalane są arbtralne. hodz o parametry a b w przypadku perwszej kategor oraz b c w przypadku ostatnej kategor. Tak zabeg umożlwa lewo- prawostronne ogranczene skal ocen ważnośc. Gwarantuje, że wartośc mnejsze lub wększe na kontnuum zmennej ukrytej od odpowedno lewo- prawostronnego ogranczena skal w postac trójkątnych lczb rozmytych będą mały wartość stopna przynależnośc do tych lczb równą. Przyjęte w artykule wartośc wyżej wymenonych parametrów wynkają z faktu, że w modelach IRT kontnuum zmennej ukrytej często ogranczane jest do przedzału <-4;4>. Dysponując w ramach każdego z kryterów trójkątnym lczbam rozmytym opsującym poszczególne kategore skal, należy dokonać transformacj ocen ważnośc każdego z respondentów do postac stosownych trójkątnych lczb rozmytych. Wag dla każdego z kryterów, w postac trójkątnych lczb rozmytych, ustalane są na podstawe średnej arytmetycznej z ocen ważnośc wyrażonych w postac trójkątnych lczb rozmytych (zgodne z zasadam arytmetyk dla tych lczb). 4. Przykład empryczny Propozycję ustalena wag z zastosowanem trójkątnych lczb rozmytych model IRT zastosowano do uporządkowana lnowego wybranych model smartfonów dostępnych na polskm rynku. Wybrane modele były według serwsu skąpec.pl w stycznu 4 r. najczęścej wyszukwanym w sec modelam. Modele scharak-

6 Zastosowane model IRT w konstrukcj rozmytego systemu wag 3 a rozdzel- teryzowano za pomocą 7 kryterów: welkość ekranu (cale), czość ekranu w pozome (px), b rozdzelczość ekranu w pone (px), 3 lość wbudowanej rozdzelczość wbudowanego aparatu cyfrowego (Mpx), 4 pamęc (GB), 5 pamęć RAM (GB), 6 maksymalny czas rozmów (h). Ważność poszczególnych kryterów w użytkowanu smartfonów ocenono na podstawe wynków badana anketowego (anketa nternetowa) przeprowadzonego wśród użytkownków smartfonów w serpnu 4 r. Próba mała charakter celowy, a jej lczebność wynosła 47 respondentów. W ocene ważnośc zaproponowano szacunkową skalę porządkową z pęcoma punktam: zdecydowane neważne, neważne, średno ważne, ważne, zdecydowane ważne. Żaden z respondentów ne wybrał w ocene kryterów kategor zdecydowane neważne lub neważne, dlatego w dalszej analze wykorzystano pozostałe trzy. Krytera zostały znormalzowane zgodne z formułą przekształcena lnowego [Shh n. 7]. Znormalzowane wartośc kryterów wyszczególnono w tab.. Wartośc progowe dla każdego z kryterów oszacowane z zastosowanem trzech model IRT wyszczególnono w tab. 3. Tabela. Znormalzowana macerz danych Model a b Samsung Galaxy S4 I955,,5,5,6,4,6,4 Samsung Galaxy S3 93,,,,,4,8,7 myphone Next,,8,8,,3,8,4 Samsung Galaxy S III mn I89,9,7,6,6,7,8, Samsung Galaxy S DUOS S756,9,7,6,6,,6, Samsung Galaxy Note III N95,3,5,5,6,8,3,7 Sony Xpera Z,,5,5,6,4,6, Goclever Quantum 4,9,7,6,,3,4,4 Apple Phone 5 6 GB,9,9,9,,4,8,6 Sony Xpera J,9,7,7,6,,4,6 Źródło: opracowane własne. Tabela 3. Wartośc progowe dla kryterów Krytera RSM PM GPM,3 3,6 -,9,7 -,6,55 a -,8,77 -,5,6 -,5,4 b -,8,77 -,6,86 -,49,4 3 -,8,57 -,88,95 -,6,6 4 -,49,36 -,79,66-3,7 -,9 5,6 3,44,63,94 -,78 -,8,3 3,6 -,9,7 -,6,55 6 Źródło: opracowane własne z zastosowanem paketu erm programu R.

7 3 Bartłomej Jefmańsk Na podstawe wartośc progowych ustalono lczby rozmyte odpowadające poszczególnym ocenom ważnośc kryterów. Po dokonanu transformacj wynków pomaru do postac lczb rozmytych ch uśrednenu otrzymano wag dla poszczególnych kryterów (tab. 4). Tabela 4. Wag dla kryterów w postac trójkątnych lczb rozmytych RSM PM GPM Krytera a b c a b c a b c,6, 3,3 -,6,59,95 -,84,44,66 a,99,5 3,7,4,8,76 -,63,87,7 b,99,5 3,7,4,8,76 -,63,87,7 3,96,8 3,3,9,86,68 -,4,3,7 4,97,36 3,7 -,,8,8 -,94,87,84 5,9,84 3,5 -,3,97,8 -,84,4,93,83,59 3,8,,3,53 -,3,65,47 6 Źródło: opracowane własne. Tabela 5. Wynk uporządkowana lnowego obektów Model RSM PM GPM Pozycja w rankngu Samsung Galaxy S4 I955,7558,758,6979 Samsung Galaxy S3 93,4893,47483, myphone Next,785,77357, Samsung Galaxy S III mn I89,8997,5879, Samsung Galaxy S DUOS S756,46,75, Samsung Galaxy Note III N95,98537,9977,99737 Sony Xpera Z,754,69334, Goclever Quantum 4,886,498,53 Apple Phone 5 6 GB,333795,334, Sony Xpera J,658,6886, Źródło: opracowane własne. W celu ustalena współrzędnych obektu wzorcowego porównano trójkątne lczby rozmyte za pomocą metody wyostrzana zaprezentowanej w opracowanu Dnga Langa [5]. Wszystke krytera mają charakter stymulant, dlatego współrzędne wzorca ustalono jako lczby rozmyte, odpowadające wartoścom maksymalnym. Wynk uporządkowana lnowego, wraz z wartoścam mary syntetycznej, przedstawono w tab. 5.

8 Zastosowane model IRT w konstrukcj rozmytego systemu wag Zakończene Ustalene systemu wag dla kryterów w zagadnenu porządkowana lnowego obektów może bazować na nformacj pozastatystycznej być realzowane metodą ocen respondentów. W takm przypadku oceny ważnośc kryterów najczęścej wyrażone są w postac wartośc lngwstycznych. Transformacja tych wartośc do postac lczb rozmytych pozwala uwzględnć neprecyzyjność tego typu stwerdzeń oraz umożlwa zastosowane rozmytej metody TOPSIS. Jak wykazano w przykładze emprycznym, rozpętość lczb rozmytych przyporządkowanych wartoścom lngwstycznym jest zróżncowana w zależnośc od wybranego modelu IRT. Dowodz to zasadnośc przyjętego podejśca, które w przecweństwe do klasycznej teor pomaru ne zakłada jednakowych odległośc pomędzy punktam szacunkowych skal pomaru. Wybór modelu IRT ne mał wpływu na ostateczne uporządkowane obektów, pommo różnc w odległoścach od wzorca antywzorca oraz wartoścach mary syntetycznej. Należy jednak podkreślć, że są to wyłączne wstępne wynk, które posłużyły główne do charakterystyk proponowanego podejśca, a ne badana zgodnośc otrzymanych wynków z zastosowanem różnych model IRT. Realzacja drugego celu będze możlwa po zwększenu lczebnośc próby badawczej. Z kole wększa lczebność próby może skutkować wzrostem zmennośc ocen ważnośc kryterów poprzez wybór kategor do tej pory nestosowanych (czyl zdecydowane neważne neważne ). To równeż może meć wpływ na wynk uporządkowana lnowego obektów. Nowym problemem badawczym, który pojawł sę w trakce realzacj etapów rozmytej metody TOPSIS, jest wybór, w zależnośc od funkcj preferencj kryterów, wartośc maksymalnych mnmalnych jako współrzędnych wzorca antywzorca rozwoju. Pojawa sę zatem koneczność porównana trójkątnych lczb rozmytych, co wymaga zastosowana odpowednch metod. Wybór metody może meć zatem równeż wpływ na wynk uporządkowana lnowego obektów. Lteratura Andrch D., 978, A ratng formulaton for ordered response categores, Psychometrka, vol. 43, s hen.-t.,, Extensons of the TOPSIS for group decson-makng under fuzzy envronment, Fuzzy Sets and Systems, no. 4, s. -9. DeMars h.,, Item Response Theory, Oxford Unversty Press, Oxford. Dng J.F., Lang G.S., 5, Usng fuzzy MDM to select partners of strategc allances for lnear shppng, Informaton Scences, vol. -3, s Embretson S.E., Rese S.P.,, Item Response Theory for Psychologsts, Lawrence Erlbaum Assocates, Makwah. Hambleton R.K., Swamnathan H., Rogers H.J., 99, Fundamentals of Item Response Theory, Sage Publcatons, Newbury Park, A.

9 34 Bartłomej Jefmańsk Masters G.N., 98, A rasch model for partal credt scorng, Psychometrka, vol. 47, no., s Murak E., 99, A generalzed partal credt model: applcaton of an EM algorthm, Appled Psychologcal Measurement, vol. 6, s Ostn R., Nerng M., 6, Polytomous Item Response Theory Models, Sage Publcatons, Thousand Oaks. Sagan A., 5, Ocena ekwwalencj skal pomarowych w badanach mędzykulturowych, Zeszyty Naukowe Akadem Ekonomcznej w Krakowe, nr 659, s Shh H.-S., Shyur H.-J., Lee E.S., 7, An extenson of TOPSIS for group decson makng, Mathematcal and omputer Modellng, vol. 45, no. 7, s THE APPLIATION OF IRT MODELS IN THE ONSTRUTION OF A FUZZY SYSTEM OF WEIGHTS FOR VARIABLES IN THE ISSUE OF LINEAR ORDERING ON THE BASIS OF TOPSIS METHOD Summary: A fuzzy TOPSIS method assumes that the assessment of crtera or/and weght coeffcents are ntroduced n the form of trangular fuzzy numbers. An open ssue s the way to establsh parameters of these numbers. A possble soluton s an applcaton of the Item Response Theory models. The am of ths artcle s to ntroduce a suggeston of the method of establshng fuzzy weght coeffcents based on the three IRT models: PM (Partal redt Model), GPM (Generalsed Partal redt Model) and RSM (Ratng Scale Model). A suggested method was llustrated on the emprcal example concernng lnear orderng of selected models of smartphones. Keywords: lnear orderng, fuzzy TOPSIS, fuzzy numbers, fuzzy weghts, IRT models.