MODELOWANIE TRAJEKTORII LOTU RAKIETY BALISTYCZNEJ W CENTRALNYM POLU GRAWITACYJNYM

Transkrypt

1 Mgr inż. Witold BUŻANTOWICZ Wojskow Akdemi Techniczn DOI: /mechnik MODELOWANIE TRAJEKTORII LOTU RAKIETY BALISTYCZNEJ W CENTRALNYM POLU GRAWITACYJNYM Streszczenie: W rtykule zprezentowno model symulcyjny lotu rkiety blistycznej w centrlnym polu grwitcyjnym, uwzględnijący fzy: strtową, środkową i terminlną, jk również zminy trjektorii spowodowne oddziływniem tmosfery orz występowniem siły odśrodkowej i Coriolis. Przedstwiono wybrne wyniki symulcji orz przykłdowe możliwości zstosowni oprcownego modelu do dlszych bdń. MODELING OF BALLISTIC MISSILE FLIGHT TRAJECTORY IN A CENTRAL GRAVITATIONAL FIELD Abstrct: The pper ddresses the problem of modeling the bllistic missile flight in centrl grittionl field. The problem is formulted with regrd to the boost, midcourse nd terminl phses of flight nd to the chnges in the trjectory due to interction of the tmosphere, centrifugl nd Coriolis forces. Selected exmples of simultion results re presented nd the pplicbility of the model for further reserch is considered. Słow kluczowe: rkiety blistyczne, trjektorie kinemtyczne Keywords: bllistic missiles, kinemtic trjectories 1. WPROWADZENIE 73 A workble ICBM is n impossibility. Vnner Bush, dordc nukowy prezydent Rooseelt (1945) Problem modelowni trjektorii lotu rkiet blistycznych jest w wielu przypdkch sprowdzny do zgdnieni dwuwymirowego i rozptrywny w inercjlnym ukłdzie odniesieni. Podejście tkie, dopuszczlne dl obliczeń zgrubnych lub odnoszących się do rkiet tktycznych o niewielkim zsięgu, jest niewystrczjące w przypdku symulcji numerycznych relizownych n potrzeby systemów obrony powietrznej (przeciwrkietowej). Nie uwzględni ono bowiem czynników istotnie wpływjących n ruch rkiet blistycznych w przestrzeni, tj. kierunku dziłni linii sił centrlnego pol grwitcyjnego, krzywizny Ziemi czy obecności sił pozornych, co z kolei w sposób znczący wpływ n zgdnieni związne z modelowniem systemów śledzeni i predykcji trjektorii [1, 3, 4]. W rtykule przedstwiono model mtemtyczny lotu rkiety blistycznej w centrlnym polu grwitcyjnym, oprcowny z wykorzystniem notcji mcierzowej. Podejście tkie jest użyteczne z punktu widzeni implementcji równń w językch skryptowych populrnych

2 pkietów wspomgni obliczeń inżynierskich, tkich jk MthWorks MATLAB, Scilb czy GNU Octe. Model uwzględni trzy chrkterystyczne dl rkiet blistycznych fzy lotu: strtową (ng. boost phse), środkową (ng. midcourse phse) i terminlną (ng. terminl phse) orz wpływ oddziływni tmosfery i sił pozornych n ruch rkiet w przestrzeni.. MODEL LOTU RAKIETY BALISTYCZNEJ W CENTRALNYM POLU GRAWITACYJNYM Obliczeni trjektorii lotu rkiety blistycznej prowdzone są w krtezjńskim ukłdzie współrzędnych, przedstwionym n rys. 1. Początek tego ukłdu pokryw się ze środkiem Ziemi, oś z skierown jest do góry i przechodzi przez biegun północny, zś osie x i y są prostopdłe względem siebie i leżą w płszczyźnie równik, przy czym x przechodzi przez południk (Greenwich). Przyjęty ukłd odniesieni jest ukłdem nieinercjlnym, obrc się z prędkością kątową ω względem osi z, co implikuje konieczność uwzględnieni w rozwżnich sił: odśrodkowej i Coriolis. N potrzeby obliczeń zkłd się pondto, że powierzchni plnety jest idelną sferą, zś Ziemi chrkteryzuje się nstępującymi prmetrmi fizycznymi: promieniem R = 6, m, msą M = 5, kg i prędkością obrotową ω = 7,9 1-5 rd/s. Wrtość stłej grwitcyjnej wynosi G = 6, m 3 /kg s. Rys. 1. Przyjęty ukłd odniesieni i podstwowe zleżności kątowe N potrzeby symulcji przyjęto uproszczony model rkiety blistycznej, któr w rozptrywnym przypdku trktown jest jko punkt mterilny o trzech stopnich swobody (stopnie swobody związne z obrotmi w przestrzeni zniedbuje się). W tkim ujęciu przyspieszenie dziłjące n rkietę blistyczną podczs lotu możn przedstwić w postci sumy [1,, 4]: r (1) T C D G A 74

3 gdzie: r wektor położeni rkiety blistycznej, wektor prędkości rkiety blistycznej, T wektor przyspieszeni związny z ciągiem silnik rkietowego, C wektor przyspieszeni sterującego, D wektor przyspieszeni związny z oporem tmosfery, G wektor przyspieszeni grwitcyjnego, wektor przyspieszeni pozornego (odśrodkowego i Coriolis). A N rkietę blistyczną przemieszczjącą się w dolnych wrstwch tmosfery (poniżej umownej grnicy 1 km) dził sił oporu powietrz. Związne z nią przyspieszenie możn wyrzić zleżnością: D e kh D tb m c S m f dt g () gdzie: 1, kg/m 3 gęstość tmosfery n wysokości m n.p.m., 3 k, m -1 współczynnik, h wysokość lotu rkiety blistycznej, c D współczynnik oporu erodynmicznego kdłub, S powierzchni chrkterystyczn, m ms strtow rkiety, m f wydtek msy pliw, t b czs prcy silnik rkietowego, g przyspieszenie ziemskie. Przyspieszenie grwitcyjne rkiety przebywjącej w polu centrlnym opisuje równnie: GMr G 3 (3) zś jej przyspieszenie pozorne: A r ω ω ω r (4) Wektor przyspieszeni od siły ciągu zdefiniowno jko: m T t b T m f dt gdzie: T ciąg silnik rkietowego, (5) 75

4 ntomist wektor przyspieszeni sterującego, normlny do wektor prędkości rkiety blistycznej, opisno zleżnością: C T t 1 cos tb t δ (6) gdzie: δ jednostkowy wektor sterujący, współczynnik korygujący, t b czs prcy silnik rkietowego, t czs lotu pionowego, zpewnijącą płynną regulcję kąt pochyleni γ wektor prędkości do wrtości złożonej dl chwili wyłączeni npędu t b (por. rys. ). γ π lot pionowy korekcj wyłączenie silnik γ k t t b t Rys.. Progrmow korekcj kąt pochyleni wektor prędkości rkiety blistycznej Po wprowdzeniu wektor zmiennych stnu x: rx x 6 r x R 1 : x, r r y, y r z x (7) wektor sterowni u: x 6 u R 1 : u, δ y δ 1 (8) δ z i przedstwieniu zleżności (1) w notcji mcierzowej: x A x Bu (9) i uzyskuje się nstępujące postci równń opisujących lot rkiety blistycznej w centrlnym polu grwitcyjnym: 76

5 dl etpu I (strt lot pionowy): x A x A1 R : A1 (1) G T D G T D G T D dl etpu II (strt korekcj nchyleni trjektorii): x A x Bu A R : A A B R : B C C C (11) dl etpu III (lot po krzywej blistycznej): x A x A3 R : A3 G D G D G D (1) Współczynniki w mcierzch A 1 A 3 i B określone są nstępującymi równnimi: T t C 1 cos tb t (13) kh e cds D tb m m f dt g (13b) GM G 3 r (13c) 77

6 T T t b m m f dt (13d) Skłdowe δ x, δ y, δ z sygnłu sterowni wyznczne są dl kżdego kroku obliczeń n podstwie ukłdu równń (14), wrunkującego wymgną orientcję wektor δ w przestrzeni: δ r δ δ r r cos 1 r cos r gdzie: kąt pochyleni wektor prędkości (względem powierzchni Ziemi). Początkowe wrtości skłdowych wektor x przyjmowne są jko: (14) rx R cos cos x cos cos r x, r r y R cos sin, y cos sin r z R sin z sin (15) zś wektor δ jko: x cos cos cos sin sin δ y sin cos cos z sin cos sin cos cos sin (16) gdzie: zdny kierunek odchyleni wektor prędkości rkiety blistycznej, długość geogrficzn, szerokość geogrficzn. Progrm symulcyjny oprcowno w języku skryptowym środowisk wspomgni obliczeń MthWorks MATLAB. Procedur cłkowni numerycznego relizown jest w oprciu o metodę Heun. Przyjęto stły krok czsowy obliczeń. 3. WYNIKI SYMULACJI Wybrne wyniki symulcji zilustrowno n rys Jko wzorzec fizyczny do weryfikcji oprcownego modelu mtemtycznego posłużył rkiet 8K14 systemu 9K7 Elbrus. N rysunkch 3-5 przedstwiono osiągi typowe dl tej klsy pocisków. N rysunkch 6-7 zilustrowno wybrne wyniki bdń symulcyjnych, obejmujące trjektorie orz strefy rżeni rkiet blistycznych klsy SRBM (ng. Short- Rnge Bllistic Missile) i MRBM (ng. Medium-Rnge Bllistic Missile) dl różnych pozycji strtowych. 78

7 [m/s] t [s] Rys. 3. Profil prędkości modelu rkiety blistycznej 8K γ [st.] t [s] Rys. 4. Zmin kąt pochyleni γ wektor prędkości dl modelu rkiety 8K14 79

8 6 5 4 h [km] d [km] Rys. 5. Trjektori lotu modelu rkiety 8K14 Rys. 6. Przykłdowe trjektorie rkiet MRBM wyznczone dl pozycji strtowych: Morze Brents (75 N, 45 E) i Musudn-ri (4 51 N, E) 8

9 Rys. 7. Strefy rżeni wyznczone przy stłych nstwch progrmów lotu rkiet blistycznych SRBM i MRBM dl pozycji strtowych: Musudn-ri (4 51 N, E), Emmshhr (36 5 N, 55 1 E) i Gwrdiejsk-Tpiewo (54 39 N, 1 4 E) 4. PODSUMOWANIE Przedstwiony w rtykule model mtemtyczny lotu rkiety blistycznej w centrlnym polu grwitcyjnym umożliwi wyzncznie trjektorii i prmetrów ruchu modelownych rkiet z uwzględnieniem krzywizny Ziemi, sił pozornych orz uwrunkowń chrkterystycznych dl poszczególnych fz lotu. Oprcowne równni mcierzowe mogą być stosunkowo łtwo dptowne n potrzeby procesów numerycznych i rozbudowywne o kolejne elementy. Ze względu n wymienione wyżej czynniki możliwe jest wykorzystnie oprcownego modelu mtemtycznego: do wyznczni prmetrów lotu rkiet blistycznych, do określni możliwości bojowych rkiet blistycznych, tym smym szcowni stref rżeni i obszrów ryzyk, jko genertor dnych wejściowych dl lgorytmów symulcyjnych śledzeni i predykcji trjektorii rkiet blistycznych. 81

10 LITERATURA [1] Benoli A., Chisci L., Frin A.: Trcking of Bllistic Missile with A-Priori Informtion, IEEE Trnsctions on Aerospce nd Electronic Systems, Vol. 43, Issue 3, 7, pp [] Coopermn R.L.: Tcticl Bllistic Missile Trcking using the Intercting Multiple Model Algorithm, Proc. of the 5 th Interntionl Conference on Informtion Fusion, Annpolis, 7-11 July, pp [3] Pietrsieński J., Wrchulski M., Wrchulski J., Bużntowicz W.: Uwrunkowni kinemtyczne obserwcji pocisków blistycznych, Mechnik, nr 7/14, s [4] Zrchn P.: Tcticl nd Strtegic Missile Guidnce, Wshington 1. 8