Wp³yw czasu wygaœniêcia na w³asnoœæ opcji kupna o uwarunkowanej premii Wp³yw czasu wygaœniêcia na w³asnoœci opcji kupna o uwarunkowanej premii

Transkrypt

1 Ewa Dziawgo * Ewa Dziawgo Wp³yw czasu wygaœniêcia na w³asnoœæ opcji kupna o uwarunkowanej premii Wp³yw czasu wygaœniêcia na w³asnoœci opcji kupna o uwarunkowanej premii Wstêp Rosn¹ca zmiennoœæ warunków rynkowych przyczynia siê do wzrostu zapotrzebowania na nowe instrumenty finansowe, których zastosowanie w transakcjach finansowych umo liwi³oby skuteczniejsze zarz¹dzanie ryzykiem rynkowym. Opcja jest niesymetrycznym instrumentem pochodnym, co oznacza, e jedna ze stron (nabywca opcji) ma prawo, a druga strona (wystawca opcji) ma obowi¹zek wykonania kontraktu (o ile opcja jest realizowana) [Hull, 2002, s. 4; Tarczyñski, Zwolankowski, 1999, s. 77]. Niesymetrycznoœæ praw i obowi¹zków na³o onych na strony transakcji sprawia, e kontrakt opcyjny jest szczególnym instrumentem zarz¹dzania ryzykiem rynkowym. Opcja o uwarunkowanej premii charakteryzuje siê nieci¹g³oœci¹ funkcji wyp³aty. W artykule przedstawiono w³asnoœci opcji kupna o uwarunkowanej premii. Celem artyku³u jest przedstawienie wp³ywu czasu wygaœniêcia na cenê oraz na kszta³towanie siê wartoœci wspó³czynnika delta opcji kupna o uwarunkowanej premii 1. Wspó³czynnik delta jest jednym z najwa niejszych wspó³czynników wykorzystywanych w analizie ryzyka kontraktów opcyjnych [Jajuga, 2007, s. 112]. Wspó³czynnik ten jest miar¹ wra liwoœci, która okreœla, o ile zmieni siê cena opcji, gdy cena instrumentu bazowego zmieni siê o jednostkê [Dziawgo, 2010, s. 126]. Ilustracja empiryczna zawarta w artykule jest przeprowadzona na podstawie symulacji wyceny opcji walutowych wystawionych na EUR/PLN. Niniejsze opracowanie jest fragmentem pracy naukowej finansowanej ze œrodków przeznaczonych na naukê w latach jako projekt badawczy. 1. W³asnoœci opcji kupna o uwarunkowanej premii Nabywca opcji o uwarunkowanej premii p³aci wystawiaj¹cemu premiê tylko wtedy, gdy opcja w dniu wygaœniêcia jest typu po-cenie lub w-cenie 1. * Dr, Katedra Ekonometrii i Statystyki, Wydzia³ Nauk Ekonomicznych i Zarz¹dzania, Uniwersytet Miko³aja Kopernika w Toruniu, dziawew@umk.pl, ul. Gagarina 13A, Toruñ 1 Opcja kupna jest typu w-cenie/nie-w-cenie, jeœli cena instrumentu bazowego jest wiêksza/ mniejsza od ceny wykonania opcji. Gdy cena instrumentu bazowego jest równa cenie wykonania, opcja kupna jest typu po-cenie [Dziawgo, 2010, s. 35].

2 116 Ewa Dziawgo Premia p³acona jest w dniu wygaœniêcia opcji. Jeœli opcja w dniu wygaœniêcia jest typu nie-w-cenie, to nabywca opcji nie p³aci wystawiaj¹cemu premii w ogóle [Napiórkowski, 2002, s. 19; Dziawgo, 2011, s. 265]. Funkcja wyp³aty opcji kupna o uwarunkowanej premii jest postaci: S K c S K f, gdy w 0, gdy S K (1) gdzie: f w funkcja wyp³aty opcji kupna, S cena instrumentu bazowego, K cena wykonani opcji, c premia. Punkt, w którym cena instrumentu bazowego jest równa cenie wykonania, jest punktem nieci¹g³oœci funkcji wyp³aty opcji kupna o uwarunkowanej premii. Cena opcji kupna o uwarunkowanej premii jest wyra ona wzorem [Gastineau, 1994, s. 44]: ( r q ) T N( d1 ) c Se K N( d ) 2 (2) gdzie: T czas wygaœniêcia opcji, r stopa procentowa, zmiennoœæ ceny instrumentu bazowego 2, q stopa dywidendy, N( d ) wartoœæ dystrybuanty rozk³adu normalnego zmiennej d, S 2 ln ( r q 0, 5 ) T K d1, T d 2 d1 T, pozosta³e oznaczenia s¹ takie same jak we wzorze (1). Przyk³ad Rozwa ania dotycz¹ kszta³towania siê ceny opcji kupna o uwarunkowanej premii. Na rysunku 1 przedstawiono kszta³towanie siê ceny zwyk³ej opcji kupna oraz opcji kupna o uwarunkowanej premii. Opcje 2 Zmiennoœæ ceny instrumentu bazowego jest mierzona odchyleniem standardowym.

3 Wp³yw czasu wygaœniêcia na w³asnoœci opcji kupna o uwarunkowanej premii 117 wystawione s¹ na EUR/PLN. Termin wygaœniêcia opcji wynosi 6 miesiêcy. Cena wykonania opcji wynosi 4,20 z³. Symulacja wyceny przeprowadzona jest dla okresu r. Cena zwyk³ej opcji jest wyznaczona z modelu Garmana-Kohlhagena [Garman, Kohlhagen, 1983, s. 231]. Rysunek 1. Kszta³towanie siê ceny opcji kupna o uwarunkowanej premii oraz zwyk³ej opcji kupna W okresie r., r., r. rozpatrywane opcje by³y typu nie-w-cenie. Dnia r., r. i r. cena instrumentu bazowego kszta³towa³a siê w pobli u ceny wykonania. W pozosta³ym analizowanym okresie opcja by³a typu w-cenie, a w okresie r. silnie-nie-w-cenie. Z analizy kszta³towania siê cen wynika, e: opcja kupna o uwarunkowanej premii jest dro sza od zwyk³ej opcji kupna, jeœli opcja jest typu silnie-w-cenie, to zmniejszaj¹ siê ró nice miêdzy wartoœciami opcji kupna o uwarunkowanej premii oraz zwyk³ej opcji kupna, wzrost/spadek ceny instrumentu bazowego wp³ywa na wzrost/spadek ceny zarówno opcji kupna o uwarunkowanej premii, jak i zwyk³ej opcji kupna.

4 118 Ewa Dziawgo 2. Wp³yw czasu wygaœniêcia na cenê opcji kupna o uwarunkowanej premii Na rysunku 2 przedstawiono kszta³towanie siê cen dwóch opcji kupna o uwarunkowanej premii, które ró ni¹ siê czasem wygaœniêcia. Opcje wystawione s¹ na EUR/PLN. Cena wykonania opcji wynosi 4,20 z³. Symulacja wyceny jest przeprowadzona dla okresu r. Termin wygaœniêcia pierwszej opcji (ozn. op. 1.) wynosi 3 miesi¹ce. Z kolei termin wygaœniêcia drugiej rozpatrywanej opcji (ozn. op. 2.) wynosi 6 miesiêcy. Rysunek 2. Kszta³towanie siê ceny opcji kupna o uwarunkowanej premii z terminem wygaœniêcia 3 miesi¹ce (op. 1.) oraz z terminem wygaœniêcia 6 miesiêcy (op. 2.) D³u szy termin wygaœniêcia wp³ywa na wzrost ceny opcji kupna o uwarunkowanej premii. Mniejszym wahaniom w czasie ulega cena opcji z d³u szym terminem wygaœniêcia. Rysunek 3 jest ilustracj¹ kszta³towania siê wartoœci wspó³czynnika theta rozpatrywanych opcji kupna o uwarunkowanej premii, które ró ni¹ siê terminem wygaœniêcia. Wspó³czynnik theta jest miar¹ wra liwoœci ceny opcji, która okreœla zmianê wartoœci opcji, gdy d³ugoœæ okresu do terminu wygaœniêcia spadnie o jednostkê [Dziawgo, 2010, s. 140]. Wartoœæ wspó³czynnika theta opcji kupna o uwarunkowanej premii jest ujemna. Oznacza to, e zbli anie siê terminu wygaœniêcia opcji wp³ywa na spadek ceny opcji. Wiêksza wartoœæ bezwzglêdna wspó³czynnika theta œwiadczy o wiêkszym wp³y-

5 Wp³yw czasu wygaœniêcia na w³asnoœci opcji kupna o uwarunkowanej premii 119 wie zmniejszania siê d³ugoœci okresu do terminu wygaœniêcia na cenê opcji. Rysunek 3. Kszta³towanie siê wartoœci wspó³czynnika theta opcji kupna o uwarunkowanej premii z terminem wygaœniêcia 3 miesi¹ce (op. 1.) oraz z terminem wygaœniêcia 6 miesiêcy (op. 2.) Jeœli opcje s¹ typu silnie-w-cenie, to wystêpuj¹ nieznaczne ró nice miêdzy wartoœciami wspó³czynnika theta rozpatrywanych opcji. Gdy cena instrumentu bazowego zbli a siê do ceny wykonania, wystêpuje spadek wartoœci wspó³czynnika theta. Przy czym wiêkszy spadek wartoœci wspó³czynnika theta wystêpuje w przypadku opcji, która charakteryzuje siê krótszym terminem wygaœniêcia. Wówczas cena opcji charakteryzuje siê najwiêksz¹ wra liwoœci¹ na up³ywaj¹cy czas. Wzrost/spadek ceny instrumentu bazowego w stosunku do ceny wykonania wp³ywa na wzrost wartoœci wspó³czynnika theta opcji. Cena opcji z krótszym terminem wygaœniêcia odznacza siê wiêksz¹ wra liwoœci¹ na zmianê czasu. Rysunek 4 przedstawia kszta³towanie siê wartoœci wspó³czynnika theta analizowanej opcji kupna o uwarunkowanej premii oraz zwyk³ej opcji kupna. Termin wygaœniêcia rozpatrywanych opcji wynosi 6 miesiêcy.

6 120 Ewa Dziawgo Rysunek 4. Kszta³towanie siê wartoœci wspó³czynnika theta opcji kupna o uwarunkowanej premii oraz zwyk³ej opcji kupna Wartoœci wspó³czynnika theta opcji kupna o uwarunkowanej premii s¹ znacznie mniejsze od wartoœci wspó³czynnika theta zwyk³ej opcji kupna. Wynika to st¹d, e w porównaniu ze zwyk³¹ opcj¹ cena opcji kupna o uwarunkowanej premii charakteryzuje siê znacznie wiêksz¹ wra liwoœci¹ na zbli anie siê terminu wygaœniêcia. 3. Wp³yw czasu wygaœniêcia na kszta³towanie siê wartoœci wspó³czynnika delta opcji kupna o uwarunkowanej premii Rozwa ania dotycz¹ wp³ywu ceny instrumentu bazowego na cenê opcji kupna o uwarunkowanej premii. Wspó³czynnik delta zwyk³ej opcji kupna przyjmuje wartoœci dodatnie z przedzia³u [0; 1]. Dodatnia wartoœæ wspó³czynnika delta oznacza, e wzrost/spadek ceny instrumentu bazowego wp³ywa na wzrost/spadek ceny opcji. Wartoœci wspó³czynnika delta zwyk³ej opcji kupna typu silnie-w-cenie zmierzaj¹ do 1. W przypadku zwyk³ej opcji kupna typu silnie-nie-w-cenie wartoœci wspó³czynnika delta malej¹ do 0. Wiêksza wartoœæ wspó³czynnika delta œwiadczy o wiêkszym wp³ywie zmiany ceny instrumentu bazowego na cenê opcji. Na rysunku 5 przedstawiono kszta³towanie siê wartoœci wspó³czynnika delta rozpatrywanych opcji kupna o uwarunkowanej premii. Opcje ró ni¹ siê terminem wygaœniêcia. Jedna z opcji charakteryzuje siê terminem wygaœniêcia równym 3 miesi¹ce. Z kolei termin wygaœniêcia drugiej opcji wynosi 6 miesiêcy. Rysunek 6 ilustruje wp³yw terminu wygaœniêcia na kszta³towanie siê wartoœci wspó³czynnika delta. Rozpatrywane s¹ ró -

7 Wp³yw czasu wygaœniêcia na w³asnoœci opcji kupna o uwarunkowanej premii 121 ne typy opcji kupna o uwarunkowanej premii. Natomiast rysunek 7 przedstawia wp³yw terminu wygaœniêcia na kszta³towanie siê wartoœci wspó³czynnika delta zwyk³ych opcji kupna. Rysunek 5. Kszta³towanie siê wartoœci wspó³czynnika delta opcji kupna o uwarunkowanej premii z czasem wygaœniêcia 3 miesi¹ce (op. 1.) oraz z czasem wygaœniêcia 6 miesiêcy (op. 2.) Wartoœci wspó³czynnika delta opcji kupna o uwarunkowanej premii, podobnie jak w przypadku zwyk³ej opcji kupna, zawarte s¹ w przedziale [0; 1]. Rysunek 6. Wp³yw terminu wygaœniêcia na kszta³towanie siê wartoœci wspó³czynnika delta opcji kupna o uwarunkowanej premii

8 122 Ewa Dziawgo Rysunek 7. Wp³yw terminu wygaœniêcia na kszta³towanie siê wartoœci wspó³czynnika delta zwyk³ej opcji kupna Z analizy kszta³towania siê wartoœci wspó³czynnika delta wynikaj¹ nastêpuj¹ce wnioski: wartoœci wspó³czynnika delta opcji kupna o uwarunkowanej premii z krótszym terminem wygaœniêcia s¹ wiêksze od wartoœci wspó³czynnika delta opcji z d³u szym terminem wygaœniêcia, jeœli opcje o uwarunkowanej premii charakteryzuj¹ siê ró nymi terminami wygaœniêcia, to mniejsze ró nice miêdzy wartoœciami wspó³czynnika delta wystêpuj¹ w sytuacji, kiedy opcje s¹ typu silnie-nie-w-cenie, wartoœci wspó³czynnika delta opcji kupna o uwarunkowanej premii typu silnie-nie-w-cenie s¹ wiêksze od wartoœci wspó³czynnika delta zwyk³ej opcji kupna; w pozosta³ych przypadkach wartoœci wspó³czynnika delta opcji kupna o uwarunkowanej premii s¹ mniejsze od wartoœci wspó³czynnika delta zwyk³ej opcji kupna. Jeœli zwyk³a opcji kupna jest typu w-cenie oraz nie-w-cenie, to zbli anie siê terminu wygaœniêcia wp³ywa na spadek wartoœci wspó³czynnika delta. Z kolei jeœli zwyk³a opcja kupna jest typu w-cenie, to zmniejszanie siê d³ugoœci okresu do terminu wygaœniêcia przyczynia siê do wzrostu wartoœci wspó³czynnika delta. W przypadku opcji kupna o uwarunkowanej premii dla ka dego typu tej opcji krótszy termin wygaœniêcia wp³ywa na wzrost wartoœci wspó³czynnika delta.

9 Wp³yw czasu wygaœniêcia na w³asnoœci opcji kupna o uwarunkowanej premii 123 Zakoñczenie Opcja kupna o uwarunkowanej premii charakteryzuje siê nietypow¹ form¹ rozliczenia. W dniu zawarcia umowy nabywca opcji kupna o uwarunkowanej premii nie p³aci premii. Wystawca opcji o uwarunkowanej premii otrzymuje premiê tylko wtedy, gdy opcja w dniu wygaœniêcia jest typu w-cenie lub po-cenie. Z wystawienia opcji kupna o uwarunkowanej premii jest osi¹gany zysk, jeœli w przysz³oœci wyst¹pi nieznaczny wzrost ceny instrumentu bazowego w stosunku do ceny wykonania. Z zastosowania opcji kupna o uwarunkowanej premii w transakcjach zabezpieczaj¹cych otrzymuje siê dodatni wynik finansowy, jeœli w przysz³oœci wyst¹pi znaczny wzrost ceny instrumentu bazowego w stosunku do ceny wykonania. W przypadku opcji kupna o uwarunkowanej premii wœród czynników wp³ywaj¹cych na cenê opcji szczególne miejsce zajmuje cena instrumentu bazowego oraz czas wygaœniêcia. W porównaniu ze zwyk³¹ opcj¹ cena opcji kupna o uwarunkowanej premii jest bardziej wra liwa na zbli anie siê terminu wygaœniêcia. Czas wygaœniêcia w istotny sposób wp³ywa równie na kszta³towanie siê wartoœci wspó³czynnika delta opcji kupna o uwarunkowanej premii. Wiêksze wartoœci wspó³czynnika delta wystêpuj¹ w przypadku opcji, które charakteryzuj¹ siê krótszym terminem wygaœniêcia. Cena opcji z krótszym terminem wygaœniêcia jest bardziej wra liwa na zmianê ceny instrumentu bazowego. Znaczna wra - liwoœæ ceny opcji kupna o uwarunkowanej premii wystêpuj¹ca w sytuacji, kiedy cena instrumentu bazowego oscyluje wokó³ ceny wykonania, sprawia, e ten rodzaj kontraktu opcyjnego jest atrakcyjnym instrumentem transakcji spekulacyjnych. Literatura 1. Dziawgo E. (2010), Wprowadzenie do strategii opcyjnych, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Miko³aja Kopernika, Toruñ. 2. Dziawgo E. (2011), Zastosowanie opcji o uwarunkowanej premii w warunkach podwy szonego ryzyka, [w:] Zarz¹dzanie wartoœci¹ instytucji finansowych, red. R. P³oska, M. Chmielewski, Fundacja Rozwoju Uniwersytetu Gdañskiego, Sopot. 3. Garman M.B., Kohlhagen S.W. (1983), Foreign currency option values, Journal of International Money and Finance, no. 2, s Gastineau G. (1994), An introduction to Special-Purpose Derivatives, The Journal of Derivatives, no. 1, s

10 124 Ewa Dziawgo 5. Hull C.J. (2002), Options, Futures and other Derivatives, Prentice Hall International, London. 6. Jajuga K. (2007), Zarz¹dzanie ryzykiem, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. 7. Napiórkowski A. (2002), Charakterystyka, wycena i zastosowanie wybranych opcji egzotycznych, NBP, Warszawa. 8. Tarczyñski W., Zwolankowski M. (1999), In ynieria finansowa, Agencja Wydawnicza Placet, Warszawa. Streszczenie W artykule przedstawiono zagadnienia zwi¹zane z opcj¹ kupna o uwarunkowanej premii: charakterystykê instrumentu, funkcjê wyp³aty, model wyceny oraz analizê wp³ywu czasu wygaœniêcia na w³asnoœci opcji. Ilustracja empiryczna zawarta w artykule przeprowadzona jest na podstawie symulacji wyceny opcji wystawionych na EUR/PLN. S³owa kluczowe opcja kupna, opcja o uwarunkowanej premii The influence of the time to maturity on the properties for contingent premium call option (Summary) The article presents the issues connected with contingent premium options: characteristics of instruments, the payoff function, the pricing model and the analysis of the influence of the time to maturity on the properties for option. The empirical illustration included in the article are concerned with the pricing simulations of the option on EUR/PLN. Keywords call option, contingent premium option