Wielomiany dodatnie na zwartych zbiorach semialgebraicznych

Transkrypt

1 Uniwersytet Śląski w Katowicach Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii Kierunek matematyka Praca dyplomowa magisterska Wielomiany dodatnie na zwartych zbiorach semialgebraicznych Promotor: dr Paweł Gładki Autor: inż. Edyta Swacha-Olender Katowice 011

2 Spis treści Wstęp I. Pojęcia wstępne. 5 I.1. Podstawowe definicje I.. Teoria wykorzystana w dowodach II. Główny rezultat. 1 Skorowidz 15 Literatura 16

3 Wstęp W niniejszej pracy zajmiemy się jednym z wariantów 17-tego Problemu Hilberta. Przypomnijmy, że w oryginale stawiał on następujące pytanie: czy jeżeli wielomian f R[X 1,..., X n ] przyjmuje wartości nieujemne, to jest sumą kwadratów funkcji wymiernych? Problem ten w 197 roku pozytywnie rozwiązał Artin w klasycznej pracy [1], która dziś uważana jest za początek rozwoju rzeczywistej geometrii algebraicznej. Od tego czasu 17-ty Problem Hilberta znalazł wiele uogólnień. W szczególności można się zastanawiać, co się stanie, jeżeli warunek f 0 zastąpimy f 0 na zwartym zbiorze semialgebraicznym. Zdefiniujmy wersję 17-tego Problemu Hilberta, którą będziemy się zajmować, bardziej formalnie. W tym celu wprowadźmy kilka oznaczeń. Dla uproszczenia notacji w pracy tej będziemy pisać R[X] dla oznaczenia pierścienia R[X 1,...X n ], Q[X] dla oznaczenia pierścienia Q[X 1,...X n ] itp. Symbol X odpowiednio x) będzie natomiast oznaczał uporządkowaną n-kę X 1,...X n ) x 1,...x n ), odpowiednio). Niech S będzie skończonym podzbiorem R[X], natomiast R[X] niech oznacza zbiór wszystkich sum kwadratów elementów pierścienia R[X] oraz Q[X] oznacza zbiór wszystkich sum kwadratów elementów pierścienia Q[X]. Niech K S = {x R n : g 1 x) 0,..., g m x) 0} będzie zbiorem semialgebraicznym wyznaczonym przez zbiór S oraz niech { T S = σɛ g ɛ : ɛ = ɛ 1,..., ɛ m ) {0, 1} m, σ ɛ } R[X] będzie preporządkiem generowanym przez zbiór S, gdzie g ɛ := g ɛ 1 1,..., gm ɛm. Ponadto, niech M S = {σ 0 + σ 1 g σ m g m : σ i } R[X] będzie modułem kwadratowym generowanym przez zbiór S. Przypomnijmy też, że zbiór A R[X] nazywamy zbiorem archimedesowym jeżeli b R[X] n N b + n A. Prawdziwe są dwa klasyczne twierdzenia:

4 WSTĘP 3 Twierdzenie 1 Schmüdgen). Niech K S będzie zbiorem zwartym. Jeżeli f R[X] oraz fx) > 0 dla x K S to f T S Twierdzenie Putinar). Niech moduł kwadratowy M S będzie zbiorem archimedesowym. Jeśli f R[X] oraz fx) > 0 dla x K S to f M S. Oczywiście M S T S, tak więc twierdzenie Putinara jest rezultatem subtelniejszym, niż twierdzenie Schmüdgena, nie może jednak być traktowane jako jego uogólnienie: można skonstruować przykłady zwartych zbiorów K S, dla których moduł kwadratowy M S nie jest archimedesowy [][Example 7.3.1]. Okazuje się, że prawdziwe są też twierdzenia odwrotne do powyższych. Tym samym twierdzenia Schmüdgena i Putinara dostarczają kryteriów potwierdzających, że dany wielomian jest dodatni na zbiorze K S kryteria te nazwane zostały przez Powers certyfikatami dodatniości. Głównym celem niniejszej pracy będzie sformułowanie i udowodnienie tak zwanego wymiernego certyfikatu dodatniości dla twierdzenia Putinara. Będziemy rozważali sytuację, gdy w założeniu twierdzenia Putinara warunek f R[X] zastąpimy warunkiem f Q[X] i spróbujemy odpowiedzieć na pytanie czy w takiej sytuacji można pokazać, że f jest elementem pewnego modułu kwadratowego M w pierścieniu Q[X], a więc czy wielomian f można przedstawić jako kombinację liniową f = σ 0 + σ 1 g σ m g m dla pewnych g 1,..., g m Q[X] oraz σ 0,..., σ m, Q[X]. W istocie tak jest, o ile dla pewnego N N wielomian N x i jest elementem modułu kwadratowego M. Dokładniej, udowodnimy następujące twierdzenie: Twierdzenie 3. Niech S Q[X] oraz niech N N będzie takie, że N x i M S. Jeśli fx) Q[X] oraz fx) > 0, dla wszystkich x K S, to istnieją σ 0,..., σ m, σ Q[X] takie, że: f = σ 0 + σ 1 g σ m g m + σn x i ). Dowód twierdzenia 3 zaczerpnięty został z pracy Powers [5] i opiera się w znacznym stopniu na lemacie Schweighofera z pracy [7]. Z kolei sam lemat Schweighofera jest wersją klasycznego twierdzenia Póyla, którego dowód został zapożyczony z książki Hardy ego, Littlewooda i Pólya []. Definicje i notacje preporządku, zbioru

5 WSTĘP archimedesowego itp. zostały przedstawione tak, jak w książce Marshalla [], zaś wykorzystane twierdzenia z analizy, matematyki dyskretnej oraz teorii liczb tak, jak w podręcznikach Kołodzieja [3], Rossa i Wrighta [6] oraz Sierpińskiego[8]. W pierwszym rozdziale znajdziemy podstawowe definicje i twierdzenia potrzebne do zrozumienia rozważań zawartych w głównej części niniejszej pracy. Przede wszystkim skoncentrowaliśmy się w nim na szczegółowym omówieniu lematu Schweighofera i twierdzenia Póyla. Z kolei drugi rozdział poświęcony jest dowodowi Twierdzenia 3.

6 Rozdział I Pojęcia wstępne. W rozdziale tym zawarta została cała teoria, dzięki której będziemy mogli zrozumieć późniejsze rozważania. I.1. Podstawowe definicje. W tym miejscu, raz jeszcze zgromadzimy wszystkie potrzebne definicje i oznaczenia, niezbędne dla niniejszego opracowania. Niech: 1. R[X] oznacza pierścień wielomianów R[X 1,...X n ], podobnie niech Q[X] oznacza pierścień wielomianów Q[X 1,...X n ],. R[X] będzie zbiorem wszystkich sum kwadratów w R[X] oraz Q[X] będzie zbiorem wszystkich sum kwadratów w Q[X], 3. S = {g 1,..., g m } Q[X] będzie ustalonym zbiorem wielomianów o współczynnikach wymiernych,. K S = {x R n : g 1 x) 0,..., g m x) 0} będzie zbiorem semialgebraicznym wyznaczonym przez zbiór S, 5. M S = {σ 0 + σ 1 g σ m g m : σ i R[X] } będzie modułem kwadratowym wyznaczonym przez zbiór S, 6. T S = { σ ɛ g ɛ : ɛ = ɛ 1,..., ɛ m ) {0, 1} m, σ ɛ R[X] } będzie preporządkiem generowanym przez zbiór S, gdzie g ɛ := g ɛ 1 1,..., g ɛm m.

7 I. POJĘCIA WSTĘPNE. 6 I.. Teoria wykorzystana w dowodach. Poniższy lemat wykorzystamy później do udowodnienia lematu Schweighofera. Lemat I.1. [7, Lemma 7] Dla y [0, 1] oraz k N, y 1) k y ) k 1 k k + 1. Dowód. Niech F y) = y 1) k y. Wówczas: F y) = ky 1) k 1 y + y 1) k = y 1) k 1 [ky + y 1]. Wobec tego F y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy y = 1 lub ky + y 1 = 0, to znaczy y = 1 1. Jeżeli y = 1, to F y) = 0. Jeżeli y =, to k+1 k+1 F y) = ) k 1 k k Zatem F y) przyjmuje maksimum w punkcie k+1 udowodniona. i tym samym nierówność jest Następnie szczegółowo omówimy lemat Schweighofera, który znalazł zastosowanie w głównym twierdzeniu niniejszej pracy. Lemat I. Schweighofer). [7, Lemma 8] Niech D R n będzie zbiorem zwartym, niech, dla każdego i {1,..., m}, g i R[X] będą ustalonymi wielomianami takimi, że g i x) 1 dla x D. Niech p R[X] oraz px) > 0 dla x K S. Wtedy istnieje λ N takie, że, dla każdego k N, spełniona jest następująca nierówność: m px) λ 1 g i x)) k g i x) > 0, dla x D. Dowód. Skoro K S jest zbiorem zwartym, to na mocy twierdzenia Weierstrassa [3, Rozdział 17 Twierdzenie 8] możemy wybrać ε > 0 takie, że px) > ε dla x K S.

8 I. POJĘCIA WSTĘPNE. 7 Zauważmy, że A := {x D : px) ε} jest domkniętym 1 podzbiorem zbioru zwartego D i jest rozłączny ze zbiorem K S. Wobec tego co najmniej jeden g i x) jest ujemny dla pewnego x A. Ustalamy δ > 0 taką, że 1) min{g 1 x),..., g m x)} δ, dla każdego x A. Wielomian p przyjmuje minimum na zbiorze zwartym D, możemy więc wybrać liczbę naturalną λ N taką, że: ) px) + λδ > 0. Ponadto, możemy wybrać liczbę k N na tyle dużą, aby δ 3) m 1 k + 1 oraz ) ε λm k + 1. Wykażemy, że spełniona jest nierówność: m px) λ 1 g i x)) k g i x) > 0 dla x D. Skoro A K S =, więc, dla x A, w sumie m 1 g ix)) k g i x) jest najwyżej m 1 składników nieujemnych. Jeżeli, dla x D, g i x) [0, 1], to wobec Lematu I.1 5) 1 g i x)) k g i x) ) k 1 k k k + 1. Zatem składniki nieujemne sumują się do co najwyżej m 1. Jednocześnie, dla x D, k+1 co najmniej jeden składnik w sumie m 1 g ix)) k g i x) jest nieujemny, a nawet, wobec 1), mniejszy bądź równy 1 g i x)) k δ) δ gdzie 1 g i x)) 1. Zatem składniki ujemne sumują się do co najwyżej δ. 6) Powołując się na ), 3) oraz ) otrzymamy: m ) m 1 px) λ 1 g i x)) k g i x) px) λ k + 1 δ px) λ m 1 m 1 + λδ px) λ k + 1 k λδ + λδ px) + λδ δ + λ m 1 ) > 0, dla x A. k Niech x n ) A oraz x n x. Wówczas px n ) ɛ dla każdego n N, a więc px) ɛ co oznacza, że x A.

9 I. POJĘCIA WSTĘPNE. 8 W przypadku gdy x D \ A wszystkie wyrażenia w sumie m 1 g ix)) k g i x) mogą być nieujemne, a więc wobec 5) m 1 g i x)) k g i x) < m k + 1. Jednocześnie px) > 0, dla x D \ A, a zatem: m 7) px) λ 1 g i x)) k g i x) > ɛ λ m k dla x D \ A na mocy ). W rezultacie, dla wszystkich x D, otrzymujemy: m px) λ 1 g i x)) k g i x) 0. Również ważnym twierdzeniem, które zostało zastosowane w dowodzie głównego twierdzenia niniejszej pracy, jest twierdzenie Pólya. Twierdzenie I.. Pólya) [, Theorem 56] Niech F R[X] będzie wielomianem jednorodnym stopnia m i niech m U = {x 1,..., x m ) R m : x i 0, i {1,..., m}, x i > 0}. Jeżeli F x) > 0, dla x U, to istnieją wielomiany jednorodne G, H R[X] o dodatnich współczynnikach takie, że F H = G. Dowód. Twierdzenie udowodnimy w przypadku m = 3. Idea dowodu dla wyższych m jest taka sama. Funkcja F x 1, x, x 3 ) jest dodatnia i ciągła na zbiorze W, gdzie W = {x 1, x, x 3 ) R 3 : x 1 0, x 0, x 3 0, x 1 + x + x 3 = 1}. Zauważmy, że W jest zbiorem domkniętym i ograniczonym 3, a więc jest zbiorem zwartym. Zatem F przyjmuje minimum µ dla pewnego x W. Ponadto W U, a więc µ > 0. Niech funkcja g : R 3 R będzie dana wzorem gx 1, x, x 3 )) = x 1 + x + x 3. Jest to funkcja ciągła, {x 1, x, x 3 ) : x i [0, ), x 1 + x + x 3 = 1} = g 1 {1}), a więc zbiór W jest zbiorem domkniętym jako przeciwobraz zbioru domkniętego {1}. 3 Zbiór W jest zawarty w kuli K0, 0), 1), a więc jest zbiorem ograniczonym.

10 I. POJĘCIA WSTĘPNE. 9 Niech 8) F x 1, x, x 3 ) = A αβγ x α 1 x β x γ 3 α!β!γ!, gdzie sumowanie przebiega po wszystkich trójkach liczb naturalnych α, β, γ) takich, że α + β + γ = n. Niech 9) φx 1, x, x 3, x ) = x n Aαβγ x1 x 1 α ) x x 1 β ) x3 x 1 γ ), gdzie x > 0 i xx 1 δ ) definiujemy następująco: xx 1 δ ) = { 1, gdy δ = 0, xx x )...x x δ 1)) δ!, gdy δ N, x > 0 i x R. Gdy x 0, to φx 1, x, x 3, x ) F x 1, x, x 3 ). Możemy wobec tego przedłużyć φ do funkcji ciągłej na zbiorze Z zdefiniowanym wzorem: Z = {x 1, x, x 3, x ) : x 1, x, x 3 ) W, x [0, 1]} przyjmując φx 1, x, x 3, 0) = F x 1, x, x 3 ). Funkcja φ jest wobec tego przedziałami monotoniczna [3, Rozdział 31 Lemat ], a zatem możemy dobrać ɛ > 0 takie, że dla x 0, ɛ) zachodzi: 10) φx 1, x, x 3, x ) > φx 1, x, x 3, 0) 1 µ = F x 1, x, x 3 ) 1 µ 1 µ > 0 dla x 1, x, x 3 ) W. Zauważmy, że wobec uogólnionego wzoru dwumianowego Newtona [6]: x 1 + x + x 3 + x ) l n = ) l n 11) x κ 1x λ x η 3 κ + λ + η = l n)! κ!λ!η! = l n)! x κ 1x λ x η 3 κ!λ!η!, gdzie sumowanie przebiega po wszystkich trójkach liczb naturalnych κ, λ, η) takich, że κ + λ + η = l n. Mnożąc 8) i 10) otrzymujemy: 1) x 1 + x + x 3 ) l n F = l n)! A αβγ x α+κ 1 x β+λ x γ+η 3 α!κ!β!λ!γ!η!,

11 I. POJĘCIA WSTĘPNE. 10 gdzie pierwsze sumowanie przebiega po wszystkich trójkach liczb naturalnych α, β, γ) takich, że α + β + γ = n oraz drugie sumowanie przebiega po wszystkich trójkach liczb naturalnych κ, λ, η) takich, że κ + λ + η = l n. Niech a = α + κ, b = β + λ, c = γ + η. Wówczas a 0, b 0, c 0 oraz a + b + c = α + κ + β + λ + γ + η = n + l n = l. Ponadto a α 0, b β 0, c γ 0 oraz α + β + γ = n wzór 11) można przedstawić jako: x 1 + x + x 3 ) l n F = l n)! x a 1x b x c 3 a!b!c! A αβγ a α ) b β ) c gdzie pierwsze sumowanie przebiega po trójkach liczb naturalnych a, b, c) takich, że a + b + c = l, a suma po trójkach liczb naturalnych α, β, γ) takich, że a ) α 0, b ) β 0, c ) γ 0 oraz α + β + γ = n. Ponadto, ponieważ a b c = 0, = 0, = 0, dla α a, β b, γ c, możemy po prostu α β γ ) ) ) zastąpić sumę sumą a b c A αβγ, gdzie sumowanie przebiega α β γ po trójkach liczb naturalnych α, β, γ) takich, że α + β + γ = n. 13) Ostatecznie, wobec 9) otrzymujemy: x 1 + x + x 3 ) l n F = l n)! x a 1x b x c 3 a A αβγ a!b!c! α a A l ) b l l l αβγ = l n)! x a 1x b x c 3 a!b!c! α β ) b ) c l l β ) γ ) c = l n)! x a 1x b x c 3 a!b!c! ln φ a l, b l, c l, 1 l ) = l n)!ln φ a l, b l, c l, 1 1x b x c l )xa 3 a!b!c! gdzie, dla x 0, ε), wobec 10) φx 1, x, x 3, x ) > 0. Zauważmy też, że dla l dostatecznie dużych dokładniej takich, że 1 l < ɛ oraz l n > 0), wobec 9) i 10) wielomiany jednorodne Hx 1, x, x 3 ) = x 1 + x + x 3 ) l n γ γ ) ), oraz Gx 1, x, x 3 ) = k n)!l n φ a l, b l, c l, 1 l )xa 1x b x c 3 a!b!c!,

12 I. POJĘCIA WSTĘPNE. 11 gdzie suma w G przebiega po trójkach liczb naturalnych a, b, c) takich, że a + b + c = n mają dodatnie współczynniki i zachodzi F H = G. Z powyższego twierdzenia Pólya wynika następująca uwaga: Uwaga I.1. Zauważmy, że wielomian H skonstruowany w dowodzie twierdzenia Pólya jest w następującej postaci: Hx 1,..., x m ) = x x m ) k, dla pewnego k N.

13 Rozdział II Główny rezultat. Rozdział ten zawiera dowód twierdzenia, które stanowi uogólnienie 17 tego Problemu Hilberta na zwartych zbiorach semialgebraicznych. Twierdzenie II.5. [5, Theorem 6] Niech S Q[X] oraz niech N N będzie takie, że N x i M S. Jeśli fx) Q[X] oraz fx) > 0, dla wszystkich x K S, to istnieją σ 0,..., σ m, σ Q[X] takie, że: f = σ 0 + σ 1 g σ m g m + σn x i ). Dowód. Niech l : R n R n będzie funkcją określoną wzorem y1 y n+1 l y 1,..., y n ) =,..., y ) n y n i niech zbiór C R n będzie zdefiniowane przez C = l ) gdzie: := { y 1,..., y n ) : y i [0, ), y y n = n N + 1 )} R n. Zauważmy, że jest zbiorem niepustym, gdyż dla dowolnego n N liczba nn + 1 ) jest sumą n liczb rzeczywistych nieujemnych. Zauważmy również, że jest zbiorem domknietym i ograniczonym 5, czyli jest zbiorem zwartym. Niech funkcja h : R n R będzie dana wzorem hy 1,..., y n )) = y y n. Jest to funkcja ciągła, { y 1,..., y n ) : y i [0, ), y y n = n N + 1 )} = h 1 {n N + 1 ) }) a więc zbiór jest zbiorem domkniętym jako przeciwobraz zbioru domkniętego {n N + 1 ) }. 5 Zbiór = { y 1,..., y n ) : y i [0, ), y y n = n N + 1 )} R n jest zawarty w kuli domkniętej K= 0, 0), nn + 1 )), a więc jest zbiorem ograniczonym.

14 II. GŁÓWNY REZULTAT. 13 Zbiór C również jest zbiorem zwartym, gdyż jest ciągłym obrazem zbioru zwartego. Na mocy twierdzenia Weierstrassa [3, Rozdział 17 Twierdzenie 8] wiemy, że każdy z wielomianów g i, i {1,,..., m}, jest ograniczony i przyjmuje swoje kresy w zbiorze C. Zatem mnożąc g i x) przez odpowiednią liczbę wymierną możemy założyć, że g i x) 1 dla x C. Na podstawie Lematu Schweighofera I. wiemy, że istnieje λ Q + takie, że qx) := fx) λ n g i x) 1) k g i x) > 0 dla x C. Ponieważ wielomian stopnia d możemy zapisać jako sumę d wielomianów jednorodnych stopni 1,..., d, odpowiednio, to wielomian q przedstawiamy jako q = d Q i, gdzie d = stq) oraz Q i jest wielomianem jednorodnym stopnia i. Niech Y = y 1,..., y n ). Zdefiniujmy następujący wielomian w Q[Y ]: F y 1,..., y n ) = d y1 y n+1 Q i,..., y ) ) d i n y n y y n n ). N + 1 F jest wielomianem jednorodnym stopnia d. Zauważmy, że F Y ) > 0 dla Y \ {0}. 6 Korzystając z twierdzenia Pólya a dokładniej z Twierdzenia I. i Uwagi I.1) wiemy, że istnieje k N takie, że wszystkie współczynniki wielomianu y y n ) k F Y ) są dodatnie. [ ] k y Niech GY ) = y n F Y ). Wielomian G ma wszystkie współczynniki nn+ 1 ) dodatnie i wymierne. Zdefiniujmy homomorfizm pierścieni ψ : Q[Y ] Q[X] warunkami: oraz ψr) = r, dla r Q, ψy i ) = N + 1 ) + X i jeżeli i 1,..., n ψy n+i ) = N + 1 ) X i jeżeli i 1,..., n. ) 6 Jeżeli y 1,..., y n ), to y1 y n+1,..., yn yn C, z czego wynika, że ) q y1 y n+1,..., yn yn > 0 oraz, że suma wielomianów Q Q d > 0 a więc F Y ) > 0. ) Z drugiej strony otrzymujemy q y1 y n+1,..., yn yn = ) d Q y1 y n+1 i,..., yn yn. Ponadto ) y 1,..., y n ) \ {0}, co oznacza że > 0. y y n nn+ 1 )

15 II. GŁÓWNY REZULTAT. 1 Zauważmy, że ψg) = q: [ ] k [ ψgy )) = ψ y y n n ) N + 1 F Y ) = ψ [ )] k y y n d = ψ n ) N + 1 ψ = = = [ ψ y y n n ) N + 1 )] k d ψ y y n n ) N + 1 ] k y1 y n+1 Q i,..., y n y n y1 y n+1 Q i,..., y n y n ψ F Y )) ) y y n n ) N + 1 )) ψ ) d i y y n n ) N + 1 [ N + 1 ) + x N + 1 ) + x n + N + 1 ) x N + 1 ) x ] k n n ) N + 1 d N + 1 [Q ) + x 1 N + 1 ) + x 1 i,..., N + 1 ) + x n N + 1 ) + x ) n N + 1 ) + x N + 1 ) + x n + N + 1 ) x N + 1 ) x ) d i n n ) N + 1 d Q i x 1,..., x n ) = q. ) d i Jako że każdy współczynnik wielomianu G jest dodatni i wymierny, jest sumą kwadratów liczb wymiernych wobec twierdzenia Lagrange a [8, Theorem ]. Ponadto iloczyn wyrażeń postaci Q[X] + rn x j), gdzie r jest sumą kwadratów liczb wymiernych, jest tej samej postaci. Wobec tego możemy zapisać jako ψg) = fx) λ n g i x) 1) k g i x) δ o + δn x j), gdzie δ o, δ Q[X], a zatem f = σ 0 + σ 1 g σ m g m + σn x i ) jest żądanej postaci.

16 Skorowidz Lemat, 6 lemat Schweighofera, 6 moduł kwadratowy, 5 preporządek,,5 TWIERDZENIE, 3, 1 twierdzenie Pólya, 8 twierdzenie Putinara, 3 twierdzenie Schmüdgen, 3 zbiór archimedesowy, zbiór semialgebraiczny,, 5 zbiór sum kwadratów, 5 zbiór wielomianów, 5 Uwaga, 11

17 Literatura [1] E. Artin, Über die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate, 5, Abh. math. Sem. Hamburg 197), [] G.H. Hardy, J.E. Littlewood, E. Pólya, Inequalities, Cambridge University 193), [3] W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 1978), 76, 87 88, 178. [] M. Marshall, Positive polynomials and sums of squares, AMS Math, Syrveys and Monographs ). [5] V. Powers, Rational certificates of positivity on compact semialgebraic sets, preprint 009). [6] A. Ross, R.B. Wright, Matematyka dyskretna,, PWN, Warszawa 003), [7] M. Schweighofer, Optimization of polynomials on compact semialgebraic sets, SIAM, Universit at Konstanz, Fachbereich Mathematik und Statistik 006), 7 8. [8] W. Sierpiński, Elementary theory of numbers, PWN, Warszawa 196), 368.