Wyk ad 12. Dobre porz dki. Ten wyk ad po wi cimy dobrym porz dkom. Przypomnijmy, e liniowy porz dek

Transkrypt

1 Wyk ad 12. Dobre porz dki. Charakteryzacje dobrych porz dk w. Ten wyk ad po wi cimy dobrym porz dkom. Przypomnijmy, e liniowy porz dek zbioru X nazywamy dobrym porz dkiem tego zbioru, je li w ka dym niepustym podzbiorze A X istnieje element najmniejszy. Podamy teraz dwie inne charakteryzacje. Niech X b dzie zbiorem liniowo uporz dkowanym przez relacj. M wimy, e ci g hx n i n2n o wyrazach w zbiorze X jest ci giem malej cym (w sensie porz dku ), je li 8n 2 N? xn+1 < x n : Przypomnijmy (zob. wyk ad 10), e podzbi r O zbioru X jest odcinkiem pocz tkowym tego zbioru, je li wraz z ka dym elementem a 2 O, do zbioru O nale wszystkie elementy x 2 X spe niaj ce nier wno x a. Odcinkiem pocz tkowym wyznaczonym przez element a 2 X nazywamy zbi r O(a) = fx 2 X : x < ag. Przypomnijmy te (zob. twierdzenie 4.3), e istnieje funkcja wyboru dla rodziny wszystkich niepustych podzbior w zbioru X, czyli taka funkcja g : P(X) n f?g?! X, e 8A X? A 6=? ) g(a) 2 A : Twierdzenie Niech X b dzie zbiorem liniowo uporz dkowanym przez relacj. Wtedy nast puj ce warunki s r wnowa ne: (1) Porz dek jest dobry. (2) Ka dy w a ciwy odcinek pocz tkowy w zbiorze X jest wyznaczony przez pewien element. Dok adniej, je li O X jest w a ciwym odcinkiem pocz tkowym w zbiorze X, to O = O(a) dla pewnego a 2 X. (3) aden ci g o wyrazach w zbiorze X nie jest ci giem malej cym w sensie porz dku. Dow d. Wszystkie trzy warunki s oczywi cie spe nione, je li X =? (zob. uwag 2.13). Za my wi c, e X 6=?. (1) ) (2). Niech O X b dzie w a ciwym odcinkiem pocz tkowym zbioru X. Niech a b dzie najmniejszym elementem zbioru X n O. Z denicji elementu a Wyk ad 12, wersja { 1

2 wynika, e O(a) O. Z drugiej strony, je li x 2 O, to x < a. Istotnie, w przeciwnym przypadku by oby a x, sk d otrzymaliby my, e a 2 O, wbrew wyborowi elementu a. (2) ) (3). Niech hx n i n2n b dzie dowolnym ci giem o wyrazach w zbiorze X. Niech zbi r O X sk ada si ze wszystkich ogranicze dolnych w zbiorze X zbioru wyraz w ci gu hx n i, tzn. O = fx 2 X : 8n 2 N? x xn g: Oczywi cie O jest odcinkiem pocz tkowym zbioru X. Je li O = X, to ci g hx n i jest sta y { ka dy jego wyraz jest r wny najwi kszemu elementowi zbioru X. Je li O 6= X, to z punktu (1) wynika, e istnieje element a 2 X, taki e O = O(a). Poniewa a 62 O, to x n0 < a dla pewnego n 0 2 N. Wtedy x n0 2 O i, w szczeg lno ci, x n0 x n0 +1. Zatem w obu przypadkach ci g hx n i nie jest ci giem malej cym. (3) ) (1). Niech A X b dzie niepustym podzbiorem zbioru X. Chcemy znale element najmniejszy w zbiorze A. We my wi c dowolny element a 2 A i zdeniujmy przez indukcj ci g hx n i n2n w nast puj cy spos b. Deniujemy x 0 = a. Nast pnie za my, e znamy ju wyraz x n. W wczas jako x n+1 bierzemy dowolny element zbioru A, mniejszy od x n, o ile taki istnieje, a w przeciwnym przypadku przyjmujemy x n+1 = x n. ci lej, niech g b dzie dowoln funkcj wyboru dla rodziny wszystkich niepustych podzbior w zbioru A. Okre lmy nast pnie funkcj ' : A?! A wzorem: '(x) = g(o(x)); je li O(x) 6=?, x; w przeciwnym przypadku. Z twierdzenia o deniowaniu przez indukcj (twierdzenie 4.6) wynika, e istnieje ci g hx n i n2n o wyrazach w zbiorze A, spe niaj cy warunki: x 0 = a; x n+1 = '(x n ) dla n 2 N: Wyk ad 12, wersja { 2

3 Zauwa my, e je li O(x) 6=? dla wszystkich x 2 A, to dla ka dego n 2 N mamy x n+1 = g(o(x n )) 2 O(x n ), czyli x n+1 < x n. Zatem ci g hx n i n2n jest ci giem malej cym, wbrew za o eniu (3). Istnieje wi c taki element x 2 A, dla kt rego O(x) =?. To jednak znaczy, e x jest szukanym elementem najmniejszym zbioru A. Przyk ady dobrych porz dk w. Udowodnione charakteryzacje u atwiaj rozpoznawanie dobrych porz dk w. W dalszej cz ci kilkakrotnie poka emy po dwa warianty dowodu, e rozpatrywany porz dek jest dobry: wprost z denicji i za pomoc twierdzenia Ten drugi dow d na og jest prostszy, lecz korzysta z funkcji wyboru, w odr nieniu od dowodu pierwszego. Twierdzenie Ka dy liniowy porz dek zbioru sko czonego jest dobrym porz dkiem. Dow d. Wariant I. Udowodnimy przez indukcj, e ka da liczba naturalna n ma nast puj c w asno W (n): je li X jest dowolnym zbiorem n-elementowym, a { liniowym porz dkiem zbioru X, to porz dek jest dobry. Oczywi cie zero ma w asno W : relacja pusta dobrze porz dkuje zbi r pusty (zob. uwag 2.13). Za my teraz, e liczba n ma w asno W i niech relacja liniowo porz dkuje dany (n + 1)-elementowy zbi r X. We my dowolny element x 2 X i niech Y = X n fxg. W wczas jy j = n i porz dek ograniczony do zbioru Y jest liniowym porz dkiem tego zbioru. Z za o enia indukcyjnego wynika wi c, e porz dek jy jest dobry. We my wi c dowolny niepusty zbi r A X. Mo liwe s dwa przypadki. (a) A \ Y =? i w wczas A = fxg, zatem x jest najmniejszym elementem zbioru A. (b) A \ Y 6=? i wtedy w zbiorze A \ Y, niepustym podzbiorze dobrze uporz dkowanego zbioru Y, istnieje element najmniejszy y. Je li x 62 A, to y jest szukanym elementem najmniejszym zbioru A. W przeciwnym przypadku jest nim mniejszy z element w x i y. Wyk ad 12, wersja { 3

4 Wariant II. Niech relacja liniowo porz dkuje zbi r X. W wczas ka dy ci g malej cy w sensie porz dku jest r nowarto ciowy i zbi r jego wyraz w jest niesko czony. Je li wi c zbi r X jest sko czony, to aden ci g o wyrazach w X nie jest ci giem malej cym, a wi c porz dek jest dobry na mocy twierdzenia 12.1 (punkt (3)). Poka emy teraz, e niekt re spo r d opisanych w wyk adzie 10 sposob w okre- lania liniowych porz dk w w zbiorach otrzymanych z danych zbior w dobrze uporz dkowanych za pomoc prostych operacji teoriomnogo ciowych, prowadz do dobrych porz dk w. Twierdzenie (1) Podzbi r zbioru dobrze uporz dkowanego jest zbiorem dobrze uporz dkowanym. (2) R nowarto ciowy obraz zbioru dobrze uporz dkowanego jest zbiorem dobrze uporz dkowanym. ci lej, niech X b dzie dobrym porz dkiem zbioru X i niech funkcja h przekszta ca zbi r X wzajemnie jednoznacznie na zbi r Y. W wczas cz ciowy porz dek Y, zdeniowany w zbiorze Y nast puj co: dobrze porz dkuje zbi r Y. y 1 Y y 2, h?1 (y 1 ) X h?1 (y 2 ); (3) Suma hx [ Y; i zbior w dobrze uporz dkowanych hx; X i i hy; Y i jest zbiorem dobrze uporz dkowanym. (4) Porz dek leksykograczny leks, wyznaczony przez dobre porz dki: X zbioru X oraz Y zbioru Y, jest dobrym porz dkiem zbioru X Y. Dow d. Punkt (1) jest oczywisty. Dla dowodu punktu (2) zauwa my, e zbi r cz ciowo uporz dkowany hy; Y i jest izomorczny ze zbiorem dobrze uporz dkowanym hx; X i. Teza wynika wi c z twierdzenia (punkt (2)). eby udowodni punkt (3), rozwa my dowolny niepusty zbi r A X[Y. Je li A\X 6=?, to w zbiorze A\X istnieje element najmniejszy w sensie porz dku X i jest on elementem najmniejszym zbioru A w sensie porz dku. Je li A\X =?, to A Y i element najmniejszy zbioru A w sensie porz dku Y jest zarazem elementem najmniejszym tego zbioru w sensie porz dku. Wyk ad 12, wersja { 4

5 Poka emy dwa warianty dowodu punktu (4). Wariant I. Niech A b dzie niepustym podzbiorem zbioru X Y. Rozwa my zbi r P 1 = fx 2 X : 9y? hx; yi 2 A g: Zbi r P 1 jest niepustym podzbiorem zbioru X; niech x 0 b dzie elementem najmniejszym tego zbioru w sensie porz dku X. Rozwa my teraz zbi r P 2 = fy 2 Y : hx 0 ; yi 2 Ag: Zbi r P 2 jest niepustym podzbiorem zbioru Y ; niech y 0 b dzie elementem najmniejszym tego zbioru w sensie porz dku Y. Twierdzimy, e para hx 0 ; y 0 i jest elementem najmniejszym zbioru A. Istotnie, po pierwsze hx 0 ; y 0 i 2 A. Ponadto, wprost z denicji element w x 0 i y 0 wynika, e je li hx; yi 2 A, to albo x 0 < X x, albo x 0 = x i wtedy y 0 Y y. W obu przypadkach hx 0 ; y 0 i leks hx; yi. Wariant II. Przypu my, e porz dek leks nie jest dobry. Wtedy z twierdzenia 12.1 (punkt (3)) wynika, e istnieje ci g hx n ; y n i, o wyrazach w zbiorze n2n X Y, malej cy w sensie porz dku leks. Ci g hx n i n2n nie mo e by ci giem malej cym w sensie dobrego porz dku X, wi c x n = x k dla wszystkich n wi kszych od pewnego k 2 N. Ale wtedy y n+1 < y n dla wszystkich n k i ci g hy n i n2n jest ci giem malej cym w sensie dobrego porz dku Y, co przeczy za o eniu o zbiorze Y. Punkty (3) i (4) powy szego twierdzenia mo na uog lni na przypadek sko czenie wielu zbior w dobrze uporz dkowanych { nietrudny dow d pozostawiamy jako wiczenie. Natomiast do pytania, kiedy porz dek odwrotny do porz dku dobrego jest dobry, odniesiemy si p niej. Przyk ad (1) Zbi r N wszystkich sko czonych ci g w o wyrazach naturalnych jest dobrze uporz dkowany przez relacj porz dku standardowego. Wyk ad 12, wersja { 5

6 Mianowicie, je li A N i A 6=?, to najmniejszym elementem zbioru A jest najmniejszy, w sensie porz dku leksykogracznego, element zbioru A \ N k, gdzie k jest najmniejsz liczb naturaln, dla kt rej A \ N k 6=?. (2) Zbi r f0; 1g wszystkich sko czonych ci g w binarnych nie jest dobrze uporz dkowany przez relacj porz dku leksykogracznego. Wystarczy bowiem zauwa y, e: : : : < leks h0; 0; 0; 0; 1i < leks h0; 0; 0; 1i < leks h0; 0; 1i < leks h0; 1i: Istnieje wi c ci g element w zbioru f0; 1g, malej cy w sensie porz dku leksykogracznego. Przyk ad Nast puj ce podzbiory zbioru R s dobrze uporz dkowane: (1) Ka dy sko czony zbi r X R. (2) Zbi r liczb naturalnych. (3) Zbi r A = f1? n+1 1 : n 2 Ng. Jest on podzbiorem odcinka (0; 1), izomorcznym ze zbiorem N; izomorzmem jest funkcja dana wzorem f(n) = 1? 1 n + 1 dla n 2 N: Og lniej, zbi r wyraz w dowolnego rosn cego ci gu o wyrazach rzeczywistych jest dobrze uporz dkowany i izomorczny z N. (4) Zbi r B = f1? n+1 1 : n 2 Ng [ f1g. Nie jest on izomorczny ze zbiorem N, gdy w przeciwie stwie do N, ma element najwi kszy, kt rym jest liczba 1. Zbi r B jest sum dw ch zbior w dobrze uporz dkowanych: zbioru f1? 1 n+1 : n 2 Ng (izomorcznego ze zbiorem N) i zbioru jednoelementowego f1g. (5) zbi r C = f1? n+1 1 : n 2 Ng [ f2? 1 n+1 : n 2 Ng. Nie jest on izomorczny ze zbiorem N, gdy w przeciwie stwie do N, ma on dwa elementy (s nimi liczby 1 i 2), kt re nie s bezpo rednimi nast pnikami adnych element w zbioru C. W zbiorze B te jest element o tej w asno ci, ale tylko jeden (jest nim liczba 1). To pokazuje, e zbi r C nie jest izomorczny r wnie ze zbiorem B, Zbi r C jest sum dw ch zbior w dobrze uporz dkowanych (izomorcznych ze zbiorem N): zbioru C = f1? n : n 2 Ng i zbioru f2? n+1 : n 2 Ng. Wyk ad 12, wersja { 6

7 (6) Zbi r D = f1? n+1 1 : n 2 Ng [ f2? 1 n+1 : n 2 Ng [ f3? 1 n+1 : n 2 Ng. Rozumuj c podobnie jak w poprzednim przyk adzie mo na pokaza, e zbi r D nie jest izomorczny z adnym ze zbior w A, B oraz C. Zbi r D jest sum trzech zbior w izomorcznych ze zbiorem N. (7) Zbi r E = S m2n nf0g fm? n+1 1 : n 2 Ng. Zbi r E nie jest izomorczny z adnym ze wcze niej wymienionych zbior w { w przeciwie stwie do nich ma on niesko czenie wiele element w, kt re nie s bezpo rednimi nast pnikami adnych element w zbioru E. Mo na dowie, e zbi r E jest izomorczny ze zbiorem N N uporz dkowanym przez porz dek leksykograczny. (8) Zbi r F = h[e], gdzie funkcja h : fx 2 R : x > 0g??! 1?1 na wzorem h(x) = x 1 + x : (0; 1) jest dana Poniewa funkcja h jest rosn ca, wi c zbi r ten jest izomorcznym ze zbiorem E podzbiorem przedzia u (0; 1). (9) Zbi r G = F [ f1g. Zbi r G nie jest izomorczny z adnym ze wcze niej wymienionych zbior w { podobnie jak zbi r F ma on niesko czenie wiele element w, kt re nie s bezpo rednimi nast pnikami adnych element w zbioru E, ale w przeciwie stwie do zbioru F ma element najwi kszy (liczb 1). Zauwa my, e w powy szym przyk adzie, w ka dym z niesko czonych zbior w dobrze uporz dkowanych B; C; : : : z punkt w (3)? (9) istnieje element, r ny od najmniejszego, kt ry nie jest bezpo rednim nast pnikiem adnego elementu danego zbioru. Takie elementy zbioru dobrze uporz dkowanego nazywamy elementami granicznymi tego zbioru. Twierdzenie Je li w zbiorze X, dobrze uporz dkowanym przez relacj, istnieje w a ciwy niesko czony odcinek pocz tkowy, to w zbiorze tym istnieje co najmniej jeden element graniczny. Dow d. Niech a b dzie najmniejszym spo r d tych wszystkich element w x 2 X, dla kt rych odcinek pocz tkowy O(x) jest niesko czony. W wczas a jest Wyk ad 12, wersja { 7

8 elementem granicznym zbioru X. Istotnie, w przeciwnym przypadku istnieje bezpo redni poprzednik b elementu a i mamy O(a) = O(b) [ fbg; sk d wynika, e zbi r O(b) jest niesko czony. Ale b < a i otrzymujemy sprzeczno z wyborem elementu a. Mo na udowodni, e istnienie element w granicznych charakteryzuje te niesko czone zbiory dobrze uporz dkowane, kt re nie s izomorczne ze zbiorem liczb naturalnych (wynika to z twierdzenia C.7 w dodatku C). Innymi s owy, je li w niesko czonym zbiorze dobrze uporz dkowanym nie ma element w granicznych, to zbi r ten jest izomorczny z N. Odpowiemy teraz na zasygnalizowane wcze niej pytanie o to, kiedy porz dek odwrotny do porz dku dobrego jest dobry. Twierdzenie Niech X b dzie zbiorem dobrze uporz dkowanym przez relacj. W wczas porz dek, odwrotny do porz dku, jest dobrym porz dkiem wtedy i tylko, gdy zbi r X jest sko czony. Dow d. Je li zbi r X jest sko czony, to porz dek jest dobry na mocy twierdzenia Za my wi c, e zbi r X jest niesko czony i rozwa my dwa przypadki. Przypadek 1. W zbiorze X istnieje w a ciwy niesko czony odcinek pocz tkowy. W wczas na mocy twierdzenia 12.6, w zbiorze X istnieje element graniczny a. Wtedy zbi r O(a) jest niepusty i nie ma w nim elementu najwi kszego, R wnowa nie, w zbiorze tym nie ma elementu najmniejszego w sensie porz dku (zob. twierdzenie (punkt (1)). Porz dek ten nie jest wi c dobry. Przypadek 2. Ka dy w a ciwy odcinek pocz tkowy zbioru X jest sko czony. W wczas w zbiorze X nie istnieje element najwi kszy. Istotnie, je li a jest najwi kszym elementem zbioru X, to X = O(a) [ fag. Ale st d wynika, e nie mo e by tak, e odcinek O(a) jest sko czony, a zbi r X { nie. Otrzymujemy wi c sprzeczno. Znaczy to jednak, e w zbiorze X nie istnieje element najmniejszy w sensie porz dku, co i w tym przypadku pokazuje, e nie jest to porz dek dobry. Wyk ad 12, wersja { 8

9 Przytoczone przyk ady pokazuj, e istnieje wiele istotnie r nych (tzn. nieizomorcznych) zbior w dobrze uporz dkowanych. W dalszej cz ci wyk adu poka emy udowodnione przez Zermelo twierdzenie, zgodnie z kt rym dla ka dego zbioru istnieje relacja, kt ra go dobrze porz dkuje. Indukcja pozasko czona. Istnieje zatem ogromne bogactwo dobrych porz dk w. Ich znaczenie wi e si przede wszystkim z tym, e s to dok adnie te porz dki liniowych, kt re s dobre do prowadzenia dowod w indukcyjnych. ci lej, powiemy, e dla zbioru liniowo uporz dkowanego hx; i prawdziwa jest zasada indukcji, je li istnieje w nim element najmniejszy x 0 oraz je li dowolny zbi r A X, spe niaj cy warunki: (1) x 0 2 A, (2) dla ka dego elementu a 2 X wi kszego od x 0, z tego, e wszystkie elementy x 2 X mniejsze od a nale do A wynika, e a 2 A, jest r wny ca emu zbiorowi X. Uwaga. Zasad indukcji mo na te sformu owa z pomini ciem punktu (1), wzmacniaj c jednocze nie punkt (2) w nast puj cy spos b: (2 0 ) dla ka dego elementu a 2 X, z tego, e wszystkie elementy x 2 X mniejsze od a nale do A wynika, e a 2 A. Z punktu (2 0 ) wynika oczywi cie punkt (2). R nica polega na tym, e zgodnie z punktem (2 0 ), w asno W (a):? 8x < a (x 2 A) ) a 2 A; ma r wnie przys ugiwa elementowi a = x 0. Zauwa my, e w asno W jest implikacj W 1 ) W 2, gdzie W 1 oznacza w asno 8x < a (x 2 A), a W 2 { w asno a 2 A. Element a = x 0 ma w asno W 1, gdy jej sformu owanie zaczyna si od kwantykatora og lnego, ograniczonego w tym przypadku do zbioru pustego (zob. uwag 2.13). Zatem x 0 ma w asno W wtedy i tylko wtedy, gdy ma w asno W 2, czyli gdy x 0 2 A. Punkt (2 0 ) znaczy wi c to samo, co punkty (1) i (2) cznie. Warunek (2 0 ) mo na zapisa inaczej, korzystaj c z poj cia odcinka porz dkowego: (2 00 ) dla ka dego elementu a 2 X, je li O(a) A, to a 2 A. Wyk ad 12, wersja { 9

10 Twierdzenie Dla ka dego niepustego zbioru dobrze uporz dkowanego X prawdziwa jest zasada indukcji. Dow d. Za my, e relacja dobrze porz dkuje niepusty zbi r X i niech x 0 b dzie elementem najmniejszym tego zbioru. We my dowolny zbi r A X, spe niaj cy warunki: (1) x 0 2 A, (2) dla ka dego elementu a 2 X wi kszego od x 0, z tego, e wszystkie elementy x 2 X mniejsze od a nale do A wynika, e a 2 A. Chcemy pokaza, e A = X. Przypu my wi c, e jest przeciwnie, tzn. zbi r Y, z o ony z tych element w zbioru X, kt re nie nale do A, jest niepusty. W takim razie w zbiorze Y jest element najmniejszy a. W wczas a > x 0, gdy x 0 2 A na mocy warunku (1). Ponadto wszystkie elementy x 2 X mniejsze od a nale do zbioru A, poniewa a jest najmniejszym elementem zbioru X, kt ry do A nie nale y. To jednak, wobec warunku (2), implikuje, e a 2 A, czyli a 62 Y i otrzymana sprzeczno ko czy dow d. To, e ka dy zbi r dobrze uporz dkowany spe nia zasad indukcji, jest fundamentaln w asno ci dobrych porz dk w. Okazuje si, e charakteryzuje ona dobre porz dki w r d liniowych porz dk w. Twierdzenie Niech hx; i b dzie niepustym zbiorem liniowo uporz dkowanym. Je li dla zbioru hx; i prawdziwa jest zasada indukcji, to porz dek jest dobry. Dow d. Za my, e dla zbioru hx; i prawdziwa jest zasada indukcji i niech x 0 b dzie najmniejszym elementem zbioru X. Wykorzystamy charakteryzacj podan w twierdzeniu 12.1 (punkt (2)): aby pokaza, e porz dek jest dobry, wystarczy udowodni, e ka dy w a ciwy odcinek pocz tkowy w zbiorze X jest wyznaczony przez pewien element tego zbioru. Niech A X b dzie w a ciwym odcinkiem pocz tkowym zbioru X. Je li A =?, to A = O(x 0 ). Za my wi c, e A 6=? i przypu my, e odcinek A nie jest wyznaczony przez aden element zbioru X. D c do sprzeczno ci, spr bujmy do zbioru A zastosowa zasad indukcji. Mamy wi c (1) x 0 2 A, gdy do A nale y jaki element x oraz x 0 x. Wyk ad 12, wersja { 10

11 (2) niech a 2 X, a > x 0 i za my, e wszystkie elementy x 2 X mniejsze od a nale do A, to znaczy O(a) A. Jednocze nie O(a) 6= A, gdy za o yli my, e odcinek pocz tkowy A nie jest wyznaczony przez aden element. We my zatem dowolny element a 0 2 A n O(a). Wtedy a a 0, a st d a 2 A. Z zasady indukcji wnioskujemy, e A = X i uzyskana sprzeczno ko czy dow d. Zdanie stwierdzaj ce, e ka dy zbi r dobrze uporz dkowany spe nia zasad indukcji, nazywa si czasem zasad indukcji pozasko czonej. Zasad indukcji pozasko czonej stosuje si w sytuacji, gdy chcemy udowodni, e ka dy element niepustego zbioru X, dobrze uporz dkowanego przez relacj, ma dan w asno W (x). Nale y w wczas pokaza, e zbi r A = fx 2 X : W (x)g jest r wny zbiorowi A. W tym celu sprawdzamy, e najmniejszy element x 0 zbioru X ma rozpatrywan w asno (tzn. x 0 2 A), a nast pnie bierzemy dowolny element a 2 X wi kszy od x 0, przyjmujemy jako za o enie indukcyjne, e ka dy element x ze zbioru X mniejszy od a ma dowodzon w asno (tzn. x 2 A) i w ko cu korzystaj c z tego za o enia pokazujemy, e w asno t ma r wnie element a (czyli a 2 A). Zasada indukcji pozasko czonej jest wi c uog lnieniem jednej z postaci zasady indukcji matematycznej, mianowicie indukcji porz dkowej (por. wyk ad 11). Obie zasady stosuje si w podobny spos b. R nica polega na tym, e w niesko czonym zbiorze dobrze uporz dkowanym hx; i mog istnie elementy graniczne (zob. przyk ad 12.5 i twierdzenie 12.6). Oznaczmy tu przez X? zbi r wszystkich element w zbioru X, r nych od najwi kszego, o ile taki istnieje. Przypomnijmy, e zgodnie ze twierdzeniem 10.12, dla ka dego elementu x 2 X? istnieje dok adnie jeden jego bezpo redni nast pnik, kt ry oznaczymy symbolem x +. Jak pokazuje nast pny przyk ad, w a nie istnienie element w granicznych sprawia, e spe nienie przez zbi r A X warunk w: (1) x 0 2 A, (2) 8x 2 X?? x 2 A ) x + 2 A. nie musi poci ga za sob, e A = X. Przyk ad Niech A = f1? n+1 1 : n 2 Ng oraz X = A [ f1g. W wczas zbi r X jest dobrze uporz dkowany, jego najmniejszym elementem jest liczba 0, a zbi r A = X? spe nia warunki: (1) 0 2 A, (2) 8x 2 X?? x 2 A ) x + 2 A. Wyk ad 12, wersja { 11

12 Mimo to A 6= X. Deniowanie przez indukcj pozasko czon. Indukcja to jednak, jak wiemy, nie tylko dowody indukcyjne, ale r wnie de- nicje indukcyjne (por. wyk ad 4). Okazuje si, e istnienie dobrego porz dku w danym zbiorze X pozwala deniowa funkcje o dziedzinie X przez indukcj wzgl dem tego porz dku. Niech wi c hx; i b dzie zbiorem dobrze uporz dkowanym. Ci giem pozasko czonym typu hx; i nazywamy dowoln funkcj o dziedzinie X. Zachodzi twierdzenie o deniowaniu przez indukcj pozasko czon, kt re przedstawimy tu bez dowodu. Jest ono uog lnieniem jednego z twierdze o indukcyjnym deniowaniu ci g w okre lonych na N. Chodzi mianowicie o twierdzenie 4.15, w kt rym dany jest niepusty zbi r A, element a 2 A oraz funkcja ' : A?! A, a ci g f : N?! A jest zdeniowany za pomoc warunk w: (P ) f(0) = a; (R) f(n + 1) = '(hf(0); : : : ; f(n)i); dla n 2 N: Te warunki mo emy zapisa inaczej: lub (P ) f(0) = a; (R) f(n + 1) = '(fjf0; : : : ; ng); dla n 2 N (P ) f(0) = a; (R) f(n) = '(fjo(n)); dla n > 0: Funkcja ' jest tu przepisem" okre laj cym kolejny wyraz ci gu f w zale no ci od wszystkich poprzednich wyraz w tego ci gu. Dziedzin tej funkcji jest wi c w a nie zbi r A, sk adaj cy si z ci g w sko czonych, kt rych dziedzinami s zbiory postaci f0; : : : ; ng, czyli odcinki pocz tkowe zbioru liczb naturalnych. Teraz chcemy okre li ci g pozasko czony f : X?! A typu hx; i, podaj c jego wyraz pocz tkowy, czyli warto dla najmniejszego elementu zbioru X oraz przepis" ', za pomoc kt rego wyrazimy zale no warto ci funkcji f w punkcie x od wszystkich wcze niejszych warto ci tej funkcji. Dok adniej, chodzi o zale no f(x) od obci cia funkcji f do zbioru O(x) = fy 2 X : y < xg. Zauwa my, e fjo(x) 2 A O(x) : Wyk ad 12, wersja { 12

13 Zatem funkcja ' musi by okre lona na zbiorze S x2x A O(x). W szczeg lno ci, je li X jest zbiorem liczb naturalnych ze zwyk ym" dobrym porz dkiem, to Zbi r S x2x [ n2n A O(n) = A : A O(x) pe ni wi c tu rol odpowiednika zbioru A z twierdzenia Twierdzenie o deniowaniu przez indukcj pozasko czon przybiera wi c ostatecznie nast puj c posta. Jego dow d przedstawimy w dodatku D (twierdzenie D.3). Twierdzenie (O deniowaniu przez indukcj pozasko czon.) Niech X b dzie niepustym zbiorem dobrze uporz dkowanym przez relacj i niech x 0 b dzie elementem najmniejszym w zbiorze X. Za my te, e dany jest niepusty zbi r A, element a 2 A oraz funkcja ' : [ x2x A O(x)?! A: W wczas istnieje dok adnie jedna funkcja f : X?! A spe niaj ca nast puj ce dwa warunki: (P ) f(x 0 ) = a; (R) f(x) = '(fjo(x)) dla x > x 0 : Twierdzenie o dobrym uporz dkowaniu. Zmierzamy teraz do dowodu zasygnalizowanego ju wcze niej, pochodz cego od Zermelo, twierdzenia o mo liwo ci dobrego uporz dkowania dowolnego zbioru. Za my, e hx; i jest zbiorem dobrze uporz dkowanym i niech f b dzie funkcj, kt ra ka demu w a ciwemu podzbiorowi A zbioru X przyporz dkowuje warto, kt ra do zbioru A nie nale y. ci lej, o funkcji f zak adamy, e (P(X) n fxg) D f oraz f(a) 62 A dla A X. Funkcj tak atwo znale bior c np. dowoln funkcj wyboru g dla rodziny wszystkich niepustych podzbior w zbioru X (zob. wyk ad 4), a nast pnie k ad c f(a) = g(x n A) dla A X. M wimy, e zbi r dobrze uporz dkowany hx; i jest zgodny z funkcj f, je li zachodzi warunek a = f(o(a)) dla ka dego a 2 X: Wyk ad 12, wersja { 13

14 M wimy te wtedy, e dobry porz dek jest zgodny z funkcj f. Zgodnie z twierdzeniem 12.1, ka dy w a ciwy odcinek pocz tkowy O w zbiorze X jest wyznaczony przez pewien element a. R wnowa nie, element a mo na nazwa nast pnikiem odcinka O, gdy jest on najmniejszym spo rod element w wi kszych od wszystkich element w tego odcinka. W szczeg lno ci a 2 XnO; zgodno zbioru dobrze uporz dkowanego hx; i z funkcj f oznacza wi c, e nast pnikiem ka dego w a ciwego odcinka pocz tkowego O jest element f(o), wybrany ze zbioru X n O za pomoc funkcji f. Przyk ad Niech P oznacza zbi r liczb naturalnych parzystych. Niech f b dzie funkcj okre lon na rodzinie wszystkich w a ciwych podzbior w zbioru liczb naturalnych za pomoc wzoru: f(a) = min(pn A); je li Pn A 6=?, min(n n A); je li P A, gdzie A N. W wczas suma zbior w dobrze uporz dkowanych hp; i i hn n P; i, czyli zbi r N wraz z dobrym porz dkiem : : : : : : : : : jest zbiorem dobrze uporz dkowanym zgodnym z funkcj f. Zauwa my, e z uwag poprzedzaj cych przyk ad wynika, i dowolny zbi r dobrze uporz dkowany hx; i jest zgodny z pewn funkcj, a mianowicie z funkcj f, kt ra ka demu w a ciwemu podzbiorowi zbioru X przyporz dkowuje najmniejszy element jego dope nienia. Okazuje si, e zachodzi twierdzenie w pewnym sensie odwrotne, o czym m wi w a nie nast puj ce wzmocnione sformu owanie twierdzenia Zermelo. Twierdzenie (Zermelo). Dla ka dego zbioru X istnieje relacja, kt ra go dobrze porz dkuje. Ponadto, je li f jest dowoln funkcj, kt ra ka demu w a ciwemu podzbiorowi zbioru X przyporz dkowuje pewien element jego dope nienia, to istnieje dok adnie jeden dobry porz dek zbioru X zgodny z f. Dow d twierdzenia Zermelo poprzedzimy szeregiem lemat w. Niech f b dzie dowoln funkcj, kt ra ka demu w a ciwemu podzbiorowi A zbioru X przyporz dkowuje pewien element jego dope nienia. Powiemy, e podzbi r A zbioru X jest zgodny z funkcj f, je li istnieje dobry porz dek zbioru A, Wyk ad 12, wersja { 14

15 zgodny z funkcj f; dla ka dego zbioru A X, zgodnego z funkcj f, wybierzmy pewien dobry porz dek A zbioru A, zgodny z t funkcj. Zauwa my, e podzbiory zbioru X zgodne z funkcj f istniej ; trywialnym przyk adem jest podzbi r pusty. Je li za X 6=?, to innym przyk adem jest zbi r A = fx 0 g, gdzie x 0 = f(?). Mianowicie, zbi r A jest dobrze uporz dkowany przez relacj r wno ci oraz O A (x 0 ) =?, wi c x 0 = f(?) = f(o A (x 0 )). Naszym celem jest pokazanie, e zbi r X jest zgodny z funkcj f. Nast puj ce lematy dotycz w asno ci podzbior w zbioru X zgodnych z funkcj f. Lemat Ka dy odcinek pocz tkowy zbioru zgodnego z funkcj f jest zgodny z funkcj f. Dow d. Niech A X b dzie zbiorem zgodnym z funkcj f i niech C b dzie odcinkiem pocz tkowym zbioru A (w sensie porz dku A ). Potraktujmy zbi r C jako podzbi r zbioru dobrze uporz dkowanego ha; A i. We my dowolny element a 2 C. Oczywi cie, O C (a) = O A (a), st d a = f(o A (a)) = f(o C (a)), co ko czy dow d. Lemat Je li zbiory A i B s zgodne z funkcj f oraz C jest w a ciwym odcinkiem pocz tkowym zar wno zbioru A (w sensie porz dku A ) jak i zbioru B (w sensie porz dku B ), to istnieje element c 2 A \ B taki, e C = O A (c) oraz C = O B (c). Dow d. Skoro C jest w a ciwym odcinkiem pocz tkowym obu zbior w A i B, to istniej elementy a 2 A oraz b 2 B, takie e C = O A (a) i C = O B (b). Poniewa jednak zbiory A i B s zgodne z funkcj f, to a = f(o A (a)) = f(c) oraz b = f(o B (b)) = f(c). Wynika st d, e wystarczy okre li c = a = b. Lemat Je li zbiory A i B s zgodne z funkcj f, to jeden z nich jest odcinkiem pocz tkowym drugiego. Dow d. Niech A b dzie rodzin z o on ze wszystkich zbior w O A \ B, takich e O jest odcinkiem pocz tkowym zar wno zbioru A (w sensie porz dku A ), jak i zbioru B (w sensie porz dku B ). Niech C = S A. Poniewa suma rodziny odcink w pocz tkowych dowolnego zbioru liniowo uporz dkowanego jest jego odcinkiem pocz tkowym, mamy C 2 A i zbi r C jest najwi kszym wsp lnym odcinkiem pocz tkowym zbior w A oraz B. Wyk ad 12, wersja { 15

16 Dow d lematu zako czymy pokazuj c, e C = A lub C = B. Przypu my wi c, e jest przeciwnie, to znaczy C A i C B, czyli C jest w a ciwym odcinkiem pocz tkowym obu zbior w A i B. Ale wtedy z lematu wynika, e istnieje element c 2 A \ B taki, e C = O A (c) oraz C = O B (c). W wczas jednak zbi r C [ fcg jest wsp lnym odcinkiem pocz tkowym zbior w A oraz B, wi kszym od C { otrzymujemy sprzeczno. Lemat Niech zbiory A i B b d zgodne z funkcj f oraz y 2 A\B. Wtedy O A (y) = O B (y), czyli x A y, x B y dla ka dego x 2 X: W szczeg lno ci, je li dany podzbi r A zbioru X jest zgodny z funkcj f, to relacja A jest jedynym dobrym porz dkiem zbioru A, zgodnym z funkcj f. Dow d. Z lematu wynika, e zbi r O A (y) jest zgodny z funkcj f. Ponadto y 2 B n O A (y), wi c z lematu wnioskujemy, e zbi r O A (y) jest w a ciwym odcinkiem pocz tkowym zbioru B. Zatem zbi r O A (y) jest w a ciwym odcinkiem pocz tkowym zar wno zbioru A jak i B. Zgodnie z lematem jest on wi c w obu tych zbiorach wyznaczony przez ten sam element. Oznacza to, e O A (y) = O B (y). Lemat Niech R b dzie dowoln rodzin z o on z podzbior w zbioru X, kt re s zgodne z funkcj f. Niech Y = S R. Wtedy relacja, okre lona w zbiorze Y w nast puj cy spos b: x y, 9A 2 R (x A y); jest dobrym porz dkiem zbioru Y, zgodnym z funkcj f. Zatem zbi r Y jest zgodny z funkcj f. Dow d. Zauwa my, e z lematu wynika, i je li A 2 R, to ja = A. Kolejno pokazujemy, e: (1) Zbi r Y jest liniowo uporz dkowany przez relacj. Mamy dowie, e relacja jest zwrotna w Y, antysymetryczna, przechodnia i sp jna w Y. We my wi c dowolne elementy a; b; c 2 Y. Chcemy pokaza, e: (a) a a, Wyk ad 12, wersja { 16

17 (b) (a b ^ b a) ) a = b, (c) ((a b ^ b c) ) a c, (d) a b _ b a. Elementy a; b; c nale odpowiednio do zbior w A; B; C 2 R. Z lematu wynika, e wszystkie te zbiory s odcinkami pocz tkowymi jednego z nich, powiedzmy C. Wtedy a; b; c 2 C i z tego, e relacja C liniowo porz dkuje zbi r C wynika, e: (a) a C a, (b) (a C b ^ b C a) ) a = b, (c) ((a C b ^ b C c) ) a C c, (d) a C b _ b C a. Poniewa jednak C = jc, wi c relacja ma dowodzone w asno ci. W dalszej cz ci dowodu symbolem O Y (a) b dziemy oznacza odcinek pocz tkowy wyznaczony przez dany element a 2 Y w zbiorze Y, liniowo uporz dkowanym przez relacj. Zatem (2) 8A 2 R8y 2 A? O Y (y) = O A (y). O Y (a) = fy 2 Y : y ag: Ustalmy zbi r A 2 R wraz z elementem y 2 A i we my dowolny element x 2 Y. Je li x A y, to x y wprost z denicji relacji. Je li x y, to istnieje zbi r B 2 R, taki, e x B y. W wczas z lematu wynika, e x A y. (3) Zbi r Y jest dobrze uporz dkowany przez relacj. Przypu my bowiem, e jest przeciwnie. Wtedy z twierdzenia 12.1 (punkt (3)) wynika, e istnieje ci g hy n i n2n o wyrazach w zbiorze Y, malej cy w sensie porz dku. We my zbi r A 2 R, taki e y 0 2 A. Z punktu (2) wiemy, e O Y (y 0 ) = O A (y 0 ), zatem wszystkie wyrazy ci gu hy n i n2n nale do zbioru A i ci g ten jest malej cy w sensie dobrego porz dku A { dostajemy sprzeczno. eby zako czy dow d lematu poka emy, e porz dek jest zgodny z funkcj f. We my wi c dowolny element a 2 Y i ustalmy zbi r A 2 R, taki, e Wyk ad 12, wersja { 17

18 a 2 A. Z punktu (2) wynika, e O Y (a) = O A (a). St d dostajemy a = f(o A (a)) = f(o Y (a)). Mo emy teraz atwo zako czy dow d twierdzenia Zermelo. Dow d twierdzenie Niech R b dzie rodzin wszystkich podzbior w zbioru X, zgodnych z funkcj f; niech Y = S R. Z lematu wynika, e zbi r Y jest zgodny z funkcj f. Niech b dzie dobrym porz dkiem zbioru Y, zgodnym z funkcj f (na mocy lematu istnieje dok adnie jeden taki dobry porz dek). Zatem Y 2 R i co wi cej, Y jest najwi kszym podzbiorem zbioru X, zgodnym z funkcj f. Dow d twierdzenia Zermelo zako czymy pokazuj c, e X = Y. W wczas relacja b dzie jedynym dobrym porz dkiem zbioru X, zgodnym z f. Przypu my wi c, e Y X i niech z = f(y ). Przyjmijmy Z = Y [ fzg; poniewa z 62 Y, wi c Y Z. W zbiorze Z zdeniujmy relacj liniowego porz dku Z w taki spos b, e Z jy = oraz y Z z dla ka dego y 2 Y. Innymi s owy, elementy zbioru Y por wnujemy zgodnie z porz dkiem, a element z uznajemy za wi kszy od nich wszystkich. Zauwa my, e relacja Z jest dobrym porz dkiem zbioru Z, zgodnym z f. Mianowicie, je li a 2 Y, to O Y (a) = O Z (a), a st d a = f(o Y (a)) = f(o Z (a)). Je li za a = z, to O Z (a) = Y, wi c i tym razem a = f(y ) = f(o Z (a)). Zatem zbi r Z jest zgodny z funkcj f oraz Y Z { otrzymujemy sprzeczno, gdy Y jest najwi kszym podzbiorem zbioru X, zgodnym z funkcj f. Podkre lmy ponownie, e znaczenie twierdzenia Zermelo polega na tym, e pozwala ono prowadzi rozumowania dotycz ce element w dowolnego zbioru X, przez indukcj wzgl dem dobrego porz dku w zbiorze X, kt rego istnienie twierdzenie to gwarantuje. Struktura dobrych porz dk w i indukcja pozasko czona zostan dok adnie om wione w po wi conych im dodatkach C i D. Wyk ad 12, wersja { 18