Rozprawa doktorska. Sterowanie procesów cieplnych z wykorzystaniem modeli niecałkowitego rzędu

Transkrypt

1 AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA IM. STANISŁAWA STASZICA W KRAKOWIE WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI, AUTOMATYKI, INFORMATYKI I INŻYNIERII BIOMEDYCZNEJ KATEDRA AUTOMATYKI I INŻYNIERII BIOMEDYCZNEJ Rozprawa doktorska Sterowanie procesów cieplnych z wykorzystaniem modeli niecałkowitego rzędu mgr inż. Anna Obraczka Promotor: Prof. dr hab. inż. Wojciech Mitkowski Kraków, 2015

2 Praca powstała przy współudziale środków pochodz acych z projektu Doctus - Małopolski fundusz stypendialny dla doktorantów współfinansowanego ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

3 Serdecznie dziękuję promotorowi, Panu Prof. dr hab. inż. Wojciechowi Mitkowskiemu, za cenne uwagi i rady, a także za wszelka pomoc przy powstawaniu tej pracy. Dziękuję również pracownikom Katedry Automatyki i Inżynierii Biomedycznej AGH za merytoryczne dyskusje na temat pracy oraz pomoc. Dziękuję Rodzinie i Przyjaciołom za wsparcie i cierpliwość.

4

5 Spis treści Spis rysunków... 8 Spis tablic Wykaz oznaczeń Wstęp Cele pracy Struktura pracy Pochodne ułamkowe Definicja Grünwalda-Letnikowa Definicja Riemanna-Liouville a Definicja Caputo Związki między definicjami Pochodna ułamkowa Riesza Przykłady Funkcja liniowa Funkcja kwadratowa Transformata Laplace a Przykład Przewodzenie ciepła Ustalone przewodzenie ciepła Nieustalone przewodzenie ciepła Ułamkowe równanie przewodzenia ciepła Współczynnik a Obiekt eksperymentalny Opis eksperymentu laboratoryjnego Modelowanie

6 SPIS TREŚCI Pochodna Riesza Pochodna Caputo Identyfikacja parametryczna Równania różniczkowe Algorytmy identyfikacji Testy numeryczne Test Test Wybór metody Weryfikacja i porównanie Porównanie modeli Model I Model II Model III Model IV Model klasyczny Podsumowanie porównania modeli Model w dziedzinie Laplace a Sterowanie Zamknięty układ regulacji Regulator PID Regulator FOPID Idealna postać Bodego transmitancji Projektowanie regulatora FOPID Ocena regulatora Porównanie regulatorów dla modelu inercyjnego II rzędu z opóźnieniem Porównanie regulatorów dla modelu ułamkowego z opóźnieniem Wpływ parametrów na FOPID Podsumowanie Bibliografia Dodatek Streszczenie... 93

7 SPIS TREŚCI 7 Abstract... 94

8 Spis rysunków 2.1 Funkcja liniowa oraz jej pochodne: rzędu 1 oraz Funkcja kwadratowa oraz jej pochodne: rzędu 1 oraz Kolejne pochodne funkcji f(x) = x 2, od 0 do 2 z krokiem Odpowiedź na skok jednostkowy układu o transmitancji 1 s oraz 1 s Pojedyncze zdjęcie rozkładu temperatury wykonane kamerą termowizyjną SC Sześć zdjęć rozkładu temperatury z różnych chwil czasowych Schemat stanowiska laboratoryjnego Wykres przedstawiający zebrane pomiary Przykład RFDE z parametrami: β = 1.3, K β = 0.25, oraz warunkiem początkowym: g(x) = sin 2 (2x) Porównanie rozwiązania analitycznego i numerycznego metodą SG równania RFDE z parametrami: β = 1.3, K β = 0.25, oraz warunkiem początkowym: g(x) = sin 2 (2x) Przykład FDWE z parametrem: α = 1.7 oraz warunkiem początkowym: g(x) = sin(x) Porównanie rozwiązania analitycznego i numerycznego metodą GMMP równania FDWE z parametrem: α = 1.7 oraz warunkiem początkowym: g(x) = sin(x) Przykład RFADE z parametrami: α = 1.8, K α = 0.25, β = 0.2, K β = 0.25, oraz warunkiem początkowym: g(x) = x 2 (π x) Kryterium Q w funkcji początkowych wartości parametrów dla algorytmu Gaussa-Newtona Czas obliczeń w funkcji początkowych wartości parametrów dla algorytmu Gaussa-Newtona Kryterium Q w funkcji początkowych wartości parametrów dla algorytmu Levenberga-Marquardta

9 SPIS RYSUNKÓW Czas obliczeń w funkcji początkowych wartości parametrów dla algorytmu Levenberga-Marquardta Kryterium Q w funkcji początkowych wartości parametrów dla algorytmu Simplex Neldera-Meada Czas obliczeń w funkcji początkowych wartości parametrów dla algorytmu Simplex Neldera-Meada Model I dla wartości parametrów: a = oraz α = Wykres błędu procentowego ε n dla ułamkowego modelu I Model II dla wartości parametrów: a = oraz β = Wykres błędu procentowego ε n dla ułamkowego modelu II Model III dla wartości parametrów: a = , α = 2.00 oraz β = Wykres błędu procentowego ε n dla ułamkowego modelu III Model IV dla wartości parametrów: a = , c = oraz α = Wykres błędu procentowego ε n dla ułamkowego modelu IV Model klasyczny dla wartości parametrów: a = Wykres błędu procentowego ε n dla modelu klasycznego Wymuszenie, pomiary oraz odpowiedź modeli Pomiary oraz odpowiedź modeli Wykres błędu procentowego ε n dla modelu G A P Wykres błędu procentowego ε n dla modelu G B P Zamknięty układ regulacji Odpowiedź na skok jednostkowy systemu z modelem A oraz regulatorem PID Odpowiedź na skok jednostkowy systemu z modelem B oraz regulatorem PID Charakterystyka Bodego obiektu o transmitancji (7.5) dla γ (1, 2) Odpowiedź na skok jednostkowy systemu z modelem A oraz regulatorem FO- PID rzędu γ = Odpowiedź na skok jednostkowy systemu z modelem B oraz regulatorem FO- PID rzędu γ = Graficzna interpretacja wskaźników: t r oraz e m Graficzna interpretacja wskaźników: t n, e m oraz e Charakterystyka Bodego systemu z modelem A oraz regulatorem PID

10 7.10 Charakterystyka Nyquista systemu z modelem A oraz regulatorem PID Charakterystyka Bodego systemu z modelem A oraz regulatorem FOPID Charakterystyka Nyquista systemu z modelem A oraz regulatorem FOPID Porównanie odpowiedzi systemu z modelem A oraz regulatorem PID i FOPID Porównanie sygnałów sterujących regulatorow PID i FOPID dla systemu z modelem A Charakterystyka Bodego systemu zmodelem B oraz regulatorem PID Charakterystyka Nyquista systemu z modelem B oraz regulatorem PID Charakterystyka Bodego systemu z modelem B oraz regulatorem FOPID Charakterystyka Nyquista systemu z modelem B oraz regulatorem FOPID Porównanie odpowiedzi systemu z regulatorem PID oraz FOPID Porównanie sygnałów sterujących regulatorow PID i FOPID dla systemu z modelem B Odpowiedzi systemu z regulatorem FOPID dla różnych wartości γ Odpowiedzi systemu z regulatorem FOPID dla różnych wartości ω c Spis tablic 3.1 Wartości dyfuzyjności termicznej dla przykładowych materiałów Podsumowanie testów dla poziomu szumu δ = 0 - brak zakłóceń Podsumowanie testów dla poziomu szumu δ = Podsumowanie testów dla poziomu szumu δ = Podsumowanie testu Porównanie modeli Porównanie wskaźników regulatorów dla systemu z modelem A Porównanie wskaźników regulatorów dla systemu z modelem B

11 Wykaz oznaczeń GL D α a pochodna w sensie Grünwalda-Letnikova rzędu α RL D α a pochodna w sensie Riemanna-Liouville a rzędu α RL I α a całka w sensie Riemanna Liouville a rzędu α C D α a pochodna w sensie Caputo rzędu α x cecha górna (funkcja sufit) x: x = min{k Z : k x} ( n k) symbol Newtona n! silnia [ ] przedział domknięty ( ) przedział otwarty Γ(x) funkcja gamma (gamma Eulera) T n (f, x 0 ) rozwinięcie funkcji f w wielomian Taylora stopnia n w punkcie x 0 L{f(t); s} transformata Laplace a funkcji f(t) L 1 {F (s); s} odwrotna transformata Laplace a funkcji F (s) f(t) g(t) splot funkcji f i g ρ gestość [ kg ] m 3 c p J ciepło właściwe [ kgk λ współczynnik przewodnictwa cieplnego materiału [ W ] mk a dyfuzyjność termiczna [ m2 s x j j x t m m t u (m) j aproksymacja wartości dokładnej u(x, t) dla x = x j i t = t m exp (x) funkcja ekspotencjalna ε max maksymalny błąd procentowy ε n błąd procentowy dla każdego punktu MRE średni (procentowy) błąd względny (Mean Relative Error) G(s) transmitancja 11

12 SPIS TABLIC 12 P ID regulator proporcjonalno-całkowo-różniczkujący F OP ID regulator proporcjonalno-całkowo-różniczkujący ułamkowego rzędu A m zapas modułu (amplitudy) Ω m zapas fazy ω g pulsacja odcięcia modułu ω p pulsacja odcięcia fazy z moduł lizcby zespolonej z arg[z] argument lizcby zespolonej z t n czas narastania odpowiedzi systemu na skok t r czas regulacji odpowiedzi systemu na skok e m odchylenie maksymalne odpowiedzi systemu na skok e 2 druga amplituda odpowiedzi systemu na skok κ przeregulowanie odpowiedzi systemu na skok J całka z kwadratu uchybu regulacji y wartość ustalona wyjścia

13 1. Wstęp Idea rachunku ułamkowego, nazywanego też rachunkiem niecałkowitego rzędu, jest równie stara jak rachunek całkowitego rzędu. Już w 1695 roku, kiedy Leibniz i Newton sformułowali standardowy rachunek różniczkowy, L Hôspital napisał list do Leibniza, w którym rozważał pochodną stopnia 1. Od tego czasu wielu wybitnych badaczy, takich jak: N. H. Abel, B. Riemann, 2 P. S. Laplace, J. Liouville, J. Fourier czy F. Riesz, zajmowało się tym zagadnieniem, kładąc podstawy pod teorię ułamkowego rachunku różniczkowego. Przez około 300 lat, była to jednak gałąź rozwijana jako czysto teoretyczna dziedzina matematyki. Zmieniło się to dopiero w drugiej połowie XX wieku, kiedy znaleziono pewne zastosowania pochodnych i całek niecałkowitego rzędu w wielu dziedzinach nauki np. ekonomii, biologii, inżynierii czy fizyce [47]. Szczególnie w ciągu ostatnich kilkunastu lat temat ten stał się popularny, zarówno w Polsce jak i na świecie, czego wynikiem są liczne publikacje w formie książek oraz artykułów naukowych. Z tych pierwszym można wymienić takie prace jak: [41, 51, 58], w których zawarto obszerną teorię rachunku ułamkowego, [66, 68] - gdzie opisano metody numeryczne dla równań niecałkowitego rzędu, czy też pozycje poświęcone zastosowaniom w praktyce teorii rachunku ułamkowego, np. [7, 21]. Z ciekawszych pozycji można jeszcze wymienić na przykład: [27] - w której przedstawiono metody rozwiązywania równań różniczkowych ułamkowego rzędu zarówno w sposób analityczny jak i numeryczny lub [69] - w której omówione są ułamkowe systemy o dynamice chaotycznej. Jeżeli chodzi o artykuły, to można zauważyć, że pojawiają się one coraz liczniej. Zarówno w czasopismach o tematyce czysto matematycznej jak i tych z dziedzin systemów dynamicznych, modelowania komputerowego czy fizyki i chemii. Opisywane są w nich różnego typu równania i ich rozwiązania: np. [15, 22, 23, 32, 40], metody numeryczne: np. [12, 38, 42, 47, 50, 59], zagadnienia teorii sterowanie: np. [2, 28] oraz coraz częściej liczne zastosowania: [24, 25, 26, 29, 54, 53, 48, 63, 70] - w automatyce, [14] - w robotyce, [16, 45] - w elektronice, [44] - elektrotechnice, [4, 20] - w medycynie, [9] - w chemii czy nawet [36] - w finansach. Wszystkie te publikacje wskazują na coraz powszechniejsze użycie rachunku różniczkowego ułamkowego, zarówno do modelowania różnych zjawisk fizycznych i procesów, jak do 13

14 1.1. Cele pracy 14 zagadnień teorii sterowania. Dlatego postanowiono w niniejszej pracy wykorzystać właściwości tego rachunku do zamodelowania procesu przepływu ciepła oraz do zaprojektowania ułamkowego regulatora PID Cele pracy Układy niecałkowitego rzędu znane są w matematyce od XVII wieku, jednak dopiero w ostatnich latach podjęto próby stosowania rachunku różniczkowo-całkowego ułamkowego rzędu do zagadnień klasycznej teorii sterowania. W literaturze specjalistycznej pojawiają się przesłanki, że rachunek tego typu może być zastosowany do opisu przepływów cieplnych w różnych ośrodkach [60]. Badania te nie są jednak zaawansowane na tyle aby umożliwić ich praktyczne, przemysłowe wykorzystanie. Klasyczne równanie przepływu ciepła (równanie Fouriera), opisuje procesy wymiany ciepła w wystarczająco dokładny sposób dla znacznej klasy problemów przemysłowych, nie uwzględnia jednak niektórych specyficznych zjawisk w nich występujących. W ramach doktoratu planowana jest budowa serii przykładowych modeli niecałkowitego rzędu, jak najściślej opisujących rzeczywiste zachowanie układu. Kolejnym etapem będzie analiza porównawcza oraz weryfikacja zaproponowanych modeli. Zostaną one także porównane z klasycznym modelem przepływu ciepła. Można zatem sformułować pierwszy zasadniczy cel pracy następująco: Cel 1: Znalezienie modelu niecałkowitego rzędu, lepiej opisujacego proces przepływu ciepła oraz jego weryfikacja. Regulatory proporcjonalno-całkowo-różniczkowe - PID, są często wykorzystywane w zastosowaniach przemysłowych, a badania naukowe poszukujące nowych rozwiązań i algorytmów opartych na PID są prowadzone w wielu placówkach na całym świecie [6]. Wraz z rozwojem rachunku różniczkowego ułamkowego oraz wzrostem liczby jego zastosowań w automatyce, pojawiły się liczne publikacje na temat różnych regulatorów PID niecałkowitego rzędu. W ostatnich latach licznie pojawiają się artykuły o regulatorach PI λ - [34] oraz PI λ D µ - [10, 39, 46, 48, 63]. Można w nich znaleźć różne podejścia do doboru nastaw takich regulatorów. Niektórzy autorzy postulują także, że tego typu regulatory w przyszłości zastąpią klasyczne regulatory PID, ze względu na swoje lepsze właściwości [10]. W pracy planowane jest zaproponowanie regulatora typu PID niecałkowitego rzędu sterującego procesem przepływu ciepła. Policzony zostanie również zwykły regulator PID, w celu porównania i oceny obu rozwiązań. Drugi zasadniczy cel pracy można sformułować następująco: Cel 2: Zaprojektowanie regulatora PID niecałkowitego rzędu dla procesu przepływu ciepła oraz porównanie go z klasycznym regulatorem PID.

15 1.2. Struktura pracy Struktura pracy Praca składa się z sześciu rozdziałów zasadniczych, wstępu oraz podsumowania. We wstępie opisano motywację badań, cele pracy oraz jej strukturę. Rozdział drugi, zatytułowany Pochodne ułamkowe zawiera podstawowe definicje oraz własności z rachunku różniczkowego ułamkowego. Zamieszczono tam także kilka prostych przykładów ilustrujących różnice między pochodną klasyczną, a ułamkową. W następnym rozdziale - Przewodzenie ciepła wprowadzone wzory fizyczne opisujące przepływ ciepła, na których oparte są późniejsze modele. Czwarty rozdział opisuje metodykę przeprowadzonego eksperymentu. Na początku opisany jest przeprowadzony eksperyment oraz metoda uzyskania z niego pomiarów. Następnie przedstawiony jest schemat, według którego dalej będą weryfikowane kolejne modele. Kolejnym rozdziałem jest Porównanie modeli - wprowadzone są tam kolejno cztery modele niecałkowitego rzędu oraz dla porównania standardowy model przepływu ciepła. Są one symulowane, identyfikowane oraz weryfikowane według metodyki opisanej w rozdziale czwartym. Na koniec wybrany zostaje najlepszy model i jest to realizacja pierwszego celu pracy. Rozdziała szósty zawiera opis modelu w dziedzinie Lapalce a - jest to tylko przygotowanie i wyjaśnienie pewnych rzeczy przed kolejnym rozdziałem. W rozdziale siódmym przedstawiona jest metoda projektowania zaproponowanego regulatora niecałkowitego rzędu. Policzony zostaje tu także regulator PID w celu późniejszego porównania go z proponowanym. Następnie dokonana jest ocena i porównanie obu regulatorów. Przedstawiony jest wpływ pewnych parametrów na dynamikę regulatora niecałkowitego rzędu. Badania te przeprowadzone są na przykładzie dwóch modeli przepływu ciepła: inercyjnego drugiego rzędu z opóźnieniem oraz modelu ułamkowego rzędu z opóźnieniem.

16 2. Pochodne ułamkowe Rozdział poświęcony jest wprowadzeniu podstawowych pojęć z rachunku różniczkowego niecałkowitego rzędu, od pochodnej do transformaty Laplace a. Ma on także pokazać przyjęte oznaczenia i symbole, które będą używane później w pracy, gdyż w literaturze nie są one jeszcze ujednoznacznione. Pochodna rzędu całkowitego w danym punkcie zależy od lokalnego zachowania się funkcji w otoczeniu rozważanego punktu. Inaczej jest z pochodną rzędu ułamkowego - zależy ona od zachowania funkcji w całym rozważanym przedziale. W szczególności więc, jest ona w stanie uwzględnić wpływ warunków brzegowych. Głównie ta cecha powoduje jej liczne zastosowania w modelowaniu zjawisk, gdzie wpływ warunków brzegowych jest istotny. W kolejnych podrozdziałach zostaną omówione podstawowe definicje pochodnych niecałkowitego rzędu Definicja Grünwalda-Letnikowa Definicja ta została wprowadzona przez Antona Karla Grünwalda ( ) w roku 1867 w Pradze oraz równolegle przez Aleksieja Wasilewicza Letnikowa ( ) w Moskwie w roku Jest ona uogólnieniem definicji klasycznej pochodnej funkcji. Definicja (Pochodna funkcji) Pochodna funkcji f(x) w punkcie x 0 nazywamy granicę (o ile istnieje): df(x) dx = lim x 0 f(x 0 + x) f(x 0 ). (2.1) x Stosując wzór (2.1) dwa razy otrzymamy formułę na pochodną drugiego rzędu: d 2 f(x) dx 2 f(x 0 + x) 2f(x 0 ) + f(x 0 x) = lim, (2.2) x 0 ( x) 2 oraz n (n N) razy na pochodną n-tego rzędu: d n f(x) dx n 1 = lim x 0 ( x) n n ( ) n ( 1) k f(x k x). (2.3) k k=0 16

17 2.2. Definicja Riemanna-Liouville a 17 Definicja pochodnej ułamkowej rzędu α (α R) jest uogólnieniem tego właśnie wzoru. Definicja (Pochodna w sensie Grünwalda-Letnikowa) Pochodna rzędu α (α R + ), na przedziale [a, b] (a x b), w sensie Grünwalda-Letnikowa nazywamy operator GL D α a [66]: GL Da α 1 f(x) = lim x 0 ( x) α Dodatkowo wprowadzamy oznaczenie: ( α xf)(x) = 1 ( x) α x a x x a x ( α ( 1) k k k=0 ( α ( 1) k k k=0 Jest to ułamkowy odpowiednik ilorazu różnicowego. ) f(x k x). (2.4) ) f(x k x). (2.5) 2.2. Definicja Riemanna-Liouville a W tym przypadku definicja pochodnej jest otrzymywana z definicji całki ułamkowej Riemanna-Liouville a, która jest uogólnieniem wzoru na całkę n-tego rzędu (2.6), oraz z innego dobrze znanego w klasycznym rachunku różniczkowym wzoru (2.7). Lemat Funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna na przedziale [a, b]. Wtedy, dla każdego x [a, b] oraz n N zachodzi: I n a f(x) = 1 (n 1)! x a (x ξ) n 1 f(ξ)dξ. (2.6) Lemat Funkcja f jest n razy różniczkowalna na przedziale [a, b] oraz m, n N i m > n. Wtedy zachodzi: d n dx n f = dm dx m Im n a f. (2.7) Uogólniając wzór (2.6) na rzędy niecałkowite, przy użyciu funkcji Gamma (Γ) otrzymamy definicję: Definicja (Całka Riemanna-Liouville a) Całka Riemanna-Liouville a rzędu α (α R + ), zdefiniowana na przedziale [a, b], nazywamy operator RL Ia α [66]: RL I α a f(x) = 1 Γ(α) x a (x ξ) α 1 f(ξ)dξ. (2.8) Korzystając z tej definicji i uogólniając wzór (2.7) otrzymujemy definicję pochodnej ułamkowej w sensie Riemann-Liouville a.

18 2.3. Definicja Caputo 18 Definicja (Pochodna w sensie Riemann-Liouville a) Pochodna rzędu α (α R + ), na przedziale [a, b] (a x b), w sensie Riemanna-Liouville a, nazywamy operator RL Da α [66]: ( ) n RL Da α 1 d x f(x) = (x ξ) n α 1 f(ξ)dξ, n = α. (2.9) Γ(n α) dx a 2.3. Definicja Caputo Wprowadzona przez Michaela Caputo w 1967 w pracy Linear model of dissipation whose Q is almost frequency independent-ii"(geophys. J. R. Astr. Soc. 13: ). Definicja ta także wykorzystuje definicję całki ułamkowej Riemanna-Liouville (2.8), ale w porównaniu z definicją pochodnej RL, odwrócona jest kolejność całkowania i różniczkowania: (2.10) zamiast (2.7), co wpływa na inną strukturę końcową zdefiniowanej pochodnej. Lemat Funkcja f jest n razy różniczkowalna na przedziale [a, b] oraz m, n N i m > n. Wtedy zachodzi: d n d m dx f = n Im n a f. (2.10) dxm Definicja (Pochodna w sensie Caputo) Pochodna rzędu α (α R + ), na przedziale [a, b] (a x b), w sensie Caputo, nazywamy operator C D α a [66]: C D α a f(x) = 1 Γ(n α) x a (x ξ) n α 1 ( d dξ ) n f(ξ)dξ, n = α. (2.11) 2.4. Zwiazki między definicjami Przedstawione definicje pochodnych ułamkowych, w ogólnym przypadku nie są sobie równoważne. Jednak przy pewnych założeniach zachodzą między nimi pewne związki. Zostały one przedstawione poniżej. Pierwszą zależnością jest związek między pochodną w sensie Caputo, a pochodną w sensie Riemanna-Liouville a - opisuje ją poniższe twierdzenie. Twierdzenie Załóżmy, że α 0 oraz n = α. Dodatkowo, przyjmijmy że RL D α a f istnieje i jest (n 1) razy różniczkowalna w a. Wtedy, prawie wszędzie zachodzi [58]: C D α a f = RL D α a (f T n 1 (f, a)), (2.12) gdzie T n 1 (f, a) oznacza rozwinięcie funkcji f w wielomian Taylora stopnia n 1, w punkcie a. Następne twierdzenie jest istotne do wyprowadzenie związku między definicją Grünwalda- Letnikowa, a pozostałymi dwoma.

19 2.5. Pochodna ułamkowa Riesza 19 Twierdzenie Niech α 0, n = α oraz funkcja f jest n razy różniczkowalna na przedziale [a, b], wtedy [58] GL D α a f(x) = n 1 k=0 f (k) (a)(x a) k α Γ(k + 1 α) + 1 x f (n) (ξ)dξ. (2.13) Γ(n α) a (x ξ) 1+α n Korzystając z powyższego twierdzenia oraz zależności (2.12) możemy zapisać związek między wszystkimi trzema definicjami: Twierdzenie Niech α 0, n = α oraz funkcja f jest n razy różniczkowalna na przedziale [a, b], wtedy [58] GL D α a f(x) = T n 1 (f, a)(x) + C D α a f(x) = RL D α a f(x). (2.14) 2.5. Pochodna ułamkowa Riesza W pracy używana będzie pochodna w sensie Riesza. Jest to pochodna niecałkowitego rzędu, używana w równaniach z pochodnymi cząstkowymi, do opisu pochodnej po zmiennej przestrzennej. Pochodna w sensie Riesza na przedziale [a, b] (a x b) funkcji dwóch zmiennych f(x, y) można zdefiniować następująco [68]: α x α f(x, y) = 1 2 cos ( πα 2 )(RL a D α x + RL x D α b )f(x, y), α 1, (2.15) gdzie: ( ) n RL a Dx α 1 x = (x ξ) n α 1 f(ξ, y)dξ, Γ(n α) x a n = α (2.16) jest pochodną lewostronną w sensie Riemanna-Liouville a, natomiast: RL x D α b = ( ) n 1 b (x ξ) n α 1 f(ξ, y)dξ, n = α (2.17) Γ(n α) x x jest pochodna prawostronną w sensie Riemanna-Liouville a Przykłady Funkcja liniowa Rozważamy funkcję liniową f(x) = x. Pierwsza pochodna: d f(x) = 1. dx

20 2.6. Przykłady 20 Następnie przyjmijmy α = 0.5 i policzmy pochodną funkcji f rzędu α na przedziale [0, 5]. Korzystając ze wzoru (2.11) otrzymujemy: C D α f(x) = 1 Γ(0.5) x 0 (x ξ) 0.5 d dξ ξdξ = 1 x 1 dξ = 2 x. π x ξ π Funkcję f oraz jej obliczone pochodne rzędu 1 i 0.5 przedstawiono na rysunku f(x) = x df(x) dx = 1 df 0.5 (x) dx 0.5 = 4x π f(x) x Rysunek 2.1. Funkcja liniowa oraz jej pochodne: rzędu 1 oraz Funkcja kwadratowa Rozważamy funkcję kwadratową f(x) = x 2. Pierwsza pochodna: d f(x) = 2x. dx Teraz obliczamy pochodną rzędu α = 0.5 na przedziale [0, 5]: C D α f(x) = 1 Γ(0.5) x 0 (x ξ) 0.5 d dξ ξ2 dξ = 1 x 2ξ dξ = 8 x 3 π x ξ 3 π. Na rysunku 2.2 przedstawiono wykresy funkcji f oraz jej pochodnych rzędu 1 i

21 2.6. Przykłady f(x) = x 2 df(x) dx = 2x df 0.5 (x) dx 0.5 = 8 3 x 3 π 15 f(x) x Rysunek 2.2. Funkcja kwadratowa oraz jej pochodne: rzędu 1 oraz 0.5. Ogólnie wzór na pochodną ułamkową funkcji f(x) = x 2 (na [0, 5]) dla dowolnego α będzie wyglądał następująco: C D α f(x) = 1 Γ(n α) x 0 (x ξ) n α 1 ( d dξ )n ξ 2 dξ, n = α. Na rysunku 2.3 pokazano kolejne pochodne funkcji kwadratowej dla α od 0 do 2 z krokiem 0.2.

22 2.7. Transformata Laplace a α = 0 α = 0.2 α = 0.4 α = 0.6 α = 0.8 α = 1 α = 1.2 α = 1.4 α = 1.6 α = 1.8 α = 2 d α dx αf(x) x Rysunek 2.3. Kolejne pochodne funkcji f(x) = x 2, od 0 do 2 z krokiem Transformata Laplace a Podobnie, jak definicja samej pochodnej ułamkowej, tak i definicja transformaty Laplace a, jest uogólnieniem pojęć z rachunku klasycznego. Transformatę Laplace a wyraża się wzorem: F (s) = L{f(t); s} = natomiast odwrotną transformatę wzorem: f(t) = L 1 {F (s); t} = 1 2πj 0 e st f(t)dt, (2.18) c+j c j e st F (s)ds, (2.19) gdzie c jest stałą, która jest większa od części rzeczywistych wszystkich punktów funkcji na płaszczyźnie s, w których funkcja F(s) nie istnieje. Korzystając teraz z zależności na transformatę pochodnej n - tego rzędu: n 1 n 1 L{f n (t); s} = s n F (s) s n k 1 f (k) (0) = s n F (s) s k f (n k 1) (0), (2.20) oraz transformatę splotu funkcji: k=0 k=0 L{f(t) g(t); s} = F (s)g(s), (2.21)

23 2.7. Transformata Laplace a 23 gdzie: f(t) g(t) = t 0 f(t τ)g(τ)dτ = t 0 f(τ)g(t τ)dτ (2.22) można uogólnić wzór (2.18) dla pochodnych rzędu niecałkowitego w sensie Riemanna- Liouville a: n 1 L{ RL D0 α f(t); s} = s α F (s) s k [ RL D0 α k 1 f(t)] t=0, n 1 α < n. (2.23) k=0 Praktyczne zastosowanie tej transformaty jest ograniczone ze względu na brak fizycznej interpretacji wartości granicznych pochodnych ułamkowych dla dolnego ograniczenia: t = 0 [58]. Analogicznie można otrzymać formułę dla pochodnej ułamkowej w sensie Caputo: n 1 L{ C D0 α f(t); s} = s α F (s) s α k 1 f (k) (0), n 1 α < n, (2.24) k=0 której zastosowanie w praktyce jest dużo szersze, ponieważ występujące tutaj pochodne dla t = 0 mają fizyczne interpretacje, na przykład: f (0) może być prędkością początkową, a f (0) - początkowym przyspieszeniem [58] Przykład Rozważany jest układ rzędu niecałkowitego: C D α 0 x(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t), (2.25) gdzie A jest macierzą stanu, B macierzą wejścia, natomiast C macierzą wyjścia. Przyjmijmy teraz następujące wartości: A = 1, B = 1, C = 1 oraz α = 0.5, nasz układ można teraz zapisać: C D x(t) = x(t) + u(t), y(t) = x(t), (2.26) Przechodząc w dziedzinę operatora Laplace a otrzymamy: s 0.5 X (s) = X (s) + U(s), Y(s) = X (s), (2.27) skąd następnie policzyć można transmitancję rozważanego układu: G(s) = Y(s) U(s) = 1 s (2.28) Łatwo teraz otrzymać odpowiedź na skok jednostkowy: h(t) = 1(t) takiego układu: H(s) = 1 s G(s) = 1 s 1 s (2.29) Na rysunku 2.4 przedstawiono odpowiedź skokową rozważanego układu oraz, dla porównania, odpowiedź układu o transmitancji G 1 (s) = 1 s+1.

24 2.7. Transformata Laplace a s s h(t) t Rysunek 2.4. Odpowiedź na skok jednostkowy układu o transmitancji 1 s oraz 1 s+1.

25 3. Przewodzenie ciepła W rozdziale tym przedstawiono krótkie wprowadzenie w tematykę przewodzenia ciepła z punktu widzenia fizyki. Omówiono najważniejsze wzory dla poszczególnych przypadków oraz ich interpretację fizyczną. Rozdział ten nie ma na celu zagłębiania się w tą tematykę, a tylko krótkie przypomnienie najważniejszych pojęć, które będą wykorzystywane w dalszych częściach pracy. Ciepło jest jedną z form energii, obok energii elektrycznej, mechanicznej, chemicznej czy jądrowej. Energia jest miarą ogólnie pojmowanego ruchu materii. Podejście energetyczne do ciepła zawdzięczane jest badaniom Jamesa Joule a z 1843 roku, w których pokazał on równoważność energii cieplnej i mechanicznej. Można zatem dla ciepła stosować zasadę zachowania energii, która w tym przypadku wyrażona jest przez I zasadę termodynamiki. II zasada termodynamiki, mówi natomiast o przenoszeniu energii cieplnej, które jest wynikiem szczególnej własności materii - temperatury [62]. Przenoszenie energii cieplnej nazywane jest również przepływem ciepła lub wymianą cieplną i można je podzielić na trzy podstawowe mechanizmy: przewodzenie, konwekcję i promieniowanie cieplne [30]. Niniejsza praca skupia się tylko na przewodzeniu ciepła, jako mechanizmie odgrywającym zasadnicza rolę przy procesach cieplnych, dotyczących ciał stałych Ustalone przewodzenie ciepła Przewodzenie ciepła występuje między ciałami o różnej temperaturze pozostającymi ze sobą w bezpośrednim kontakcie. Mówimy o nim, gdy przekazywana jest energia bezładnego ruchu - poprzez drgania cząstek, a nie w wyniku ich makroskopowego (uporządkowanego) ruchu. Ten rodzaj ruchu jest charakterystyczny dla ciał stałych [62]. Przewodzenie ciepła w najbardziej ogólnym przypadku opisuje się nieliniowym równaniem różniczkowym przewodnictwa cieplnego, zwanym również równaniem Fouriera-Kirchhoffa 25

26 3.2. Nieustalone przewodzenie ciepła 26 ((3.1)): 2 T + 1 λ q v = ρc p λ DT Dt, (3.1) gdzie: T - temperatura, t - czas, λ - współczynnik przewodzenia ciepła, c p - ciepło właściwe (przy stałym ciśnieniu), q v - gęstość strumienia wewnętrznych źródeł ciepła, ρ - gęstość, natomiast operator D oznacza tutaj operator Stokesa (nazywany inaczej operatorem różniczkowania Dt wędrownego lub pochodną substancjalną) i jest definiowany jako (3.2): D Dt = t + x t x + y t y + z t z. (3.2) To ogólne równanie Fouriera - Kirchhoffa redukuje się w różny sposób przy odpowiednich założeniach [30]. Dla przypadku ustalonego przewodzenia ciepła równanie (3.1) sprowadza się do równania różniczkowego Poissona (3.3): 2 T = 1 λ q v, (3.3) gdy dodatkowo przyjmie się, że to ustalone pole jest bezźródłowe otrzymujemy jeszcze prostsze równanie różniczkowe Laplace a (3.4): 2 T = 0. (3.4) W zastosowaniach najczęściej wystarczy rozważać zmiany temperatury tylko wzdłuż jednej zmiennej przestrzennej. W tej sytuacji i przy założeniach jak do równania (3.4), problem przepływu ciepła sprowadza się do rozważania równań różniczkowych zwyczajnych, których rozwiązanie nie stanowi zwykle problemu [30]. Ciekawszym problemem jest przypadek nieustalonego pola temperatury Nieustalone przewodzenie ciepła Z nieustalonym przewodzeniem ciepła mamy styczność bardzo często - opisuje ono zmiany temperatury ścian na skutek wahania temperatur na zewnątrz lub wewnątrz budynku. Innym przykładem mogą być różne procesy technologiczne: nagrzewanie metali w piecach grzewczych lub ochładzanie i nagrzewanie innych ciał [30]. W pracy tej podjęto próbę modelowania procesów cieplnych w ciałach stałych. W takim przypadku pochodna substancjalna upraszcza się do pochodnej cząstkowej po czasie, ponieważ nie ma przepływu czynnika. Dodatkowo, gdy założy się brak wewnętrznych źródeł ciepła, to q v = 0 i równanie (3.1) przyjmuje postać (3.5): 2 T = ρc p λ T t. (3.5)

27 3.3. Ułamkowe równanie przewodzenia ciepła 27 Jest to tzw. równanie Fouriera i jest ono podstawowym modelem klasycznym przewodzenia cieplnego rozważanym w tej pracy. Jest to równanie różniczkowe cząstkowe, które w zależności od przyjętych warunków początkowych i brzegowych, może przyjmować różne stopnie skomplikowania. Rozwiązania analityczne znane są dla pewnych przypadków szczególnych - dla jednorodnych ośrodków, stałych w czasie warunków początkowych czy podstawowych brył geometrycznych. Szczegółowe omówienie tych rozwiązań można znaleźć m. in. w [30], [62] czy [56]. Stosowane są także metody operatorowe, takie jak przekształcenie Laplace a, Fouriera, Mellina i Hankela oraz funkcje Greena [30]. Więcej o tych metodach jest np. w [8], [49] oraz [61]. W praktyce rzadko jednak spotyka się takie uproszczone przypadki, częściej występują zmienne warunki brzegowe, nieregularne geometryczne kształty czy zależności własności fizycznych od temperatury [30]. Opracowane metody analityczne opisują wtedy zjawisko przewodnictwa cieplnego z niewystarczającą dokładnością lub też w ogóle niemożliwe jest ich użycie. Stosowane są wtedy różnego rodzaju metody numeryczne - zwłaszcza metoda elementów skończonych (MES) - [71], metoda różnic skończonych (MRS) - [13] i metoda elementu brzegowego (MEB) - [67]. Główną wadą tych metod jest wrażliwość na dobór odpowiedniej siatki oraz długi czas obliczeń Ułamkowe równanie przewodzenia ciepła W pracach [19], [57] oraz [60] przedstawione zostały uogólnienia równania Fouriera (3.5). Można z nich wyprowadzić ułamkowe równania ciepła w różnych postaciach. Zostaną one przedstawione poniżej i posłużą w tej pracy jako modele przewodzenia cieplnego niecałkowitego rzędu. Pierwsze z nich to czasowe ułamkowe równanie przewodnictwa cieplnego: α T = a T, 0 < α < 2. (3.6) tα Równanie (3.6) opisuje cały zakres, od lokalnego przewodzenia ciepła, poprzez standardowe przewodnictwo, aż do balistycznego przewodzenia ciepła [60]. Kolejne rozważane w tej pracy równanie to przestrzenne ułamkowe równanie przewodnictwa ciepła: lub w wyższych wymiarach: T t = a β T, 0 < β 2, (3.7) x β T t = a( ) β 2 T, 0 < β 2. (3.8) Czasami, w oparciu o dodatkowe założenia fizyczne, w równaniach (3.7) i (3.8) rozważa się zakres 1 < β 2 [60]. Trzeci model niecałkowitego rzędu jest zbudowany na podstawie

28 3.4. Współczynnik a 28 ogólnego przestrzenno-czasowego, ułamkowego równania przewodnictwa cieplnego: α T t α = a β T, 0 < α 2, 0 < β 2, (3.9) x β lub α T t α = a( ) β 2 T, 0 < α 2, 0 < β 2. (3.10) Ułamkowe równania ciepła zostały wybrane do modelowania, ponieważ autorka uważa, że szczególne własności pochodnej rzędu niecałkowitego pozwolą na uzyskanie większej szczegółowości w opisie rozważanego zjawiska, jakim jest przewodnictwo cieplne Współczynnik a Występujący w powyższych równaniach współczynnik a nazywany jest w fizyce współczynnikiem wyrównania temperatur lub inaczej dyfuzyjnością termiczną. Pojawił się on już wcześniej, nie wprost, w równaniu (3.1), dla przypomnienia: gdzie: λ - przewodność cieplna - [ W m K ], ρ - gęstość - [ kg m 3 ], c p - ciepło właściwe - [ J kg K ]. a = λ ρc p, (3.11) Mianownik, czyli wyrażenie ρc p określa objętościową pojemność cieplną. Odwrotność współczynnika wyrównania temperatur, czyli 1 określa bezwładność cieplną materiału. Jednostką a współczynnika a jest [ m2 ]. Dla niektórych materiałów można znaleźć wartości dyfuzyjności s termicznej w tablicach fizycznych. W tabeli 3.1 znajduje się kilka wartości dla przykładowych materiałów.

29 3.4. Współczynnik a 29 Tablica 3.1. Wartości dyfuzyjności termicznej dla przykładowych materiałów materiał złoto silikon aluminium żelazo stal 304A w 27 o C kwarc mur szkło woda w 25 o C alkohol a[ m2 s ]

30 4. Obiekt eksperymentalny W rozdziale tym zostanie opisana metodyka przeprowadzania eksperymentu. Według tego schematu w następnym rozdziale będą sprawdzane kolejne rozważane modele, aby na końcu wybrać jeden najlepszy. Potrzebny jednak jest do tego schemat postępowania, którego przygotowanie opisano właśnie poniżej. Zaczyna się on od wykonania eksperymentu na rzeczywistym obiekcie oraz uzyskaniu z niego danych pomiarowych. Następnie model jest implementowany w środowisku MATLAB i w tym celu niezbędne było wybranie odpowiedniej metody numerycznej. Kolejnym krokiem jest identyfikacja parametryczna - podobnie jak poprzednio należało wybrać algorytm identyfikacji. Na koniec obliczone zostają wskaźniki statystyczne do oceny modelu Opis eksperymentu laboratoryjnego W celu weryfikacji przyjętego modelu wykonany został eksperyment pomiarowy. Cegłę o wymiarach mm ustawiono na grzałce elektrycznej i podgrzano z jednej strony od temperatury 16.5 o C do 150 o C. Zmiana temperatury zajęła niecałe 7 minut. Proces ten został zarejestrowany kamerą termowizyjną SC-660 firmy FLIR SYSTEMS. Przy jej użyciu wykonano serię zdjęć w kolejnych chwilach czasowych. Przykładowe zdjęcie przedstawiono na rysunku 4.1. Całość eksperymentu zarejestrowano na 214 zdjęciach zawierających informacje o rozkładzie temperatury. Na kolejnych ujęciach można zaobserwować postęp fali cieplnej. Na rysunku 4.2 przedstawiono 6 przykładowych zdjęć z różnych chwil czasowych. Odległość między kamerą a podgrzewana cegłą wynosi 50 cm (wzdłuż osi y z rysunku 4.3), a temperatura otoczenia 21.1 o C. Rysunek 4.3 zawiera schemat stanowiska laboratoryjnego. Na podstawie zapisanych zdjęć otrzymano macierze z wartościami temperatury. Z tych macierzy wyodrębniono wektory wartości temperatury wzdłuż osi szerokości cegły, czyli osi x z rysunku 4.3. Z jednego zdjęcia otrzymano wektor temperatury od punktu x = 0 do punktu x = L (L = 120 mm). Wyodrębniając taki wektor z kolejnych zdjęć otrzymano macierz rozkładu temparatury w czasie i przestrzeni. W pracy rozważany jest tylko rozkład temperatury wzdłuż osi x, jako aproksyma- 30

31 4.1. Opis eksperymentu laboratoryjnego 31 Rysunek 4.1. Pojedyncze zdj ecie rozkładu temperatury wykonane kamera termowizyjna SC660. Rysunek 4.2. Szes c zdj ec rozkładu temperatury z róz nych chwil czasowych. cja rozkładu na powierzchni x y. W przyszłych badaniach moz na rozszerzyc modele o rozkład takz e w osi y. Otrzymane pomiary przedstawiono na wykresie 4.4. A. Obraczka Sterowanie procesów cieplnych z wykorzystaniem modeli niecałkowitego rz edu

32 4.2. Modelowanie 32 Rysunek 4.3. Schemat stanowiska laboratoryjnego. Rysunek 4.4. Wykres przedstawiający zebrane pomiary Modelowanie Przedstawione w rozdziale 5 modele matematyczne zostały zaimplementowane w MATLA- Bie, w celu przeprowadzenia symulacji numerycznych i identyfikacji parametrów. Konieczna

33 4.2. Modelowanie 33 była zamiana ich na postać dyskretną. W literaturze opisano kilka metod zamiany pochodnych ułamkowego rzędu na schematy różnicowe dogodne do obliczeń numerycznych. W artykule [47] porównano trzy metody aproksymujące pochodną typu Caputo, na przykładzie ułamkowego równania dyfuzji. W pracy [66] omówionych zostało kilka metod numerycznych: m.in. schematy różnicowe oparte na definicji Grünwalda-Letnikova, metoda Lubicha dla wyższych rzędów czy dwie metody przybliżania szeregiem: Taylora i dekompozycja Adomiana. Początkowo większość z nich dotyczyła głównie pochodnej typu Caputo i operowała na równaniach różniczkowych względem czasu. Ostatnio jednak w coraz większej ilości prac można spotkać metody numeryczne dostosowane do pochodnych ułamkowych względem zmiennej przestrzennej. Są to między innymi prace [12], [37] czy [38] gdzie rozważane są różne sposoby aproksymacji pochodnej ułamkowej w sensie Riesza, czy [68] - praca doktorska, w której testowano zarówno znane metody jak i zaproponowano nowe, do różnego typu równań różniczkowych cząstkowych z pochodnymi niecałkowitego rzędu. Opierając się na testach i wnioskach przedstawionych w tych pracach, postanowiono do dalszych badań wybrać metodę Shifted Grünwald (SG) dla pochodnych Riesza oraz metodę GMMP dla pochodnych Caputo Pochodna Riesza Metoda SG została po raz pierwszy przedstawiona w [38], gdzie były weryfikowane numeryczne schematy dla pewnej klasy ułamkowych cząstkowych równań różniczkowych. Jest oparta na definicji lewo- i prawo- stronnej pochodnej ułamkowej Grünwalda-Letnikova, ale lekko zmodyfikowanej: (4.1) i (4.2). Używana będzie następująca notacja: x j = j x, t m = m t i u(x j, t m ) u (m) j, gdzie u (m) j oznacza numeryczną estymację wartości dokładnej u(x, t) dla x = x j i t = t m. 0D β x j u(x j, t m ) = 1 ( x) β j+1 r=0 ωr β u (m) j r+1 + O( x), (4.1) LDx β j u(x j, t m ) = 1 J j+1 ω β ( x) β r u (m) j+r 1 + O( x). (4.2) Aproksymacja pochodnej ułamkowej dla tej metody może być zatem wyrażona następująco: [ β j+1 ] u(x, t) ( x) β J j+2 ω β x β 2 cos πβ r u (m) j r+1 + ωr β u (m) j+r 1, (4.3) 2 r=0 przy czym współczynniki ω β r liczone są według następującej zasady (podstawiając odpowiednio β za γ oraz r za i): r=0 r=0 ω γ 0 = 1, ω γ i γ(γ 1)... (γ i + 1) i = ( 1) i! dla i = 1, 2,... (4.4)

34 4.2. Modelowanie 34 Rysunek 4.5. Przykład RFDE z parametrami: β = 1.3, K β = 0.25, oraz warunkiem początkowym: g(x) = sin 2 (2x). Przykład Rozważmy ułamkowe równanie dyfuzji Riesza (Riesz fractional diffusion equation) - w skrócie RFDE: t u(x, t) = K β β u(x, t), (4.5) x β gdzie 0 t T, 0 < x < L, 1 < β 2, K β 0, oraz warunki brzegowe (4.6) i początkowe (4.7): Analityczne rozwiązanie mozna zapisać (4.8) i (4.9). gdzie: u(x, t) = n=1 u(0, t) = u(l, t) = 0, (4.6) u(x, 0) = g(x). (4.7) { ( nπx ) ( ( nπ ) )} β b n sin exp K β t L L b n = 2 L L 0, (4.8) ( g(ξ) sin nπξ ) dξ (4.9) L Na rysunku 4.5 pokazano przykładowe rozwiązanie RFDE, przy warunku początkowym g(x) = sin 2 (2x), wartościach parametrów β = 1.3, K β = 0.25 oraz dla L = π i T = 5.

35 4.2. Modelowanie 35 Rysunek 4.6. Porównanie rozwiązania analitycznego i numerycznego metodą SG równania RFDE z parametrami: β = 1.3, K β = 0.25, oraz warunkiem początkowym: g(x) = sin 2 (2x). Korzystając teraz z metody numerycznej SG można równanie RFDE aproksymować następująco: u (m+1) j = K β( t)( x) β 2 cos πβ 2 [ j+1 ωr β u (m) r=0 j r+1 + J j+2 r=0 ω β r u (m) j+r 1 ] + u (m) j, (4.10) Na rysunku 4.6 pokazano porównanie przykładowego rozwiązania RFDE z jego aproksymacją metodą SG Pochodna Caputo Pochodna ułamkowa po czasie typu Caputo będzie aproksymowana według schematu zaproponowanego w pracy [18] i nazwanego tam GMMP (od nazwisk autorów pracy). Używając tej samej notacji, co dla poprzedniego schematu, można go zapisać następująco: α u(x, t) t α 1 ( t) α m k=0 ω α k [ u (m k) j u (0) j u (0) j t m ], (4.11) przy czym współczynniki ω α k definiuje się także korzystając ze wzoru (4.4).

36 4.2. Modelowanie 36 Rysunek 4.7. Przykład FDWE z parametrem: α = 1.7 oraz warunkiem początkowym: g(x) = sin(x). Przykład W tym przykładzie rozważane będzie ułamkowe równanie dyfuzji fali (fractional diffusion-wave equation) - w skrócie FDWE: α 2 u(x, t) = u(x, t), (4.12) tα x2 gdzie 0 t T, 0 < x < L, 1 < α 2, oraz warunki brzegowe (4.13) i początkowe (4.14): u(0, t) = u(l, t) = 0, (4.13) u(x, t) u(x, 0) = g(x), t = h(x). (4.14) t=0 Jeżeli przyjmie się: L = π, g(x) = sin(x) oraz h(x) = 0, to analityczne rozwiązanie można zapisać w postaci równania (4.15). u(x, t) = E α ( t α )sin(x), (4.15) gdzie E α to funkcja Mittaga-Lefflera [42]. Na rysunku 4.7 pokazano przykładowe rozwiązanie FDWE, przy wartościach α = 1.7 i T = 5. Korzystając teraz z metody numerycznej GMMP można równanie FDWE aproksymować następująco: u (m+1) j [ = ( t)α u (m) ( x) 2 j+1 2u(m) j ] + u (m) j 1 m k=1 ωk α u (m+1 k) j + u (0) j m k=0 ω α k + u (0) j t m ω α k, (4.16)

37 4.2. Modelowanie 37 Rysunek 4.8. Porównanie rozwiązania analitycznego i numerycznego metodą GMMP równania FDWE z parametrem: α = 1.7 oraz warunkiem początkowym: g(x) = sin(x). Na rysunku 4.8 pokazano porównanie przykładowego rozwiązania FDWE z jego aproksymacją metodą GMMP. Podsumowując, w badanych modelach, pochodne ułamkowe typu Riesza, będą aproksymowane metodą Shifted-Grünwald według wzoru (4.3), pochodne ułamkowe typu Caputo metodą GMMP (4.11), natomiast pochodne klasyczne, pierwszego i drugiego rzędu, będą przybliżane przez schematy różnicowe odpowiednich stopni (4.17) i (4.18): t u(x j, t m ) u(x j, t m + 1) u(x j, t m ), (4.17) t 2 x u(x j, t 2 m ) u(x j+1, t m ) 2u(x j, t m ) + u(x j 1, t m ). (4.18) ( x) 2 Aby, na podstawie modelu, otrzymać estymatę przepływu ciepła w testowanym materiale, konieczna jest znajomość warunków początkowych i brzegowych. Wektor wartości temperatury wzdłuż osi x cegły (rysunek 4.3) z początku eksperymentu został użyty jako warunek początkowy do symulacji. Warunek brzegowy otrzymano z serii wszystkich zdjęć z punktu (x = 0) na brzegu cegły.

38 4.3. Identyfikacja parametryczna Identyfikacja parametryczna Następnym etapem była identyfikacja parametrów badanego modelu. Przeprowadzono serię testów, aby wybrać odpowiedni algorytm. Poniżej opisano część z nich. Najważniejsza, z punktu widzenie dalszych badań, jest odporność algorytmu na niepewności pomiarowe obecne w wynikach eksperymentu. Głównie pod tym kątem były konstruowane testy. Należy zwrócić uwagę, że ich wynik świadczy tylko o przydatności metody dla konkretnego problemu, rozważanego w niniejszej pracy, nie określa natomiast ogólnych i uniwersalnych zasad, obowiązujących dla dowolnego zagadnienia Równania różniczkowe Testy przeprowadzono na dwóch ułamkowych równaniach różniczkowych cząstkowych: 1. Równaniu adwekcji-dyspersji Riesza (Riesz fractional advection-dispertion equation) - w skrócie RFADE. 2. Równaniu dyfuzji Riesz (Riesz fractional diffusion equation) - w skrócie RFDE. Oba te równania zostały wybrane do testów, ponieważ są one równaniami różniczkowymi cząstkowymi z pochodną w sensie Riesza, a zatem taką jaka występuje w badanych modelach, a dodatkowo znane jest ich analityczne rozwiązanie, co pozwoli na weryfikacje algorytmów identyfikacji. Poniżej podane zostaną te równania wraz z ich warunkami granicznymi oraz rozwiązaniami analitycznymi. Równanie RFDE było już opisane w poprzednim podrozdziale 4.2, w przykładzie. Równanie RFADE można zapisać następująco: t u(x, t) = K α α x u(x, t) + K β α β u(x, t), (4.19) x β gdzie 0 t T, 0 < x < L, 1 < α 2, 0 < β < 1, K α 0, K β 0, oraz warunki brzegowe (4.20) i początkowe (4.21): n=1 u(0, t) = u(l, t) = 0, (4.20) u(x, 0) = g(x). (4.21) Rozwiązanie analityczne (4.22) i (4.23): { ( nπx ) ( [ ( nπ ) α ( nπ ) ] )} β u(x, t) = b n sin exp K α + Kβ t L L L gdzie: b n = 2 L L 0 ( g(ξ) sin nπx L, (4.22) ) dξ (4.23)

39 4.3. Identyfikacja parametryczna 39 Równanie to jest używane do modelowania transportu znaczników pasywnych w postaci płynu w ośrodkach porowatych lub transportu w materiałach podpowierzchniowych [68]. Na rysunku 4.9 przedstawiono przykładowe rozwiązanie równania RFADE. Jak można zauważyć, RFDE Rysunek 4.9. Przykład RFADE z parametrami: α = 1.8, K α = 0.25, β = 0.2, K β = 0.25, oraz warunkiem początkowym: g(x) = x 2 (π x). może być szczególnym przypadkiem prezentowanego powyżej RFADE, gdy przyjmiemy K β = 0.

40 4.3. Identyfikacja parametryczna Algorytmy identyfikacji Zadaniem algorytmu identyfikacji będzie zatem znalezienie właściwych wartości parametrów: α, K α, β, K β dla RFADE oraz α, K α dla RFDE, tak aby zminimalizować kwadratowe kryterium jakości Q: Q = L T 0 0 ε 2 (x, t)dtdx, (4.24) gdzie ε(x, t) wyraża błąd miedzy stanem otrzymanym z pomiarów u(x, t) a estymatą obliczoną z modelu u(x, t): ε(x, t) = u(x, t) u(x, t). (4.25) Można zauważyć, że rozważany problem jest nieliniowy ze względu na α i β, dlatego konieczne jest użycie algorytmów nieliniowych. Porównane zostały trzy metody: algorytm Levenberga Marquardta (LMA), algorytm Gaussa Newtona (GNA) oraz metoda Simplex oparta na algorytmie Neldera-Meada. Wszystkie one są powszechnie stosowane do rozwiązywania nieliniowego zagadnienia najmniejszych kwadratów. Teoretycznie LMA jest bardziej odporny niż GNA - gwarantuje znalezienie optymalnych parametrów przy starcie z dowolnego punktu początkowego, nawet bardzo daleko od poprawnego rozwiązania. Z drugiej jednak strony GNA w niektórych przypadkach jest dużo szybszy. Poniżej skrótowo przedstawiono idee działania tych algorytmów. Przyjmijmy wektor parametrów: θ RF ADE = [α, K α, β, K β ] T dla RFADE oraz θ RF DE = [α, K α ] T dla RFDE. (4.26) Załóżmy także: t = kτ, x = mξ, kryterium Q można wtedy zapisać następująco: Q = K M ε 2 m,k, ε m,k = u m,k u m,k, (4.27) k=0 m=0 gdzie: u m,k = u(mξ, kτ) i u m,k = u(mξ, kτ). Algorytmy minimalizują kryterium (4.27), estymując w każdej kolejnej iteracji wektor parametrów (4.26), aż do uzyskania rozwiązania spełniającego zadane warunki STOP. Może to być maksymalna liczba iteracji, czas obliczeń, minimalna zmiana wartości funkcji celu lub rozwiązania, a także dowolne ich kombinacje. GNA został zaimplementowany w MATLABie przez autorkę zgodnie ze wzorem (4.28): θi+1 GN = θi GN ( ) (J θθ) 1 J θ θ=θi GN, (4.28) gdzie J θ jest gradientem, natomiast J θθ jest aproksymacją hesjanu funkcji σθ i m,k, nazywanej funkcją wrażliwości wyjścia, a wyrażającej się przy użyciu wzorów (4.29) - (4.31). J θ = 2 K M k=0 m=0 ε m,k σ θ i m,k, (4.29)

41 4.3. Identyfikacja parametryczna 41 J θθ 2 K M k=0 m=0 σ θ i m,k (σθ i m,k )T, (4.30) σ θ i m,k = u m,k θ i. (4.31) Pozostałe dwa algorytmy, tj. LMA i Simplex były testowane przy użyciu wbudowanych funkcji pakietu MATLAB: fminsearch i lsqnonlin. Szczegółowe ich opisy można znaleźć w literaturze, np. [43], [35] dla algorytmu Levenberga-Marquadta oraz [31] dla algorytmu Simplex Neldera- Meada Testy numeryczne Do testów użyto dwóch, już wcześniej wspomnianych, równań (4.19) i (4.5) z warunkiem początkowym: u(x, 0) = g(x) = x 2 (π x), (4.32) oraz wartościami brzegowymi: L = π, T = 5. W celu zasymulowania niepewności pomiarowych, zostały wygenerowane zakłócenia, w postaci szumu białego, o odchyleniu standardowym δ, które dodano na wyjście modelu: u m,k = u m,k + R m,k, (4.33) gdzie R jest macierzą zawierającą losowe wartości o rozkładzie normalnym, z parametrami: µ = 0 - wartość średnia oraz δ - odchylenie standardowe - zmieniane na potrzeby testów Test 1 W pierwszym eksperymencie sprawdzano odporność metody na zakłócenia na przykładzie RFADE. Jest to ważne, ponieważ w pracy, identyfikacja będzie przeprowadzana na podstawie pomiarów rzeczywistych, a zatem obciążanych błędem pomiarowym. Symulacje wykonywano dla różnych wartości odchylenia standardowego szumu δ. W tabelach znajduje się zestawienie otrzymanych wyników. Warunkiem STOP zatrzymania algorytmu był brak zmiany wartości kryterium Q w kolejnych iteracjach o więcej niż: Q tol = 10 6 i był on ustawiony tak samo dla wszystkich algorytmów. W tabelach umieszczono cztery zwracane wartości: rozwiązanie - czyli zidentyfikowane parametry θ, czas obliczania, ilość wykonanych iteracji oraz wartość kryterium Q. Jak można zauważyć algorytm Simplex był to najszybszą i najdokładniejszą metodą, niezależnie od poziomu szumu. Algorytm Gaussa-Newtona zwracał także dość dobre rozwiązania, zwłaszcza dla małego poziomu szumu, jednak czas obliczeń był większy. Być może można by zmniejszyć ten czas poprzez optymalizację kodu. Metoda LMA zawsze zwracała to samo złe

42 4.3. Identyfikacja parametryczna 42 Tablica 4.1. Podsumowanie testów dla poziomu szumu δ = 0 - brak zakłóceń. parametry LMA GNA Simplex α θ = K α β K β czas[s] iteracje Q E E E-7 Tablica 4.2. Podsumowanie testów dla poziomu szumu δ = parametry LMA GNA Simplex α θ = K α β K β czas[s] iteracje Q Tablica 4.3. Podsumowanie testów dla poziomu szumu δ = parametry LMA GNA Simplex α θ = K α β K β czas[s] iteracje Q rozwiązanie - może to być minimum lokalne lub algorytm ten jest wolniejszy od pozostałych. Zostanie to sprawdzone w kolejnym eksperymencie.

43 4.3. Identyfikacja parametryczna Test 2 W drugim eksperymencie sprawdzano wpływ doboru punktu startowego na przykładzie RFDE. Ustalono wartość odchylenia standardowego: δ = 0.1. Warunek zakończenia identyfikacji przyjęto tak samo jak w poprzednim teście. Porównywane będą teraz czas obliczeń i wartość kryterium Q. Identyfikacja startowała z różnych punktów początkowych θ: α [1.1; 2] z krokiem = 0.1 oraz K α [0.1; 1] z krokiem = 0.1. Na wykresach przedstawiono uzyskane rezultaty. Rysunek Kryterium Q w funkcji początkowych wartości parametrów dla algorytmu Gaussa-Newtona. Ponownie metoda Simplex wypadła najlepiej. Jest najszybsza i dość dokładna. LMA jest wolniej zbieżna, więc aby otrzymać porównywalne wyniki, potrzebowała znacznie większej ilości iteracji i czasu. Metoda GNA jest dobra, ale tylko dla punktów leżących blisko rozwiązania, dla bardziej odległych rozwiązań zwraca złe wyniki. W tabeli 4.4 znajduje się podsumowanie drugiego testu Wybór metody Po przeprowadzeniu testów, zdecydowano się wybrać, do dalszych badań, metodę Simplex opartą na algorytmie Neldera-Meada. Jest ona najbardziej odporna na zakłócenia i zły wybór

44 4.3. Identyfikacja parametryczna 44 Rysunek Czas obliczeń w funkcji początkowych wartości parametrów dla algorytmu Gaussa-Newtona. Rysunek Kryterium Q w funkcji początkowych wartości parametrów dla algorytmu Levenberga-Marquardta.

45 4.3. Identyfikacja parametryczna 45 Rysunek Czas obliczeń w funkcji początkowych wartości parametrów dla algorytmu Levenberga-Marquardta. Rysunek Kryterium Q w funkcji początkowych wartości parametrów dla algorytmu Simplex Neldera-Meada. punktu startowego, co jest istotne w planowanych symulacjach. Testy wykazały najszybszy czas jej działania przy jednocześnie poprawnym rozwiązywaniu postawionego problemu.

46 4.4. Weryfikacja i porównanie 46 Rysunek Czas obliczeń w funkcji początkowych wartości parametrów dla algorytmu Simplex Neldera-Meada. Tablica 4.4. Podsumowanie testu 2. GNA LMA Simplex średni czas obliczeń 2 s 150 s 8 s średnia wartość kryterium Q Wracając do metodyki, po przeprowadzeniu identyfikacji, otrzymujemy wartości parametrów modelu. Należy teraz zweryfikować poprawność otrzymanych rezultatów. W tym celu wyznaczone zostaną wskaźniki statystyczne, opisane w kolejnym podrozdziale Weryfikacja i porównanie W celu weryfikacji i oceny modelu obliczanych zostanie kilka wskaźników statystycznych. Poniżej wymieniono i krótko omówiono każdy z nich. 1. Maksymalny błąd procentowy - ε max : ε max = max n N pokazuje on największą odchyłkę estymacji od pomiarów. ( T ) n T n 100%, (4.34) T n

47 4.4. Weryfikacja i porównanie Średni (procentowy) błąd względny - MRE (Mean Relative Error): MRE = 1 N N ε n, (4.35) n=1 który operuje na całej dziedzinie. Lepiej oddaje ogólne dopasowanie modelu. 3. Błąd procentowy dla modelu. Jest on obliczony dla każdego punktu zgodnie ze wzorem: ε n = T n T n T n 100%, (4.36) i przedstawiany będzie na wykresie dla wszystkich punktów dostępnych z pomiarów. Przedstawione powyżej wskaźniki posłużą do porównania wszystkich badanych modeli i wybrania najlepszego z nich. Podsumowując metodykę, przeprowadzana będzie, dla każdego modelu, następująca procedura: implementacja numerycznej aproksymacji modelu według schematów opisanych w rozdziale 4.2, identyfikacja parametrów na podstawie pomiarów z eksperymentu, ocena za pomocą wskaźników statystycznych. Wyniki zostaną zaprezentowane w następnym rozdziale 5. Po wykonaniu tych operacji, modele zostaną porównane i wybrany będzie najlepszy, tj. taki, który najściślej odpowiada rzeczywistemu, obserwowanemu zjawisku. Mając już wybrany model dalsze badania będą przeprowadzane tylko na nim.

48 5. Porównanie modeli W rozdziale tym przedstawiono wyniki badań przeprowadzonych według schematu, opisanego w poprzednim rozdziale, dla każdego z pięciu testowanych modeli: czterech modeli niecałkowitego rzędu oraz, dla porównania, modelu klasycznego. Oprócz parametrów otrzymanych z identyfikacji modeli, podano również obliczone wartości wskaźników statystycznych oraz wykresy zarówno samych modeli jak i ich błędów w stosunku do pomiarów. Na końcu rozdziału dokonano krótkiego porównania otrzymanych wyników i wybrano najlepszy model Model I Model ten to czasowe, ułamkowe równanie przewodnictwa cieplnego (3.6): α T (x, t) t α = a 2 T (x, t) x 2, 0 < α < 2, (5.1) z pochodną ułamkową po czasie w sensie Caputo. Warunki początkowe i brzegowe zostały wzięte z pomiarów, jak opisano w rozdziale 4.2. Na podstawie metod opisanych również w tym rozdziale oraz przy użyciu tych samych oznaczeń, model został przybliżony schematem numerycznym: 1 ( t) α m r=0 ω α k [ ] T (m k) j T (0) j T (0) j t m = a T (m) (m) j+1 2T j + T (m) j 1, 0 < α < 2. (5.2) ( x) 2 Po wykonaniu symulacji i identyfikacji na podstawie pomiarów z eksperymentu, otrzymano następujące wartości parametrów: a = , α = 1.48, (5.3) natomiast wartość kryterium (4.24) dla tych parametrów wyniosła Q I = Na rysunku 5.1 pokazano model I dla otrzymanych wartości parametrów. Zidentyfikowany model został porównany z pomiarami otrzymanymi z eksperymentu. Na rysunku 5.2 przedstawiono wykres błędu procentowego dla tego modelu. Jest on obliczony dla każdego punktu zgodnie ze wzorem (4.36). 48

49 5.1. Model I 49 Rysunek 5.1. Model I dla wartości parametrów: a = oraz α = Rysunek 5.2. Wykres błędu procentowego ε n dla ułamkowego modelu I.

50 5.2. Model II 50 Następnie zostały policzone pozostałe wskaźniki niedokładności. Wyniosły one odpowiednio: ε I max = %, (5.4) MRE I = %. (5.5) 5.2. Model II Model II to przestrzenne ułamkowe równanie przewodnictwa cieplnego (3.7): T (x, t) t = a β T (x, t) x β, 0 < β 2, (5.6) z pochodna ułamkową po zmiennej przestrzennej w sensie Riesza oraz warunkami granicznymi jak poprzednio.. Na podstawie metod opisanych w rozdziale 4.2 oraz przy użyciu tych samych oznaczeń, model został przybliżony schematem numerycznym: T (m+1) j T (m) j t = a( x) β 2 cos πβ 2 [ j+1 ωr β T (m) r=0 j r+1 + J j+2 r=0 ω β r T (m) j+r 1 ], 0 < β 2. (5.7) Po wykonaniu symulacji i identyfikacji na podstawie pomiarów z eksperymentu, otrzymano następujące wartości parametrów: a = , β = 1.00, (5.8) natomiast wartość kryterium 4.24 dla tych parametrów wyniosła Q II = Na rysunku 5.3 pokazano model II dla otrzymanych wartości parametrów. Zidentyfikowany model został porównany z pomiarami otrzymanymi z eksperymentu. Na rysunku 5.4 przedstawiono wykres błędu procentowego dla tego modelu. Jest on obliczony dla każdego punktu zgodnie ze wzorem (4.36). Następnie zostały policzone pozostałe wskaźniki niedokładności. Policzone błędy wyniosły odpowiednio: ε II max = %, (5.9) MRE II = %. (5.10) 5.3. Model III Model III to czasowo-przestrzenne ułamkowe równanie przewodnictwa cieplnego (3.9): α T (x, t) t α = a β T (x, t) x β, 0 < α 2, 0 < β 2, (5.11)

51 5.3. Model III 51 Rysunek 5.3. Model II dla wartości parametrów: a = oraz β = Rysunek 5.4. Wykres błędu procentowego ε n dla ułamkowego modelu II.

52 5.3. Model III 52 z pochodna ułamkową po czasie w sensie Caputo oraz pochodną ułamkową po x w sensie Riesza. Warunki początkowe i brzegowe wzięto z pomiarów, jak poprzednio. Analogicznie jak poprzednio model został przybliżony schematem numerycznym: 1 ( t) α m r=0 ω α k [ ] T (m k) j T (0) j T (0) j t m = a( x) β 2 cos πβ 2 + J j+2 r=0 ω β r T (m) j+r 1 ] [ j+1 r=0 ω β r T (m) j r+1 +, 0 < α 2 0 < β 2. (5.12) Po wykonaniu symulacji i identyfikacji na podstawie pomiarów z eksperymentu, otrzymano następujące wartości parametrów: a = , α = 2.00, β = 2.00, (5.13) natomiast wartość kryterium (4.24) dla tych parametrów wyniosła Q III = Na rysunku 5.5 pokazano model III dla otrzymanych wartości parametrów. Zidentyfikowany model Rysunek 5.5. Model III dla wartości parametrów: a = , α = 2.00 oraz β = 2.00 został porównany z pomiarami otrzymanymi z eksperymentu. Na rysunku 5.6 przedstawiono wykres błędu procentowego dla tego modelu. Jest on obliczony dla każdego punktu zgodnie ze wzorem (4.36).