SYSTEM EWALUACJI KONTRAKTÓW OPCYJNYCH METOD MONTE CARLO

Transkrypt

1 SYSTEM EWALUACJI KONTRAKTÓW OPCYJNYCH METOD MONTE CARLO HUBERT ZARZYCKI Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy w Bydgoszczy Streszczenie Istnieje cigła onieczno poszerzania moliwoci zarzdzania inwestycjami. Duy potencjał zabezpieczania si przed ryzyiem inwestycyjnym oferuj opcje egzotyczne i hybrydowe. Handel taimi produtami odbywa si na rynu pozagiełdowym (OTC i czsto s to produty tworzone na zlecenie. Pewnych rodzajów opcji egzotycznych i hybrydowych nie mona wyceni tradycyjnymi analitycznymi i numerycznymi metodami. W taich przypadach warto uy metody Monte-Carlo do wyceny instrumentów finansowych. W artyule prezentowana jest propozycja systemu ewaluacji wartoci instrumentów pochodnych metod MC. Dodatowo przedstawiona została efetywna wycena przyładowej opcji egzotycznej. Słowa luczowe: metody Monte-Carlo, systemy wspomagania decyzji, opcje egzotyczne i hybrydowe, inynieria finansowa, wycena ontratów opcyjnych. Wprowadzenie Ju od drugiej połowy dwudziestego wieu nastpuje szybi rozwój zastosowa ontratów opcyjnych. Produty te daj moliwo uzysania ponadprzecitnych zysów z inwestycji niezalenie od oniuntury. Mog by one oparte o róne atywa bazowe taie ja acje, waluty, indesy oraz surowce. Zgodnie z teori [, 4], opcja jest to umow pomidzy nabywc a sprzedawc, dajca nabywcy prawo (lecz nie obowize do upna (ang. call lub sprzeday (ang. put atywów bazowych w orelonym czasie w przyszłoci po zadanej cenie, w zamian za opłat zwan premi opcyjn. Cena opcji uzaleniona jest od wartoci atywów pierwotnych (bazowych. Posiadanie opcji daje prawo, ale nie zobowizuje, a wic posiadacz opcji (ang. holder wtedy sorzysta z tego prawa, gdy bdzie to dla niego opłacalne. Sorzystanie z prawa nazywa si wyonaniem opcji (ang. exercise lub jej rozliczeniem. Posiadacz opcji ameryasiej moe j wyona w dowolnym czasie od momentu jej nabycia do terminu wyganicia. Opcj europejs mona natomiast wyona jedynie w dniu wyganicia opcji. A wic w przypadu opcji europejsiej terminy wyonania i wyganicia s jednaowe. Ameryasie i Europejsie typy ontratów opcyjnych nazywane s standardowymi lub waniliowymi. Wszelie inne ontraty opcyjne zwane s egzotycznymi lub hybrydowymi. Instytucje finansowe dce do sprawniejszego i efetywniejszego zarzdzania apitałami na rynach finansowych zaczły powszechnie stosowa ontraty opcyjnie wraz z pojawieniem si pierwszych analitycznych [] i dysretnych [6] modeli wyceny tych produtów finansowych. Jest wiele powodów, dla tórych opcje egzotyczne i hybrydowe s atracyjne dla inwestorów. Wród najwaniejszych mona wymieni, e zwyle ceny opcji egzotycznych i hybrydowych s nisze od opcji standardowych, a w wiszoci przypadów daj one podobne i wystarczajce moliwoci

2 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 22, inwestycji i zabezpiecze co opcje waniliowe (ameryasie i europejsie. Poza tym, tworzone nowe ontraty poszerzaj równie moliwoci zarzdzania ryzyiem. Natomiast rozwój technologiczny, przejawiajcy si wzrostem mocy obliczeniowej omputerów, umoliwia rozwizywania sompliowanych problemów numerycznych zwizanych z wycen produtów finansowych w czasie rzeczywistym. Coraz wisze i bardziej rónorodne zapotrzebowania inwestorów doprowadzaj do powstawania olejnych instrumentów pochodnych. Wród ostatnio wprowadzanych ontratów znaczc i coraz waniejsz rol odgrywaj opcje egzotyczne i hybrydowe. S to produty o bardziej złoonej struturze ni opcje standardowe. Obrót tymi instrumentami moe odbywa si na rynu pozagiełdowym (OTC lub/i tworzone s na zamówienie. W przypadu wyceny instrumentów tworzonych na zamówienie czsto due znaczenie ma sprawno przygotowania modelu wyceny [5]. A biorc pod uwag, e pewnych rodzajów opcji egzotycznych i hybrydowych nie mona wyceni tradycyjnymi metodami, sensownym jest w taich przypadach zastosowanie symulacji Monte Carlo do ewaluacji wartoci rozwaanych instrumentów finansowych. 2. Metoda Monte Carlo wyceny ontratów opcyjnych W biecym rozdziale przedstawiona zostanie efetywna metoda MC [8] wyceny opcji egzotycznych wraz z wycen przyładowego prostego ontratu typu azjatyciego. Metoda Monte Carlo moe by zastosowana w wielu rónych procesach stochastycznych, tae w przypadu, gdy logarytm naturalny wartoci instrumentu bazowego zachowuje si zgodnie z geometrycznym ruchem Browna: 2 ds = + µ S + σ Sdt + σsdz 2 Podejcie metodami Monte Carlo do wyceny opcji jao pierwszy zaprezentował Boyle [2, 0, ]. MC s zazwyczaj wyorzystywane, gdy nie ma dostpnych wzorów analitycznych i modeli dysretnych. Tzn. w przypadu, gdy cena instrumentu podstawowego S jest dana poprzez: 2 ( µ σ / 2 dt+ σ dz S + ds = Se gdzie dz jest rónicz procesu Wienera [4, 2], o odchyleniu standardowym σ równym jeden i wartoci redniej (dryfu µ równej zero. W celu zasymulowania procesu, doonujemy podziału osi czasu na soczon liczb n przedziałów czasowych o ocach t 0, t, t 2,, t n oddalonych od siebie o t, wtedy ( 2 µ σ / 2 t + σ ε t t S + S = Se gdzie S jest przyrostem ceny S w zadanym przedziale czasowym t, a ε t niezalenymi warto- ciami losowymi wygenerowanymi ze standardowego rozładu normalnego N(0,. Wiszo jzyów programowania ma wbudowane funcje zwracajce warto losow z rozładu normalnego. Jeeli jedna dostpne s jedynie liczby losowe Z z przedziału od 0 do, to mog one by w prosty sposób przeształcone w losow warto rozładu normalnego. Zachodzi nastpujca relacja: ε = 2 Z i i= 6 Kolejne niezalene wartoci S n wyliczamy wic przy pomocy nastpujcej reguły [0]:

3 228 Hubert Zarzyci System ewaluacji ontratów opcyjnych metod Monte Carlo 2 ( µ σ / 2( tm tm + σ ε t tm tm Sm = Sm e, dla m= n Przyjmujc, e funcja wypłaty opcji W zaley jedynie od wartoci instrumentu bazowego S n mona zapisa wzór na cen opcji C dla pojedynczej trajetorii (rysune cen instrumentu podstawowego S 0, S, S 2,,S n : C = e rt W ( S0, S, S2,..., Sn S Stn- S tn S t S t S t2 S t t t 0 t t 2 t 3 Rys.. Pojedyncza trajetoria cen S instrumentu podstawowego t n- ródło: Opracowanie własne. natomiast po przeprowadzeniu esperymentów (rysune 2 premia opcyjna jest równa: rt es es es es C = e W ( S t 0, S t, S t 2,..., S tn es = Przy czym naley mie na uwadze, e dla adego rodzaju opcji warto funcji wypłaty W jest liczona inaczej. Kada z trajetorii na rysunu 2 odpowiada jednemu esperymentowi ze wzoru. Zaproponowana w pierwotnej wersji lasyczna metoda wyceny za pomoc symulacji Monte Carlo jest wzgldnie nieefetywna. Zadowalajca doładno wyznaczania premii opcyjnej uzysiwana jest dopiero po co najmniej dziesiciu tysicach prób. Ponadto, do 0-rotnego zwiszenia doładnoci oblicze potrzeba przeprowadzi a 00 razy wicej prób [8]. Opracowano jest wiele techni pozwalajcych przypieszy opisywan metod. Najczciej stosowane s metody z wyorzystaniem reducji wariancji [3, ]. Zaliczamy do nich metody: zmiennych antytetycznych (ang. antithetic variates, losowanie warstwowe (ang. stratified sampling, redniej waonej (ang. importance sampling, zmiennych ontrolnych (ang. control variates.

4 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 22, S S tn S t0 S t S t2 S t3 S tn- t t 0 t t 2 t 3 t n- t n Rys. 2. Losowe trajetorie cen instrumentu bazowego S po przeprowadzeniu esperymentów ródło: Opracowanie własne, [6]. 3. Wycena opcji azjatycich metod MC Rozwaymy teraz efetywny sposób wyceny metod Monte Carlo przyładowego ontratu egzotycznego - opcji azjatyciej. Istniej dwa podstawowe typy opcji; ontrat upna (ang. call lub sprzeday (ang. put. O wartoci wypłaty z opcji decyduje cena wyonania X. Funcja wypłaty dla ontratu azjatyciego uzaleniona jest równie od redniej S A cen instrumentu podstawowego. W poniszej tabeli znajduj si funcje wypłaty W opcji azjatycich. Tabela. Funcje wypłaty opcji azjatycich Typ azjatycie opcja upna (ang. asian average price call azjatycie opcja sprzeday (ang. asian average price put ródło: Opracowanie własne, [6]. Funcja wypłaty W call = max(0, S A -X W put = max(0, X- S A Zgodnie z podejciem zaproponowanym przez Broadie go i Glasserman a [3] do przeprowadzenia pojedynczego esperymentu potrzebne bdzie utworzeniu grup obserwacyjnych wejcia w puntach t we oraz grup obserwacyjnych wyjcia w puntach t wy. Ponisze wzory uazuj sposób wyliczania wartoci opcji w momencie wyganicia (funcji wypłaty za pomoc metody MC z uwzgldnieniem grup obserwacyjnych:

5 230 Hubert Zarzyci System ewaluacji ontratów opcyjnych metod Monte Carlo W n = max 0, m j= S(t wy,i i= call X m, gdzie: n S(t we,j W i m; j p; t we, = t 0 ; t we, < t we,2 < < t we,m < t n ; put = max 0,X n m n i= m j= S S (t (t wy,i we,j t we,m < t wy, < t wy,2 < < t wy,n; t wy,n = t n ; m+p n Po przeprowadzeniu esperymentów oraz zdysontowaniu W call (W put do wartoci obecnej otrzymujemy cen opcji: rt es rt es Ccall = e W, C call put = e W put es= es = Wyznaczajc warto opcji, zwyle równie oblicza si współczynnii wraliwo ceny na zmian czynniów, tóre t cen determinuj. Czynniami, tóre wpływaj na cen opcji s: cena instrumentu pierwotnego S, cena wyonania X, zmienno cen instrumentu pierwotnego, długo oresu do terminu wyganicia opcji t, oraz wolna od ryzya stopa procentowa r. Odpowiednio współczynnii delta, gamma, lambda, teta i ro wsazuj w jai sposób zmieni si cena opcji, gdy czynnii wpływajce na cen opcji zmieni si o jednost. Współczynnii wraliwoci stanowi z puntu widzenia inwestora bardzo cenn informacj. Dlatego s one niezbdn czci systemu wyceny. Szczegółowe rozpisanie metodologii wyznaczania współczynniów wraliwoci w metodzie MC przeracza ramy tego opracowania. Wicej na ten temat mona znale w opracowaniu Michaela C. Fu i Jian Qiang Hu [9]. 4. System informatyczny wyceny opcji egzotycznych i hybrydowych Według Turbana systemy wspomagania decyzji [5, 7, 3] s przeznaczone dla decydentów na rónych poziomach organizacji i zajmuj si decyzjami pół-ustruturalizowanymi. Z taim problemem stya si analitya finansowego przy podejmowaniu decyzji, czy dany moment jest dobry do zainwestowania i zaupu/sprzeday ontratów opcyjnych. Automatyzacja procesu przetwarzania danych prowadzca do jednoznacznej decyzji inwestycyjnej nie jest moliwa. Gdyby metoda dała si wyrazi jao algorytm, wówczas proces decyzyjny byłby ustruturalizowany i mógłby by rozwizany automatycznie. Mamy tu jedna do czynienia z problemem słabo lub le ustruturalizowanym, w tórym nie ma algorytmu jednoznacznie wsazujcego prawidłowy wybór. Mona jedynie poprzez wsazówi taie ja warto teoretyczna opcji oraz współczynnii wraliwoci wspomóc procesy decyzyjne. Projet systemu powinien oncentrowa si zarówno na ulepszaniu obecnie dostpnych rozwiza ja i wiszej oferty dostpnych instrumentów. Schemat pogldowy systemu przedstawiono na rysunu 3.

6 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 22, Uytowni GUI, Arusz alulacyjny System wyceny opcji Impliowana zmienno, moduły podpowiedzi. Apliacja i bibliotei do wyznaczanie wartoci opcji. Wyznaczanie współczynniów wraliwo- ci. System monitoringu instrumentów finansowych. ródło: Opracowanie własne. Rys. 3. Schemat pogldowy systemu wyceny opcji egzotycznych Dane do systemu wprowadzane s przez uytownia do arusza alulacyjnego stanowicego interfejs graficzny. Warto nadmieni, e arusze alulacyjne, a szczególnie Excel, s standardem wród analityów finansowych. GUI w aruszu powinien by oparty na intuicyjnym podej- ciu i uniemoliwia wprowadzenie nieprawidłowych danych. Przyładowo wprowadzone wartoci dla opcji z nierealistycznymi danymi np. niewłaciwymi datami naley odrzuci. Po przefiltrowaniu i przygotowaniu danych wejciowych, za pomoc odu VB, s one przesyłane z arusza do apliacji ewaluacyjnej. Wyznaczona warto opcji moe by nastpnie uyta do wyliczenia współczynniów wraliwoci. Dodatow funcjonalnoci systemu, nie opisywan w tym doumencie ze wzgldu na obszerno, powinny by: wyznaczanie impliowanej zmiennoci [3, ], moduły podpowiedzi oraz przygotowanie wyresów funcji wypłaty. Wszystie rezultaty s zwracane do arusza alulacyjnego. Teoretyczne wartoci instrumentów finansowych i współczynnii wraliwoci mog by przeazywane do zewntrznego systemu czasu rzeczywistego ontrolujcego otwarte pozycje w ontratach. Obecnie na rynu oprogramowania mona znale bardzo wiele narzdzi umoliwiajcych proste i szybie tworzenie apliacji (np..net. Apliacja ewaluacji wartoci opcji i współczynniów wraliwoci powinna by utworzona z pomoc najszybszych obietowych jzyów programowania i zarazem jzyów czwartej generacji (np. c++, c#,. Najwisz ich zalet jest moliwo tworzenia sompliowanych bibliote bez pisania nadmiernej iloci odu, w sposób automatyczny bazujc na standardowych omponentach i funcjach.

7 232 Hubert Zarzyci System ewaluacji ontratów opcyjnych metod Monte Carlo 5. Podsumowanie System wyceny opcji egzotycznych i hybrydowych musi spełnia wysoie wymagania stawiane przez inwestorów. Obecna technia umoliwia stworzenie taiego systemu w oparciu o metody Monte Carlo. Rozwaany system wyceny powinien by zaprojetowany w ten sposób, by zapewniajc doładno ewaluacji produtów finansowych oraz umoliwiał wspomaganie podejmowania inwestycyjnych decyzji giełdowych i pozagiełdowych. Najwisz zalet systemu jest umoliwienie niesompliowanego i niedługotrwałego dodawania algorytmów wyceny olejnych złoonych produtów finansowych. W wiszoci przypadów, do wprowadzenia nowego produtu niezbdna bdzie jedynie przygotowanie i implementacja funcji wypłaty ontratu. Funcja wypłaty moe orzysta ze wspólnego generatora MC i powizanych bibliote. Szeroi wachlarz dostpnych instrumentów finansowych w bibliotece pozwoli sprosta rosncym wymaganiom inwestorów. System powinien równie posiada mechanizmy zabezpiecze przed wprowadzaniem nieprawidłowych danych, wylicza impliowan zmienno, współczynnii wraliwoci i posiada moduł podpowiedzi. Apliacja dzii swoim moliwoci stanowi pratyczne i unialne na polsim rynu narzdzie wspomagania inwestycyjnego. Bibliografia. Blac F., Scholes M.: The valuation of option contracts and a test of maret efficiency, Journal of Finance, 972 May. 2. Boyle P.: Options: A Monte Carlo Approach, Journal of Financial Economics, 4, Broadie M., Glasserman P.: Monte Carlo methods for security pricing, Journal of Economic Dynamics and Control 2, s Cerny A.: Mathematical Techniques in Finance, Princeton University Press, Chorafas D.: Financial models and simulation. McMillan Press, London Cox J., Ross S., Rubinstein M.: Option pricing. A simplified Approach. Journal of Financial Economics, 979 March. 7. Czermisi J.: Systemy wspomagania decyzji w zarzdzaniu przedsibiorstwem, TNOiK, Toru Duffie D., Glynn P.: Efficient Monte Carlo estimation of security prices, Ann. Applied Probability 5, Fu, M., Hu, J.Q.: Sensitivity analysis for Monte Carlo simulation of option pricing. Probability in the Engineering and Information Sciences Vol 9, s , Sept.994, revised June Haug E.: The complete guide to option pricing formulas, McGraw Hill, Hull, J.C. Options, Futures and Other Derivatives (Upper Saddle River, NJ, 6th Edition, Prentice Hall Jaubowsi J., Palczewsi A., Rutowsi M, Stettner Ł.: Matematya finansowa, Wydawnictwa Nauowo-Techniczne Radosisi E.: Systemy informatyczne w dynamicznej analizie decyzyjnej. PWN Tarczysi W., Zwolanowsi M.: Inynieria Finansowa, Agencja Wydawnicza PLACET, Warszawa 999.

8 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZDZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 22, Turban E.: Decision Support Systems and Expert Systems, Prentice Hall, Englewood Cliffs Zarzyci H.: Wspomaganie decyzji w informatycznym systemie zarzdzania inwestycjami na rynach terminowych, Praca dotorsa, Politechnia Szczecisa, Wydział Informatyi COMPUTER SYSTEM FOR VALUING OPTIONS WITH MONTE CARLO APPROACH Summary There is continuous necessity to widen the possibilities of the investment management. The exotic and hybrid options have large potential to hedge against the investment ris. Trading of such products is conducted in over-the-counter (OTC marets. These are often custom tailored products. It is not possible to evaluate some inds of exotic and hybrid options with traditional analytical and numerical pricing methods. In such cases, it maes perfect sense to price financial instruments with Monte - Carlo method. The article introduces a proposal of derivatives pricing system with MC approach. Additionally, the effective valuation of an exemplary exotic option has been presented. Keywords: Monte Calro methods, decision support systems, exotic and hybrid options, financial engineering, option pricing Hubert Zarzyci Wydział Zarzdzania Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy w Bydgoszczy