R k Punkty stanowiące granice poszczególnych klas ustala się z dokładnością do /2, gdzie jest

Transkrypt

1 Nech Elemey Saysy Opsowej Szereg rozdzelczy hsogram łamaa częsośc ędze -elemeową próą Rozsępem z pró azywamy R ma m rzy węszej lczośc pró ( 30) w celu uławea aalzy daych warośc lczowe pró grupuje sę w lasach (ajczęścej o jedaowej długośc) przyjmując uproszczoe założee że wszyse warośc zajdujące sę w daej lase są deycze ze środem lasy Lcza las - Lczość pró Lcza las Na ogół e sosuje sę lczy las węszej od 30 Długość lasy - R ( R) uy saowące grace poszczególych las usala sę z doładoścą do / gdze jes doładoścą pomaru Ozaczmy przez lczość -ej lasy Oczywśce Szereg rozdzelczy (Frequecy aulao) Szeregem rozdzelczym azywamy cąg par lasy Cąg ( ) gdze jes środem -ej azywamy rozładem lczośc adaej cechy przy daej lcze las rzyład Włada opowa ezpecza o aężeu zamoowym 0A wa zgode z ormą wyrzymać ez przepalea sę aężee 8A w cągu godzy W celu sprawdzea zgodośc z ormą z par włade opowych ego ypu porao losowo 40 szu zaoowao czasy przepalea sę wład przy aężeu prądu 8A Orzymao asępujące wy w muach: Dla przedsawoej pró zudować szereg rozdzelczy oraz arysować hsogram łamaą częsośc Rozwązae Zauważmy że m 4 oraz ma 75 Zaem rozsęp z pró R = 34 oeważ lczość pró = 40 o wygode jes przyjąć lczę las = 7 oraz szeroość lasy = 5 ym samym orzymujemy asępujący szereg rozdzelczy:

2 Nr lasy Klasa w N W gdze N j j oraz W j w j są lczoścam częsoścam łączym odpowedo Mary opsowe : wyzaczae welośc ajardzej reprezeaywych rozproszea sośośc spłaszczea adaej cechy rzyład Załóżmy że sajemy przed asępującym prolemem promocj W wyu odejśca jedego z erowów zwolło sę odpowede saowso a o mejsce chcemy przeszeregować jedego z aszych pracowów Wszyscy pracowcy aszej frmy po perwszym rou pracy przechodzą es mający oceć ch przydaość a saowsu erowczym Jedaże osao sam es uległ zmae część pracowów jes oceoa według owej sal oce Zasadą jes że promuje sę pracowa óry osągąl ajlepszy wy Oazało sę że jes dwóch adydaów o wyach 43 (owy es) oraz 9 (sary es) Oczywśce e yłoy w porządu poddawae owemu esow pracowa óry osągął wy 9 W ja sposó porówać e dwa wy? Jae dodaowe formacje musmy uzysać żey o porówae yło możlwe? Mary środa rozładu - wyzaczae welośc ajardzej reprezeaywych Średa (Average): lu dla daych pogrupowaych w lasy Medaa (Meda): m med lu med l dla daych pogrupowaych m gdze m ozacza umer lasy meday l - lewy oec lasy meday a uporządowaą próę Moda (Mode): Waroścą modalą (modą domaą) mod pró o powarzających sę waroścach azywamy ajczęścej powarzającą sę warość o le seje e ędącą m a eż ma W przypadu daych pogrupowaych modą azywamy środe ajlczejszej lasy za wyjąem las srajych Jeżel w szeregu rozdzelczym ajlczejszym są oe lasy sraje o szereg rozdzelczy azywamy aymodalym ypu U a środe ajmej lczej lasy aymodą Gdy ajlczejsza jes jeda z las srajych wedy szereg

3 rozdzelczy azywamy aymodalym ypu J W przypadu gdy seje węcej ż jeda warość modala o rozład aej cechy azywamy rozładem welomodalym rzyład (cd) oeważ = 40 o med pogrupowaych orzymujemy Naomas dla daych med poeważ m = 4 Oczywśce mod = 58 6 H s o g r a m c e c h y j e d o m o d a l e j H s o g r a m c e c h y d w u m o d a l e j H s o g r a m c e c h y a y m o d a l e j y p u J H s o g r a m c e c h y a y m o d a l e j y p u U Dla pró z populacj o rozładze symeryczym wszyse mary środa rozładu dają warośc zlżoe z mod med Naomas dla rozładów asymeryczych mamy asępującą zależość empryczą : mod 3 med

4 Rozł ad cechy dodao sośej Rozł ad cechy ujeme sośej mod med med mod UWAGA: Dla małych pró średa jes wrażlwa a zmay w próce Dodae jedej ardzo dużej alo ardzo małej warośc może dramaycze zmeć warość średej Dlaego dla małych pró medaa jes zacze odporejsza a wysępowae w próce warośc eypowych (oulers) Mary rozproszea Rozsęp z pró (Rage): R ma m Waracja (Varace): s lu s dla daych pogrupowaych Odchylee sadardowe (Sadard Devao): s s Rozsęp mędzywarylowy (Ierquarle Rage): IQR Q 3 Q gdze Q Q 3 są odpowedo dolym górym warylem zdefowaym asępująco: Q Q 3 p-y q-wayl (Quale): q p q p q p q Na przyład dla p = q = mamy medaę a dla p = p = 3 oraz q = 4 oa waryle Dla q = 0 mamy decyle a dla q = 00 perceyle Odchylee pseudosadardowe (seudo-sadard Devao): SD IQR 35 jes odchyleem mędzywarylowym dla rozładu N(0) 35

5 Jeżel SD < s o adaa cecha ma "łuse ogoy" W przypadu SD > s rozład ma "wyrzuszee" w środu ylo dla SD s oraz symer moża uzać że dae pchodzą z rozładu ormalego Współczy zmeośc (Coeffce of Varao): v s 00 (%) Dysryuaa emprycza momey emprycze sośość spłaszczee Dysryuaa emprycza: F I jes o dysryuaa zmeej losowej o rozładze jedosajym a zorze warośc pró Mome zwyły rzędu l : m l l lu m l l dla daych pogrupowaych Mome ceraly rzędu l : M Oczywśce m l l l oraz s M l lu M dla daych pogrupowaych Współczy sośośc (Sewess): M g s 3 3 w SAGRAFIE g M 3 3 s Wspólczy e charaeryzuje sośość rozładu adaej cechy W prayce przyjmuje sę że dla g < 05 rozład jes symeryczy aomas dla g > moco sośy Za współczya wsazuje w órą sroę jes sośa cecha Dla warośc dodaej mamy sośość w prawo a dla ujemej w lewo Współczy sośośc sadaryzoway (Sadardzed Sewess): 6 g Ides sośośc earsoa (earso Ide of Sewess): I 3 s med Warośc desu I erpreuje sę podoe ja warośc współczya g Ides e jes wygodą oceą sośośc w syuacj gdy e dyspoujemy specjalym programem olczeowym gdyż e porzea olczać warośc rzecego momeu ceralego Współczy spłaszczea - uroza (Kuross):

6 m l d o u l e r e r e m e o u l e r g M s w SAGRAFIE M 4 g 3 4 s Dla cechy o rozładze ormalym lu podoym uroza w przylżeu jes rówa zeru Warośc mejsze od zera śwadczą o spłaszczeu rozładu w porówau do rozładu ormalego aomas warośc dodae o ym że rozład ma p Kuroza sadardowa (Sadard Kuross): 4 g Sadaryzacja warośc w próce (z-score): z s Operacja a jes operacją przesalowaa daych W przypadu dwóch różych próe o rozładach symeryczych zlżoych do rozładu ormalego pozwala a porówywae mędzy soą ch warośc Korzysając z własośc rozładu ormalego moża przypuszczać że dla pró o rozładze zlżoym do ormalego prawe wszyse z 3 ooło 95% z a ooło 68% z Dlaego eż warue z > 3 przyjmuje sę jao ryerum wyryca warośc eypowej (ouler) Bo ad Whser lo Bo-ad-W hser lo rzy worzeu wyresu ypu Bo-ad-Whser lo rzy środowe le odpowadają waroścom waryl oraz meday odpowedo Szeroość "pudeła" rówa jes zaem rozsępow mędzywarylowemu IQR Długośc "wąsów" zależą od rozładu warośc w próce rówe są odpowedo odległośc ajmejszej warośc w próce meszczącej sę w przedzale o szeroośc 5IQR a lewo od dolego waryla oraz odległośc ajwęszej warośc w próce meszczącej sę w przedzale o szeroośc 5IQR a prawo od górego waryla Wszyse warośc poza wymeoym przedzałem raowae są jao warośc eypowe rzy czym rozróża sę warośc esremale eypowe (węsze od Q3 3 IQR lu mejsze od Q 3 IQR) Wyres e po raz perwszy wprowadzoy przez Jueya w 977 rou jes czasam azyway wyresem pęcu lcz (fve-umer summary) poeważ przedsawoe są a m waryle medaa oraz warośc esremale w próce Jes o ajprosszy sposó zorazowaa daych przy pomocy mar pozycyjych

7 Rozwązae prolemu promocj Z zeraych wyów perwszego esu mamy = 6 med = 9 oraz s = 8 odoe osoy óre przeszły drug es uzysały wy = 078 med = 049 oraz s = 74 W ou przypadach esow poddao po luse pracowów oeważ zarówo w perwszym ja w drugm przypadu moduł desu sośośc jes mejszy od 05 (dla perwszego esu I = - 03 dla drugego I = 05) moża przyjąć że ocey mają rozłady symerycze Olczmy warośc sadaryzowae dla ou wyraych pracowów: z 9 oraz z Z porówaa ou lcz wya że perwszy pracow uzysał relaywe lepszą oceę Warośc eypowe (Oulers): Węszość sadardowych meod wosowaa saysyczego załada że mamy do czyea z próą z rozładu ormalego oeważ praycze 00% oserwacj z populacj o rozładze ormalym zawera sę w przedzale [ -3s +3s] o oserwacje e wpadające do ego przedzału raowae są jao oserwacje eypowe Jeśl e jes prawdą ż cecha ma rozład ormaly o olczoe z pró warośc średej odchylea sadardowego e dają pełego orazu rozładu adaej cechy Zaoserwowae eypowych warośc esremalych w próce zw oulers może spowodować prolem w ch erpreacj Oóż warośc eypowe mogą sygalzować fa ż próa e pochodz z rozładu ormalego lu że asąpł łąd przy zerau daych (zły pomar lu łąd w zapse) W węszośc przypadów warośc eypowe są wyem rzeczywsego mechazmu losowego e moża ch pomjać z rozważań jeda wówczas warośc średej odchylea sadardowego mogą yć ocążoe łędem Jeżel warośc eypowe supają sę po jedej sroe średej o asępuje przesuęce średej jeżel są rozłożoe symerycze o średa może yć dorym oszacowaem środa rozładu ale odchylee sadardowe może yć zy duże Zarówo średa ja odchylee sadardowe e są odpore a efe wysępowaa warośc eypowych erwszym roem przy sprawdzau ormalośc adaej cechy jes usalee czy wśród daych zeraych w próce wysępują warośc eypowe jeśl a o czy moża je przypsać popełoym łędom w race zeraa daych Jeśl e o zaczy że cecha ma rozład sośy (warośc eypowe uładają sę po jedej sroe) lu ma "długe ogoy" (log-aled) W ou przypadach używae średej odchylea sadardowego do ocey odpowedch paramerów jes ardzo ryzyowe Wyrywae warośc eypowych Najprosszym sposoem wyrywaa warośc eypowych jes swerdzee czy leżą w przedzale rzech odchyleń sadardowych woół średej z czy warośc po sadaryzacj są węsze co do warośc ezwzględej od 3 Jeda ja o zosało swerdzoe powyżej ae posępowae może yć oarczoe łędem Ie podejśce do ego prolemu zapropoował uey jes o zw Bo-ad-Whser lo óry zosał omówoy wcześej Dae ucęe wsorowse (rmmed ad Wsorzed Daa Ses): Ławość wyzaczaa procedur wosowaa saysyczego dla średej odchylea sadardowego w porówau z medaą warylam spowodowała poszuwaa przez saysyów możlwośc adapowaa zoru daych w e sposó żey moża yło je lczyć C Wsor zauważuł że węszość daych empryczych jes zlżoa do daych ormalych w środu zmeośc a odsępswa pojawają sę zwyle a rzegach W przypadu gdy warośc eypowe są jedyym powodem odsępswa od ormalośc o usuęce ch z próy może spowodować rozwązae prolemu oczywśce pod waruem

8 że adaa cecha ma rozład symeryczy owsaje pyae le daych usuąć Zwyle usuwa sę po 0% pró z ou sro z po 0 oserwcj ajmejszych ajwęszych W MINIAB-e uca sę po 5% z ou sro W dalszym cągu średą odchylee sadadowe dla daych ucęych ędzemy ozaczać przez s odpowedo Ne zawsze ae posępowae jes zadawalające Ma o szczególe zaczee dla małych lczych próe przy ocee odchylea sadardowego óre w prayce może yć zacze węsze ż olczoe dla daych ucęych Wówczas dooujemy zw wsoryzacj daych z zasąpea daych odrzucaych waroścą ajmejszą lu ajwęszą z pró ucęej ym samym e zmeamy lczośc pró a jedye dooujemy zawężea rozsępu z pró Średą odchylee sadadowe dla daych W s W odpowedo wsoryzowaych ędzemy ozaczać przez rzyład Wyrao losowo 5 osó osągających dochody powyżej 4 ys LN mesęcze uzysao asępujący rozład częsośc: Wyzaczyć śred we We Częsość Rozwązae = 4 s = 764 Q = 38 oraz Q 3 = 58 zaem IQR = 5 a SD = 37 Korzysając z wyresu Bo-ad-Whser lo swerdzamy że są dwe oserwacje eypowe: W celu wyzaczea średej ucęej odrzucamy po 3 oserwacje z ażdej sroy s = 30 Nowy zór daych e ma już warośc eypowych W ou =4084 a przypadach medaa jes rówa 40 ommo że dae po ucęcu są symerycze o w s co śwadczy o dużych ogoach ożej podae zosały dalszym cągu SD() = 59 < olczea wyoae przy użycu paeu MINIAB MB > pr c C MB > oplo c I + I * * C MB > descre c N MEAN MEDIAN RMEAN SDEV SEMEAN C MIN MA Q Q3 C MB > pr c # dae ucęe po 5% z ou sro

9 C MB > oplo c I + I C MB > descre c N MEAN MEDIAN RMEAN SDEV SEMEAN C MIN MA Q Q3 C

10 Wosowae saysycze Model saysyczy podsawowe prolemy saysy maemayczej Saysya maemaycza jes dzałem proalsy podoe ja w rachuu prawdopodoeńswa zajmuje sę adaem model maemayczych (proalsyczych) pewych zjaws losowych Saysya jes ścśle zwązaa z rachuem prawdopodoeńswa jedaże jej pu wdzea jes odmey W rachuu prawdopodoeńswa mamy przesrzeń proalsyczą z jedozacze oreśloym rozładem prawdopodoeńswa óry asępe wyorzysujemy do wyzaczaa prawdopodoeńsw eresujących as zdarzeń losowych W saysyce aomas e załada sę pełej zajomośc rozładu prawdopodoeńswa óry jes cechą saysyczą elemeów adaej zorowośc (populacj geeralej) uem wyjśca ażdego adaa saysyczego jes wylosowae (czasem przeprowadzee pewych dośwadczeń) z całej populacj pewej sończoej (czasam losowej) lczy elemeów zadae ch ze względu a oreśloą cechę (zmeą losową) Zawsze załadamy że o posadamy pewą wedzę a pror z że prawdzwy rozład prawdopodoeńswa zmeej losowej ależy do pewej lasy rozładów prawdopodoeńswa W wyu zaoserwowaa realzacj cechy chcemy uścślć aszą wedzę o rzyład rzedmoem adaa jes symera pewej moey Dooujemy rzuów w wyu órych orzymujemy (0 ) orłów Jeżel ozaczymy przez losową lczę orłów uzysaych w ezależych rzuach o p p gdze p(0) jes (ezaym) prawdopodoeńswem wypadęca orła w jedym rzuce rzyładowe pyaa jae możemy sawać o : "le wyos p?" "czy moea jes symerycza (czy p=05)?" erwsze pyae jes pyaem o oceę warośc ezaego parameru rozładu prawdopodoeńswa adaej cewchy a część wosowaa saysyczego óra zajmuje sę odpowedzam a ego rodzaju pyaa os azwe eor esymacj Druge pyae jes przyładowym prolemem weryfacj (adaa prawdzwośc) hpoez saysyczych Dowole dwe -elemeowe pró z ej samej populacj są a ogół róże Zaem wosowae saysycze opare a częścowej formacj dosarcza jedye wosów warygodych - a e asolue prawdzwych Wygode jes zaem próę z cąg lczowy raować jao realzację pewego cągu zmeych losowych gdze wylosowaych elemeów jes zmeą losową o zorze warośc -ego spośród Model saysyczy uem wyjśca w aszych rozważaach ędze zawsze pewe eleme losowy (zmea losowa sończoy lu esończoy cąg zmeych losowych) odpowadający wyow esperymeu czy oserwacj óry ędzemy azywal próą Zór warośc elemeu losowego azywamy przesrzeą próy W dalszym cągu ędzemy załadal że jes pewym sończoym lu esończoym zorem przelczalym alo pewym oszarem w przesrze R Nech = ędze rodzą rozładów prawdopodoeńswa a :

11 przesrze pró desowaą pewym paramerem Doładej jes rodzą rozładów prawdopodoeńswa a odpowedm -cele zdarzeń losowych Jedaże przy aszym założeu o przesrze pró ędze o -cało wszysch podzorów alo -cało podzorów orelowsch dlaego eż e ędzemy ego specjale podreślal Zauważmy że dopó c e załadamy o zorze desów o parameryzacja rodzy rozładów odywa sę ez sray ogólośc poeważ jao paramer rozładu moża przyjąć sam rozład Zawsze ędzemy załadal że rozłady są deyfowale z dla mamy Defcja arę : azywamy przesrzeą saysyczą a ażde odwzorowae g : R -wymarową saysyą Jeżel = gdze jes cągem ezależych zmeych losowych o jedaowym rozładze prawdopodoeńswa a o próę ę azywamy prosą próą losową o lczośc a odpowadająca jej przesrzeń saysycza jes przesrzeą produową : rzyład Sosruujmy przesrzeń saysyczą dla esperymeu w órym dooujemy ezależych rzuów moeą Wy pojedyczego rzuu jes zmeą losową o rozładze dwupuowym Złóżmy że prawdopodoeńswo orła w pojedyczym rzuce jes rówe (0) Zdefujmy zmeą losową opsującą wy -ego rzuu : 0 resza w - ymrzuce orzeµ w - ymrzuce 0 Wówczas = {0} a przesrzeą produową rzesrzeń saysycza jes : Możlwy jes aże y sposó zdefowaa przesrze saysyczej całowce rówoważy wyżej opsaemu gdze przesrzeń pró jes zorem wszysch zerojedyowych cągów -wyrazowych ) a prawdopodoeńswo ( ( ) rzyład Dooujemy ezależych pomarów pewej welośc Każdy pomar jes oarczoy łędem losowym óry jes zmeą losową o rozładze ormalym N(0) Sosruować przesrzeń saysyczą Jes oczywsym że wy -ego pomaru mamy do czyea z przesrzeą saysyczą : lu aczej R f ma rozład ormaly N() Zaem ep : R 0 R f ep : R 0

12 W dalszym cągu ędzemy załadal że mamy do czyea z prosą próą losową o lczośc z z cągem ezależych zmeych losowych K o jedaowym rozładze prawdopodoeńswa dysryuace F Dysryuaa emprycza jej własośc W rozdzale pośwęcoym saysyce opsowej wprowadzlśmy pojęce dysryuay empryczej dla pró Uogólmy o pojęce a przypade gdy mamy próę losową Wówczas dysryuaa emprycza jes saysyą czyl zmeą losową zdefowaą asępująco: F I Dla ażdego usaloego R zmee losowe Y I są ezależe mają jedaowy rozład Beroullego (F()) Korzysając z własośc rozładu Beroullego Y I moce prawo welch lcz oraz cerale werdzee oraz sosując do cągu gracze orzymujemy asępujące własośc: dla dowolego R EF F F lm F F F lm F F F F F dla ażdego R gdze ozacza dysryuaę sadardowego rozładu ormalego Moża powedzeć że własośc e wyjaśają ses w jam próa losowa odwarza rozład z órego pochodz Na zaończee podamy ez dowodu lasycze już werdzee Glwe - Caellego mówące o jedosajej zeżośc dysryuay empryczej do dysryuay eoreyczej werdzee Glwe - Caellego Jeżel próa losowa rozładu o dysryuace F o lm F Saysya D F sup F F 0 F K pochodz z sup os azwę saysy Kołmogorowa werdzee Glwe - Caellego mów że D 0 z prawdopodoeńswem przy Saysy dosaecze odsawowym prolemem saysy maemayczej jes swerdzee a podsawe zaoserwowaej próy óry rozład z rodzy rozładów jes rozładem właścwym z jaa jes prawdzwa warość parameru oeważ ośem formacj o jes próa powsaje pyae czy wszyse formacje zaware w próe są soe czy e jes możlwe ch zreduowae Oazuje sę że odpowedź a o pyae jes werdząca

13 Wprowadzmy za chwlę jedo z fudamealych pojęć w saysyce - pojęce dosaeczośc Najperw przyład lusrujący e prolem rzyład Rozważmy poowe esperyme polegający a -roym rzuce moeą Jeżel jes prawdopodoeńswem orła o ja o poazalśmy wcześej rozład prawdopodoeńswa a przesrze próy ma posać Nech ozacza saysyę rówą lcze orłów w próe z Rozład ej saysy jes dorze zaym rozładem dwumaowym: gdze = 0 Nerudo sprawdzć że rozład waruowy próy pod waruem = e zależy od gdy 0 w pp Fa e moża zerpreować w asępujący sposó: gdy wemy że = o formacja o ym óry z puów przesrze próy faycze sę zrealzował e wos żadej formacj o paramerze Iym słowy lcza sucesów w schemace Beroullego ese pełą formację o warośc prawdopodoeńswa sucesu ezależe od ego w jaej olejośc e sucesy sę pojawały Moża zaem powedzeć że jes saysyą dosaeczą dla parameru Defcja Saysya azywa sę saysyą dosaeczą dla rodzy rozładów (saysyą dosaeczą dla ) jeżel dla ażdej warośc ej saysy rozład waruowy e zależy od rzyład Jeżel dla ażdego puu ( ) jes próą losową o dla ażdego zdarzea losowego A oraz K z przesrze próy mamy A IA( ) oeważ o prawdopodoeńswo e zależy od o próa jes zawsze saysyą dosaeczą rosy sposó rozpozawaa czy daa saysya jes saysyą dosaeczą daje asępujące ryerum faoryzacyje werdzee Saysya jes dosaecza wedy ylo wedy gdy gęsość rozładu K moża przedsawć w posac prawdopodoeńswa próy f ) g ( gdze fucja h e zależy od a fucja przez warość saysy ) h( ) ( g zależa od zależy od ) ylo (

14 Dowód (rzypade rozładów dysreych) () rzypuśćmy że saysya jes dosaecza Zaem ) ( h e zależy od oeważ dla mamy o ym samym orzymujemy czyl dowodzoą faoryzację () Załóżmy że faoryzacja jes prawdzwa Usalmy oraz Dla mamy 0 co e zależy od Nech Wedy : : h h h g h g co róweż e zależy od rzyład Nech K ędze prosą próą losową z rozładu a) Nech ędze rozładem Beroullego =(0) Wówczas przyjmując g oraz h swerdzamy że lcza sucesów w schemace Beroullego jes saysyą dosaeczą ) Nech ędze rozładem ormalym R R Gęsość próy ep ep ep = ep s f Zaem s jes saysyą dosaeczą c) Nech ędze rozładem jedosajym a przedzale (0) R Wówczas gęsość próy moża przedsawć w posac ) m( ) ma( ) ( 0 0 f I I Zaem a mocy ryerum faoryzacj saysya ) ma( jes saysyą dosaeczą dla rodzy rozładów jedosajych U(0) R Każda saysya dosaecza worzy pewe rozce przesrze pró geerowae przez jej warswce Nech S ędą dwema różym saysyam Jeżl rozca geerowae przez

15 e saysy są deycze (z -cała geerowae przez e są deycze S o azywamy je saysyam rówoważym Oczywśce jeżel S aa fucja h że S h ) o seje Nauralym jes pyae o o czy dla daej rodzy rozładów seje aa saysya dosaecza óra geeruje "ajgrusze" rozce przesrze pró (ajwęsza ompresja daych ez sray formacj o rodze rozładów) Odpowedź a o pyae jes pozyywa Defcja Saysyę dosaeczą S azywamy mmalą saysyą dosaeczą jeżel dla ażdej saysy dosaeczej seje aa fucja h że S h z S Dowód sea mmalej saysy dosaeczej pomjamy poeważ wymaga wprowadzea ardzej zaawasowaego aparau maemayczego Zajmemy sę eraz prolemem osruowaa mmalych saysy dosaeczych Oo jede ze sposoów Jeżel jes saysyą dosaeczą a S mmalą saysyą dosaeczą o a mocy ryerum faoryzacyjego dla dowolych puów przesrze pró loraz f f g g h h e zależy od parameru wedy ylo wedy gdy puy e ależą do ej samej warswcy saysy Z defcj mmalej saysy dosaeczej wya że geeruje oa mpluje ajgrusze rozce przesrze pró o ej własośc poeważ S S Udowodlśmy zaem asępujące werdzee werdzee Saysya S jes mmalą saysyą dosaeczą jeżel dla dowolych puów e zależy od przesrze pró S S wedy ylo wedy gdy loraz f f Od razu możemy zauważyć że wszyse saysy dosaecze rozważae w poprzedm przyładze są mmalym saysyam dosaeczym Nech : : K : ędze uporządowaą próą Defcja -ą saysyą pozycyją (porządową) warość : w próe azywamy weorem saysy pozycyjych (porządowych) Nerudo zauważyć że jeżel : rozładów K azywamy -ą co do welośc K cąg saysy pozycyjych : : : K jes prosą próą losową z dowolej rodzy o cąg saysy pozycyjych zawsze jes saysyą dosaeczą rzyład Rozważmy rodzę rozładów logsyczych { L(a) : a R R } o gęsoścach a ep f a R a ep Iloraz gęsośc dla dwóch różych pró losowych

16 a a a a a a a a a a f f ep ep ep ep ep ep ep ep e zależy od paramerów a wedy ylo wedy gdy puy oraz różą sę jedye uporządowaem co dowodz ż dla rodzy rozładów logsyczych weor saysy porządowych jes mmalą saysyą dosaeczą odoe moża poazać że saysya porządowa jes mmalą saysyą dosaeczą dla rodzy { C(a) : a R R } rozładów Cauchy'ego o gęsoścach: R a f a Saysy swoode zupełe Defcja Saysyę V azywamy saysyą swoodą (swoodą perwszego rzędu) jeżel jej rozład (warość oczewaa V E ) e zależy od Defcja Mówmy że rodza rozładów : pewego elemeu losowego jes zupeła jeżel prawdzwy jes asępujący warue: pw 0 0 E h h Saysya jes zupeła jeżel rodza jej rozładów jes zupeła Iym słowy moża powedzeć że dla saysy zupełej jedyym fucjam ej saysy o waroścach oczewaych ezależych od parameru są fucje sałe Zaem moża przypuszczać że masymala reducja daych ez sray formacj zawarej w próe o paramerze rozladu asępuje wówczas gdy saysya dosaecza jes zupeła Ne moża wówczas podać żadej (różej od sałej) fucj zupełej saysy dosaeczej órej warość oczewaa yłay ezależa od Orazowo mówąc z zupełej saysy dosaeczej e moża już "wycsąć" żadych zędych formacj werdzee Jeżel jes saysyą dosaeczą zupełą o jes mmalą saysyą dosaeczą Dowód omjamy prolem sea mmalej saysy dosaeczej Nech S ędze mmalą saysyą dosaeczą oażemy że S są rówoważe Z defcj mmalej dosaeczośc seje aa fucja h że S= h() Wysarczy zaem poazć see aej fucj g że =g(s) Z defcj waruowej warośc oczewaej mamy S E E E czyl 0 E E S Wyrażee S E jes

17 fucją saysy poeważ S=h() Z zupełośc orzumujemy zaem że = E S czyl seje aa fucja g że =g(s) prawe wszędze ozosaje do rozsrzygęca jeszcze jedo pyae - czy ażda mmala saysya dosaecza jes zupeła? Odpowedż a o pyae jes egaywa Ozacza o że w pewych syuacjach z mmalej saysy dosaeczej moża "wycsąć" coś co e zależy od rzyład Rozważmy rodzę rozładów Cauchyego {C() R } Dla ej rodzy rozładów weor saysy porządowych jes mmalą saysyą : : : dosaeczą Jedaże z uwag a fa że jes paramerem położea o różca : : : : ma rozład ezależy od a węc jes różą od sałej saysyą swoodą ym samym saysya porządowa e jes zupeła Rodzy wyładcze rozładów Rozważmy rodzę rozładów prawdopodoeńswa : rzez p ozaczmy fucję gęsośc rozładu w przypadu gdy jes o rozład ypu cągłego lu fucję prawdopodoeńswa dla rozładu dysreego Defcja Rodzę rozładów prawdopodoeńswa : wyładczą jeżel dla ażdego gdze p azywamy rodzą gęsość (fucja prawdopodoeńswa) p ma posać ep c h są fucjam lowo ezależym oraz c c c : j jes pewym -wymarowym zorem w R rzyład a) Rodza rozładów Beroullego 0 fucję prawdopodoeńswa możemy zapsać jao p j ep l l 0 ) Rodza rozładów ormalych j jes wyładcza Isoe N : R 0 jes rodzą wyładczą poeważ gęsość prawdopodoeńswa moża przedsawć w posac f ep l Bez sray ogólośc możemy założyć że rozłady z rodzy wyładczej mają auralą parameryzację p ep j j j h gdze jes pewym -wymarowym zorem w R

18 werdzee Jeżel : R jes wyładczą rodzą rozładów dla órej ep j j j h p o jes saysyą dosaeczą zupełą Z osaego werdzea oraz z własośc fucj wyładczej wya aychmas asępujące werdzee werdzee Jeżel K jes prosą próą losową z rozładu ależącego do wyładczej rodzy rozładów : o jes mmalą zupełą saysyą dosaeczą werdzee o w prosy sposó pozwala wyzaczać mmale zupełe saysy dosaecze dla wyładczych rodz rozładów rzyład a) Dla próy losowej z rozładu Beroullego z rodzy 0 mamy 0 l l ep p Zaem saysya lu jes mmalą zupełą saysyą dosaeczą ) odoe dla próy losowej z rozładu ormalego z rodzy 0 : N R mmalą zupełą saysyą dosaeczą jes lu s poeważ gęsość próy jes rówa l ep f c) Nech ędze prosą próą losową z rozładu gamma z rodzy 0 0 : wówczas 0 m l l ep f I Zaem saysya l jes mmalą zupełą saysyą dosaeczą dla próy z rozładu gamma Esymacja puowa - sformułowae prolemu

19 Nech cecha ma rozład prawdopodoeńswa z pewej rodzy rozładów : gdze jes ezaym paramerem Naszym zadaem jes wsazae ego rozładu z oszacowae ezaej warośc parameru Nech ędze prosą próą losową z rozładu Ja wadomo z własośc dysryuay empryczej próa losowa wraz ze wzrosem lczy oserwacj coraz lepej przylża ezay rozład Zaem jedye co możemy zroć o zaleźć oszcowae parameru a podsawe zaoserwowaych warośc próy losowej Zadae o moża sformułować eco uogólej jao zadae szacowaa warośc pewej fucj g od parameru W dalszym cągu ędzemy rozważal jedye przypade gdy fucja g jes fucją rzeczywsą o waroścach w R g: R Defcja Każdą saysyę g ˆ gˆ g g azywamy esymaorem parameru g służącą do ocey warośc fucj Oczywśce e wszyse saysy óre mogą yć używae do esymacj g są jedaowo dore odsawowym czyem óry ędze decydował o ym czy day esymaor jes lepszy od drugego esymaora ędze odpowedo zdefoway łąd esymacj czyl odległość esymaora od warośc esymowaej W dalszym cągu ograczymy sę do przypadu zw łędu średowadraowego ajczęścej używaego w eor esymacj Defcja Błędem średowadraowym esymaora ĝ parameru g azywamy wyrażee MSEgˆ E ˆ g g W eor esymacj łąd średowadraowy os azwę ryzya R gˆ E L gˆ g esymaora $g przy wadraowej fucj sray Lgˆ g gˆ g Ideałem yłoy wyzaczee aego esymaora óry mmalzawały łąd średowadraowy jedosaje dla wszysch rozładów prawdopodoeńswa z rodzy : Nesey przy a ogólym sformułowau prolemu jes o emożlwe Wysarczy zauważyć że esymaory sałe posac g ˆ 0 dają dla 0 ryzyo rówe 0 aże przy ej (eoecze wadraowej) fucj sray rolem e moża rozwązać a przyład przez odpowede ograczee lasy rozważaych esymaorów a ay w owej lase mmum fucj ryzya sało Jes o zay zaeg ja sosuje sę w welu prolemach opymalzacyjych W saysyce zwyle ałada sę a esymaory wymagae zw eocążoośc Defcja Esymaor ĝ parameru g azywamy esymaorem eocążoym (EN) (asympoycze eocążoym) jeżel dla ażdego mamy E gˆ g lm E gˆ g Warue e mów że średo esymaor daje warość esymowaego parameru Oczywśce lasa esymaorów eocążoych e zawera esymaorów sałych óre z prayczego puu wdzea są eporzee Nesey w pewych przypadach założee eocążoośc elmuje aże esymaory óre moglyśmy uzać za dore Zwróćmy uwagę a fa że dla esymaora eocążoego jego łąd średowadraowy jes po prosu jego waracją ym samym w lase esymaorów eocążoych prolem wyzaczea esymaora dla órego łąd średowadraowy jes ajmejszy jes prolemem wyzaczea esymaora o mmalej waracj (ENMW) Cyowae pożej dwa werdzea pozwalają efeywe wyzaczać ENMW

20 werdzee Rao-Blacwella Nech ędze saysyą dosaeczą dla rodzy : rozładów prawdopodoeńswa a przesrze próy ech ĝ ędze dowolym eocążoym esymaorem pewego parameru g Wówczas g ~ E gˆ jes róweż esymaorem eocążoym a jego waracja jes jedosaje e węsza od waracj esymaora V g~ V gˆ ĝ z Dowód Neocążońość esymaora g ~ E gˆ waruowej warośc oczewaej oraz eocążoośc esymaora jes oczywsa wya z własośc g~ E E gˆ E gˆ g E ĝ Maowce Druga część ezy wya z zw erówośc Jesea óra mów że dla dowolej fucj wypułej h oraz dowolej welośc losowej mamy h E Eh Kładąc gˆ orzymujemy h oraz Odejmując od ou sro osaej erówośc g waracj E ˆ E E ˆ E E ˆ E ~ g g g g dosajemy dowodzoą erówość dla Załóżmy dodaowo ż saysya dosaecza jes zupeła Wówczas z zupełośc wya że esymaor eocążoy ędący fucją saysy o órym mowa w werdzeu Rao- Blacwella jes jedyym esymaorem eocążoym g w lase esymaorów ędących fucjam od Zaem jes o esymaorem eocążoym o mmalej waracj ( ENMW[g ] ) werdzee Lehmaa-Scheffégo Jeżel saysya jes saysyą dosaeczą zupełą dla rodzy : rozładów prawdopodoeńswa a przesrze próy oraz ĝ jes dowolym eocążoym esymaorem parameru g o g ˆ E gˆ ENMW[g ] jes werdzee o moża aże sformułować w e sposó że jeżel saysya jes dosaeczą zupełą o dla dowolej fucj rzeczywsej g saysya g jes ENMW swojej warośc oczewaej Oa cyowae powyżej werdzea są podsawowym arzędzem przy osrucj esymaorów eocążoych o mmalej waracj Wysarczy zać dowoly esymaor eocążoy oraz saysyę dosaeczą zupełą Jedya rudość echcza o umejęość wyzaczea waruowej warośc oczewaej esymaora eocążoego pod waruem saysy dosaeczej rzyład a) Dla próy losowej z rozładu Beroullego z rodzy 0 wcześej poazalśmy średa z próy ja o jes mmalą zupełą saysyą dosaeczą Jedocześe średa z próy zawsze jes jes esymaorem eocążoym warośc oczewaej (o le seje) populacjj geeralej poeważ

21 E E E Zaem a podsawe werdzea Lehmaa-Scheffégo jes ENMW[] ) odoe dla próy losowej z rozładu ormalego z rodzy N ezae) mmalą zupełą saysyą dosaeczą jes s : R 0 ( Zauwżmy że dla dowolej cechy o warośc oczewaej E = odchyleu sadardowym D waracja emprycza jes eocążoym esymaorem waracj ej cechy z E s E E ym samym a podsawe werdzea Lehmaa-Scheffégo jes ENMW[] a s jes ENMW[ ] c) Dla rodzy rozładów ormalych ze zaą waroścą oczewaą saysyą dosaeczą zupełą jes poeważ s0 ep l f Nerudo sprawdzć że s 0 jes eocążoym esymaorem waracj a zaem jes ENMW[ ] dla rodzy rozładów ormalych ze zaą waroścą oczewaą W leraurze ardzo częso dla esymaora ENMW używa sę oreślea esymaor ajefeywejszy Wąże sę o z zw pojęcem efeywośc esymaorów eocążoych Oóż oazuje sę że przy pewych dość ogólych założeach o rodze rozładów moża wyzaczyć ograczee dole a warację esymaorów eocążoych Wówczas możlwe ędze porówae waracj ażdego adaego esymaora z resem dolym waracj esymaorów eocążoych Odpowede pojęca wprowadzmy jedye dla przypadu gdy jes paramerem lczowym a przesrzeń paramerów jes przedzałem a prosej Defcja Welość I E l p azywamy formacją Fshera o paramerze zawarą w próe gdze p ozacza fucję gęsośc rozładu w przypadu gdy jes o rozład ypu cągłego lu fucję prawdopodoeńswa dla rozładu dysreego Uwaga Jeżel w próe jes prosą próą losową o formacja Fshera zawara gdze ozacza formację Fshera zawarą w pojedyczej oserwacj I =

22 werdzee Craméra-Rao Nech ędze rodzą rozładów a przesrze : próy paramerem lczowym a przesrzeń paramerów przedzałem a prosej Jeżel spełoe są pewe waru regularośc o waracja ażdego esymaora eocążoego ˆ parameru speła erówość V ˆ I przy czym rówość zachodz wedy ylo wedy gdy wedy a I l p a werdzee Jeżel rozładze ormalym N o a) ) ˆ jes prosą próą losową z populacj o ma rozład ormaly s s ; c) s d) saysy s są ezależe N ; ma rozład ch-wadra z (-) sopam swoody gdze ma rozład [-] -Sudea z (-) sopam swoody; Dowód Własość a) jes oczywsa wya sąd że omacja lowa zmeych losowych o rozładze ormalym ma rozład ormaly ) d) Bez sray ogólośc moża założyć że =0 a = Isoe s s Y Y Y gdze Y Y jes prosą próą losową z populacj o rozładze N(0) Rozważmy asępujące przeszałcee oroormale ( CC I ) Zgode z założeem c C c ~ N c gdze c c c c 0 I ze 0 oraz E I oeważ przeszałcee oroormale jes zomerą o C

23 gdze ozacza -wymarową ormę euldesową Oczywśce Y C jes weorem 0I EY EC CE 0 a macerz owaracyja EYY EC C CE C CC I ormalym N Wysarczy zauważyć że weor warośc oczewaych Zaem zmee losowe Y = są ezależe o jedaowym rozładze N(0) Macerz C zosała zdefowaa w e sposó że Jedocześe mamy oeważ Y o Y s s Y Y Y Y Y ym samym s ma rozład ch-wadra jes ezależe od c) odoe ez sray ogólośc możemy założyć że =0 a = s jes lorazem dwóch ezależych zmeych losowych jedej o sadardowym rozładze ormalym drugej ędącej perwasem z lorazu zmeej o rozładze ch-wadra z (-) sopam swoody podzeloej przez (-) Zaem jes o rozład -Sudea z (-) sopam swoody esy zgodośc jedorodośc rzyład

24 W połowe 985 rou Coca Cola Bolg Compay posaowła zmeć recepurę swojego apoju Wywołało o wele dysusj eedy ardzo gorących pomędzy zwoleam sarej owej formuły Coca Col rzeprowadzoo wele różych degusacj ardzej lu mej ofcjalych odzczas jedej z ach degusacj w McGure's Irsh u w esacola a Florydze poddao esow 5 osó Każdej z ych 5 osó podao rzy róże apoje: Coca Colę zrooą według sarej recepury Coca Colę według owej recepury oraz eps Colę Żada z osó uczesczących w degusacj e posadała formacj o ym óry z apojów degusuje Dwaaśce osó za ajlepszą wyrało Coca Colę zrooą według sarej recepury sedmoro według owej recepury a pozosałe sześć osó wyrało eps Colę ylo roje spośród uczesów degusacj ezłęde rozpozało wszyse rzy apoje Czy rezulay ego esu są wysarczającym dowodem a o że sara recepura jes ajlepsza? Czy jes o jedye wy przypadowego wyoru preferowaego apoju przez uczesów esu? rolem óry zosał przedsawoy w przyładze jes szczególym przypadem zadaa adaa zgodośc rozładu cechy z pewym założoym rozładem eoreyczym Nech ędze prosą próą losową z rozładu prawdopodoeńswa o dysryuace gdze F esy saysycze służące do weryfowaa hpoezy zerowej H : 0 F F0 F 0 jes pewą zaą dysryuaą azywamy esam zgodośc esy zgodośc są esam eparameryczym W chwl oecej jes ardzo wele różych esów pozwalających adać zgodość rozładów o cągłej dysryuace W przypadu rozładów ypu dysreego zwyle używa sę ajpopularejszego esu zgodośc esu -earsoa óry może yć sosoway dla dowolych rozładów Wadą ego esu jes o ż wymaga o pró o dużej lczośc W przypadu gdy adaa cecha