Nowe ujęcie ryzyka na rynku kapitałowym

Transkrypt

1 ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO nr 80 Fnanse, Rynk Fnansowe, Ubezpeczena nr 65 (014) s Nowe ujęce ryzyka na rynku kaptałowym Jerzy Tymńsk * Streszczene: Artykuł przedstawa nowe ujęce pomaru ryzyka na rynku kaptałowym. W perwszej częśc przyblżono możlwość opsana ryzyka przy pomocy mary neokreślonośc. Można zastosować marę entrop, czyl marę z zakresu teor lośc nformacj. W teor portfelowej przyjmuje sę, że decyzje nwestorske na rynku kaptałowym mogą być podejmowane poprzez mnmalzację entrop. Nowe podejśce do oceny ryzyka na rynku kaptałowym dotyczy mary z zakresu teor nezawodnośc. Mara ta ocena równeż trwałość portfela w dłuższym okrese prognozy. Ujmuje zmany stóp zwrotu, które będą mały charakter trendu, a ne rozkładu normalnego. Zastosowane mary nezawodnośc pozwala zbudować optymalny portfel na podstawe mnmalnej wartośc λ (tj. wskaźnka ntensywnośc występowana nekorzystnych stóp zwrotu z nstrumentów fnansowych w okrese badawczym). Słowa kluczowe: ryzyko, portfel nwestycyjny, entropa, nezawodność Wprowadzene Teora ryzyka portfelowego jest znaczne rozbudowana, jednakowoż ograncza sę ona do problemów determnstycznych. Modele probablstyczne ryzyka ne są powszechne stosowane (np. VaR wartość ryzykowna) ( Zarządzane ryzykem ). Poza tym wymagają one spełnena założena o normalnośc rozkładu stóp zwrotu analzowanych walorów, co ne zawsze jest możlwe (m.n. w przypadku ujemnych stóp zwrotu nstrumentów fnansowych). W mejsce tych mar ryzyka można zaproponować mary z obszaru teor nformacj entrop oraz teor nezawodnośc, które są pozbawone w wększośc takch mankamentów. 1. Ryzyko portfela w ujęcu mary neokreślonośc (nepewnośc) W lteraturze do pomaru ryzyka na rynku kaptałowym najczęścej sugeruje sę zastosowane statystycznego podejśca, gdze marą ryzyka jest np. odchylene standardowe. Podejśce take wąże sę, mędzy nnym, z założenem stnena określonych rozkładów prawdopodobeństwa stóp zwrotu, np. rozkładu normalnego (Tarczyńsk 001). Pojęce ryzyka można także rozpatrywać na grunce teor nformacj, w której proponuje sę marę pozwalającą ustalć stopeń neokreślonośc decyzj nwestycyjnej, w znaczenu ryzyka. * dr Jerzy Tymńsk, prof. Wyższej Szkoły Gospodark Krajowej w Kutne, tel

2 746 Jerzy Tymńsk Nepewność (neokreśloność) jest nerozerwalne zwązana z każdym zdarzenem losowym, co utrudna proces podejmowana decyzj. Istotnym zagadnenem staje sę konstrukcja odpowednej mary (h) jej loścowa ocena. Jedną z możlwych mar jest entropa, czyl mara lośc nformacj, natomast narzędzem matematycznym przydatnym do analzy zdarzeń z obszaru nepewnośc jest rachunek prawdopodobeństwa, umożlwający określene prawdopodobeństw zajśca zdarzeń losowych. I tak (Wybrane problemy 004: 31): 1) m zdarzene jest mnej prawdopodobne, tym wększa nepewność co do jego wystąpena: h( p ) > h( p ) jeśl p < p (1) 1 1 gdze p oznacza prawdopodobeństwo. ) neokreśloność zdarzena łącznego (polegającego na równoczesnym zajścu dwóch zdarzeń 1) ) jest wększa od sumy neokreślonośc tych zdarzeń, czyl: h( p p ) > h( p ) + h( p ) () 1 1 3) w przypadku zdarzena pewnego W, neoznaczoność pownna wynosć zero, czyl h( W= ) 0. Jedyną funkcją matematyczną spełnającą te wszystke postulaty, jest funkcja zaproponowana przez Hartley a (Wybrane problemy 004: 31): gdze a jest dowolną lczbą z przedzału (1, ). hp ( ) = log (1/ p) = log p (3) a a W teor nformacj najczęścej stosuje sę logarytm przy podstawe: a =, wówczas jednostką nformacj jest bt (szanon), a = e jednostką nformacj jest nat (nt), a = 10 jednostką nformacj jest dt (hartley). Entropa bezwarunkowa zdarzeń ze zboru X (o wartoścach zmennej losowej X) jest welkoścą: m H( X) = å ph( p) (4) gdze h(p ) jest nepewnoścą co do rezultatu rozpatrywanego zdarzena. = 1 Zatem jest ona średną arytmetyczną ważoną lośc nformacj otrzymanych przy zajścu poszczególnych zdarzeń o wagach równych prawdopodobeństwu tych zdarzeń (encyklopedapwn.pwn.pl).

3 Nowe ujęce ryzyka na rynku kaptałowym 747 Z kole entropą zmennej losowej skokowej X nazywamy welkość H(X) określoną następująco: m H( X) = å p log p (5) gdze X jest zmenną losową, przyjmującą wartośc x z prawdopodobeństwam = 1 p ( PX { = x} = pdla = 1,..., m). Entropa zmennej losowej cągłej X opsanej gęstoścą prawdopodobeństwa f(x) ma postać 1 : lub w szczególnośc dla zmennej losowej o rozkładze a) jednostajnym na przedzale <a, b>: b) normalnym: + H(X)= f ( x)log f ( x) dx (6) H( X) = log ( b a) (7) H X ( ) log ( e ) 1 = π σ (8) 1 H( X) = lg ( πe) + log ( σ) (9) W teor portfelowej przyjmuje sę, że jeżel nwestor rozważa nstrumenty fnansowe na rynku kaptałowym o takej samej korzyśc, ale charakteryzujące sę różnym stopnem ryzyka, to wybera warant mnej ryzykowny, a w ujęcu teor nformacj, warant o mnejszej neokreślonośc. Za kryterum optymalnej decyzj nwestycyjnej, wyboru optymalnego portfela, można wówczas uznać mnmalzację entrop (mary neokre ślonośc). Warto zwrócć uwagę, że marą dobrze obrazującą zróżncowane zborowośc jest ndeks entrop : E = [H(A)/H max ) 100% (10) Jest to mara unormowana, przyjmuje wartośc z przedzału 0%, 100%. 1 Entropa dla rozkładu normalnego jest równa: H ( x) = e lg e dx = e ç æ - ö dx ln çè s ø + ò ( x-m) ( x-m) + ( x-m) ( x m) s s s ç -. ò - - Marę tę zaproponowała Cz. Olbrycht w: Entropa jako mara zróżncowana dla cech jakoścowych, Prace Instytutu Ekonometr Statystyk UŁ, sera B, nr 8, Wydawnctwo Unwersytetu Łódzkego, Łódź 1976, s. 17.

4 748 Jerzy Tymńsk Brak jakoścowego zróżncowana zborowośc oznacza zborowość jednorodną. Wówczas wartość E = 0, gdy H(Y) = 0, czyl przy możlwym jednym warance cechy. Entropa osąga wartość maksymalną, jeżel częstość występowana każdego warantu cechy jest taka sama. Zatem maksymalna wartość ndeksu E wskazuje na zupełną nejednorodność zborowośc, na jej maksymalne jakoścowo zróżncowane pod względem danego sposobu klasyfkacj. Dla przykładu ocene poddano dwa portfele rynkowe A, B, C, D oraz E w odrębnych (różnących sę) sytuacjach decyzyjnych ryzyka (z punktu wdzena neokreślonośc), dla których dane zawera tabela 1. Tabela 1 Prawdopodobeństwa wystąpena odpowednej sytuacj na rynku Sytuacja na rynku Prawdopodobeństwa zastnena określonej sytuacj na rynku Portfel A Portfel B Portfel C Portfel D Portfel E Bardzo zła 0, 0, 0, 0,1 0,05 Nepomyślna 0, 0, 0,1 0,3 0,10 Stablna 0, 0,1 0,4 0,3 0,15 Dobra 0, 0,3 0, 0,1 0,55 Bardzo dobra 0, 0, 0,1 0, 0,15 Źródło: badana własne. Dla porównana stopna trudnośc wyboru optymalnej decyzj dla tych portfel, z punktu wdzena neokreślonośc sytuacj na rynku, wyznaczamy ch entropę ze wzoru (5) ndeksy entrop ze wzoru (10). W tabel zawarto wynk oblczeń dla rozważanych portfel. Na podstawe przeprowadzonych oblczeń można stwerdzć, że najnższą neokreśloność, równą 1,84, ma portfel E, co oznacza najwększe zróżncowane wartośc prawdopodobeństw zastnena odpowednch sytuacj na rynku. Indeks entrop dla tego portfela jest równeż najnższy (79,40%). Najwyższy pozom entrop H =,3, zgodne z przewdywanam, ma portfel A, w którym występuje równomerny rozkład prawdopodobeństw. Wobec tego najwyższe ryzyko, w sense neokreślonośc, posada portfel A kolejno: B, C, D, E. Funkcję ryzyka w ujęcu teor nezawodnośc można wyrazć jako loraz funkcj gęstośc prawdopodobeństwa zawodnośc do prawdopodobeństwa nezawodnośc. Stąd funkcję ryzyka można zapsać: nz nz nz H () t = f ()/ t R () t, gdze: h nz (t) ryzyko w teor nezawodnośc, f nz (t) funkcja gęstośc w teor nezawodnośc, R nz (t) funkcja nezawodnośc.

5 Nowe ujęce ryzyka na rynku kaptałowym 749 Tabela Wynk oblczeń dla przykładu Portfel Sytuacja na rynku p log p p log A bardzo zła 0,,319 0,4644 nepomyślna 0,,319 0,4644 stablna 0,,319 0,4644 dobra 0,,319 0,4644 bardzo dobra 0,,319 0,4644 H max,319 ndeks entrop E 100,00 B bardzo zła 0,,319 0,4644 nepomyślna 0,,319 0,4644 stablna 0,1 3,319 0,33 dobra 0,3 1,7370 0,511 bardzo dobra 0,,319 0,4644 H max,464 ndeks entrop E 96,70 C bardzo zła 0,,319 0,4644 nepomyślna 0,1 3,319 0,33 stablna 0,4 1,319 0,588 dobra 0,,319 0,4644 bardzo dobra 0,1 3,319 0,33 H max,119 ndeks entrop E 91,40 D bardzo zła 0,1 3,319 0,33 nepomyślna 0,3 1,7370 0,511 stablna 0,3 1,7370 0,511 dobra 0,1 3,319 0,33 bardzo dobra 0,,319 0,4644 H max,1710 ndeks entrop E 93,50 E bardzo zła 0,05 4,319 0,161 nepomyślna 0,10 3,319 0,33 stablna 0,15,7370 0,41,05 dobra 0,55 0,865 0,4744 bardzo dobra 0,15,7370 0,4105 H max 1,8438 ndeks entrop E 79,40 Źródło: oblczena własne z wykorzystanem arkusza kalkulacyjnego Excel. p

6 750 Jerzy Tymńsk W teor nezawodnośc (w ujęcu portfelowym) R nz (t) wyrażona jest formułą Wenera, t - ò l () t dt nz 0 postac: R () t = e gdze l () t oznacza funkcję ntensywnośc pojawena sę nekorzystnych (ujemnych bądź nskch wartośc) stóp zwrotu. Wartość l () t statystyczne moż- én(1 +D) -Nù na określć wzorem: l () t =- ê N0 + N ú (Tymńsk 013: 109), gdze N wyrażają ë û zmodyfkowane współczynnk zmennośc (Tymńsk 013: 100). W pracy Tymńskego (013) została określona wartość l () t, a następne skumulowana wartość λ (t), czyl λs(t) dla akcj wyrażonej w postac zmodyfkowanego współczynn- æ s p ö ka zmennośc ç Rt (), dla dzesęcu okresów. Dla tych okresów przyjęto przecętną war- çè ø tość, tj. λ s(10)/10, uzyskując z kole wartość przedzałową we wzorze Wenera. Przy czym, w wynku przeprowadzonych badań 3, okazało sę ż wskaźnk ten w ustalonym przedzale nz s() t 0:10 ne wykazuje rozkładu normalnego, lecz trend wykładnczy. Stąd R () t = e l. Konkretna wartość l s(10) = 0, dla akcj WWL (por. załącznk). Dowodz to pozomu nezawodnośc: R ( t) WWL nz 0, = e - = 0,98. Reasumując: akcja WWL ma pozom nezawodnośc wyrażony prawdopodobeństwem realzacj w wysokośc 9,8% przy ryzyku 1,94%. Przeprowadzony proces badawczy dla tej akcj (także GTC oraz æ s p ö RPC) (por. załącznk), wyrażonej we wskaźnku ç Rt (), przedstawony jest w pracy çè ø Tymńskego (013: ). Należy zauważyć, ż ryzyko wyrażone w funkcj wykładnczej charakteryzuje sę dodatkowo stałoścą w czase, to 1/l będze oznaczać średn czas stnena ryzyka, a węc funkcja nezawodnośc będze meć rozkład wykładnczy. Przeprowadzone badana upoważnają do przyjęca założena, ż kształt λs(t) jest gładk w końcowym odcnku okresu badawczego, co umożlwa dokonane oceny ryzyka przy założenu rozkładu gamma postac: ll ( r)) f() r = b-1 -l( r) -r b-1 e r dr W tej sytuacj można przyjąć dla parametru kształtu β = ò l ( r ) l( lr)) e lexp( -lr) lexp( -lr) f( r) = = = = lexp( -lr), -r 1-1 -r é - r e r dr e dr e ù êë úû 0 ò gdze: r = R (stopa zwrotu). ò e. 3 Zastosowanym wykładnkem Hursta (Tymńsk 013: 7).

7 Nowe ujęce ryzyka na rynku kaptałowym 751 Stąd także: r r éexp( -l r) ù r F( r) = ò f ( r) dr = ò lexp( - lr) dr = l =- [ exp( - lr] 0 = 1-exp( -lr ). êë -l úû 0 0 Przyjmując dalej, ż funkcja nezawodnośc w analzowanej sytuacj ma rozkład wykładnczy, czyl R( r) = exp( λr), możemy zapsać: lexp( -lr ) l() r = = l (= constans). exp( -l r) Wówczas będze: funkcja gęstośc f() t = le -lt, funkcja rozkładu Ft () = 1- c -lt, nz t funkcja nezawodnośc R () t = e -l, funkcja ryzyka ht () = l. (parametr λ we wszystkch funkcjach oznacza ntensywność występowana nekorzystnych w czase wartośc stóp zwrotu). Funkcję wykładnczą funkcję ryzyka przedstawono na rysunku 1. f(t) λ h(t) λ 1 e λ t t e λ t a) b) t Rysunek 1. Funkcja wykadncza (a) funckja ryzyka (b) Źródło: Badana własne. Uwag końcowe Zaproponowane nowe ujęca ryzyka w ocene decyzyjnej nwestowana na rynku kaptałowym mają pozytywne właścwośc trafnego wyboru nstrumentów fnansowych portfela akcj. Ujmują bowem w znacznym stopnu sytuacje nepewnośc (neokreślonośc), zmennośc uwarunkowań, zarówno na rynku kaptałowym, jak gospodarce kraju. Stąd też zarówno w wyborze nstrumentów fnansowych, jak konstrukcjach portfelowych na dłuższe okresy prognostyczne, należy kerować sę oceną sytuacj na rynku (stosować mary

8 75 Jerzy Tymńsk entrop) bądź, przy znacznej zmennośc nekorzystnych stopach zwrotu, oceną ryzyka w ujęcu nezawodnośc. Zastosowane jednakże mary nezawodnoścowej pownno być poprzedzone badanem kształtowana sę (oceną rozkładu) stóp zwrotu. Tutaj ważne jest, by ukształtowane ch mało charakter trendu, np. oceny wartośc wykładnka Hursta. Szczególne przydatne jest ryzyko w ujęcu nezawodnośc, gdyż daje obektywny obraz w ocene postac portfela. Określene ryzyka w ujęcu teor nezawodnośc pozwala równocześne na określene stopna prawdopodobeństwa realzacj akcj w portfelu, co jest stotne dla decyzj zachowana portfela w dłuższym okrese. Lteratura Tarczyńsk W., Mojsewcz M. (001), Zarządzane ryzykem, PWE, Warszawa. Tymńsk J., Zawślak R. (008), Dwukryteralna koncepcja wyboru nstrumentów fnansowych dla efektywnej konstrukcj portfela jego optymalzacja na rynku kaptałowym, w: Zarządzane fnansam, red. D. Zarzeck, Wydawnctwo Unwersytetu Szczecńskego, Szczecn. Tymńska M. (009), Logstyczne projekty nwestycj zarządzane nm w warunkach ryzyka, Wydawnctwo Unwersytetu Szczecńskego, Szczecn. Tymńsk J. (013), Ekonomczne aspekty optymalzacj nwestycj długookresowych, Wydawnctwo Weś Jutra, Warszawa. Wybrane problemy loścowej analzy portfel akcj (004), red. D. Kopańska-Bródka, Prace Naukowe Akadem Ekonomcznej w Katowcach, Katowce. Zarządzane ryzykem (009), red. K. Jajuga, Wydawnctwo Naukowe PWN, Warszawa. Załącznk 1 Spółk () Stopy zwrotu z 10 okresów mesęcznych Mesęczne stopy zwrotu akcj w % R 1 R R 3 R 4 R 5 R 6 R 7 R 8 R 9 R 10 Średne stopy zwrotu r APL 0,64 3,3 1,33,36 9,00 33,84 14,0 9,95 49,3 6,8 8,39 BDX 3,08 8,3 0,70 7,6 0,00 10,00 5,56 18,4 0,00 4,00 0,58 GRJ,46,06 4,48 3,94 4,17 6,18 1,15 5,41 3,51 6,44 5,89 GTC,01 18,75 1,50 6,67 5,56 6,6 18,6 18,0 8,33 9,79 10,07 INT 5,00 0,6 0,43 4,9 11,1 8,83 4,4 47,6 0,36 7,86 14,8 JTZ 0,7 6,00 6,47 3,67 8,55 0,13 15,33 10,98 10,6 6,80 0,93 KRS 7,14 1,50 19,5 5,33 10,11 5,00 4,61 0,63 1,50 3,57 3,84 PEO 1,13 4,88 8,64 11,01 13,50 1,10 0,85 0,69 8,77 1,06 3,5 PKM 1,35 1,63 4,04 0,00 6,03 3,66 7,06,56 6,43 1,01 4,01 RPC 9,76 1,13,40 0,49 3,96 0,95 17,31 4,51 1,96 5,77 5,16 SKA 6,43 9,89 0,41 8,98 4,48 8,15 5,56 5,6 1,43 7,97 1,7 WWL 0,63 0,4,08 1,47,16 10,9 1,00 1,79 35,67 0,86 7,51 WIG 4,17 7,4 3,5 7,68 5,78 6,50 4,8 5,5 4,8 3,01 3,3 Źródło: opracowane własne w oparcu o dane z gazety PARKIET.

9 Nowe ujęce ryzyka na rynku kaptałowym 753 A NEW APPROACH TO RISK IN THE CAPITAL MARKET Abstract: The artcle presents a new approach to measurng rsk n the captal market. The frst secton shows how rsk can be descrbed by means of a measure of uncertanty. An entropy measure may be appled,.e. a measure offered by nformaton theory. The portfolo theory assumes that n the captal market nvestors may make ther decsons by mnmzng entropy. The new approach to the assessment of captal market rsk utlzes a measure borrowed from relablty theory. The measure can also be used to assess portfolo sustanablty n a longer forecast perod. It takes account of changes n rates of return formng a trend and not a normal dstrbuton. Wth a measure of relablty an optmal portfolo can be assembled based on the mnmal value of λ (an ndcator of the frequency of occurrence of unfavourable rates of return from fnancal nstruments n the perod of research). Keywords: nvestment portfolo, entropy, relablty Cytowane Tymńsk J. (014), Nowe ujęce ryzyka na rynku kaptałowym, Zeszyty Naukowe Unwersytetu Szczecńskego nr 80, Fnanse, Rynk Fnansowe, Ubezpeczena nr 65, Wydawnctwo Naukowe Unwersytetu Szczecńskego, Szczecn, s ;

10