ANALIZA WYMUSZONYCH DRGAŃ WAŁU KORBOWEGO ZE Ś MIGŁEM PRZY ZASTOSOWANIU METODY ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH. 1. Wstę p

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1/2, 25, 1987 ANALIZA WYMUSZONYCH DRGAŃ WAŁU KORBOWEGO ZE Ś MIGŁEM PRZY ZASTOSOWANIU METODY ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH ZBIGNIEW DŻ YGADŁO WIESŁAW SOBIERAJ PIOTR ZALEWSKI Wojskowa Akademia Techniczna 1. Wstę p Przeprowadzają c analizę drgań wymuszonych wał u korbowego z czteroł opatowym ś migł em (rys. 1) lotniczego silnika gwiazdowego, przy zastosowaniu metody elementów skoń czonych, rozpatrywany układ rzeczywisty odwzorowano w postaci jego modelu fizycznego skł adają cego się z elementów beflcowych i elementów wał u, wirują cych ze Rys Mech. Teorct. i Stos. 1 2/ 87

2 146 Z. DŻ YGADŁO i inni stał ą prę dkoś ą ciką tową Q. W rozważ aniach pominię to wpł yw ruchu samolotu na wymuszone drgania rozpatrywanego ukł adu z uwagi na to, że czę stośi cruchu samolotu są niż sze od rozpatrywanego zakresu czę stośi cdrgań wymuszonych. Przyję ty model uwzglę dnia odkształ calność ukł adu, którego poszczególne elementy podlegają zginaniu w dwóch wzajemnie prostopadł ych do siebie pł aszczyznach oraz skrę caniu wokół osi sprę ż ystoś i c elementów. Wykorzystano przemieszczeniową wersję metody elementów skoń czonych przy zał oż eni u jednowymiarowej dyskretyzacji rozpatrywanego ukł adu. Uwzglę dniając wł aś ciwośi ckonstrukcyjne rzeczywistych wał ów korbowych, przyję to liniową zmianę parametrów geometrycznych, masowych i sztywnoś ciowych w belkowych elementach skoń czonych oraz stał e parametry w elementach skoń czonych wał ów. Jednocześ nie zał o- ż ono moż liwość skokowych zmian parametrów konstrukcyjnych na brzegach elementów. Dział ają e c na wał korbowy obcią ż eni a wymuszają ce został y okreś lone poprzez rozł oż eni e w szereg harmoniczny wyznaczonych doś wiadczalnie obcią żń e promieniowych (R m i R g ) i stycznych (T g ) pochodzą cych od sił gazodynamicznych dział ają cych na wał korbowy lotniczego silnika tł okowego. 2. Zależ nośi cwyjś ciowe Rozpatrując deformacje elementu belki (rys. 2) i wał u (rys. 3) w ich lokalnych ukł adach współ rzę dnych Oxyz, zwią zanych z ich nieodkształ coną osią sprę ż ystoś i cprzyję to, że wystę puj ą mał e odkształ cenia sprę ż yst e ow zginania w dwóch wzajemnie prostopadł ych do siebie pł aszczyznach (przemieszczenia u, w dla belki; u, v dla wał u) i skrę cania (c>) wokół osi sprę ż ystoś. ci Ponadto, belka może być wstę pnie zwichrzona (skrę cona) konstrukcyjnie o kąt 6(y). Cał kowite odkształ cenie wzdł uż ne dowolnego wł ókna belki lub wał u w wybranym przekroju okreś lonym przez jego lokalny ukł ad współ rzę dnych gł ównych O p rjc (ukł ad współ rzę dnych zwią zany z gł ównymi osiami bezwł adnoś i cprze- Z,w Rys. 2 Rys. 3

3 DRGANIA WAŁ U KORBOWEGO 147 kroju i odkształ coną osią sprę ż ystoś) cimoż na wyznaczyć okreś lając przemieszczenie ś rodka sztywnoś ci i obrót nieodkształ calnego przekroju. Wykorzystując zależ nośi cprzed- stawione w [1], [2] i [3], cał kowite odkształ cenie wzdł uż ne dowolnego wł ókna w wybranym przekroju okreś lono nastę pują co : dla wał u dla belki b B w = e e - $u"- rjv" (2.1) = 6 c - (M"cos6>- w"sin6>)- f(w"sin0+ n'"cos0 ) + (f 2 + C 2 )0V (2.2) gdzie przez ( )' i ( )" oznaczono pierwszą i drugą pochodną wzglę dem współ rzę dne j osi sprę ż ystoś. ci Wystę pująe c w powyż szych wzorach odkształ cenie jest odkształ ceniem rozcią gają cy m od znanej sił y S, natomiast (2.4) jest zredukowanym promieniem bezwł adnoś i c czynnego sprę ż yśe ciprzekroju A. Dysponując okreś lonymi w postaci zwią zków (2.1) lub (2.2) odkształ ceniami wał u lub belki, moż na wykorzystując proporcjonalność naprę żń e i odlształ ceń a = Ee gdzie E jest moduł em sprę ż ystoś i cyounga wyznaczyć momenty sprę ż yst e M (, M n, M t w lokalnym ukł adzie współ rzę dnych przekrojów. Uwzglę dniając zaś zwią zki pomię dzy lokalnym ukł adem współ rzę dnych gł ównych rozpatrywanych przekrojów wyznaczono momenty sprę ż yst e w lokalnych ukł adach współ rzę dnych elementu belki lub wał u Oxyz. Dla wał u: przy czym M z w = EĄ v" = EJ u" (2.5) = GJ 0 <p' + S c r 2 c<p' A f^ (2.6) i natomiast J {, 7, są momentami bezwł adnoś i c przekroju wał u wzglę dem gł ównych osi bezwł adnoś i c a / 0 jest biegunowym momentem bezwł adnoś i c przekroju. Dla belki: M h x = (EJiCQs?&+EJ iń rl i &)w" + (EJs- EJ! )u"ń n6cos6+ +EB 2 &'(p'sm& + S c (e r sin + e r <pcos + k 2 6'u') (2.7) r

4 148 Z. DŻ YGADŁO i inni M* = [GJ o + S c k? + EB 1 (0') 2 ]<p'- E3 2 0'(u"cos0- w"sm0) + (2.7) - S c (u'e r sin<9 - w'e r cos - k 2 r &) [cd] Af* - ( / f sin 2 6)+ / c cos 2 0)M" + ( J E7 { - J E'/ i: ) - EB 2 &'(p' cos - S;(e r cos0 - e r <psin<9 - k 2 r6' w') gdzie: e r = - - I I fdf d, ^ = JJ ($»+ C*)<* a - C*- *?)##, - 82 = / / tf a + f a )(f- e,)<#<e (2.8) Rozpatrując ruch wirują cego z ustaloną prę dkoś ą ci ką tową Q wał u korbowego ze ś migł em i uwzglę dniając odkształ calność przyję tego do rozważ ań modelu fizycznego, wyznaczono przemieszczenia, prę dkośi c i przyś pieszenia dowolnego punktu przekroju poprzecznego elementu belki lub wał u w wirują cym wraz z nieodkształ coną osią wał u korbowego ukł adzie współ rzę dnych. Pozwolił o to na wyznaczenie obcią żń e obję toś ciowyc h dział ają cych w rozpatrywanym przekroju elementu belki lub wał u. Pomijając obcią ż eni a powstają ce w wyniku dział ania sił Coriolisa oraz dokonując umownego podział u obcią żńe obję toś ciowyc h na obcią ż eni a bezwł adnoś ciowe (indeks b") i obcią ż eni a odś rodkowe (indeks Q"), okreś lono je w nastę pują ce j postaci: dla wał u dla belki Pxt - - mii, p? b - - mv, q% b = - /,«', qf b = - (mri+l t Y&, q7b =?$, p? Q = Q 2 mu, p? o = Q 2 mv, q? Q m - Q 1 mr w u, (2.9) p b It, = ~m(u- e '<psmg), p\ b = - m(w- e m q>cos0), q) h <m - l!p+me m (wcos0+usm0), pl o mq 2 (u+e m <p$in0), ql a - mq 2 e m ycp sin, (2.10) ą \ Q = - mq 2 e m ycpcos0 gdzie: 1 jest mimoś rodem masy, y odległ oś ci ą rozpatrywanego przekroju od osi obrotu, m bież ąą c masą elementu, I (,I,,,Ą bież ą cymi masowymi momentami bezwł adnoś ic wzglę dem gł ównych osi bezwł adnoś i c przekroju, / biegunowym, bież ą cy m momentem bezwł adnoś ci, A m cał kowitym polem przekroju poprzecznego, r w promieniem wykorbienia. Przez ("')" oznaczono drugą pochodną przemieszczeń wzglę dem czasu. Na rozpatrywany wał korbowy lotniczego silnika tł okowego dział ają jeszcze wymuszają ce sił y gazodynamiczne (rys. 1). Sił y te okreś lono za pomocą szeregu trygonometrycznego o postaci:

5 DRGANIA WAŁ U KORBOWEGO 149 R = R o (2.11) W skł ad rozpatrywanego ukł adu wał u korbowego wchodzą również antywibratory w postaci tł umików Taył ora. Przyjmując najprostszy model oddział ywania tł umików tzn. tł umienie drgań skrę tnych wał u, ich oddział ywanie moż na uwzglę dnić wprowadzając zredukowany do osi obrotu wał u korbowego moment bezwł adnoś ci, zależ ny od dostrojenia tł umików. przy czym / * = / B + m 4 ~^ 2- (2.12) (O r- {p- d) gdzie I a jest masowym momentem bezwł adnoś i canty wibratora wzglę dem jego ś rodka masy, m masą antywibratora, r odległ oś ci ą ś rodka masy tł umika od osi obrotu, (D d) mimoś rodem jego ruchu. 3. Rozwią zani e problemu drgań wymuszonych Poł oż eni e dowolnego punktu leż ą ceg o na osi sprę ż ystoś i rozpatrywanych c elementów moż na okreś lić poprzez skł adowe wektora f o postaci gdzie N e jest funkcją kształ tu a fi e wektorem przemieszczeń wę zł owyc h elementu, przy czym u (3.2) o rp o IT Pe IPle' Pjei gdzie /, j są numerami wę zł ów elementu. Wykorzystując wprowadzone na rys. 2 i rys. 3 oznaczenia, funkcję kształ tu i wektor przemieszczeń wę zł owych zapisano nastę pują co : belka więc

6 150 Z. DŻ YGADŁO i inni oraz Wał H k K k H k K k H' k K' k Z t 0 jr;oo o o K'^ dla z, j (3.4) więc oraz A; 0 H k 0 K k Hk 0 K' k K k L H, dla k = /,7 gdzie l t jest długoś cią elementu Wystę pują ce w macierzach funkcje kształtu (3.5) i (3.8) wyrazy, okreś lono wykorzystują c liniową funkcję Lagrange'a oraz dwie funkcje Hermite'a (3.5) (3.6) 1,- 1-, 3 Lj~x (3-7) i ich pochodne. Wyznaczają c równania dynamicznej równowagi elementu w oparciu o zasadę prac wirtualnych (3.9) gdzie du 3 jest wariacją energii sprę ż yste j odkształ cenia elementu, 6U a przyrostem wariacji energii sprę ż yste j w polu sił odś rodkowych, dwo, SW b, 6W k, 3W W, SW r odpowiednio^ pracą sił odś rodkowych, bezwładnoś ci, krawę dziowych, wymuszają cych i tłumią cych na przemieszczeniach wirtualnych. Otrzymano je dla lokalnego ukł adu współ rzę dnych elementu w klasycznej postaci [7] macierzowego układu równań (3.8) (3.10)

7 DRGANIA WAŁU KORBOWEGO 151 gdzie: M e = M odkc +M lze C e = C re +C glre +C ante *U. = [21, JR k, 0, 0,0, 0Ysin(3,5k(Qt+<p k )) Qe - [<2, e, g/ JJ (3.H) Macierze (3.11) wchodzą ce w skład równania (3.19) wyznaczono z zasady prac wirtualnych (3.9) wykorzystują c metodykę przedstawioną w [7] (dla macierzy sztywnoś ci sprę ż -y stej K se i macierzy mas Mod*), lub w [4] (dla pozostałych macierzy). Wprowadzają c quasi- diagonalną macierz transformacji - r. (3.12) gdzie podmacierz cos!?', sin!?, 0 - sinw, cos??, 0 0 0, 1 (3.13) natomiast f jest azymutem osi sprę ż ystośi celementu belkowego (dla elementu wał u y) = 0), okreś lono macierzowe równanie dynamicznej równowagi elementu w globalnym ukł adzie współrzę dnych przy czym: K e = IFKJI, C e = H T C e H, M e - WM e H, #.- H*. 1 ^ (3.14) *= i <315) D okonują c skł adania macierzy i wektorów równania (3.14) dla cał ego ukł adu drogą klasycznego sumowania w wę złach [7] otrzymano równanie dynamicznej równowagi wału korbowego ze ś migłem o postaci n jj^w*- (3.16) Zakł adają c, że zespolony wektor przemieszczeń wę zł owych dla fc- tejharmonicznej przyjmie postać **(0 = S Ok sin[3,5k(qt+(p k j)] dla j = 1, 2 (3.17)

8 152 Z. DŻ YOADLO i inni otrzymano równania dynamicznej równowagi ukł adu okreś lone zależ noś ąci lub inaczej *= i (K+i3,5knC- (3,5kQ) 2 M\$ ok = F wki (3.18) n n Ż k (Q)Ó Bk = ]?F wk. (3.19) Równania (3.18) lub (3.19) są ostateczną formą matematycznego zapisu rozwią zania problemu drgań wymuszonych wał u korbowego ze ś migł em. Pozwalają one na okreś lenie charakterystyk rezonansowych ukł adu czyli zmiany wielkoś ci przemieszczeń wę zł owyc h w funkcji czę stośi c wymuszają cej n S(0) = ^4(<w). (3.20) A= l Wykorzystując zależ nośi c (3.20), moż na okreś lić zmiany amplitud i przesunię cia fazowe dla poszczególnych przemieszczeń. Przykł adowo, dla przemieszczenia u" w dowolnym wę źe l ]" ukł adu otrzymano: dla A>tej harmonicznej więc amplitudę okreś la wyraż enie a przesunię cie fazowe zależ ność więc u Jk (t) = Ą 3 e'.«(«'+ «V, (3.21) A?j = ]/ [Re7^)]' 2 + [Im(u JV )] 2 (3.22) <9?* = arctgtim(m, t )/ Re(^)] + <PKI (3.23) n (3-24) i ostatecznie w wę źe l / 'amplituda wynosi oraz przesunię cie fazowe A'j = ^IReCfi^ + Pin^)] 2 (3.25) 0; m arctgflm^/ Re^)] (3.26) 4. Przykł adowe wyniki obliczeń Przedstawione zależ noś c i wykorzystano do opracowania algorytmu i programu obliczeniowego w ję zyku FORTRAN na EMC R- 32. Opracowany program pozwalał na wyznaczenie charakterystyk rezonansowych wał u korbowego z jednym wykorbieniem

9 Rys. 4 i ] 40 - A l 3»10 7 t AMO I Wę zeł nr 3 n = 26,66 Hz r 13 /\ 20h "* ~~ "*" ^v / / r I i 1! Rys. 5 [153]

10 154 Z. DŻ YGADŁO i inni i ś migł em, lotniczego silnika tł okowego. Ze wzglę du na ograniczoną do 512 kb pamię ć EMC, ś migło odwzorowano w postaci sztywnego elementu skoń czonego, uwzglę dniając jednakże jego momenty giroskopowe. Dla przedstawionego na rys. 4 wał u korbowego z dwoma tłumikami Taylora opartego na trzech sprę ż ysto- tł umią cyc h podporach wykonano obliczenia amplitud przemieszczeń wę zł owych w funkcji czę stośi c wymuszają cej dla ustaio Rys. 6 ifcr 200

11 DRGANIA WAŁ U KORBOWEGO 155 lonych prę dkośi cobrotowych. Na przedstawionych, przykł adowych wynikach obliczeń dla prę dkośi cobrotowej Q = 26,66 Hz, pokazano przebiegi amplitud ugięć i skrę cania wał u korbowego w wę źe lnr 3 (rys. 5), wę źe lnr 5 (rys. 6) i w wę źe lnr 7 (rys. 7). Z analizy przedstawionych wykresów wynika, że w rozpatrywanych wę zł ach wystę puje tł umienie drgań skrę tnych dla czę stośi c odpowiadają cych dostrojeniu tł umików. Jednocześ nie, w wyniku sprzę żń e pomię dzy zginaniem i skrę caniem rozpatrywanego ukł adu wystę puj e czę ś ciowe tł umienie drgań gię tnych, wyraź niejsze w pł aszczyź ni e prostopadł ej do pł aszczyzny wykorbienia wał u. Tł umienie to również wystę puje dla czę stośi cdrgań odpowiadają cej dostrojeniu tł umików Taylora. Literatura 1. Z. DŻ YGADŁ O, W. SOBIERAJ, Analiza gię tno- skrę tnych drgań wł asnych ł opatwirnika noś negoś migł owca za pomocą elementów skoń czonych,biul. WAT, XXVI, 11, J. C. HAUBOLT, G. W. BROOKS, Differential Equations of Motion for Combined Flapwise Bending, Chordwise Bending and Torsion of Twisted Nonuniform Rotor Blades, NACA Report 1346, KRUSZEWSKI i in., Metoda sztywnych elementów skoń czonych,warszawa W. SOBIERAJ, Dynamiczny model ł opaty wirnika ś migł owcado analizy charakterystyk dynamicznych z uwzglę dnieniemzróż nicowanychwarunków brzegowych, Biul. WAT, XXXII, 9, W. SOBIERAJ, Analiza numeryczna charakterystyk dynamicznych ł opaty wirnika noś negoś migł owcadla róż nychwarunków brzegowych, Biul. WAT, XXXIII, 10, J. SZMELTER, Metody komputerowe w mechanice, Warszawa O. C. ZIENKIEWICZ, Metoda elementów skoń czonych,warszawa P e 3 K> M e AHAJIH3 BBIHY>K EHHbIX KOJIEEAHHH KOJIEtMATOrO BAJIA H3 BO3,n,yiIIHBIM BHHTOM IIPH ITOMOmH METOflA KOHE^HBIX 3JIEMEHTOB B pa6ote npeflcrabjieha MeToAHKa ahamoa H3ni6Ho- Kpyrarn.HBix KoneSamnł KOJieirqaToro BaJia nopumeboro HBHraTejiH ii3 Bo3flyinm>iM BHHTOM. JJaHaMimecKan Moflejit CHdeMfai onpefleneha MeToflOM KOHeiiHbix 3JieiweHT0B nphmehha: o^hoiwephyio flhckpeth3aijino c HcnoJiraoBaHHeM fle<j)opmhpyemhx ajieimehtob 6anoi< u BajioB. B paccmatphbaemoił MOflejiH ymteho BJiHHinie aemn^hpobarooi B onopax H ahthbhspaujrohhtie ycrpoiictba. Bo3flyiiiHbift BHHT paccmotpeho KaK JKeciKHft ajiemeirr H y^rreho ero riipockonineckhh MOMCHT. npeflctabjiehbi nphmephbie peayjittatł i pac^eros B BHfle pe30hahchbrx xapai<tephcihk CHCTCMM. Summary THE FINITE ELEMENT ANALYSIS OF FORCED VIBRATIONS OF A CRANKSHAFT WITH AN AIRSCREW In the paper a method is presented for the analysis of flexural- torsional vibrations of a crankshaft of aircraft piston engine with an airscrew. The dynamic model of the system is determined by means of the finite element method making use of the one- dimensional discretization and the deformable beam and shaft elements. In the model the damping at the supports and the vibration eliminators are taken into account. The airscrew is considered as a rigid element its gyroscopic moment being taken into account. Calculation results are presented in the form of the resonance characteristics of the system. Praca wpł ynę ł ado Redakcji dnia 8 kwietnia 1986 roku.