Wprowadzenie mechanikę ośrodków ciągłych termodynamikę procesów nieodwracalnych termomechanika

Transkrypt

1 7 Wprowazene Obserwowany w ostatnm orese brzwy rozwó technoog wytwarzana materałów onstrc postawł nowe probemy teoretyczne. Szczegóne energetya tych procesów złożone powązana towarzyszących m przepływów masy, pę, łan eetrycznego energ wymagały stworzena ogóne teor, tóra łączyłaby we wspóną całość mechanę ośroów cągłych (MOC) termoynamę procesów neowracanych. Taą teorą est powstała prze trzyzest aty termomechana. Stworzone w ramach te teor moee metoy postępowana pozwaaą raconane przewywać własnośc nowych materałów wyonanych z nch onstrc - ta w trace proetowana a espoatac. Je zastosowana w szczegónych yscypnach a nżynera materałowa, teora onstrc są zsa zasancze cąge rosnące. Szczegóne zachęcaąca o zastosowań est t sytaca, ey mów sę ne tyo o zachozących w trace proces przemanach energetycznych strtry materał, ae równeż oreśa sę mechanzmy yssypac energ oraz sposoby sterowana tym procesam. Hstoryczne rzecz borąc zapowezą termomechan była ż termosprężystość. Następne poawła sę teora pó sprzężonych oraz opsy ośroów weosłanowych, a wśró nch termoyfza w ośro oształcanym. Prace z tego zares prze ćwerćweczem prowazśmy równeż w Opo. Naperw były to prace teoretyczne a późne zastosowana. Dzsa stanową one fragmenty termomechan poobne a nne propozyce z teor pó sprzężonych. Neozownym eementem tych rozważań est ośroe weosłanowy, co wyna m.n. z potrzeby ops procesów technoogcznych. Istotne, w trace typowych procesów wytwarzana przepływy różnych form energ prowazą o przeman eementów strtry materał. W postac rańcowe bęą to przemany fazowe z tworzenem nowe strtry oraz reace chemczne w faze stałe, a w naprostsze - zmany własnośc materał. W ażym z wymenonych przypaów naeży wprowazć poęca typowe a ośroa weosłanowego. Ta też postąpono w nneszym opracowan, gze trzec rozzał pośwęcono tem ęc wygonem o anazy te szeroe asy zaganeń termomechan na żyte technoog. Rozważana te poprzeza asyczny zarys MOC, a zaana brzegowe obemą cała sprężyste. Doamy, ż est to ta część mechan, tóra ne wymaga pogłębone znaomośc energety procesów eformac. Natomast ops własnośc pastycznych, reoogcznych oraz narastana szozeń wymaga równeż wzgęnena mechanzmów yssypac energ z ła. Naeży wówczas czysto mechanczne ęce probem rozszerzyć na termomechanczne. Wyna stą też neozowność szerszego sporzena na probemy asyczne mechan onstrc.

2 8 Typowy moe termomechanczny zawera ao słaowe moee nety ynam proces, tóre są powązane ścśe z opsem przepływów energ oraz mechanzmam e yssypac. W onsewenc zastosowane termomechan wymaga: - oreśena typowego fragment strtry materał, ośc słanów oraz powązań męzy nm, - zbowana moe ozaływań przepływów masy, pę, łan, energ entrop, - sformłowana a oreśonego moe typ ozaływań bansów proces, a w tym parcanych smarycznych bansów masy, łan, pę, ręt, energ entrop, - oreśena hstor proces oraz głównych fnconałów termoynamcznych łączne z wynaącym z nch równanam onstyttywnym, - sformłowana zaań brzegowych proces na postawe znaomośc równań onstyttywnych, bansów oraz warnów początowo - brzegowych, - poana rozwązana anatycznego zaana brzegowego b też zbowana opowene procery obczeń nmerycznych naczęśce z wyorzystanem waracynych ęć probem, np. MS. Naszcowany t program nwersanego postępowana znaazł zastosowane w we, często barzo oegłych, załach współczesne techn technoog. Korzystano z nego zarówno w mechance onstrc a przy wytwarzan ompozytów, bomaterałach n. Technoozy otrzyma barzo steczną metoę postępowana przy proetowan sterowan procesam wytwarzana materałów. Sązę węc, ż warto stentom nżyner przestawć postawowe ee te yscypny wezy. Przestawony wyła termomechan był prezentowany o nast at stentom specanośc teoretycznych na Potechnce Śąse Opose, a główne na stm otorancm. Praca natomast powstała w Katerze Fzy Materałów Potechn Opose, gze w trace prowazonego przeze mne semnarm z termomechan były ystowane postawy a e zastosowana, za co słaam pozęowana.

3 9 Rozzał I LMNTY MCHNIKI OŚRODK CIĄGŁGO 1. Wstęp W prezentowanym ęc MOC poaemy naperw poęca perwotne. Są nm zarówno poęca ośroa cągłego, ego gęstośc oraz ła sł (masowych powerzchnowych) a współzaeżnośc zachozące męzy rchem a słam. Poęca te w zasaze pozwaaą formłować tyo sprężyste zaana mechan ośroów cągłych. Natomast o ops nesprężystych cech materałów trzeba oatowo wprowazć poęca cepła ego przepływów, a taże energ wewnętrzne, entrop temperatry, co czynmy w oenym rozzae, wprowazaąc ęca typowe a termomechan. Ośroe cągły est pewnym moeem mater zachozących w nm zaws, tóre nazywamy marosopowym. Poęce to może sgerować, ż me ono eyne probemy w amś eanym ośro cągłym bez pęnęć, szczen tp. Tymczasem moe ten eyne sgere ops zaws wyorzystący poęce fnc cągłych. 2. Rch ośroa Rch ośroa cągłego w czasoprzestrzen opse ła trzech równań x x(, t) b x x (, t) (2.1) oreśaących położene cząst materane w aże chw czas. Zmennym nezaeżnym są t położene perwotne cząst materane czas. Ta ops rch nazywamy materanym (Lagrange a). Do równań tych stnee owzorowane owrotne (x( t), t) b ( x, t), (2.2) pozwaaące na równoważny - przestrzenny ops rch ośroa. W tym przypa zmennym nezaeżnym bęze atane położene cząst materane czas. Uporząowany ła czb ( ) nazywamy węc współrzęnym materanym (Lagrange a), a x ( x1, x2, x3) przestrzennym (era) cząst ośroa.

4 10 Rch ośroa można równeż zapsać równanem (, t ) x(, t) b x (, t) (2.3) t 0 0 x x (t > 0) x 3 x t > 0 x 1 Rys Rch ośroa Przytoczone równana w pełn oreśaą nematyę ośroa. Poe przemeszczeń x (2.4) est fncą ( t), w opse Lagrange a (ops zaeżny o czas położena początowego) ( x ( t), t) w opse era (ops zaeżny o atanego położena czas) wynos Natomast wetor pręośc przemeszczeń ( x ( t t) ), x & & (2.5) t x x Oształcene cała obczymy porównąc łgośc wetorów pntów bso sebe położonych prze po eformac x x 2 2 ( x ), ( ) δ x

5 11 Wyorzystąc zwąze (2.4) zysamy ( ) ( ) δ δ δ δ δ δ x (2.6) Materany tensor sończonych eformac - tensor Greena oreśaą węc wyrażena w nawasach wzor (2.6) gra gra gra gra T T 2 b (2.7) m p p m m m 2. Przypaem szczegónym est tensor nesończene małych oształceń ε T gra gra 2 b,, ε 2 (2.7 ) Wyszczegónone poa ε pozwaaą w pełn opsać eformace ośroa cągłego. Z oe wetor pręośc przyspeszena a oreśmy zaeżnoścam a x & &, (2.8) a wetor pręośc eformac T gra gra 2 b,, 2 (2.9) przy czym pełna pochona po czase poa przemeszczeń (x,t) wynos gra t (2.10)

6 12 Poane formły na obczane pochonych czasowych bęą wyorzystywane przy anaze równań bansów proces. 3. Zasaa zachowana masy Bęzemy załaa, że rozła masy m w owonym pnce cała to oatna saarna mara, absotne cągła. Jest ona aytywną fncą obętośc. Istnee węc gęstość ρ ao granczny stosne masy m o zamowane przez ną obętośc m ρ ( ) m (3.1) 0 Z rge strony masa m cała ϑ est równa m( ϑ) ρ (3.2) Natomast zasaa zachowana masy ma postać m( ϑ ) 0 ρ 0 (3.3) Gobana postać te zasay prowaz o równana ρ ρ ( ρ) (3.4) t stą e forma oana ρ ρ 0 t ρ t b ( ρ ) 0, 4. Wetor tensor naprężeń (3.5) Marą wewnętrznych sł z am ozaływą cząst materane na sebe est wetor naprężena oraz wynaący z nego tensor naprężeń. Wetor naprężeń otrzymamy po mownym pozae cała na we częśc oreśen ntensywnośc sły powerzchnowe P (x ) aa występe w pnce x na powerzchn rozzał o wetorze normanym n. Sposób postępowana est t

7 13 poobny a przy oreśan sł przeroowych w asyczne wytrzymałośc materałów (rys. 4.1a). Wetor naprężeń oreśa węc wyrażene a) b) I Q π II I π P II T M N Q x n x σ 33 σ σ 11 σ 22 Rys Wetor tensor naprężeń P P m (4.1) 0 ( x, n ) Wetor naprężeń P można rozłożyć na słaową normaną styczną. Poobne oreśaąc ntensywność ozaływań męzycząsteczowych na płaszczyznach eementarnego prostopałoścan o boach otrzymamy tensor naprężeń σ11 σ12 σ13 σ σ 21 σ 22 σ 23 (4.2) σ 31 σ 32 σ 33 Męzy wetorem P a tensorem naprężeń σ zachoz zaeżność P σ n (4.3)

8 14 5. Zasaa zachowana pę ręt Poęce sły słży zarówno o opsana wzaemnego ozaływana cał na sebe a ozaływań męzy cząstam w cee. Sły f załaące na cało bęzemy rozzeać na obętoścowe ρf oraz powerzchnowe. Ich sma wynos f ρ F P (5.1) Dae bęzemy załaać, ż na cało ne załaą powerzchnowe an też obętoścowe momenty. Stą smaryczny moment sł załaących na cało czony wzgęem począt ła współrzęnych ma postać xξ ρf m0 xξ P (5.2) Postawowe prawa mechan, a węc zasaa zachowana pę ręt, przymą postać ρ f b f ρ (5.3) oraz x ξ ρ m 0 b x m0 ε ρ (5.4) Pełna postać zasa zachowana pę ręt ma formę ρf ρν P (5.5) oraz ε x ρ ε x ρf ε x P (5.6) Poane w te forme zasay zachowana pę ręt są ogónym postawowym równanam mechan, stanowącym część termomechan.

9 15 6. Równana rch Z poanych w postac gobane równań zasa zachowana pę ręt zysamy ch oaną postać - czy równana rch. Są to postawowe równana ynam ośroa cągłego. Równana te zysamy wyorzystąc twerzene Gassa o zamane cał powerzchnowe na obętoścową oraz wprowazen operac różnczowana po zna cał. Zachoz ρf ρ σ n (6.1) a stą ρ ρf σ, 0 (6.2) Poana cała zanne, eże fnca pocałowa est równa zer ρ ρf σ, b ρ ρf σ (6.3) Zaeżnośc (6.3) są poszwanym równanam rch. Ich szczegónym przypaem, ey const, są równana równowag wewnętrzne. naogczne postępowane z równanem zasay zachowana moment pę, czy ręt, prowaz o symetr tensora naprężeń σ σ b T σ σ (6.4) Występąca w równan rch pochona czasowa ma formę ( x, t) x & t x x (6.5) w tóre rg słan zawera nenowość oczyn graent pręośc przez pręość. Weośc te a proszczena rozważań bęzemy często poma, co w onsewenc prowaz o nearyzac równań mechan. Istotne, występące w oanych równanach bansów pochone czasowe są smą pochonych oanych oraz onwecynych (pochone materane)

10 ( ) ( ) ( ) 16 w (6.6) x Forma tych pochonych est następstwem przyętego ops rch cała, a ae bansów proces, onoszonych o atane onfgrac cała. 7. Zaana brzegowe mechan Poane poprzeno równana rch oraz wyrażena oreśaące tensor naprężeń w zaeżnośc o poa przemeszczeń są zasanczym równanam mechan. Uła ten naeży eszcze zpełnć o równana onstyttywne, tóre są zaeżnoścam męzy tensoram naprężeń oraz oształceń. Postać tych równań wyna z rozważań energetycznych, a występące w nch tzw. fnce materałowe wyznacza sę z esperyment. W naprostszym, nowo sprężystym przypa tensor naprężeń z tensorem oształceń ε (por. (2.7 )) łączy prawo Hooe a σ (7.1) ε Natomast w nenowo - sprężystym cee zachoz poobna zaeżność a przyrostów tensorów σ ε σ ( ε ε,, σ...) ε 2 (7.1 ) gze est tensorem stałych materałowych, a poane równana onoszą sę o cała anzotropowego. Kasyczne oraz przyrostowe zaana brzegowe mechan maą postać ρ ρf σ, ρ ρ F σ, 2 ε,, ε,, (7.2) 2 (7.3) ( ε σ ( ε ) ε σ...) ε (7.4) Po postawen równań (7.3) (7.4) o (7.2) otrzymamy ła równań przemeszczenowych mechan

11 17, ρ F ρ, ρ F ρ (7.5) Do poanych wyże równań naeży ołączyć warn początowe ) ( ) (7.6) ( x, t 0 0 x, t 0 0 oraz brzegowe o σ n P, b σ n P, (7.7) σ Otrzymaśmy t naprostsze zaana MOC równana teor sprężystośc, tóre ne wymagaą rozważań energetycznych. Jest to sytaca wyątowa, natomast złożone probemy przeman energetycznych występących w technoogach wytwarzana espoatac materałów onstrc wymagaą oenych rozszerzeń moyfac asyczne mechan m. n. o opsy przeman fazowych ozaływań natry nemechanczne. σ o Zaganena 1. Oreść współrzęne tensora oształceń Greena w płasm stane eformac, ey ( x, t), 1, Wyznaczyć postawowe nezmenn tensora oształceń Greena, I, II, III 3. Oreść napęce powerzchnowe ao szczegóny przypae stan naprężeń w ośro. 4. Poać równana rch (6.3) w przypa ey poa występące w tych równanach zaeżą tyo o x 1, x 2, t. 5. Sprecyzować równana fzyczne (7.1), ey poe oształceń ε est płase b enowymarowe. 6. Poać zotropowe transwersano-zotropowe opowen równań (7.1) (7.5).

12 18 7. Wyprowazć równana o (7.1) o (7.6) w przypa, ey poe przemeszczeń 1 1( x, t) (zaganene warstwy) w przypa materał zotropowego transwersano-zotropowego.