Od bzdury do bingo! Jarosław GÓRNICKI, Rzeszów

Transkrypt

1 Jest to zapis odczytu wygłoszonego na XLVIII Szkole Matematyki Poglądowej, Skojarzenia i analogie, Otwock Śródborów, styczeń Od bzdury do bingo! Jarosław GÓRNICKI, Rzeszów Wiek XVIII to czas przełomu mię dzy Barokiem, a Oświeceniem Dominuje w nim racjonalizm, empiryzm, a rozum ma być źródłem poznania prawdy o świecie i człowieku Wybitni twórcy (uczeni, filozofowie) stają się chlubą i ozdobą dworów królewskich Mimo wybuchających wojen (o sukcesje) i związanych z tym okropności, w Europie dominuje uczucie kreatywnej twórczości niemal we wszystkich aspektach życia Odzwierciedla to muzyka tamtych czasów, która i dzisiaj uwodzi wielu słuchaczy, emanuje radością Proszę posłuchać utworów, które powstały w Europie w czasach, gdy żył i tworzył Leonhard Euler:? rok 77, JS Bach, Toccata i fuga d-mol,? rok 73, A Vivaldi, Cztery pory roku,? rok 75, JS Bach, Badinerie,? rok 74, GF Ha ndel, Messiah: Halleluja Chorus,? rok 749, GF Ha ndel, Royal fireworks,? rok 77, L Boccerini, Minuet,? rok 783, WA Mozart, Rondo alla Turca Leonhard Euler (77 783) urodził się w Bazylei (szczegóły jego biografii zawierają opracowania [], [9], []) W wieku 6 lat ukończył tamtejszy uniwersytet W tych czasach matematyka nie była odrębnym przedmiotem studiów uniwersyteckich, więc Euler studiował ją pod kierunkiem Johanna Bernoulliego (rodziny Eulerów i Bernoullich przyjaźniły się) Mając 9 lat Euler został doktorem na podstawie rozprawy o rozchodzeniu się dźwięku W 77 r opuścił Bazyleę, by za namową i przy poparciu Daniela Bernoulliego (syna Johanna) podjąć pracę w nowo utworzonej Petersburskiej Akademii Nauk Do Szwajcarii już nigdy nie powrócił, żył i pracował w Petersburgu i w Berlinie Rys Leonhard Euler

2 Problem W XIV wieku N Oresme wykazał, że suma nie ma skończonej wartości, a w 65 r P Mengoli postawił zadanie zbadania sumy Zadanie okazało się trudne Problem zyskał na znaczeniu, gdy w 673 r G W Leibniz (a dwa lata wcześniej J Gregory) wykazali, że = π 4 W 689 r Jacob Bernoulli (starszy barat Johanna) wykazał, że suma ma wartość skończoną Nie jest to trudne, < =, bo suma częściowa s n = n (n + ) = ( ) ( + ( + + 3) n ) = n + =, gdy n + n + Ranga zadania polegającego na wyznaczeniu dokładnej wartości sumy rosła, gdy matematycy tej miary co GW Leibniz, Jacob, Johann i Daniel Bernoulli, J Stirling, J Wallis nie potrafili mu sprostać W 78 r Daniel Bernoulli zakomunikował Ch Goldbachowi, że suma jest bardzo bliska 8 5, a w odpowiedzi Goldbach obliczył, że, < < 397, Dwa lata później J Stirling podał, że + + +, ze wszystkimi dokładnymi ośmioma znakami dziesiętnymi Wkrótce Euler wyznaczył wartość tej sumy z dokładnymi znakami dziesiętnymi Nie było to ostateczne rozwiązanie zadania! Pierwsza propozycja Eulera Praca 8 letniego Eulera O sumach szeregów odwrotnych z 5 grudnia 735 r [3] zawiera zaskakujący wynik: = π 6 Obliczenia są magiczne i budzą sympatię Rezultat ten przyniósł Eulerowi międzynarodowe uznanie Nie pójdziemy dokładnie tropem pracy Eulera, ale przedstawimy w zwięzłej formie jej zasadnicze idee Euler korzysta z dwóch faktów znanych już Newtonowi: () funkcję sinus można przedstawić w postaci szergu potęgowego sin x = x x3 3! + x5 5! x7 7! + (niezależnie odkrytego przez B Taylora w 75 r) () dla wielomianu rzeczywistego o niezerowych pierwiastkach rzeczywistych r, r,, r n ma miejsce zależność: Jeżeli to (x r )(x r ) (x r n ) = x n + a n x n + + a x + a, = a r r r n a (Sprawdzenie tego wzoru polega na wymnożeniu iloczynu po lewej stronie, wyznaczeniu wartości a, a i wykonaniu dzielenia)

3 Funkcję sinus przedstawiamy w postaci szeregu potęgowego sin x = x x3 3! + x5 5! x7 7! + i o prawej stronie tej równości myślimy jak o wielomianie wysokiego stopnia Dzieląc obie strony tego równaia przez x ( ) mamy sin x x = x 3! + x4 5! x6 7! +, a zastępując x przez t, dla t > otrzymujemy sin t (3) = t t 3! + t 5! t3 7! + Patrząc na lewą stronę równości (3) widzimy, że pierwiastkami funkcji f(t) = t 3! + t 5! t3 7! + są liczby π, (π), (3π), Stosując obserwację () Newtona do funkcji f otrzymujemy π + (π) + (3π) + = 6, czyli = π 6 Równość tę potwierdzają kontrolne rachunki przybliżone (Euler zna przybliżoną wartość sumy z dwudziestoma dokładnymi znakami dziesiętnymi, a wartość π z dokładnymi 7 znakami dziesiętnymi) W tej samej pracy, wykorzystując opisaną ideę, Euler obliczył kolejno: Błąd = π4 9, = π6 945, = π8 945, + + π + = , π + = Dowód Eulera (mimo uzyskania poprawnego wyniku) jest błędny! Obserwacja () Newtona nie jest prawdziwa dla szeregów potęgowych, co pokazuje następujący przykład Przykład Funkcja h(x) = x x x 3 = x ma w przedziale (, ) dokładnie jeden pierwiatek x = oraz a = i a = Zatem w tym przypadku = a a Mimo tego błędu praca Eulera zasługuje na uznanie, ukazuje ona jego nadzwyczajną matematyczną intuicję, i słusznie zachwyciła jemu współczesnych Zapewne praca ta trafiłaby również do annałów historii, gdyby nie zawierała jakichkolwiek uzasadnień, a jedynie prezentowała wskazane przez Eulera wartości nieskończonych sum Wszystkim, którzy w tej sprawie mają wątpliwości polecam wyznaczenie (odgadnięcie) dokładnej wartości wyrażeń, z którymi nie poradził sobie Euler: lim ( + n + + ) n ln n =?, + k+ + + =?, dla k =, 3, 3k+ 3

4 Co dalej? Wróćmy do roku 735 Ponieważ prace w Petersburskiej Akademii były drukowane ze znacznym opóźnieniem, więc Euler o swoim wyniku zawiadomił listownie przyjaciół w w Europie, w szczególności Johanna i Daniela Bernoullich Ci ostatni, obok wyrazów uznania, przesyłali Eulerowi krytyczne uwagi do jego uzasadnienia W 744 r Euler ukończył prace nad Introductio in Analysin Infinitorum [Wstęp do analizy nieskończonościowej] (Lausanne w 748 r) W tej fundamentalnej dla analizy matematycznej pracy zawarł (nie budzące już wątpliwości) analityczne uzasadnienie omawianej równości Oto dwa uzasadnienia tożsamości Eulera (inne dowody można znaleźć w [6]) Dowód I Idea dowodu pochodzi od T Apostola i jest w duchu eulerowskim, polega na obliczeniu całki podwójnej dwoma różnymi sposobami Niech = S Wówczas ( 7 + = + + ) ( ) 6 + (4) = ( + + )( 3 + ) = 3 4 S Skoro x k dx = xk+ = k + k +, więc ( ) = x k dx y k dy = x k y k dxdy, k + i wykorzystując wzór na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego, = x k y k dxdy = x k y k dxdy = k= k= Porównując ten wynik z rezultatem (4), otrzymujemy x y dxdy (5) S = 4 3 x y dxdy Całkę obliczamy stosując zamianę zmiennych Wprowadzamy przekształcenie Φ : G (, ) dane wzorami: x = sin α cos β, y = sin β cos α {, gdzie G = (α, β) R : < α < π, < β < π, < α + β < π } Wówczas x y dxdy = dαdβ = π G 8 (bo ostatnia całka to pole trójkąta G), i ze wzoru (5), = π 6 W rozumowaniu tym korzystaliśmy z następujących twierdzeń, których uzasadnienia można znaleźć w podręczniku [8] 4

5 Twierdzenie Jeśli f : [a, b] R, g : [c, d] R są funkcjami całkowalnymi, to ( ) b d f(x) g(y) dxdy = f(x)dx g(y)dy [a,b] [c,d] Twierdzenie (o całkowaniu szeregów nieujemnych wyraz po wyrazie) Dla dowolnego ciągu (f n ) n funkcji mierzalnych na A i nieujemnych, f n = f n A n= Twierdzenie 3 (o zamianie zmiennych = o całkowaniu przez podstawienie) Niech G R n będzie zbiorem niepustym i otwartym Jeżeli Φ : G R n jest dyfeomorfizmem, zaś f : Φ(G) R jest funkcją mierzalną, to prawdziwy jest wzór f(x)dx = f(φ(t)) J Φ (t) dt, Φ(G) gdzie J Φ jest wartością bezwzględną wyznacznika Jacobiego (jakobianu) przekształcenia Φ Dowód II (elementarny) Dla ω = G n= (6) ctg ω + ctg (ω) + + ctg (mω) = Ponieważ dla < x < π, sin x < x < tg x, więc a A π m+, m N, mamy równość (patrz [4]): ctg x < x < + ctg x c m(m ) 6 Sumując te nierówności stronami dla x k = kω, k =,,, m, otrzymujemy m ( m + ) ctg (kω) < ( + π ) m m < m + ctg (kω) k= Wobec równości (6), mamy π 6 m m + m m + < a przechodząc z m uzyskujemy: = π 6 Bibliografia k= m < π 6 m m + m + m +, [] M Aigner, GM Ziegler, Dowody z Księgi, WN PWN, Warszawa [] RE Bradley, CF Sandifer (Eds), Leonhard Euler: life, work and legacy, Elsevier, Amsterdam 7 [3] L Euler, De Summis Serierum Reciprocarum, Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 7 (734/35), 74, 3 34 (= Opera Omnia, 4, 73 86); oryginał: eulerarchivemaaorg/docs/originals/e4pdf; tłumaczenie (ang)://www7centurymathscom/contents/euler/e4trpdf [4] J Górnicki, Okruchy matematyki, WN PWN, Warszawa 9 (lub Delta /99) [5] D Kalman, Six ways to sum a series, The College Mathematics Journal 4 (993), 4 4 [6] K Knopp, Szeregi nieskończone, PWN, Warszawa 956; punkty 36, 56, 89, [7] J Mioduszewski, Nie kochamy tego wieku O Leonardzie Eulerze, str 59; wwwmathusedupl/ztg/mioduszewski/eulerpdf [8] R Sikorski, Rachunek różniczkowy i całkowy Funkcje wielu zmiennych, PWN, Warszawa 977 [9] A Weil, Number theory: an approach through history, Birkhäuser, Boston 987 [] W Więsław, Leonhard Euler (73 783) człowiek i epoka, w: S Fudali (red), Matematyka XVIII wieku, Szczecin, 9 5 5