ZAGADNIENIE POCZĄTKOWO-BRZEGOWE LINIOWEJ HIGROTERMOPIEZOSPRĘŻYSTOŚCI

Transkrypt

1 ROCZNIKI INŻYNIERII BUDOWLANEJ ZESZYT 11/2011 Komsa Inżyner Budowlane Oddzał Polse Aadem Nau w Katowcach ZAGADNIENIE POCZĄTKOWO-BRZEGOWE LINIOWEJ HIGROTERMOPIEZOSPRĘŻYSTOŚCI Potr GORECKI Jerzy WYRWAŁ Poltechna Opolsa Opole 1. Wprowadzene Z rezultatów badań esperymentalnych wyna [9] że wlgoć temperatura w znaczący sposób zmenaą właścwośc ompozytów polmerowych z włónam pezoeletrycznym (wyorzystywanych np. do dagnosty bądź montorngu onstruc). Wpływ zman wlgotnośc otoczena na właścwośc ompozytów pezoeletrycznych est szczególne wdoczny w przypadu tach ompozytów a AFC (actve fbre composte) PFC (pezofbre composte) a tym samym płyt powło wyonanych z tych materałów [10]. Wadomo że naprężena wlgotnoścowe spowodowane zmanam warunów otoczena mogą wywołać dynamczną nestablność ompozytowych strutur powłoowych [7]. Z rezultatów badań opsanych w [13] wyna że adaptacyne ompozyty drewnane (adaptve wood compostes) zwane też ompozytam atywnym bądź ntelgentnym złożone z warstw drewna pezoeletrya są przyładem tach elementów struturalnych gdze sprzężone pola: mechanczne eletryczne ceplne wlgotnoścowe mogą meć slny wpływ na ch zachowane. W lteraturze można spotać newele prac pośwęconych mechance ompozytów (lamnatów) poddanych ednoczesnemu dzałanu obcążeń mechancznych pola eletrycznego a taże zmenne temperaturze wlgotnośc otoczena. Perwszą z tach nelcznych prac est publaca [12] w tóre na baze lnowych równań termosprężystośc [8] oraz hgrotermosprężystośc [11] zaproponowano podstawowe równana lnowe hgrotermopezoeletrycznośc w postac loalne (różnczowe). Analzę płyt powło wyonanych z ompozytów pezoeletrycznych poddanych dzałanu wspomnanych wyże pól przy wyorzystanu metody ważonych resduów można znaleźć w [910]. Autorzy pracy [14] sformułowal zasadę waracyną w przypadu dynamcznego zagadnena anzotropowe pezohgrotermoleposprężystośc w uęcu MES. Wyprowadzenu zasady waracyne w przypadu dzałana uas-statycznego pola eletrycznego na materał hgrotermopzoeletryczny pośwęcona est praca [1]. Drgana cene powło hgrotermopezoeletryczne analzowane były w pracach [3 4]. Analze zachowana sę lamnowanych hgrotermopezoeletrycznych płyt pośwęcona est praca [14]. Przegląd lteratury z zaresu zasad waracynych hgrotermopezoeletrycznośc można znaleźć w [2]. Warto też zwrócć uwagę na rezultaty zawarte w pracy [6].

2 70 2. Sformułowane zagadnena początowo-brzegowego lnowe hgrotermopezosprężystośc 2.1. Równana pola Rozważmy anzotropowy materał pezoeletryczny w tórym zachodzą procesy wymany cepła wlgoc w obecnośc obcążeń mechancznych pola eletrycznego. Rozważane zagadnene opsuą następuące ogólne znane równana: ruchu (blansu pędu) wraz ze zwązam geometrycznym σ + f ρ& u& (1) Maxwella blansu entrop dyfuz (blansu masy) ( u + u ) u( ) 1 ε (2) 2 D ρ e 0 (3) E Φ (4) ρ r T s& (5) + o ρr + ρc&. (6) W powyższych równanach przecne w dolnym ndese oznacza pochodną cząstową względem dane zmenne (np. u u/ x ) zaś ropa nad daną weloścą oznacza loalną pochodną po czase Równana onstytutywne W perwsze olenośc przymemy że wetor strumena cepła gradentu temperatury materału (zgodne z prawem Fourera): zależny est od κ (7) Θ zaś wetor strumena masy zależy od gradentu potencału chemcznego:. (8) D M

3 Do równań ( ) musmy eszcze dołączyć równana onstytutywne oreślaące: tensor naprężena σ wetor przesunęca pola eletrycznego D entropę s potencał chemczny M. Równana te uzysamy różnczuąc potencał hgrotermopezosprężysty H ε E θ c będący uogólnenem potencału termopezoeletrycznego sformułowanego ( ) w [5]. Potencał ten zależny od tensora odształcena ε wetora natężena pola eletrycznego E przyrostu temperatury θ ( θ T T θ << T ) oncentrac c 0 0 ( c C C c << C 0 0 ) przymemy w przypadu rozważanego zagadnena w następuące postac: 71 H ( ε E Θ c) ( a ε ε c E E αθ mc ) 2 + e l E ε h θe β ε Θ µ ε c ϑ E c + dθc l (9) gdze α ρc ε T0. W powyższe zależnośc welośc a l e c β µ h ϑ m d α oznaczaą współczynn materałowe tóre należy wyznaczyć esperymentalne. Charateryzuą sę one następuącym symetram: a a a a l l l l c c e e β β µ µ. (10) W przypadu materału pezoeletrycznego w tórym pola: mechanczne eletryczne ceplne wlgotnoścowe są w pełn sprzężone równana onstytutywne oreślaące: tensor naprężena wetor przesunęca pola eletrycznego entropę potencał chemczny dane są zależnoścam: H σ alε l e E βθ µ c (11) ε H D eε + c E + hθ ϑc (12) E s Σ β ε + h E + αθ + dc (13) θ H M µ ε + ϑ E + dθ + mc. (14) c Otrzymalśmy w ten sposób uład 32 równań różnczowych cząstowych z 32 newadomym a manowce: 3 równana równowag (1) 6 zwązów geometrycznych (2) 4 równana Maxwella (3) (4) po ednym równanu blansu entrop (5) masy (6) po trzy równana oreślaące strumeń cepła (7) masy (8) oraz 11 równań onstytutywnych (11-14). Z równań tych możemy wyznaczyć po 6 sładowych tensorów naprężena odształcena po trzy sładowe wetorów: przemeszczena przesunęca natężena pola

4 72 eletrycznego strumen cepła masy entropę temperaturę potencał chemczny oncentracę Warun początowo-brzegowe Aby rozwązać zagadnene hgrotermopezosprężystośc opsane wymenonym wyże równanam należy przedtem sformułować warun brzegowe. Warun te maą następuącą postać: Bα u uˆ na B (15) u σ n pˆ na B B B (16) D n σ u σ Φ Φ ˆ na B (17) Φ D ˆ na B B B (18) D Φ n D θ θˆ na B Θ (19) ˆ na B B B (20) θ ( u p Φ D Θ c M ) B c c cˆ na (21) n ˆ na B B B (22) gdze: α powerzchna do tóre est przyłożona odpowedna welość wynaąca z warunu brzegowego uˆ pˆ Φˆ Dˆ Θˆ ˆ cˆ ˆ to oleno zadane na brzegu cała: przemeszczene sła powerzchnowa potencał przesunęce eletryczne temperatura strumeń cepła oncentraca strumeń masy. Komplet równań zagadnena uzupełnaą warun początowe u o o ( x t 0) u v& ( x t 0) v w B s ( x t o 0) s w B c ( x t o 0) c w B c (23) (25) (26) o o o o gdze: u v s c wartośc początowe przemeszczena prędośc entrop oncentrac. Przedstawone powyże równana pola (1-6) równana onstytutywne (7) (8) (11-14) warun brzegowe (15-22) oraz warun początowe (23-26) tworzą zadane początowobrzegowe hgrotermopezosprężystośc. Jest to somplowany uład sprzężonych równań różnczowych cząstowych mechan przewodnctwa ceplnego dyfuz eletrodynam ośrodów cągłych.

5 73 3. Podsumowane W prezentowanym artyule przedstawono podstawowe równana hgrotermopezosprężystośc wraz z warunam początowym brzegowym. Mogą być one wyorzystane do poszuwana analtycznych numerycznych rozwązań problemów zwązanych z wyorzystanem materałów pezoeletrycznych poddanych dzałanu temperatury wlgotnośc. Oznaczena symbol c przyrost oncentrac concentraton ncrement [-] c ε cepło właścwe specfc heat [J g -1 K -1 ] C oncentraca wlgoc mosture concentraton [-] C oncentraca początowa reference concentraton [-] 0 D wetor przesunęca pola eletrycznego electrc dsplacement vector [C m -2 ] E wetor natężena pola eletrycznego electrc feld vector [V m -1 ] f wetor sły obętoścowe mechancal body force [N m -3 ] wetor natężena strumena masy mass flux vector [g m 2 s -1 ] n wetor normalny do brzegu unt outward normal vector wetor natężena strumena cepła heat flux vector [W m -2 ] ρ r źródło cepła heat source [W m -3 ] ρ R źródło masy mass source [g m -3 s -1 ] t zmenna przestrzenna tme [s] T temperatura absolutna absolute temperature [K] T temperatura początowa reference temperature [K] u 0 wetor przemeszczena elastc dsplacement vector [m] x współrzędna przestrzenna spatal poston [m] ε tensor odształcena symmetrc stran tensor [-] Φ potencał eletryczny electrc potental [V] η gęstość entrop entropy densty [J K -1 m -3 ] κ współczynn przewodnctwa ceplnego thermal conductvty [W m -2 K -1 ] Θ przyrost temperatury temperature ncrement [K] ρ gęstość masy mass densty [g m -3 ] ρ e gęstość ładunu charge densty [C m -3 ] σ tensor naprężena symmetrc stress tensor [Pa]. Lteratura [1] Altay G. and Dömec M. C. Certan hygrothermopezoelectrc multfeld varatonal prncples for smart lamnae n elastc range Mechancs of Advanced Materals and Structures

6 74 [2] Altay G. and Dömec M. C. Varatonal prncples for pezoelectrc thermopezoelectrc and hygrothermopezoelectrc contnua revsted Mechancs of Advanced Materals and Structures [3] Dömec M. C. Altay G. Hgh-freuency vbratons of hygrothermopezoelectrc thn shells Proceedngs of Mndln Centennal Symposum Colorado (June 2006). [4] Dömec M. C. Altay G. Curved lamnae euatons for hygrothermopezoelectrc materals at elastc range Proceedngs of ESM Mechancs Conference Vrgna Tech (May 2008) 23. [5] Gülay A. Dömec M. C. The consstent Mdln s thermopezoelectrc euatons and the prncple of vrtual wor Mechancs Research Communcatons [6] Jędrzeczy-Kub J Varatonal theorem for theory of thermopezoelectrcty wth damage Roczn Inżyner Budowlane [7] Kundu C. K. Han J-H. Nonlnear pezo-hygro-thermo-elastc behavor of pezolamnated composte shells usng fnte element method Proceedngs of KSAS- JSASS Jont Internatonal Symposum on Aerospace Engneerng Jeu Korea (November 2008) [8] NowacW. Dynamc problems of thermoelastcty Noordhoff Leyden The Netherlands [9] Raa S. Dwaraanathan D. Snha P. K. and Prathap G. Bendng behavor of pezo hygrothermo elastc smart lamnated composte flat and curved plates wth actve control J. Renforced Plast. Compos [10] Raa S. Snha P. K. Prathap G. and Dwaraanathan D. Influence of actve stffenng on dynamc behavor of pezo hygro thermo elastc composte plates and shells Journal of Sound and Vbraton [11] Sh G. C. Mchopoulos J. G. and Chou S. C. Hygrothermoelastcty Martnus Nhoff Dordrecht The Netherlands [12] Smttaorn W. and Heylger P. R. A dscrete-layer model of lamnated hygrothermopezoelectrc plates Mechancs of Advanced Materals and Structures [13] Smttaorn W. A theoretcal and expermental study of adaptve wood compostes (dssertaton) Colorado State Unversty Colorado [14] Y S. Lng S. F. Yng M. Hlton H. H. and Vnson J. R. Fnte element formulaton for ansotropc coupled pezoelectro hygro thermo vscoelasto dynamc problems Int. J. Num. Meth. Engng BOUNDARY INITIAL VALUE PROBLEM OF LINEAR HYGROTHERMOPIEZOELASTICITY Summary The paper contans balance euatons consttutve euatons and ntal-boundary value condtons of lnear hgrothermopezoelectrcty. The results obtaned n ths wor can become the theoretcal bass to formulate the numercal solutons of dfferent scentfc and engneerng problems connected wth pezoelectrc materals.