MODELOWANIE WIELOSTOPNIOWYCH PRZEKŁADNI ZĘ BATYCH METODĄ SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 16 (1978) MODELOWANIE WIELOSTOPNIOWYCH PRZEKŁADNI ZĘ BATYCH METODĄ SZTYWNYCH ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH STEFAN BERCZYŃ SKI HENRYK MAĆ KOWIAK KRZYSZTOF MARCHELEK (SZCZECIN) Metoda sztywnych elementów skoń czonych (SES) może być efektywnie wykorzystana do obliczeń gię tno- skrę tnyc h drgań swobodnych i wymuszonych napę dów wielostopniowych z przekł adniami zę batymi. W monografii [1] która jest najpełniejszym opracowaniem metody SES problem ten nie został poruszony. W niniejszej pracy przedstawiony jest algorytm obliczeń który stanowi rozwinię cie metody SES w jej zastosowaniu do obliczeń napę dów z przekł adniami zę batymi. Algorytm opracowano dla modelu przekładni zę - batej przenoszą cej ś rednie moce (np. napę dy obrabiarek) w której nie wystę puje luz obwodowy. a) t. _i r -i L r». r ~> ł 1r~ «- _i U j - element jprę ż yjło - ttumą cy Rys. 1 Przy tworzeniu przedstawionego modelu pominię to takie zjawiska jak zmiana ką ta przyporu 1 * na skutek odkształceń zę bów wpływ nierównomiernoś ci rozkładu obcią ż eni a wzdłuż linii styku zę bów oraz zazę bienia krawę dziowego powstają cego wskutek zwichrowania kół pod obcią ż eniem błę dów wykonawczych i montaż owych oraz zjawiska giros- J) Definicje poję ć zwią zanych z geometrią zazę bienia znaleźć moż na np. w [4].

2 28 S. BERCZYŃ SKI H. MAĆ KOWIAK K. MARCHELEK kopowe. Wpł yw tych czynników na procesy dynamiczne zachodzą ce w napę dzie jest z reguły lokalny i moż na go w pierwszym przybliż eniu przy analizie całoś ci napę du pominą ć. Na rys. 1. pokazano model przykł adowej dwustopniowej przekładni zę batej zbudowany ze sztywnych elementów skoń czonych połą czonych mię dzy sobą elementami sprę - ż ysto- tłumią cym i o liniowych charakterystykach. Koł a zę bate są przedstawione za pomocą SES nr 2 5pir. Rys. 2 Na rys. 2 przedstawiono sposób modelowania zazę bienia dla przypadku trzech współ - pracują cych kólp r s. Przyję to zał oż enie że koła współ pracują ze sobą na linii przypora. Punkty styku P pr - P P pr - r oraz P rs i P rs _j tylko w stanie równowagi pokrywają się tworzą c odpowiednio punkty P pr i P rs (rys. 2). W czasie ruchu punkty P pr - P P pr - r oraz P M i P _ s muszą cią gle znajdować się na odpowiednich pł aszczyznach zazę bienia których ś lady przecię cia z płaszczyzną rysunku oznaczono przez / i l pr. Jest to równoznaczne z nałoż eniem na ukł ad wię zów geometrycznych. W punktach styku P pr i P rs zaczepiono ukł ady współrzę dnych P pr> Z prl Z pr2 Z vr i oraz P rs Z fsi Z rs2 Z rs3. Macierze współ - rzę dnych punktów P pr - P> P pr^r i P rs - r Prs- sw tych układach mają postać: ;... P r ~P. = CO H^pr- pl> Z pr _ v i Z pr _ p3 j Ł> P T- r -.. VT~T ~ gdzie Ż j._p macierz kolumnową współrzę dnych punktu P pi._ p w ukł adzie P pr Z trl Zpn Z P r3 Z pr _ pi współ rzę dna.punktu P pr ~ p na. osi Z pr _ t (i = 1^2 3);

3 MODELOWANIE WIELOSTOPNIOWYCH PRZEKŁADNI ZĘ BATYCH 281 Macierze wektorów kierunkowych płaszczyzn zazę bienia mają postać U pr = C\{A p r B pr Cpr}' ^rs = Col{^rs B rs C rs }. Równania wię zów geometrycznych (płaszczyzn zazę bienia) wyraż one są wzorami: (1) f pr == A pr {Zpr- pl Zpr- n) + Bpr{Zpr- p2 Zpr- rz) + Cpr(Z pr _ p 3 Zpr- ri) ~ ) (2) f rs = A r.(z - n - Z - sl ) + B (Z r _ Ta ~Z - l 3 + C r (Z n - r3 - Z - t a) =. Układy współrzę dnych są układami prawoskrę tnymi przy czym osie Z pr2 i Z rs2 są zwrócone do osi obrotu kół napę dzanych w danej współpracują cej parze. Przy wyprowadzaniu wzorów ustalono nastę pują ce reguły: litera stoją ca na pierwszym miejscu w indeksie oznacza koło napę dzają ce litera stoją ca na drugim miejscu koł o napę dzane np. indeks pr oznacza że koło napę dzają ce ma numer p zaś koło napę dzane ma numer r kierunek obrotów koła napę dzają cego (np. p) jest prawy gdy ukł ad z nim zwią zany obraca się zgodnie z reguł ą ś ruby prawoskrę tnej wokół osi x pi kierunek pochylenia linii zę bów koła napę dzają cego (np. p) jest prawy gdy rzut linii zę bów na płaszczyznę osi x pl x p3 tworzy z osią x pl ką t od do 9. Rys. 3 Współ rzę dne A pt B pr C pr wektora kierunkowego płaszczyzny zazę bienia kół p i r opisują zależ nośic A pr = (- iy + 1 cosa sm/ 3 pr B pr = (- l)'sina n) w C pr = cosa n cos/ 9 pr przy y czym jo gdy kierunek obrotów koła p jest prawy ~ \ l gdy kierunek obrotów koła p jest lewy. ( gdy kierunek; pochylenia linii zę bów koł a p jest prawy \ l gdy kierunek pochylenia linii zę bów koła/ ) jest lewy gdzie «oznacza nominalny ką t przyporu koła zę batego zaś / 3 pr ką t pochylenia linii zę ba koł a p. y..

4 282 S. BERCZYŃ SKI H. MAĆ KOWIAK K. MARCHELEK Zależ nośi c(1) i (3) są także słuszne dla przekładni utworzonej z kół stoż kowych (rys. 3)» Układ współrzę dnych P pr! Z prl Z pr2 Z pr3 powinien być tak zorientowany aby oś Z prl pokrywała się ze wspólną tworzą cą stoż ków podziałowych obu kół p i r zaś oś Z pp2 zwrócona była w kierunku osi obrotu koł a napę dowego r. Równania wię zów (1) i (2) należy wyrazić w tych samych współ rzę dnych w których opisany jest ruch sztywnych elementów skoń czonych. Jako współ rzę dne uogólnione opisują ce ruch sztywnych elementów skoń czonych przyję to trzy wzajemnie prostopadłe przemieszczenia translacyjne d wzdłuż osi x f oraz trzy ką ty obrotów f wokół tych osi. Na przykł ad przemieszczenia uogólnione SES / i s wyraż one są zależ noś ciami : q P = col{q n q r2... q rs q r6 } = col{8 r <J> P } (4) r >»: i q 5 = co% sl q s2)... q ss q s6 } = col{s s < > s } gdzie q ri q si oznacza przemieszczenia uogólnione kół r i s w układach P x Pl x r2 x r3 Przemieszczenia punktów P rs kół risw układzie Z PSl Z 2 Z rs3 wyrazić moż na za pomocą współ rzę dnych uogólnionych korzystają c z wzorów: przy czym > q s _ P = U rs - P V PS - P q P q rs - s = U_V _q (4b) r "~ r U ""'*' ' "~ r5> rs ~ r6 1.fi**""'' q M _ P = COli^rs_ s i q r s- s2> qrs- ss q r s- s6s COl{O PS _ s 4*rs- s/» gdzie q rs - ri q r s- si oznaczają przemieszczenia kół risw ukł adzie P rs Z PS1 Z rs2 Z 3. Wystę pują ce w równaniach (4a) macierze U _ P i U _ s transformacji przemieszczeń z ukł adów r x n x r2 x r3 i s x sl x s2 x s3 do ukł adu P rs Z sl Z rs2 Z ta3 wyraż one są nastę pują co: (5) U PS _ P = T U PS _ S = r przy czym i oraz macierze wersorów osi ukł adów h = col {j P i j P 2 j P3 } j s = col {j sl j s 2 j s3 } Jr«- Cl{j PSl j Ps2 i" Ps3 }. "Wyraz C PS _ P<I)t macierzy C PS _ P zdefiniowany jest nastę pują co: C - P( u = cos(x rl Zrsk) h k = gdzie (X H Z rsk ) oznaczają ką t zawarty mię dzy / - tą osią ukł adu zwią zanego z koł em r a k- tą osią ukł adu P rs Z m Z Ps2 Z Ps3 do którego transformuje się przemieszczenia. Macierze v rj v P _ 5 przenoszenia przemieszczeń z układów O r X rl X r2 X r3 i Oi ^si>^s2^s3 do układu P rb) Z rst Z 2) Z ra3 są wyraż one w postaci (7) V - v

5

6 284 S. BERCZYŃ SJU H. MAĆ KOWIAK K. MARCHELEK przedstawić moż na w postaci:.. (15a) f pr = nj r Z pr _ p - <.Z pr = (16a) / - n r T sz rs - n?;z _ s =. Podstawiają c do równań (15a) i (16a) zależ nośi c (12) uzyska się : f pr = n T ptc^_ p y^ pqp- n T prc^ rv^ rą r = Wprowadzają c oznaczenia: T i _ nt r*t V* T n T C T V* pr p "pr^pr- p ' pr- pi *pr r "pr^pr r 'pr rj * ' T n T r T v* T nt T V* x 1- rs r "rs^ti r ' rs r > rs s "rs^rs s " rs s? równania (17) przyjmują postać 1 j fpr = T pr _ p q p - T pr q. = fn = T rs q- T rs _ s q s =. Wyraż enia (19) są liniowymi formami współrzę dnych uogólnionych. Wyrazy macierzy T pp - p T pr T rs _ 5 T rs _ s są pochodnymi równań wię zów wzglę dem odpowiednich współrzę dnych uogólnionych czyli Tr P ~ \ 8fpr > 8f " r r hł (2) L^"' 8q r2 '- ' 8q r6 \ ' rs - s ~ Przy zał oż eniu że wię zy są idealne równania ruchu modelu napę du składają cego sic* z SES i uwzglę dniają cego wię zy geometryczne nał oż one na zazę bienia moż na zapisać w postaci (21) Mq + Lq + Kq= P+ gx gdzie M oznacza diagonalną macierz współczynników bezwładnoś ci sztywnych elementów skoń czonych modelu Lkwadratową macierz tł umienia K kwadratową macierz sztywnoś ci q kolumnową macierz współ rzę dnych uogólnionych X kolumnową macierz nieoznaczonych mnoż ników Lagrange'a zaś g prostoką tną macierz pochodnych równań wię zów wzglę dem współ rzę dnych uogólnionych. Sposób budowania macierzy g (wzór (22)) przedstawiono dla nastę pują cych założ eń: jeś li w kolejnoś ci SES w modelu para kół o numerach p i / 'jest pierwszą parą współpracują cą para kół r i s drugą parą współpracują cą (koł o r jest kołem poś redniczą cym patrz rys. 2) zaś para kół o numerach t i w jest k- tą parą współ pracują cą oraz / oznacza

7 MODELOWANIE WIELOSTOPNIOWYCH PRZEKŁ ADNI ZĘ BATYCH 285 liczbę współ pracują cyc h par kół a n- liczbę stopni swobody cał ego modelu wówczas: Jfc-1 k Lpr- p r r np5t 1 rs- r (22) g= s - T _ TT xtw- t w T r Kolumnową macierz nieoznaczonych mnoż ników Lagrange'a przedstawia wzór (ZJ) A = GOl^/ lprj / lf S ni Af W... / Luz/ 1 2 k 1 gdzie l pr jest nieoznaczonym mnoż nikiem Lagrange'a przyporzą dkowanym wię zom geometrycznym nr 1 (pierwszej parze współ pracują cyc h kół tj. p i r) X ty) nieoznaczonym mnoż nikiem Lagrange'a przyporzą dkowanym wię zom geometrycznym nr k (ifc- tej parze współ pracują cyc h kół tj. t i w). Równania (21) moż na rozwią zać przy uż yciu ETO jednakże konieczne jest wyrugowanie nieoznaczonych mnoż ników Lagrange'a. W tym celu wykorzystano metodę podaną w pracy [2]. Róż niczkując dwukrotnie wzglę dem czasu t równania wię zów geometrycznych uzyska się równania warunkowe o postaci nxl Jpr = = *- pr php *- pr rqr ~ ^s (24) Jrs ~ *rs rhf *- rs shs *-N Równania (24) w notacji macierzowej przyjmują postać (25) gtq =. Kolumnowy wektor przyspieszeń wyznaczony z równań (21) wyraż ony jest wzorem (26) q' = M-

8 286 S. BERCZYŃ SKI H. MAĆ KOWIAK K. MARCHELEK Podstawiają c (26) do (25) i dokonują c prostych przekształceń otrzyma się macierz nieoznaczonych mnoż ników Lagrange'a: (27) X = ( g TM- 1 g)- 1 g r M- 1 (Lq + Kq- P). Aby macierz (g T M~*g) był a odwracalna speł niony musi być warunek jej nieosobliwoś ci. Analizują c budowę macierzy g ł atwo stwierdzić że rzą d macierzy (g T M~ 1 g) jest równy / co implikuje jej nieosobliwoś ć. Macierz X wyraż oną wzorem (27) podstawia się do równań (21) (28) Mq+ Lq+ Kq = P+ g(g T M- 1 g)- 1 g r M- 1 (Lq+ Kq- P). Oznaczają c w równaniu (28): (29) L / = - g (g T M- 1 g)- 1 g r M- 1 L (3) K r = (31) P/ = uzyska się równanie ruchu w postaci (32) Mq+ (L+ L / )q + (K+ K / )q= P+ P r. Podstawiają c L = L+L f ; K= K+ K / ; P^P+ P - do równania (32) uzyska się (33) Mq+ tq+ Kq= P. Macierze L K i P tworzy się zgodnie z zasadami uję tymi w pracy [1]. Równania (33) opisują ruch liniowego modelu wielostopniowej przekł adni zę batej I mogą być rozwią zane przy uż yciu metod i programów zamieszczonych w pracy [1]. Przedstawiona w niniejszej pracy metoda modelowania wielostopniowych przekładni zę batych przy uż yciu metody sztywnych elementów skoń czonych może być stosowana w tych przypadkach gdy w układzie wystę puje wstę pne napię cie o wartoś ci gwarantują cej le w trakcie jego pracy nie bę dzie zachodzić odkrywanie luzów. W porównaniu z dotychczas stosowanymi w praktyce obliczeniowej matematycznymi modelami drgań skrę tnych [5679] model zbudowany z SES umoż liwia wyznaczenie charakterystyk dynamicznych zarówno drgań skrę tnych jak i gię tnych poszczególnych wałków napę du. Wprawdzie "w metodach przedstawionych w pracach [5 7] uwzglę dnia się wpływ ugię ć wałków i promieniowych odkształceń łoż ysk na charakterystyki drgań skrę tnych lecz tylko statycznie przez wprowadzenie tzw. skrę tnej podatnoś ci równoważ nej. Model matematyczny drgań gię tno- skrę tnyc h powinien zatem dać dokł adniejsze wyniki. Dodatkową zaletą modelu wielostopniowej przekładni zę batej zbudowanego z SES jest moż liwość wykorzystania programów metody SES [1]. Literatura cytowana w tekś cie 1. J. KRUSZEWSKI i in. Metoda sztywnych elementów skoń czonychwarszawa G. K. SUSŁOW Mechanika teoretyczna Warszawa W. L. WEJC A. E. KOCZURA A. M. MARTYNIENKO Obliczanie dynamiki napę dówmaszyn Warszawa ' -

9 MODELOWANIE WIELOSTOPNIOWYCH PRZEKŁADNI ZĘ BATYCH K. OCHĘ DUSZKO Kola zę bate tom. I Konstrukcja Warszawa Wilson W. KER Precical Solution of Torsional Vibration Problems Volume II London K. MARCHELEK Dynamika obrabiarek Warszawa W. NADOLSKI Modelowanie dynamiczne przekładni zę batych jednostopniowych Prace IPPT Warszawa M. MIELCZAREK Moż liwoś ciwykorzystania systemowego modelu matematycznego do badania charakterystyk dynamicznych wielostopniowej przekładni zę batej Arch. Bud. Masz (1975). P e 3 io M e MOflEJIHPOBAHKE MHOrOCTYnEH'qATBIX 3YB^ATBIX IIEPEJWJ no METODY 3KECTKHX KOHE^HLIX 3JIEMEHTB H3jioJKeH MeTOfl onpeaejiehhh H3rH6HO- KpyTiuii>Hbix KOJieSamiH rjiabhmx nphbo^ob MeTajinope- H<ymnx crahkob. <E>n3iwecKaH MOflejit nodpoena ii3 wcecrcthx Korie- rawx sjiemeitrob coeflmieirabix c nomomtio ynpyro- ffemn(j)hpyioinhx ajieiweirrob c JiHHeiłHbiMH xapai<tephcthkamh. Ka>Kflbift 3neirteHT ynpyraii HJIH fleiwncbhpyiomhh onpefleneh mectbio K3cb({)HUHeHTaMH ynpyrocth H flemm})hpobahhfi. KOHeifflbie 3JieMeHTbi MOflejiupyiomne sys^iatłie nepe^a^jh HaxoflHTCH uop fleiictbhem reo- H anrophtm ee peuiehhh npeflcrabjiehbi B npoctom BH«e npnroflhom RJIK 3 I B M. Summary MODELLING OF MULTIPLE TOOTHED GEARS BY RIGID FINITE ELEMENTS A method of calculating the f lexural and torsional vibrations of the machine tool main drives is presented. The physical model was constructed of rigid finite elements connected with elasticdamping elements of linear characteristics. Each elastic or damping element is defined by six rigidity or damping coefficients. The rigid finite elements modelling the gear are subjected to geometrical constraints resulting from the conditions of constant gearing. Both the mathematical model and the corresponding solution algorithm are presented in the form suitable for computations. POLITECHNIKA SZCZECIŃ SKA Praca została złoż onaw Redakcji dnia 3 stycznia 1977 r. ponownie dnia 1 marca 1978 r