ZAGADNIENIE ZAKRZYWIONEJ ANIZOTROPOWEJ ORAZ FUNKCJONALNIE GRADOWANEJ POWŁOKI PODDANEJ DZIAŁANIU POLA TEMPERATURY

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ZAGADNIENIE ZAKRZYWIONEJ ANIZOTROPOWEJ ORAZ FUNKCJONALNIE GRADOWANEJ POWŁOKI PODDANEJ DZIAŁANIU POLA TEMPERATURY"

Stanisław Jabłoński
5 lat temu
Przeglądów:

1 ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI RZESZOWSKIEJ 298, Mechana 90 RUTMech, t. XXXV, z. 90 (2/18), weceń-czerwec 2018, s Daman SZUBARTOWSKI 1 ZAGADNIENIE ZAKRZYWIONEJ ANIZOTROPOWEJ ORAZ FUNKCJONALNIE GRADOWANEJ POWŁOKI PODDANEJ DZIAŁANIU POLA TEMPERATURY Praca dotyczy probematy zarzywone powło wyonane z anzotropowego materału o funcyne gradac. W rachunu wyorzystano oncepcę tensora rzywzny Remanna-Chrstoffea wzbogaconą o wpływ poa temperatury przez obecność tensora właścwośc termcznych. W ramach wyonanych obczeń różnca wetora poddanego ones afnczne wzdłuż nfntezymanego czworoąta wyraża sę, zaeżne od drog prześca, sumą zarówno efetu geometrycznego, reprezentowanego tensorem rzywzny Remanna-Chrstoffea, a równeż efetu termcznego wyrażonego przez symbo rzywzny termczne. Słowa uczowe: materał funconane gradentowy, termosprężystość 1. Wprowadzene Budowana teora stanow podeśce Remanna Chrstoffea, operaące sę na ogóne rozumanym przesunęcu równoegłym wetora wzdłuż nfntezymanego czworoąta (por. [1]). Nowoścą est natomast doszacowane wpływu poa temperatury, tórego obecność obawa sę w przyrośce wetora bazowego według wzoru: t d e = ( Γ d + α dt) e (1) Oznacza to, że oany reper przy prześcu do nesończene bsego puntu sąsednego doznae przyrostów wetorów bazowych zarówno z uwag na perwotne posadaną rzywznę, a e modyfacę zwązaną z obecnoścą właścwośc termcznych oraz poa temperatury. W rachunu Γ oznacza symbo Chrstoffea drugego rodzau, natomast α stanow tensor rozszerzanośc termczne. 1 Autor do orespondenc/correspondng author: Daman Szubartows, Potechna Kraowsa, a. Jana Pawła II 37, Kraów, te.: (12) , e-ma: daman.szubartows@p.edu.p

2 238 D. Szubartows Przyrost ontrawarantnego wetora poddanego przesunęcu równoegłemu można wyrazć ao: da = a ( Γ d + α dt) (2) 2. Konesa afnczna wetora ontrawarantnego wzdłuż nfntezymanego czworoąta Rozważmy nesończene mały czworoąt ABCD rozpęty na zarzywone powłoce zgodne z rys. 1. Rys. 1. Infntezymany czworoąt ABCD Fg. 1. Infntesma quadrange ABCD Bo weoąta zostaną oznaczone oeno przez: 1 n (,..., ) A = = ( A B) B = + d ( A D) D = + δ (3) ( B C ) C = + d + δ ( + d) = + d + δ + δd ( D C ) C = + δ + d( + δ ) = + d + δ + dδ eże: δ d = dδ ( przestrzeń Remanowsa ) C = C = C = + d + δ + δd Można doonać przesunęca równoegłego wetora a z puntu A przez B do C oraz z puntu A przez D do C. Różnca wetorów przesuwanych równoege wspomnanym drogam stanow pewną marę rzywzny, zgodne z następuącym rachunem:

3 Zagadnene zarzywone anzotropowe A A a = a A B (A B) B a = a a ( Γ d + α dt) B C (B C) C a = a a ( Γ d + α dt) + δ[a a ( Γ d Γ m dt)] a a d a a d m a d +α = Γ Γ δ δ + Γ Γ δ Γ Γ a δd a d δ T + α a Γ d δt a αdt a αδt m a dtδ a dtδ T + Γ mαa δ dt + ααa dtδt αa δdt A D (A D) D a = a a ( Γ δ + α δt) (D C) C a = a a ( Γ δ + α δ T) + d[a a ( Γ δ D C Γ T)] a a a d +α δ = Γ δ Γ m δ + ΓmΓ δ a d a d Γ Γ a dδ a δ dt + Γ a α δ dt a α δt a α dt m a d δt a δ TdT + α Γma d δ T + ααa δtdt αa dδt Γ B C D C a a = a = a Γ a d a Γ δ a d δ Γ +ΓmΓa d δ Γa δd a d δt a + Γa δ + Γa d Γ m Γ + a δ d Γ mγa δ d + Γa dδ + a δ dt +αa Γd δt a αdt a αδt a dtδ a dtδt m m a +Γ α m m m Γ m a d T a d a a d ma d a δd δ dt + α α a dtδt α a δdt Γ a α δ dt + a α δt + a α dt + a d δ T + a δtdt α Γ a d δt α α a δtdt +α δ = Γ Γ δ δ + Γ Γ δ Γ (4)

4 240 D. Szubartows 0pt Γ Γ a d δ T + Γa δ + Γ a d + a d δ Γ Γma d δ Γ +Γa dδ + a δ dt + Γαa d δt a δ dt m m +Γmαa δ dt Γαa δ dt + a d δt Γ mαa d δt Γ Γ m m Γ = ( + Γ Γ m ΓΓm)a d δ + ( + Γ α Γα )a ( δ d )dt gdze: Γ Γ m m + Γ m Γ Γ m Γ = R stanow tensor rzywzny Remana-Chrstoffea, natomast t Γ + Γ α Γα = S można nterpretować ao symbo rzywzny termczne. m (5) (6) W ceu wyznaczena pochodne symbou Chrstoffea drugego rodzau po temperaturze wyorzystue sę ego zwąze z tensorem metrycznym, prezentuąc następuące rozumowane: g = e e dg = de e + e de = ( d dt) ( d dt) ( g g ) d ( g g ) dt = Γ + α e e + Γ + α e e = = Γ + Γ + α + α (7) g g = = T g = 2αg Dae, postuuąc na tensorze metrycznym spełnene warunów Schwarza z uwag na zmenną oraz T, otrzymue sę:

5 Zagadnene zarzywone anzotropowe g g g + = 2 ( Γ g ) = = 2 ( α g ) + 2 ( αg ) 2 ( αg )/ : 2 Γ g = ( α g ) + ( αg ) ( αg ) ( ) m m n gm g m / g Γ α + α Ostateczne: Γ m = g α g + α g α g m Γ ( α + α g g ) m n n m ( m ) ( m ) ( ) zatem: m S = g ( α gm ) + ( αgm ) m ( αg ) (10) m n Γαn g g m Γα Transformaca symbou rzywzny termczne: Γ m q n S = + Γ α Γ α = S n m + q q q (11) m 2 2 m n q q q + Γ m n + + m q q q q q q n 2 m n m q r q q r q α r n α r m n αm q q q q q q Ka ostatnch członów transformac ne zna, przez co symbo ne transformue sę w pełn, wyorzystuąc tensorowe prawo transformac. (8) (9)

6 242 D. Szubartows 3. Podsumowane Wyznaczony symbo rzywzny termczne obrazue numeryczne potwerdzoną obecność zarzywena funconane gradowane powło poddane dzałanu poa temperatury. Wspomnana probematya est szczegóne wdoczna w przypadu onstruc warstwowych z nterfesem wyonanym z materału FGM (por. [2]). Podczas gdy warstwy zewnętrzne różnych materałów uegaą swobodne deformac termczne, nterfes zaczyna sę zarzywać, wprowadzaąc tym samym obecność naprężena. Wdać to wyraźne na rys. 2., tóry obrazue deformace trówarstwowe strutury. Perwsza warstwa stanow materał ceramczny, druga to nterfes wyonany z materału FGM, trzeca zaś stanow materał metaczny. Z uwag na struturę funconane gradowaną w obecnośc poa temperatury zarzywenu uega wyłączne nterfes. Dae zestawono przypad szczegóne opsywane teor: powłoa zotropowa α = αδ S = 0 da ażdego,, = 1, 2, 3 (12) z uwag na bra funcyne gradac wszyste sładowe symbou rzywzny termczne zgodne z oczewanam wynoszą zero, powłoa perwotne nezarzywona S = (13) symbo rzywzny termczne zaeży wyłączne od pochodnych cząstowych tensora rozszerzanośc termczne, powłoa perwotne nezarzywona, zdefnowana tensorem rozszerzanośc termczne α α α = α α α = = ( ) 12( ) 13 S ( ) α31 α S 32 α S (14)

7 Zagadnene zarzywone anzotropowe S31 = 3 α ( ) 0 0 S = 0 ( ) 0 S 0 0 ( ) = S = m α = δ δ δ m 3 3 α S (15) W tym przypadu z uwag na bra perwotne rzywzny symbo rzywzny termczne est zwązany różnczowo wyłączne z tensorem rozszerzanośc termczne. Wcześne poazano wyłączne nezerowe sładowe. Lteratura Rys. 2. Przyładowa deformaca ntefesu FGM Fg. 2. Eempary deformaton of FGM nterface [1] Karaśewcz E.: Zarys teor wetorów tensorów, PWN, Warszawa [2] Ganczars A., Szubartows D.: On the stress free deformaton of near FGM nterface under constant temperature, Acta Mech. Automatca, 9(2015) PROBLEM OF CURVILINEAR ANISOTROPIC AND FUNCTIONALLY GRADATED COATING SUBJECTED TO TEMPERATURE FIELD Abstract Ths wor concerns the probem of a curvnear she made of ansotropc matera wth functona gradaton. The cacuus s based on the concept of the Remann-Chrstoffe curvature tensor enhanced by the nfuence of temperature fed through the presence of a therma tensor. Cacuatons

8 244 D. Szubartows comprse estmaton of the dfference of a vector subected to the affne connecton aong the nfntesma quadrange epressed, correspondngy to the shftng path, by a sum of both the geometrc effect, represented by the Remann-Chrstoffe curvature tensor, as we as certan symbo of the therma curvature. Keywords: FGM, thermo-eastcty DOI: /rm Przesłano do redac: Przyęto do druu:

Podobne dokumenty

5. MES w mechanice ośrodka ciągłego

5. MES w mechanice ośrodka ciągłego . MES w mechance ośroda cągłego P.Pucńs. MES w mechance ośroda cągłego.. Stan równowag t S P x z y n ρb(x, y, z) u(x, y, z) P Wetor gęstośc sł masowych N/m 3 ρb ρ g Wetor gęstośc sł powerzchnowych N/m