Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Transkrypt

1 Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 4. Instrumenty pochodne podstawy Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka w ekonomii i finansach Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 1/33

2 Instrumenty pochodne Instrumenty pochodne, derywaty, derywatywy (ang. derivatives) są instrumentami finansowymi, których wartość uzależniona jest od ceny innego instrumentu, który nazywamy instrumentem pierwotnym bądź bazowym. Instrumentami bazowymi mogą być akcje, obligacje, zboża, ropa, metale szlachetne lub inne surowce naturalne. Cena instrumentu pochodnego może również zależeć od wartości pewnych wskaźników finansowych: kursów walut, poziomów stóp procentowych, bądź wartości indeksów giełdowych. Instrument pochodny jest umową o przeprowadzeniu w przyszłości transakcji typu kupno-sprzedaż. W momencie zawierania umowy określa się termin wykonania takiej transakcji oraz cenę kupna (sprzedaży). Wynik finansowy takiej transakcji (tzn. która ze stron na niej zarobi, a która straci) jest w momencie zawierania umowy nieznany, zależy bowiem od przyszłej ceny instrumentu bazowego. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 2/33

3 Kontrakty i opcje Instrumenty pochodne możemy podzielić na dwa podstawowe typy: kontrakty charakteryzują się tym, że obie strony transakcji muszą wypełnić swoje zobowiązania, opcje są to transakcje niesymetryczne, jedna ze stron (posiadacz opcji) może (ale nie musi) skorzystać ze swojego prawa do realizacji umowy, druga strona (wystawca opcji) musi wypełnić swoje zobowiązanie, jeżeli posiadacz opcji tego zażąda. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 3/33

4 Rynek idealny Zakładamy, że rynek, na którym działamy jest rynkiem idealnym, tzn.: wolna od ryzyka stopa procentowa r jest stała, oprocentowanie kredytów i depozytów jest jednakowe, nie ma ograniczeń w dostępie do kredytów, ich wysokość jest nieograniczona, inwestorzy nie ponoszą żadnych dodatkowych kosztów, rynek jest płynny, tzn. zawsze możemy kupić lub sprzedać dowolną liczbę aktywów, dopuszczalna jest krótka sprzedaż instrumentów finansowych, instrumenty bazowe są podzielne, wszyscy inwestorzy mają taki sam dostęp do informacji, uczestnicy rynku są małymi inwestorami, ich samodzielne działanie nie zmienia cen, uczestnicy rynku zachowują się racjonalnie, tzn. preferują większe bogactwo, na rynku brak jest możliwości arbitrażu, tzn. osiągania zysku bez ponoszenia ryzyka. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 4/33

5 Kontrakty forward Kontrakt terminowy typu forward jest umową zawartą w chwili początkowej, w której jedna ze stron zobowiązuje się kupić, druga zaś sprzedać, pewne dobro w ustalonej chwili T w przyszłości za z góry określona cenę K. Stronę, która zobowiązuje się do dostarczenia przedmiotu kontraktu, nazywamy wystawcą kontraktu lub mówimy, że zajmuje tzw. krótką pozycję (ang. short position). Drugą stronę, która zobowiązuje się do zapłaty za dostarczony towar, nazywamy nabywcą kontraktu, bądź mówimy, że zajmuje długą pozycję (ang. long position). Termin T rozliczenia kontraktu nazywamy zwykle terminem wygaśnięcia (rozliczenia, wykonania ang. maturity), a cenę K ceną rozliczenia (dostarczenia, wykonania, forward ang. exercise price). Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 5/33

6 Kontrakty forward Strony kontraktu ustalają, czy w terminie wygaśnięcia wymagana jest fizyczna dostawa towaru, czy rozliczenie gotówkowe (ang. cash settlement), czyli wypłata różnicy między ceną umówioną a ceną bieżącą przedmiotu transakcji. Kontrakty forward nie są standaryzowane. Mogą być zawierane na dowolną ilość towaru i na dowolny termin. Z tego powodu handluje się nimi tylko na rynku pozagiełdowym. Przy zawieraniu takich kontraktów zazwyczaj nie jest wymagane wnoszenie depozytu, a płatność następuje dopiero po dostawie. Kontrakty forward mogą być obarczone dużym ryzykiem niedotrzymania umowy przez jedną ze stron. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 6/33

7 Kontrakty forward przykład Firma A wie, że za pół roku będzie musiała zapłacić swoim podwykonawcom 1 milion dolarów za wykonane usługi. Obecny kurs wynosi 3,25 zł za dolara. Firma zawiera z bankiem kontrakt forward, zobowiązując się, że za 6 miesięcy kupi potrzebne dolary za zł (tzn. po kursie 3,2 zł za 1 dolara). Jeżeli po pól roku cena dolara wzrośnie do 3,50 zł, to firma będzie mogła kupić dolary taniej i zarobi (zaoszczędzi) zł. Jeżeli cena dolara spadnie do 3,10 zł, to firma poniesie stratę w wysokości zł. Oczywiście w przypadku banku sytuacja wygląda odwrotnie zarabia on kiedy firma traci i traci kiedy firma zarabia. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 7/33

8 Wycena kontraktów forward Wycena kontraktów forward sprowadza się do znalezienia właściwej ceny rozliczenia K. Będziemy szukać ceny sprawiedliwej, tzn. takiej, która nie dopuszcza arbitrażu. Niech S 0 będzie ceną instrumentu bazowego w momencie zawierania kontraktu, a S T ceną w chwili rozliczenia kontraktu. Jeżeli S T jest większa od ceny wykonania K, to nabywca kontraktu osiągnie zysk w wysokości S T K (kupuje on towar po cenie K i może go natychmiast sprzedać po wyższej cenie S T ). Jeżeli S T będzie niższa niż K, to nabywca kontraktu poniesie stratę w wysokości K S T. Sytuacja wystawiającego kontrakt jest odwrotna. Nietrudno zauważyć, że jedyną ceną kontraktu forward, która nie dopuszcza arbitrażu, jest K = S 0 e rt, (1) gdzie r jest wysokością rocznej stopy procentowej. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 8/33

9 Wycena kontraktów forward Istotnie, gdyby cena kontraktu była wyższa i wynosiła K 1 > K, to zysk mógłby osiągnąć wystawca kontraktu. W momencie jego zwarcia: pożyczyłby z banku kwotę S 0, kupiłby za to jedną jednostkę instrumentu bazowego. W chwili T na mocy zawartego kontraktu otrzymałby kwotę K 1, zwróciłby do banku pożyczkę wraz z odsetkami S 0 e rt. Jego zysk osiagnięty bez żadnego wkładu własnego wyniósłby K 1 S 0 e rt > K 1 S 0 e rt = 0. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 9/33

10 Wycena kontraktów forward Gdyby cena kontraktu była niższa i wynosiła K 1 < K, to nabywca kontraktu mógłby w momencie jego zawarcia: dokonać krótkiej sprzedaży instrumentu bazowego (po cenie S 0 ), pieniądze ze sprzedaży wpłacić na rachunek bankowy, W chwili T nabywca kontraktu wypłaciłby z rachunku bazowego S 0 e rt, na mocy zawartego kontraktu odkupiłby pożyczony instrument bazowy za cenę K 1. Bez żadnego własnego wkładu osiągnąłby zysk w wysokości S 0 e rt K 1 > S 0 e rt K = 0. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 10/33

11 Wycena kontraktów forward Wzór K = S 0 e rt, możemy łatwo uogólnić na przypadek instrumentu bazowego, który wypłaca dywidendę (np. akcji). Jeżeli wypłacana jest ona w sposób ciągły według stopy d w skali rocznej, to cena sprawiedliwa kontraktu forward jest równa K = S 0 e (r d)t. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 11/33

12 Wycena walutowych kontraktów forward Kontrakt walutowy polega na tym, że wystawca kontraktu zobowiązuje się sprzedać, a nabywca kupić ustaloną ilość waluty po określonym kursie. W tym przypadku ceną instrumentu podstawowego S t jest kurs walutowy w momencie t. Ceną wykonania będzie kurs, po jakim ma być dostarczona waluta. Przy wycenie takich kontraktów musimy uwzględnić dwie stopy procentowe: stopę r dla rynku krajowego i stopę r f dla rynku związanego z walutą, na którą zawierany jest kontrakt. Można pokazać, że cena sprawiedliwa (czy może raczej sprawiedliwy kurs) takiego kontraktu wynosi: K = S 0 e (r r f )T. (2) Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 12/33

13 Wycena walutowych kontraktów forward Istotnie, załóżmy, że cena ta jest wyższa i wynosi K 1 > K. Wówczas w chwili t = 0: pożyczamy (w walucie krajowej) kwotę S 0 e r f T, kupujemy za tę sumę dokładnie e r F T jednostek waluty obcej i wpłacamy je na lokatę walutową. wystawiamy kontrakt walutowy na 1 jednostkę obcej waluty. W chwili T wypłacamy z lokaty dokładnie 1 jednostkę obcej waluty (e r f T e r f T = 1) dostarczamy tę jednostkę nabywcy kontraktu i otrzymujemy z tego tytułu kwotę K 1. Na spłatę kredytu musimy przeznaczyć Nasz bilans końcowy w chwili T to S r f T 0 e rt = S 0 e (r r f )T K 1 S 0 e (r r f )T > K S 0 e (r r f )T = 0. Osiągnęliśmy zysk bez angażowania żadnych środków własnych. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 13/33

14 Kontrakty futures Wadą kontraktów forward jest duże ryzyko niedotrzymania warunków umowy przez jedną ze stron. Zasada działania kontraktu futures jest taka sama jak w przypadku kontraktu forward. Dwie strony umawiają się na kupno-sprzedaż określonego instrumentu bazowego w określonym terminie po z góry określonej cenie. Kontrakty futures są przedmiotem obrotu giełdowego, dlatego wszystkie ich parametry: ilość i jakość towaru, termin i miejsce dostarczenia, są ściśle zestandaryzowane. Główna różnica między kontraktami forward a futures polega na tym, że kontrakty futures zawierane są za pośrednictwem wyspecjalizowanej instytucji izby rozliczeniowej (ang. clearing house). Każda ze stron zawierających kontrakt musi wpłacić na konto izby pewną kwotę tzw. wstępny depozyt zabezpieczający (ang. initial margin). Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 14/33

15 Kontrakty futures Przy rozliczaniu kontraktów futures stosuje się rozliczenie dzienne. Na koniec każdego dnia porównujemy cenę kontraktu z ceną rynkową. Jeżeli zmiana ceny rynkowej spowodowała zysk inwestora, to jest on dopłacany do jego depozytu, jeżeli stratę, to jest ona od depozytu odejmowana. Jeżeli sytuacja na rynku ułoży się niekorzystnie i stan depozytu zabezpieczającego spadnie poniżej pewnej ustalonej kwoty minimum podtrzymującego izba rozliczeniowa wezwie inwestora do uzupełnienia stanu tego depozytu. Jeżeli nie spełni on tego wymagania, to kontrakt zostanie zamknięty i inwestor będzie musiał pogodzić się ze stratą. Kontrakt futures jest równoważny serii jednodniowych kontraktów forward. Pod koniec każdego dnia rozliczany jest kontrakt poprzedni i zawierany następny. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 15/33

16 Kontrakty futures Strony kontraktu mogą się zmieniać w trakcie jego trwania. Nie jest to istotne, gdyż kontrakt zawierany jest za pośrednictwem izby i obie strony nie mają ze sobą bezpośredniego kontaktu. Kontakty futures na ogół nie kończą się dostawą towaru, ale są zamykane przed terminem wygaśnięcia. Kontrakty te są przedmiotem obrotu giełdowego, zatem ich ceny kształtuje popyt i podaż na nie. Można jednak pokazać, że w warunkach rynku idealnego ceny kontraktów forward i futures (o takich samych parametrach) są zbliżone do siebie. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 16/33

17 Opcje Opcja (ang option) to kontrakt dający jednej z umawiających się stron (nabywcy kontraktu) możliwość wycofania się z umowy. Opcją kupna (ang. call option lub call) nazywamy kontrakt, który daje nabywcy (posiadaczowi) prawo do kupienia określonego w umowie instrumentu bazowego w ustalonej chwili (lub przez ustalony okres czasu) po z góry ustalonej cenie. Opcja sprzedaży (ang. put option lub put) daje nabywcy prawo do sprzedaży określonego instrumentu bazowego w ustalonej chwili (lub przez ustalony okres czasu) po z góry ustalonej cenie. Instrumentem bazowym mogą być akcje, towary, waluty obce, indeksy giełdowe itp. Opcje rozliczane są pieniężnie, w przypadku niektórych instrumentów jest to wygodniejsze, w przypadku innych, np. indeksów giełdowych, fizyczna dostawa jest po prostu niemożliwa. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 17/33

18 Opcje Opcja jest instrumentem niesymetrycznym. Posiadacz opcji (ang. holder) ma prawo, a nie obowiązek kupna lub sprzedaży instrumentu bazowego. Oczywiście skorzysta on z tego prawa tylko wtedy, gdy będzie mu się to opłacało. Wystawiający opcję (ang. writer) ma obowiązek odsprzedać (opcja kupna) lub odkupić (opcja sprzedaży) instrument bazowy, jeżeli posiadacz opcji tego zażąda. Najważniejsze parametry charakteryzujące opcję to cena wykonania (ang. strike price, exercise price) i termin wygaśnięcia (ang. expiration date, maturity). Cena wykonania to cena, za jaką właściciel opcji może kupić(sprzedać) instrument bazowy, jeżeli skorzysta ze swojego prawa. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 18/33

19 Klasyfikacja opcji Termin wygaśnięcia określa moment, po którym opcja nie może już być wykonana i traci swoją ważność. Termin ten nie zawsze jest taki sam jak termin wykonania opcji (ang. exercise date), czyli moment, w którym nabywca korzysta ze swego prawa. Opcje możemy podzielić na: europejskie (ang. European) mogą być wykonane jedynie w dniu wygaśnięcia (w tym przypadku termin wykonania jest taki sam jak termin wygaśnięcia), amerykańskie (ang. American) mogą być wykonane dowolnym dniu od momentu nabycia do momentu wygaśnięcia, bermudzkie (ang. Bermudan) mogą być wykonane w pewnych ściśle określonych datach pomiędzy momentem nabycia a terminem wygaśnięcia. Nazwy te mają jedynie znaczenie historyczne, opcjami amerykańskimi handluje się również w Europie, a europejskimi w Ameryce. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 19/33

20 Przykład Załóżmy, że posiadamy europejską opcję kupna na akcję PZU z ceną wykonania K = 100 zł i terminem wykonania T = 1 lipca 2010 roku. Jeżeli 1 lipca rynkowa cena akcji S T będzie mniejsza niż 100 zł, to opcja będzie bezwartościowa, nie opłaca się kupować akcji po 100 zł, skoro na rynku można kupić je taniej. Jeżeli 1 lipca rynkowa cena akcji S T będzie wyższa niż 100 zł, to opcję opłaca się wykonać, a nasz zysk wyniesie S T 100. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 20/33

21 Przykład Zysk posiadacza europejskiej opcji kupna o cenie wykonania K i terminie wykonania T jest równy { f (S T ) = (S T K) + S T K, gdy S T > K = max{s T K, 0} = 0, gdy S T K. Funkcje f nazywamy funkcją wypłaty, bądź wypłatą opcji (ang. payoff). Dla europejskiej opcji sprzedaży funkcja wypłaty jest określona wzorem { f (S T ) = (K S T ) + K S T, gdy S T < K = max{k S T, 0} = 0, gdy S T K. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 21/33

22 Cena opcji Opcja daje swojemu posiadaczowi pewne prawo. Za to prawo musi on zapłacić wystawcy opcji pewną opłatę wstępną, którą nazywamy ceną opcji lub premią (ang. option price, option premium). Cena ta jest kształtowana przez rynek i zmienia się w czasie. Problem wyceny opcji jest jednym z głównych zagadnień, jakimi zajmuje się matematyka finansowa. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 22/33

23 Opcje jako zabezpieczenie Opcje służą do zabezpieczania się przed niekorzystnymi zmianami cen. Opcje kupna zabezpieczają nas przed wzrostem cen, dają gwarancję, że w najgorszym wypadku będziemy mogli kupić instrument bazowy po cenie wykonania K. Oczywiście, jeżeli ceny spadną, nasza opcja będzie bezwartościowa. Opcja sprzedaży zabezpiecza przed spadkiem cen, daje gwarancję, że w najgorszym razie sprzedamy nasz instrument po cenie K. Jeżeli ceny wzrosną, opcji sprzedaży nie będzie się opłacało wykonać. Opcje można porównać do polisy ubezpieczeniowej, cenę opcji możemy traktować jak składkę ubezpieczeniową. Jeżeli zdarzy nam się nieszczęście, polisa pozwoli nam przynajmniej częściowo zrekompensować straty, jeżeli nic złego się nie wydarzy, składka przepadnie. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 23/33

24 Opcje jako instrument spekulacyjny Opcje można również wykorzystać w celach spekulacyjnych. Pozwalają one zwielokrotnić zarówno zyski, jak i straty. Załóżmy, że posiadamy 500 zł i chcemy je zainwestować w akcje PKO, gdyż spodziewamy się, że ich cena wzrośnie. Aktualna cena 1 akcji wynosi 100 zł, za posiadaną sumę możemy więc nabyć 5 akcji. Jeżeli w przyszłości cena akcji wzrośnie do 120 zł, to nasz zysk wyniesie 5 ( ) = 100 zł. Stopa zwrotu naszej inwestycji to ( )/500 = 0,2. Jeżeli pomyliliśmy się w naszych przewidywaniach i cena akcji spadnie do 90 zł, to posiadane 5 akcji przyniesie nam stratę równą 50 zł. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 24/33

25 Opcje jako instrument spekulacyjny Zamiast akcji możemy nabyć opcje kupna na akcje PKO. Cena opcji jest zazwyczaj o wiele niższa od ceny instrumentu bazowego. Załóżmy, że w naszym wypadku opcja o cenie wykonania K = 105 kosztuje 10 zł. Nasz kapitał pozwoli nam nabyć 50 opcji. Jeżeli cena akcji wzrośnie do 120 zł, to każda z 50 opcji przyniesie nam zysk = 15 zł. Nasz zysk wyniesie zatem = 250 zł, a stopa zwrotu inwestycji będzie równa ( )/500 = 0,5. Jeżeli pomyliliśmy się w naszych przewidywaniach i cena akcji spadnie do 90 zł, to nasze opcje są bezwartościowe i tracimy całą zainwestowaną sumę. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 25/33

26 Opcje waniliowe i egzotyczne Standardowe europejskie i amerykańskie opcje kupna i sprzedaży określa się czasem wspólną nazwą opcje waniliowe (ang. vanilla). Nazwa ta pochodzi podobno od podstawowego smaku amerykańskich lodów, czyli właśnie lodów waniliowych i w języku angielskim oznacza wersję podstawową, nieskażoną, czystą. Na rynku funkcjonują również opcje o bardziej skomplikowanych funkcjach wypłaty, nazywamy je opcjami egzotycznymi (ang. exotic). Skonstruowano bardzo wiele takich opcji, tutaj omówimy tylko najważniejsze z nich. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 26/33

27 Opcje binarne Opcje binarne, nazywane też cyfrowymi, to opcje, których funkcja wypłaty zależy w sposób nieciągły (skokowy) od ceny instrumentu bazowego w momencie wygaśnięcia T. Najpopularniejsze opcje tego typu to: opcje cash-or-nothing, których wypłata zależy jedynie od tego, czy cena w momencie wygaśnięcia przekroczy pewien poziom, funkcje wypłaty opcji kupna i opcji sprzedaży to odpowiednio: f (S T ) = X 1 {ST >K}, f (S T ) = X 1 {ST <K}, gdzie X i K są z góry ustalone, opcje asset-or-nothing, podobne do poprzednich, ale zamiast ustalonej kwoty posiadacz otrzymuje instrument bazowy, funkcje wypłaty opcji kupna i opcji sprzedaży to odpowiednio: f (S T ) = S T 1 {ST >K}, f (S T ) = S T 1 {ST <K}, gdzie K jest z góry ustalone. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 27/33

28 Opcje barierowe Opcje barierowe (ang. barrier) to opcje, których wypłata zależy od tego, czy w trakcie trwania kontraktu cena instrumentu bazowego spadnie poniżej albo przekroczy pewną ustaloną wartość (barierę). Najczęściej spotykane rodzaje opcji barierowych to: opcje kupna typu down-and-out tracą wartość, gdy cena instrumentu bazowego spadnie poniżej bariery B, ich funkcja wypłaty ma postać f (S t ) = (S T K) + 1 {mint T S t B}, opcje kupna typu up-and-out tracą wartość, gdy cena instrumentu bazowego przekroczy barierę B, ich funkcja wypłaty ma postać f (S t ) = (S T K) + 1 {maxt T S t B}, Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 28/33

29 Opcje barierowe opcje kupna typu up-and-in uzyskują wartość, gdy cena instrumentu bazowego przekroczy barierę B, ich funkcja wypłaty ma postać f (S t ) = (S T K) + 1 {maxt T S t B}, opcje kupna typu down-and-in uzyskują wartość, gdy cena instrumentu bazowego spadnie poniżej bariery B, ich funkcja wypłaty ma postać f (S t ) = (S T K) + 1 {mint T S t B}. W zależności od wzajemnego umiejscowienia bariery B i ceny wykonania K opcje barierowe możemy jeszcze podzielić na opcje in-the-money, jeżeli B > K i out-the-money, jeżeli B < K. W podobny sposób definiujemy barierowe opcje sprzedaży. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 29/33

30 Opcje azjatyckie Opcje azjatyckie nazywane również uśrednionymi. Ich funkcje wypłaty zależą od średniej ceny instrumentu bazowego w czasie ważności opcji. Średnią cenę możemy obliczać w sposób dyskretny: S sr = 1 n n S i/n, k=1 gdzie S i/n jest ceną zamknięcia w i-tym dniu, a N liczbą dni handlowych w roku. Rozważa się też średnie ciągłe : S sr = 1 T S t dt. T t 0 t 0 Średnią arytmetyczną czasem zastępujemy średnią geometryczną. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 30/33

31 Opcje azjatyckie Funkcja wypłaty azjatyckiej opcji kupna ma postać: dla opcji typu average value lub dla opcji typu average strike. f (S t ) = (S sr K) + f (S t ) = (S T S sr ) + Funkcje wypłaty dla azjatyckich opcji sprzedaży definiujemy analogicznie. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 31/33

32 Opcje typu lookback Opcje typu lookback to opcje, których wypłata zależy od maksymalnej lub minimalnej ceny instrumentu bazowego. Opcja kupna tego typu pozwala jej posiadaczowi kupić instrument bazowy po najniższej cenie, jaką osiągnął w okresie ważności opcji. Funkcja wypłaty tej opcji ma postać f (S t ) = S T min t [0,T ] S t. Opcja sprzedaży typu lookback pozwala jej właścicielowi sprzedać instrument podstawowy po najwyższej cenie, jaką osiągnął on w okresie ważności opcji, jej funkcja wypłaty to f (S t ) = max t [0,T ] S t S T. Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 32/33

33 Opcje zależne od trajektorii Wypłata europejskich opcji kupna oraz sprzedaży, a także opcji binarnych, zależy jedynie od ceny instrumentu bazowego w momencie wygaśnięcia T. W przypadku opcji barierowych, azjatyckich i lookback cena zależy od cen instrumentu w całym okresie [0, T ]. Takie opcje nazywamy opcjami zależnymi od trajektorii (ang. path-dependent options). Bartosz Ziemkiewicz Matematyka finansowa w pakiecie Matlab 33/33