HYBRYDOWA METODA ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH W ZAGADNIENIU KONTAKTOWYM. 1. Wstę p

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA /2, (84) HYBRYDOWA METODA ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH W ZAGADNIENIU KONTAKTOWYM WIESŁAW OSTAOHOWICZ Politechnika Gdań ska. Wstę p W pracy przedstawiono metodę okreś lania nacisków w sprę ż ystych elementach konstrukcyjnych, które znajdują się w stanie fizycznego kontaktu pod wpływem obcią ż eń zewnę trznych lub odkształ ceń począ tkowych. Zakł adamy, że ukł ad rzeczywisty modelujemy jednocześ nie odkształ calnymi elementami skoń czonymi i sztywnymi elementami skoń czonymi (KRUSZEWSKI, []), czyli stosujemy hybrydową metodę elementów skoń czonych. Zastosowanie metody elementów skoń czonych do rozwią zania zagadnienia kontaktowego przedstawiono mię dzy innymi w pracy PARSO^SA i WILSONA, [2]. CHAN i TUBA, [3] oraz OHTE, [4] stosowali metodę elementów skoń czonych do rozwią zywania płaskich zagadnień kontaktowych. W pracy SCHAFERA, [5] przedstawiono specjalny element kontaktowy, który stosowano w rozpatrywanym tam modelu tarcia. Modelowanie ukł adów rzeczywistych jednocześ nie odkształ calnymi elementami skończonymi i sztywnymi elementami skoń czonymi umoż liwia analizę konstrukcji, której poszczególne elementy cechuje duża rozpię tość sztywnoś ci. Stosowanie hybrydowej metody elementów skoń czonych jest bardziej uzasadnione z punktu widzenia dokł adnoś ci obliczeń, []. Zakł adamy, że wł asnoś ci sprę ż yst e elementów konstrukcyjnych okreś la prawo Hooke'a. Zgodnie z tym prawem dopuszczalne są małe przemieszczenia ukł adu oraz liniowa zależność mię dzy naprę ż eniami i odkształceniami elementów. Do okreś lenia stanu naprę ż eń na powierzchniach styku stosujemy kryterium Coulomba. Na podstawie obliczeń sił wę złowych na powierzchni styku okreś lamy jeden z trzech przypadków: poś lizg, brak kontaktu lub adhezję. N a podstawie przedstawionych zał oż eń opracowano algorytm obliczeń oraz program komputerowy przystosowany do analizy zagadnienia przestrzennego. 2. Sformułowanie problemu Model rozpatrywanego ukł adu przedstawiono na rys.. Układ dyskretny składa się ze sztywnych elementów skoń czonych, oznaczonych dalej przez RFE (Rigid Finite Element)

2 36 W. OSTACHOWICZ Rys.. Model dyskretny układu rzeczywistego oraz odkształ calnych elementów skoń czonych, oznaczanych przez D F E (D eformable Finite Element). Sposób przeprowadzenia dyskretyzacji układu rzeczywistego w tym przypadku przedstawiono w pracach KRUSZEWSKIEGO [, 6]. Sztywne elementy skoń czone połą czone są. elementami sprę ż ysto- tłumią cymi, których opis podano w pracy []. Odkształ calne elementy skoń czone poł ą czone są w wę zł ach wedł ug powszechnie znanych zasad. Zakł adamy ponadto moż liwość ł ą czenia sztywnych elementów skoń czonych mię dzy sobą oraz RFE i DFE innym typem elementu zwanym GAP (z ang. przerwa). Rozpatrzmy punkty p i r znajdują ce się na powierzchniach dwóch elementów (RFE lub DFE). Jeż el i istnieje moż liwość styku elementów w tych punktach to przyjmujemy, że łą czy je wspomniany element o nazwie GAP (rys. 2). Warunki kontaktu rozpatrywane są przy zał oż eniu kryterium poś lizgu Coulomba. D la elementu G AP przewiduje się trzy moż liwe rodzaje warunków kontaktu: adhezja (brak moż liwośi cpoś lizgu), poś lizg i utrata kontaktu. W przypadku adhezji lub poś lizgu GAP odkształca się niezależ nie w trzech kierunkach, K,, ~s (rys. 3). Model GAP przyjmujemy zatem jako układ trzech sprę ż yn łą czą cych wspomniane wyż ej punkty p i r. Osie tych sprę ż yn okreś laj ą kierunki n, t oraz s. Zakł adamy dalej, że sprę ż yny te mają własnoś ci liniowe. Róż nicę przemieszczeń końców tych sprę ż yn okreś la wektor {Au} = col[au t, Au s, Au ], (2.) gdzie Au, i Au a oznaczają róż nicę przemieszczeń w kierunku osi t i s, Au w kierunku n. Oznaczamy przez k t, k s i- /c współczynniki sztywnoś ci sprę ż yn odpowiednio w kierunkach stycznych i kierunku normalnym. GAP może być obcią ż ony w kierunku osi t i s obcią ż eniem, które powoduje rozcią ganie lub ś ciskanie sprę ż yn o sztywnoś ci k t i k, natomiast sprę ż yna o sztywnoś ci k przenosi jedynie obcią ż eni a ś ciskają ce. 2. Siły normalne. Rozpatrzmy przypadek styku ciał w punktach p i r (rys. 2). Jeż el i sprę ż yna o sztywnoś ci k jest ś ciskana to siła normalna N ma znak ujemny. W tym przy-

3 HYBRYDOWA METODA ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH 37 Rys. 2. Element GAP łą czą cy elementy skoń czone (DFE, RFE) Rys. 3. Układy współrzę dnych zwią zane z GAP padku moż liwa jest adhezja lub poś lizg na płaszczyź nie styku. Jeż el i siła N ma wartość dodatnią, kontakt mię dzy ciałami jest przerwany. Róż nicę przemieszczeń koń ców sprę ż yny o sztywnoś ci k okreś lamy zwią zkiem Au = u p - u r +NT, (2.2) gdzie w p i «, oznaczają przemieszczenia punktów p oraz r w kierunku normalnym n, NT (normal translation) oznacza luz wstę pny (dla NT > ) lub odkształcenie wstę pne (gdy NT < ). Zależ ność funkcyjną mię dzy obcią ż eniem i przemieszczeniem koń ców sprę ż yny o sztywnoś ci k przedstawiono na rys. 4. Ih NT Au W 7 NT Rys. 4. Zależ ność obcią ż eni a od odkształcenia sprę ż yny o sztywnoś ci k n 2.2 Siły styczne. Siły styczne w GAP, T i S, okreś lone są tylko wówczas gdy N <. Jeż el i wartoś ci bezwzglę dne sił Ti S są mniejsze od iloczynu fc\n\, (gdzie JJL oznacza współczynnik tarcia Coulomba) w rozważ anym GAP nie wystę puje poś lizg. Jest to przypadek adhezji i wówczas siły wzajemnego oddziaływania ciał powodują przyrost przemieszczeń koń ców sprę ż yn o sztywnoś ci k t ik s. Róż nicę przemieszczeń koń ców sprę ż yn w kierunku stycznym okreś laj ą zwią zki Au t = u tp - u tr - TSLWE, du, = u sp - u rs - SSLIDE, gdzie M, p, u S p oraz w,,, w oznaczają przemieszczenia punktów p i r w kierunkach, sit, TSLIDE i SSLDE okreś laj ą poś lizg wstę pny GAP odpowiednio w kierunku / i s. Na rys. 5a przedstawiono zależ nośi cfunkcyjne mię dzy obcią ż eniem i róż nicą przemieszczeń koń ców sprę ż yny o sztywnoś ci k, w przypadku, gdy TSLIDE «*. Na rys. 5b przed- (2.3)

4 38 W. OSTACHOWICZ flu -T Rys. 5. Zależ ność obcią ż eni a od odkształcenia sprę ż yny o sztywnoś ci k, stawiono tę samą zależ ność w przypadku poś lizgu wstę pnego. Zaznaczone na rysunku wielkoś ci TSLIDEi obliczamy iteracyjnie ze zwią zku TSLJDE, = ( Mtp - Mtr )i- MWr), (2.4) gdzie i oznacza kolejny krok iteracji. Analogiczne zależ nośi cfunkcyjne opisują przemieszczenie GAP w kierunku osi s. Poś lizg SSLIDEt okreś la zwią zek SSUDE, - (u sp - u w ) t - O* AT f m. (2.5) Proces iteracyjny okreś lania stanu GAP trwa do chwili gdy w kolejnych dwóch ite racjach róż nica mię dzy wynikami obliczeń (obcią ż eni e GAP i jego ewentualny poś lizg) mieś ci się w przedziale z góry okreś lonej tolerancji. 3. Tworzenie macierzy sztywnoś ci Macierz sztywnoś ci układu okreś lamy sumują c energię odkształ cenia elementów sprę - ż ystych łą czą cych RFE, energię odkształcenia DFE oraz elementów typu GAP. Poszczególne elementy skoń czone (RFE, DFE i GAP) opisujemy w lokalnych ukł adach współ - rzę dnych. Przyjmujemy nieruchome, prawoskrę tne ukł ady kartezjań skie. W przypadku RFE począ tki układów lokalnych pokrywają się w stanie równowagi ze ś rodkami mas elementów, [], W pracy [] podano szczegółowo sposób tworzenia macierzy sztywnoś ci elementu. Sposób opisu DFE w jego lokalnym układzie współrzę d- nych podano w pracy BATHE i WILSONA, [7]. Tam też przedstawiono sposób tworzenia macierzy sztywnoś ci róż nych typów elementów. Położ enie modelu dyskretnego w przestrzeni okreś lamy w układzie globalnym współ - rzę dnych (X lt X 2,X 3 ). W układzie tym opisujemy przemieszczenia uogólnione ś rodków mas wszystkich RF E, przemieszczenia wszystkich wę zł ów D F E oraz przemieszczenia wę złów GAP. Istnieje zatem konieczność transformacji macierzy sztywnoś ci elementów z ich układów lokalnych do układu globalnego. Transformacja polega na obustronnym mnoż eniu lokalnej macierzy sztywnoś ci przez macierz współczynników kierunkowych.

5 HYBRYDOWA METODA ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH 39 Macierz ta w przypadku metody RFE przyjmuje postać [&,} =?,2 r 3 ]? r22 6> r23 i,3,! o o.o (3.) Sym.?r22,2 gdzie: & rxfl = cos(x ra, JQ, o, /8 =, 2, 3, X ra oś ukł adu lokalnego, Xp oś ukł adu globalnego. W metodzie DFE transformacji dokonujemy analogicznie jak w metodzie RFE mnoż ąc lokalne macierze sztywnoś ci przez macierz współczynników kierunkowych [7]. Rys. 6. Wzajemne usytuowanie osi układów współrzę dnych /, s, n raz Xi, X 2, Xi Macierz sztywnoś ci GAP tworzymy na podstawie równania równowagi tego elementu w lokalnym układzie współ rzę dnych. Rozpatrzmy punkty p i r (rys. 6). Na rysunku tym przedstawiono wzajemne usytuowanie lokalnych współ rzę dnych t, s, ń i globalnych X x, Xx, X 3. Zakładamy, że kierunki osi, ~$, n w punktach, które łą czy GAP są takie same. Oznacza to, że macierz współ czynników kierunkowych każ dego z dwóch ukł adów lokalnych zwią zanych z GAP są takie same. Równanie równowagi GAP w lokalnym układzie współrzę dnych przyjmuje postać gdzie ' {F L } T = [T p, S fl N T S N r ], {F L } = [JTJ {K Ł }, (3.2) {"i) = [ M Jp> w sp> u np> u tr> w iri w nrj> - *, K - k, K fc - K K - K K - *. fc.

6 4 W. OSTACHOWICZ Równanie (3.2) sprowadzamy do układu globalnego. Na podstawie rys. 6 otrzymujemy gdzie = bhpt {u L } = [,] {««}, (3.3) M 2p» M 3p> Wir> U 2r, U 3r ], P> fi ' n n o iii ^^2 ^^il.3 i " *^ ^ &22 <5><23 i3 3i Sym. &22 przy czym =,2,3. Wektor sił wę złowych w globalnym ukł adzie współ rzę dnych przyjmuje postać gdzie (3.4) a wektor {F L } okreś la 2wią zek (3.2). Mnoż ąc lewostronnie równanie (3.2) przez macierz [<9;] r na podstawie (3.4) otrzymujemy Podstawiają c (3.3) do zwią zku (3.5) otrzymujemy {F G } = [ > t ] T [K L ] {u L }. (3.5) {F G } = [K G ]{u } t (3.6) gdzie [K G ] jest globalną macierzą sztywnoś ci elementu typu GAP o postaci [K u ]= [ t MK L ][ t ]. (3.7) Jeż el i jeden z punktów elementu typu GAP (p lub r) znajduje się na powierzchni RFE, to wektor przemieszczeń tego punktu przedstawiamy w funkcji współrzę dnych uogólnionych RFE za pomocą zwią zku gdzie {u L }=[ rl ][B ri ){q r }, (3.8) F/ i.l &rli,2 rll.s 6> r( 2,2 6>rI2.3 o o o o Sym. m,i ftt,2 &HUZ &rt2.2 rl2.3 no * o.

7 HYBRYDOWA METODA ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH 4 [B ri ] = - 6 b rl2 b r ti przy czym {9r} T. = - c OS(A /, O, il3 6> rl/ 3> 3 = cos(x L/,,n), dla /S =,2, 3. Elementy wektora {q r } okreś laj ą współrzę dne uogólnione RFE, X L? i b rl =, 2, 3) odpowiednio osie współrzę dnych lokalnych RFE i współrzę dne punktu zamocowania GAP (rys. 7). Rys. 7. Ukł ad osi /, *, n oraz AW, - ^2, - ^- W przypadku modelowania styku brył z elementem odkształcalnym przyjmujemy, że jeden z koń ców GAP znajduje się w wę źe l DFE, stą d przemieszczenie tego punktu jest zgodne z przemieszczeniami wę zła. Macierz sztywnoś ci całego układu tworzymy sumują c lokalne macierze sztywnoś ci, transformowane do układu globalnego, wedł ug powszechnie znanych zasad [, 7]. 4. Model poś lizga GAP Przypadek poś lizgu GAP wymaga innego sposobu modelowania sztywnoś ci elementu. Zależ nośi cfunkcyjne, na podstawie których modelowano przypadek adhezji (rys. 4, 5) wymagają modyfikacji koniecznej z punktu widzenia skutecznoś ci obliczeń numerycznych.

8 42 T JJ R / AUt Rys. 9. Zmodyfikowana zależ ność obcią ż eni a i odkształcenia sprę ż yny o sztywnoś ci k, W przypadku rozwarcia punktów styku nie moż na przyją ć, że sprę ż yny obcią ż one w kierunku normalnym i kierunkach stycznych mają zerową sztywność ponieważ prowadzi to do niestabilnoś ci procedury iteracyjnej. W sytuacji, gdy siła normalna osią ga wartość dodatnią przyjmujemy, źe sprę ż yna ma niewielką sztywność (w stosunku do sztywnoś ci k ). Podobnie, gdy sił y styczne osią gają wartoś ci p\ N\ przyjmujemy niewielką sztywność sprę ż yn stycznych (w stosunku do sztywnoś ci k t i k s ). Zmodyfikowane zależ nośi cfunkcyjne mię dzy obcią ż eniem i przyrostami przemieszczeń koń ców sprę ż yn przedstawiono na rys. 8 i 9. Na podstawie tych zależ nośic siły normalne i styczne, które obcią ż ą aj GAP przyjmują wartoś ci N = k n - Au, dla Au n <, N = RIGID - k n Au n, dla Au n >, (4.) oraz T=k t - Au t, T =, i dla Au >, dla \k t - Au t \ < fi\n\, (4.2)

9 HYBRYDOWA METODA ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH 43 gdzie sign = +, dla Au, >, sign =, dla Au, <, S =, dla Au, >, S = k s Au s, dla \k s ń u s \ < ft\n\, S = sign Y\N\ + RIGID k s - l\/ lu.\ - - ^-j, (4.3) gdzie sign - +, dla Au s >, sign =, dla Au s <. 5. Zbież ność iteracji Zbież ność procedury może być okreś lona na podstawie obserwacji stanu każ dego GAP oraz każ dego elementu skoń czonego, czyli modelu dyskretnego konstrukcji. Obserwacja dotyczy stanu naprę ż eń i przemieszczeń w wę zł ach elementów oraz stanu wszystkich GAP w kolejnych iteracjach. Stan GAPu oznaczony przez IFLAG okreś lamy nastę pują co IFLAG = IFLAG = 2 IFLAG = przypadek adhezji, przypadek poś lizgu, przypadek utraty kontaktu. Zakoń czenie procedury obliczeń nastę puje w momencie, gdy w kolejnych dwóch iteracjach róż nica mię dzy wynikami obliczeń (obcią ż eni e GAP i jego stan) mieś ci się w przedziale z góry okreś lonej tolerancji. 6. Komputerowy program obliczeń Na rysunku przedstawiono schemat blokowy programu komputerowego. Program ten skł ada się z 9 moduł ów i w obecnej wersji stosowany był do analizy ukł adu hybrydowego, zł oż onego z RFE i DFE typu płytowego. Moduły programu napisano w ję zyku Fortran- 4. Program P LARF E jest programem gł ównym. W programie tym podaje się dane wielkoś ci fizycznych i geometrycznych, które opisują kontaktują ce się ciała. Określamy w nim również współ rzę dne wszystkich potencjalnych punktów styku ciał (elementów G AP). Podajemy współ czynniki sztywnoś ci sprę ż yn każ dego G AP, współ czynniki tarcia, luzy wstę pne oraz ewentualnie wstę pny poś lizg. Ponadto okreś lamy maksymalną liczbę iteracji oraz zakres tolerancji zbież nośi cwyników. Lokalne macierze sztywnoś ci elementów typu DFE tworzymy w podprogramie PLATE a macierze sztywnoś ci RFE okreś la podprogram STIFRE. Podprogram PLATE opracowano na podstawie algorytmu przedstawionego w pracy DESAI, [8]. Podprogram PLATE współ pracuje z moduł ami CARVDE i SIMUL, które realizują operację odwracania i mnoż enia macierzy.

10 44 W. OSTACHOWICZ I Wczytanie danych j Tworzenie lokalnych macierzy sztywnoś ci FE T Tworzenie lokalnych macierzy j sztywnodci RFE { Tworzenie globalnej macierzy sztywnoś ci uktadu PLATE STIRFE ASSCMB Wprowadzenie sztywnoś ci GAP - - II [ Rozwią zani e równań równowagi \ - ~: ~ ~ i. - ~ ~ Okreś lenie przemieszczeń wgzfów SOLVG LOGIC Rys.. Schemat blokowy programu komputerowego Globalną macierz sztywnoś ci okreś la podprogram ASSEMB. W kolejnym etapie realizacji obliczeń rozwią zujemy równania równowagi układu. Zadanie to realizuje podprogram SOLVG, który opracowano na podstawie metody rozwią zywania ukł adu liniowych równań algebraicznych (metodą eliminacji Gaussa). Na podstawie wyników podprogramu SOLVG podprogram LOGIC okreś la przemieszczenia i obcią ż eni a elementów typu GAP. Ponadto okreś la on stan GAP, czyli parametr IFLAG. Podprogram LOGIC zmienia sztywność GAP według zależ nośi c funkcyjnych z rys. 8 i 9. Obliczenia stanu GAP mają charakter iteracyjny. Proces ten koń czy się w przypadku gdy wyniki dwóch kolejnych kroków iteracji mieszczą się w okreś lonym zakresie tolerancji. Wówczas podprogram STRESS oblicza naprę ż eni a w wybranych punktach i koń czy się realizacja programu. Program koń czy obliczenia również w przypadku, gdy liczba iteracji przewyż sza z góry zał oż oną wartoś ć. 7. Przykład Okreś lić przemieszczenia wę zł ów elementów typu D F E, elementu R F E oraz G AP układu przedstawionego na rys.. Ponadto okreś lić siły normalne i styczne w punktach

11 HYRBYDOWA METODA ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH 45 Rys.. Model dyskretny układu obliczeniowego A- A6 oraz ich stan (parametr IFLAG). Wymiary elementów DFE i RFE przedstawiono na rys.. Przyję to nastę pują ce dane liczbowe dł ugość DFE a =, m szerokość DFE b, m grubość DFE h =,5 m dł ugość RFE a t =,2 m szerokość RFE b t =, m wysokość RFE h ± =, m moduł Young'a E =,2 2 N/ m 2 liczba Poissona v =,3 a) Rys. 2. Numery wę złów DFE oraz przemieszczenia RFE Elementy typu D F E mają jednakowe wymiary i wł asnoś ci fizyczne. Są to pł ytowe elementy prostoką tne, cztero wę złowe, o trzech stopniach swobody w wę ź le. Opis tego elementu znajduje się w pracy ZIENKIEWICZA, [9]. _ Sztywny element skoń czony RFE obcią ż ą aj dwie siły, w kierunku stycznym F T i kierunku normalnym F N (rys. ). Przyję to stałą wartość siły F K «= 2- s N. Waitość siły FT zmienia się wedł ug tablicy 3. Mech. Teoret. i Stos. 2/ 84

12 46 W. OSTACHOWICZ Tablica Mumur IN UŁ UCi wę zta t U cm I iteracja \3yli rad I8z\ rad z, cm V iteracja ( ), rad \8xjt rad ,,483,48,754,483,755,,48,636,74,74,636,463,76,76,463,,425,425,,565,29,299,75 -,29 -,75 -,565 -,299,,75 -,75 -,,265,55 -,55 -,265,497,256 -,256 -,497 -,548 -,33 -,337 -,28 -,33 -,28 -,548 -,337,3,3,3,3,336,56,56,336,523,38,38,523,,43,769,989,43,989,,769,6,7,7,6,746,924,924,746,,354,354,,5,26,22,47 -,26 -,47 -,5 -,22,79,86 -,86 -,79,76,2 -,2 -,76,4,24 -,24 -,4 -,854 -,594 -,584 -,49 -,594 -,49 -,854 -,584,8,39,39,8,584,455,455,584,82,6,6,82 Rys. 3. Przemieszczenia wę zł ów pł yty w I iteracji Wł asnoś i csprę ż yst e elementów typu GAP są jednakowe i wynoszą odpowiednio k N =,2 N/ m, k T =,2-9 N/ m. Współ czynnik tarcia GAP przyję to równy p-,. W tablicach - 3 przedstawiono wyniki obliczeń. W tablicy zestawiono przemieszczenia wę zł ów elementów skoń czonych dla obcią ż eni a F T = 8 3 N. Numerację wę z- ł ów przedstawiono na rys. 2a. W pierwszej kolumnie tej tablicy oraz na rys. 3 przedstawiono wyniki pierwszego kroku iteracji. W drugiej kolumnie zestawiono wyniki pią tego kroku iteracji. Wyniki te przedstawiono graficznie na rys. 4.

13 Tablica 2 Przemieszczenia Iteracja «i cm cm rad I,4,735,246 V,88,959,326 Tablica 3 GAP Al A2 A3 A4 A5 A6 FT = 2 N JV [N] f[n] IFLAG Fr = 4 N N [N] T [N] IFLAG Fj = 6 N JV [N] T m FLAG F r = 8 N N [N] T [N] IFLAG F, = 2 N N m T [N] IFLAG * [47]

14 48 W. OSTACHOWICZ Ac ^ A /.' / / / i 7/ Rys. 4. Przemieszczenia wę złów płyty w V iteracji W tablicy 2 przedstawiono przemieszczenia RFE w pierwszym i pią tym kroku iteracji dla obcią ż eni a jak wyż ej. Przemieszczenia gt (i =,2,3) przyję to zgodnie z rys. 2b. W tablicy 3 zestawiono wyniki obliczeń dla pię ciu wariantów obcią ż enia. Elementy typu GAP oznaczono jak na rys.. Siłę normalną w GAP oznaczono przez N natomiast siłę styczną przez T. Stan GAP okreś lamy parametrem IFLAG zdefiniowanym w rozdz. 5. Wyniki obliczeń zamieszczone w tablicy 3 otrzymano po 5 krokach iteracji. Obliczenia przeprowadzono na komputerze ICL- 4. Łą czny czas obliczeń całego procesu iteracyjnego nie przekroczył 3 minut. Literatura cytowana w tekś cie. J. KRUSZEWSKI i inni, Metoda sztywnych elementów skoń czonych,arkady, Warszawa S. PARSONS, E. A. WILSON, Finite element analysis of elastic contact problem using differential displacements, Int. Jour, for Num. Meth. in Eng., vol. 2,97, str S. K. CHAN, T. S. TUBA, A finite element method for contact problems of solid bodies Parts I, II, Int. Jour. Mech. Sol., vol. 3, 97, str S. OHTE, Finite element analysis of elastic contact problems, Bull, of JSME, vol. 6, 973, str H. SCHAFER, A contribution to the solution of contact problems with the aid of bound elements, Comp. Meth. in Appl. Mech. and Eng., vol. 6, 975, str J. KRUSZEWSKI i inni, HESAS system obliczeń konstrukcji oparty na metodach elementów skoń czonych, Mechanika i Komputer, t., 978, str K. J. BATHE, E. L. WILSON, Numerical methods infinite element analysis, Prentice- Hall, Inc. Englewood Cliffs, New Jersey C. S. DESAI, Finite Element Methods, Englewood Cliffs, New Jersey, O. C. ZIENKIEWICZ, Metoda elementów skoń czonych,arkady, Warszawa, 972. P e 3 io M e METOJI, KOHE'qHOrO 3JIEMEHTA B KOHTAKTHLIX 3A#A*IAX B pa6oie npeflwabjieho MCTOA onpeflejiernra KOHTaKn&ix flabjiemrii B ynpyrax sneiwehtax KOHcrpyK-, KOTOpfeie HaXOflHTCH B COCTOHHHH CpH3H<KCKr KOHTaKTa noff BJIHHHIieM BHeiHHHX Iiarpy3OK HUH PeajitHaH cncteivia MOflejmpoBaHa oflhobpemehho npn noiwomu KOHetmtax ajiemehtob H >KeciKHx 9JleiWeHTB. Bo Bcex cjiyqaax Kor/ ja cymecrbyei BO3MO>KHOCTŁ KOHTaKTa Ten, MM BBoflHM ^acthtiii KOHe^HBift ajieiweirr o6o3naiiehhwii G AP. Kpoi(ep,ypa onpefleneniih COCTOHHIW Hanpa>KeHHfl H fle<i)opmaiyih GAP HTepairHOHHoro xapaktepa. nporpamiwa Ha 3BM, a TaioKe npwwep

15 HYBRYDOWA METODA ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH 49 Summary HYBRID FINITE ELEMENT METHOD IN CONTACT PROBLEMS In the paper a msthod of finding distributions of tractions in elastic structural elements being in the contact under the influence of external loads have bsen proposed. The real structures have been represented by a system of rigid as wsll as deformable finite elemants. On surfaces where the possibility of a contact between structural elements can occur, the special finite element, reffered to as GAP, have been introduced. The procedure of calculating the stresses and deformation of GAP is of an iterative character. The description of the program for computers and the example of application have bsen given. Praca została złoż ona w Redakcji dnia 27 mija 982 roku