Adaptacyjne siatki numeryczne

Transkrypt

1 Adatacyjne siatki numeryczne Grzegorz Olszanowski, Rafał Ogrodowczyk Katedra Informatyki, Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Chełmie, -100 Chełm, ul. Pocztowa 54 Streszczenie W racy tej został rzestawiona idea adatacyjnych siatek numerycznych z uwzględnieniem algorytmów zagęszczenia/rozrzedzenia. Zamieszczone są również wyniki testów imlementacji AMR w akiecie FLASH dla rzykładu arkady w koronie słonecznej. Abstract In this aier we describe the idea of adative mesh refinement. We resent numerical test illustrating refinement/ derefinement of mesh. 1. Wstę Problemy ówczesnej nauki wymagają modelowania złożonych zjawisk fizycznych, a jedynie roste zagadnienia o nieskomlikowanych właściwościach dają się rozwiązać metodami analitycznymi. Do bardziej skomlikowanych rzyadków używa się symulacji komuterowych. Ich wykonanie z żądaną dokładnością imlikuje zwiększeniem czasu symulacji i złożoności obliczeniowej. Obecnie znane są metody owalające na znaczą redukcję wymagań modelu numerycznego badanego roblemu. Jedną z nich są adatacyjne siatki numeryczne (Adative Mesh Refinement), zaewniające zniwelowanie błędów numerycznych w obszarach o dużej zmienności analizowanych wielkości. Doskonale nadające się one do modelowania zagadnień związanych z fizyką Słońca, które to ze względu na rozmiary rzeczywiste i złożoność zjawisk należy do jednych z najbardziej fascynujących niekomletnie oisanych rzez naukę. Tworząc model zjawiska fizycznego definiujemy dyskretny obszar symulacji siatkę numeryczną. W nieadatacyjnych siatkach unkty obliczeniowe ustalane są rzed rozoczęciem obliczeń i ich ołożenia nie zmieniają się w czasie, mimo, iż wymagałaby tego dokładność obliczeń. AMR umożliwia dokonywanie dynamicznego zagęszczenia/rozrzedzenia siatki numerycznej w zależności od zmian badanych wielkości fizycznych. W unkcie drugim oisujemy historię i ideę adatacyjnych siatek numerycznych z uwzględnieniem kryterium zagęszczania. Punkt trzeci stanowi krótki ois modelu numerycznego, który osłużył nam do testów. Wyniki testu i konkluzje zawarte są w unktach czwartym i iątym.

2 . Adative Mesh Refinement (AMR) Historia adatacyjnych siatek numerycznych rozoczęła się w 1984 roku, kiedy to M. Berger i J. Oliver rzedstawili racę dotyczącą użycia siatki o strukturze hierarchicznej do rozwiązywania hierbolicznych cząstkowych równań różniczkowych[1]. Siatki te zwane są AMR. Obecnie idea adatacyjnych siatek numerycznych jest wykorzystywana w wielu obszarach działalności naukowej, rzytaczając tu chociażby niektóre z nich: ois dynamiki gazów, rozwiązywanie równań Poissona, Helmholtz, rzyadek ściśliwego i nieściśliwego rzeływu oisywanego zależnością Navier-Stokes a czy symulacje numeryczne rozchodzenia się fal w lazmie słonecznej. Została ona zaimlementowana w wielu akietach wsomagających modelowanie numeryczne takich jak CLAWPACK[] czy FLASH Code[3]..1. Imlementacja AMR we FLASH Code W naszych badaniach naukowych wykorzystujemy moduł PARAMESH[4], który został zaimlementowany we FLASH Code. Zawiera on zestaw rocedur umożliwiających zagęszczenie/rozrzedzenie siatek numerycznych oraz koordynację tego rocesu w systemach równoległych. Algorytmy wykorzystane w rocedurach zostały zaadotowane z rac P. Löhnera [5] i bazują one na związku (1) warunkującym roces dynamicznych zmian wygenerowanej siatki oczątkowej. Kryterium zagęszczenia siatki numerycznej (E i ) zostało zdefiniowane jako druga ochodna znormalizowana o średnim gradiencie wartości zmiennej testowej w rozatrywanym bloku. W rzyadku jednowymiarowej siatki E i jest oisywane: ui+ 1 ui + ui 1 Ei =, (1) u u + u u + ε u u + u i+ 1 i i i 1 [ ] gdzie u i jest wartością zmiennej testową w i tej komórce. Ostatni człon mianownika zaobiega uwzględnianiu zmian u i, których wartość nie rzekracza stałej ε określanej w liku konfiguracyjnym roblemu. Z rozważań [3] analitycznych wynika, że wielkość E i oisana równaniem (1) jest dostatecznie czuła w wykrywaniu wszelkich nieciągłości i zmian kształtu funkcji oisującej wielkość u i. Uogólniając zależność (1) do trzech wymiarów otrzymujemy: i+ 1 i i 1 E i1ii3 = u i+ 1/ u + u i 1/ + ε u, () gdzie sumowanie odbywa się o wszystkich wsółrzędnych kierunkowych, a ochodna cząstkowa wyliczana jest z uwzględnieniem wartości zmiennej u i w komórce oznaczonej indeksami i 1 i i 3. W zestawie rocedur PARAMESH zostały wykorzystane schematy zagęszczenia siatki numerycznej oisywane w racach [1],[6].W odejściu tym jako odstawową jednostką siatki uważamy blok, rozumiany jako zbiór komórek, rozważanych w geometrii kartezjańskiej. Każda komórka oisywana jest rzez zestaw arametrów: numer rocesora, na którym wykonywane są związane z nią obliczenia, numer bloku w skład, którego wchodzi

3 oraz wsółrzędne określające ołożenie jednostki. Ze względu na hierarchiczną strukturę adatacyjnych siatek fizyczne rozmiary bloków są zróżnicowane (Rys 1). Utworzeniem bloków otomnych kierują dwie odstawowe zasady: rozmiary nowotworzonego bloku stanowią ołowę rzestrzennych wymiarów bloku rodzicielskiego w każdym z kierunków oraz wyełniają one całkowicie objętość bloku rodzicielskiego nie nakładając się na siebie. W ten sosób możemy otrzymać w rzyadku d wymiarów od 0 do d bloków otomnych. Zgodnie z owyższym, w dwuwymiarowym rzyadku, w każdym etaie zagęszczenia możemy otrzymać od 0 do 4 bloków z każdego bloku rodzicielskiego, co zostało ilustrowane na Rys 1. Rys.1 Schemat hierarchicznej struktury drzewiastej adatacyjnej siatki numerycznej wykorzystanej w module PARAMESH akietu FLASH z uwzględnieniem odział na bloki i oziomy zagęszczenia. Liczbę komórek, we wszystkich rozatrywanych kierunkach wchodzących w skład bloku, definiuje użytkownik, rzyisując wartości oczątkowe arametrom w liku konfiguracyjnym roblemu. Dodatkowo każdy z bloków otoczony jest rzez komórki osłaniające 1 zawierające informacje o wartości zmiennej testowej u i w subjednostkch sąsiadujących bloków lub warunkach brzegowych rozatrywanego rocesu (rys. ). Jeśli komórki osłaniające znajdują się na tym samy oziomie zagęszczenia, co blok sąsiedni ich wartości są rzeisywane z komórek rzyległego bloku, gdy ich oziomy są różne ich wartość jest interolowana. 1 ang. guard cells ang level of refinement

4 Rys. Schemat bloku adatacyjnej siatki numerycznej z komórkami osłaniającymi. Szarym kolorem oznaczono komórki bloku, a białym komórki osłaniające. Zbiór bloków składających się na obszar symulacji dzielony jest omiędzy autonomiczne jednostki obliczeniowe wchodzące w skład równoległego systemu komuterowego, rzy czym ojedynczy blok nie może zostać odzielony. Jednostki te odejmują niezależne decyzje o zwiększeniu/zmniejszeniu odległej im liczby bloków zgodnie z zależnością (). Zagęszczenie rowadzi do utworzenia od 0 do d bloków otomnych, odczas gdy rozrzedzenie ociąga za sobą destrukcje bloku wraz z jego rodzeństwem. Powyższe zmiany, często tymczasowe, umieszczane są w amięci odręcznej, o ich akcetacji tak utworzona bloki rozmieszczane są w strukturze rzestrzennej badanego roblemu zgodnie z algorytmem wyznaczania krzywej Morton a [7]. 3. Model numeryczny W celu uwidocznienia właściwości adatacyjnych siatek numerycznych rzerowadziliśmy test, w którym symulowaliśmy rocesy falowe w koronie słonecznej. W naszych rozważaniach badaliśmy rzeływ lazmy oisany zestawem równań magnetohydrodynamicznych (MHD)[8]: ρ + ( ρv) = 0, (3) V 1 ρ + ρ( V ) V = + ( B) B, µ (4) + ( V) = ( γ 1) V, (5) B = ( V B), (6) B = 0, (7) gdzie ρ gęstość, V jest wektorem rędkości lazmy, a oznacza ciśnienie lazmy W szczególności analizowaliśmy dwuwymiarowy model arkady, oisany w racy [9], którego stan równowagi oisany był zależnościami: x y x y y B x = B0 cos ex, B y = B0 sin ex, ρ ( y) = ρ 0 ex. Λ Λ Λ Λ Λ (8) B 0 oznacza wartość indukcji ola magnetycznego u odstawy arkady (y=0), Λ arametr określający wysokość arkady, zaś ρ 0 jest wartością oczątkową gęstości. Powyższy stan równowagi został zaburzony imulsami w ciśnieniu i gęstości, które odowiednio oisują związki: ( x x ) ( x, y, t 0) = Ae ( x x ) ( x, y, t 0) = A e [ / w] [ ( y y ) w] 0 0 / = e, (9) [ / w] [ ( y y ) w] 0 0 / ρ, (10) = ρ e

5 gdzie A i A ρ oznaczają odowiednie amlitudy imulsu, x 0 jest miejscem wygenerowania imulsu, zaś w jest szerokością imulsu. 4. Rezultaty W owyższym zagadnieniu zmienną testową u i, jest gęstość ρ. Przerowadzając symulację numeryczną we FLASH-u otrzymaliśmy nastęujące wyniki, które rzedstawia oniższa tabela Tab. 1. a) b) c) d) e) Tab. 1 Diagramy rzedstawiające kolejne etay siatki numerycznej

6 Na oszczególnych diagramach w Tab1 rzedstawione są kolejne etay zagęszczanie siatki numerycznej. W obszarach o dużym gradiencie gęstości ρ siatka ulega zagęszczeniu, zaś w miejscach o zbliżonych wartościach gęstości omiędzy sąsiednimi blokami ulega rozrzedzeniu. 5. Podsumowanie Adatacyjne siatki numeryczne są narzędziem w znacznym stoniu oszerzającym obszary badawcze. Ich zastosowanie umożliwia skrócenie czasu symulacji numerycznych, zwiększenie dokładności obliczeń w obszarach o dużym gradiencie rozatrywanych wielkości, oszerzeniu obszaru symulacji, co zbliża badania numeryczne do rzeczywistych zjawisk fizycznych obserwowanych w rzyrodzie. AMR doczekał się wielu imlementacji w akietach orogramowania naukowego. Koncecja ta została zaadotowana niemal do wszystkich subdziedzin fizyki. Przerowadzone testy modelujące zjawiska w koronie słonecznej otwierdziły oisane w unktach 1- własności AMR. Stanowi to odstawę do dalszych badań i rozwoju tej tematyki "The software used in this work was in art develoed by the DOE-suorted ASCI/Alliance Center for Astrohysical Thermonuclear Flashes at the University of Chicago." Literatura [1] M. Berger and J. Oliger. Adative mesh refinement for hyerbolic artial differential euations. Journal of Comutational Physics, 53: , [] htt:// [3] htt://flash.uchicago.edu/ [4] Peter MacNeice, Kevin M. Olson, Clark Mobarry, Rosalinda defainchtein and Charles Packer, "PARAMESH : A arallel adative mesh refinement community toolkit.", Comuter Physics Communications, vol. 16, , (000). [5] R. Löhner - An Adative Finite Element Scheme for Transient Problems in CFD; Com.Meth.Al.Mech.Eng. 61, (1987). [6] M. Berger and P. Colella. Local adative mesh refinement for shock hydrodynamics. Journal of Comutational Physics, 8(1):64--84, May Lawrence Livermore Laboratory Reort No. UCRL [7] Warren M. S., Salmon J. K., Astrohysical N-body simulations using hierarchical tree data structures, Proceedings of the 199 ACM/IEEE conference on Suercomuting [8] Murawski K., Analytical and numerical methods for wave roagation in fluids, World Scientific, Singaore (00) [9] R. Oliver, K. Murawski, J. L. Ballester, Numerical simulations of imulsively generated MHD waves in a otential coronal arcade, Astron. Astrohys. 330, 76 (1998).