Beata Stolorz. Słowa kluczowe: opcje, miary wrażliwości, gamma, zomma, model wyceny opcji Blacka Scholesa.

Transkrypt

1 Zomma współczynnik wrażliwości opcji Beata Stolorz Zomma współczynnik wrażliwości opcji Streszczenie: Jednym z najlepszych narzędzi pomiaru ryzyka opcji są miary wrażliwości. Odzwierciedlają one wpływ pewnych zmiennych na cenę, bądź stopę zwrotu instrumentu finansowego. Zmienne te nazywane są często czynnikami ryzyka. Wysoka wrażliwość ceny lub stopy zwrotu instrumentu finansowego na działanie czynników na nie wpływających, świadczy o wysokim ryzyku rynkowym instrumentu finansowego. W praktyce najczęściej stosowane są tzw. współczynniki greckie (Greeks): delta, gamma, theta, vega i rho. Służą one do konstrukcji różnorodnych strategii inwestowania. Jednak wraz ze zmianą czynników ryzyka, również one zmieniają swoją wartość. Stąd też wynika konieczność analizy współczynników greckich. Celem pracy jest zaprezentowanie mniej znanego współczynnika zomma europejskiej opcji kupna (call) i sprzedaży (put) dla modelu wyceny Blacka Scholesa, który określa prędkość zmian współczynnika gamma względem zmienności cen instrumentu bazowego oraz wyznaczenie jego zależności od ceny bieżącej instrumentu bazowego i czasu do wygaśnięcia opcji. Słowa kluczowe: opcje, miary wrażliwości, gamma, zomma, model wyceny opcji Blacka Scholesa. Wprowadzenie Jednym z najlepszych narzędzi pomiaru ryzyka opcji są miary wrażliwości. Odzwierciedlają one wpływ pewnych zmiennych na cenę bądź stopę zwrotu instrumentu finansowego. Zmienne te nazywane są często czynnikami ryzyka. Wysoka wrażliwość ceny lub stopy zwrotu instrumentu finansowego na działanie czynników na nie wpływających, świadczy o wysokim ryzyku rynkowym instrumentu finansowego. W praktyce najczęściej stosowane są tzw. współczynniki greckie (Greeks): delta, gamma, theta, vega i rho. Celem pracy jest zaprezentowanie mniej znanego współczynnika zomma europejskiej opcji kupna (call) i sprzedaży (put) dla modelu wyceny Blacka Scholesa oraz wyznaczenie jego zależności od ceny bieżącej instrumentu bazowego i czasu do wygaśnięcia opcji.. Miary wrażliwości Z punktu widzenia matematycznego miara wrażliwości jest to pochodna cząstkowa funkcji wyrażającej cenę opcji względem wybranego czynnika ryzyka. W tej grupie główną rolę pełnią współczynniki: delta, gamma, vega, theta i rho, należące do klasy modeli deterministycznych. Element stochastyczny występuje w podanej metodologii, jednak w postaci końcowej modele te mają postać niezależną od składnika losowego. Parametr zmienności określony jest jako odchylenie standardowe stóp zwrotu i traktuje się go jako znany. Greckie współczynniki wyrażają wpływ na cenę opcji podstawowych czynników takich jak cena instrumentu bazowego, czas do wygaśnięcia opcji, poziom zmienności instrumentu bazowego, stopa procentowa wolna od ryzyka J. Hull, Kontrakty terminowe i opcje. Wprowadzenie, WIG PRESS, Warszawa 999, s K. Jajuga (red.), Metody ekonometryczne i statystyczne w analizie rynku kapitałowego, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, Wrocław 00, s

2 Beata Stolorz (krajowa lub zagraniczna 3 ). Współczynniki te wykorzystuje się do tworzenia strategii minimalizujących ryzyko rynkowe. Wysoka wrażliwość ceny lub stopy zwrotu instrumentu finansowego na działanie czynników na nie wpływających, świadczy o wysokim ryzyku rynkowym instrumentu finansowego. Oprócz tradycyjnych współczynników greckich specjaliści analizujący opcje określają czasem jeszcze inne współczynniki wrażliwości 4 : szybkość (speed), urok (charm), kolor (colour), dual gamma, dual delta 5, volga i vanna. Współczynnik zomma określa prędkość zmian współczynnika gamma względem zmienności cen instrumentu bazowego. W sensie matematycznym jest to trzecia pochodna cząstkowa ceny opcji liczona najpierw dwukrotnie względem bieżącej ceny instrumentu bazowego, a następnie względem jej zmienności.. Współczynnik zomma dla modelu wyceny Blacka Scholesa Wartość współczynników wrażliwości jest uzależniona od przyjętego modelu wyceny opcji. Najczęściej stosowane są równania modelu Blacka Scholesa 7 c = S N p = X e d d ln = ln = r ( T t ) ( d ) X e N( d ), r ( T t ) N ( d ) S N ( d ) S X S X σ + r + σ T t σ + r σ T t ( T t) ( T t), = d, σ T t gdzie: c wartość europejskiej opcji kupna, p wartość europejskiej opcji sprzedaży, S bieżąca cena instrumentu bazowego, X cena wykonania opcji, r stopa procentowa wolna od ryzyka, T termin wygaśnięcia, t termin bieżący, σ odchylenie standardowe stopy zwrotu akcji, N(x) we wzorach () jest to wartość dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego dla argumentu x, określona następująco: () 3 B. Stolorz, Analiza współczynnika rho w modelu wyceny opcji Garmana Kohlhagena, Rynek Kapitałowy. Skuteczne Inwestowanie, część II, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Szczecińskiego, Szczecin K. Jajuga, K. Kuziak, P. Markowski, Inwestycje finansowe, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im Oskara Langego we Wrocławiu, Wrocław 998, str. 350, R. M. Korona, Niedoceniana reszta, Bank, nr 7, lipiec J. Hakala, U. Wystup (red.), Foreign Exchange Risk: Models, Instruments and Strategies, Risk Books, London 00, E. G. Haug, The Complete Guide to Option Pricing Formulas, Second Editon, McGraw Hill, New York 00. B. Stolorz, Volga i vanna współczynniki wrażliwości, [w:] W. Tarczyński (red.), Inwestowanie na rynku kapitałowym, Studia i Prace Wydziału Nauk Ekonomicznych i Zarządzania nr 0, Uniwersytet Szczeciński, Szczecin 008, s P. Wilmott, S. Howison, J. Dewynne, The Mathematics of Financial Derivatives, Cambridge University Press, Cambridge 999, s

3 Zomma współczynnik wrażliwości opcji x N e ( x ) = π y dy Czas do wygaśnięcia opcji τ można wyrazić za pomocą następującego wzoru: τ = T t, () Korzystając ze wzorów () i () można wyznaczyć współczynniki wrażliwości europejskiej opcji kupna i sprzedaży (Tabela ). Tabela. Wybrane współczynniki wrażliwości dla modelu wyceny opcji Blacka Scholesa. Wzory wyrażające wartość zomma są takie same dla opcji call i put (Tabela). Wynika to z faktu, iż wartość parametru gamma nie zależy od pozycji przyjętej przez inwestora, a parametry delta różnią się od siebie tylko stałą. Na rysunkach przedstawiono wykresy funkcji opisujących wartości współczynnika gamma dla opcji europejskiej w zależności od ceny instrumentu bazowego S i od czasu pozostającego do wygaśnięcia opcji τ. Na rysunku widać, że zależność współczynnika gamma od ceny instrumentu bazowego jest regularna, natomiast jego zależność od czasu (rysunek ) jest silnie związana z sytuacją na rynku. Współczynnik ten przyjmuje wartości nieujemne, gdyż wraz ze wzrostem ceny instrumentu bazowego rośnie wartość współczynnika delta. 3

4 Beata Stolorz gamma,4, 0,8 0, 0,4 0, 0-0, cena intrumentu bazowego Rys.. Zależności współczynnika gamma od ceny instrumentu bazowego S dla r = 0,, τ = 0, 5, X = 5, σ = 0, gamma 4 out-of-the-money at-the-money in-the-money czas Rys.. Zależności współczynnika gamma od czasu do wygaśnięcia opcji τ dla r = 0,, X = 5, σ = 0, Wartość współczynnika gamma wykorzystuje się do konstrukcji strategii zabezpieczającej gamma hedging. W tym celu tworzy się portfel o zerowym współczynniku gamma. Niskie wartości tego współczynnika oznaczają, że delta zmienia się powoli i korekty pozycji zabezpieczającej mogą być dokonywane stosunkowo rzadko, wysokie wartości współczynnika oznaczają, że posiadanie portfela o zerowej delcie nie uodparnia go na zmiany ceny instrumentu bazowego. Ponieważ wartość współczynnika gamma zmienia się wraz ze zmiennością cen instrumentu bazowego, dobrze jest obserwować zachowanie współczynnika zomma. Na rysunkach 3 4 przedstawiono wykresy funkcji opisujących wartości współczynnika zomma dla opcji europejskiej w zależności od ceny instrumentu bazowego S i od czasu pozostającego do wygaśnięcia opcji τ. 33

5 Zomma współczynnik wrażliwości opcji zomma cena intrumentu bazowego Rys. 3. Zależności współczynnika zomma od ceny instrumentu bazowego S dla σ = 0, r = 0,, τ = 0,5, X = 5, Na rysunku 3 można zauważyć, że nawet niewielka zmiana ceny instrumentu bazowego może powodować bardzo gwałtowne zmiany wartości współczynnika zomma, które to z kolei wpływają na kształtowanie się wartości tradycyjnego współczynnika greckiego gamma. zomma czas out-of-the-money at-the-money in-the-money Rys. 4. Zależności współczynnika zomma od czasu do wygaśnięcia opcji τ dla r = 0,, X = 5, σ = 0, Nie bez znaczenia jest również zmiana czasu do wygaśnięcia (rysunek 4). Można zauważyć, że zależność współczynnika zomma od czasu τ jest silnie uzależniona od relacji ceny wykonania opcji do bieżącej ceny instrumentu bazowego. Świadczy to o konieczności kontrolowania wartości tych wskaźników przy gwałtownych zmianach cen instrumentu bazowego. Podsumowanie W praktyce uważa się, że zbadanie współczynników delta, gamma, theta, vega i rho jest wystarczające do zarządzania ryzykiem opcji. Jednak w przypadku strategii tworzonych w oparciu o te parametry należy pamiętać, że ich wartość zmienia się wraz ze zmianą ceny instrumentu 34

6 Beata Stolorz podstawowego S oraz w wyniku tzw. starzenia się opcji, czyli wraz z upływem czasu. Stąd też zachodzi konieczność stosowania w zaawansowanych analizach również innych miar wrażliwości takich jak zomma. Umiejętność prawidłowej analizy wszystkich współczynników tego typu jest niezbędna przy tworzeniu różnorodnych strategii, gdyż ich skuteczność jest uzależniona od prawidłowego odczytania wpływu poszczególnych parametrów na wartość opcji. Bibliografia. J. Hakala, U. Wystup (red.), Foreign Exchange Risk: Models, Instruments and Strategies, Risk Books, London 00.. E. G. Haug, The Complete Guide to Option Pricing Formulas, Second Editon, McGraw Hill, New York J. Hull, Kontrakty terminowe i opcje. Wprowadzenie, WIG PRESS, Warszawa K. Jajuga (red.), Metody ekonometryczne i statystyczne w analizie rynku kapitałowego, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu, Wrocław K. Jajuga, K. Kuziak, P. Markowski, Inwestycje finansowe, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej im Oskara Langego we Wrocławiu, Wrocław R. M. Korona, Niedoceniana reszta, Bank, nr 7, lipiec B. Stolorz, Analiza współczynnika rho w modelu wyceny opcji Garmana Kohlhagena, Rynek Kapitałowy. Skuteczne Inwestowanie, część II, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Szczecińskiego, Szczecin B. Stolorz, Volga i vanna współczynniki wrażliwości, [w:] W. Tarczyński (red.), Inwestowanie na rynku kapitałowym, Studia i Prace Wydziału Nauk Ekonomicznych i Zarządzania nr 0, Uniwersytet Szczeciński, Szczecin 008, s P. Wilmott, S. Howison, J. Dewynne, The Mathematics of Financial Derivatives, Cambridge University Press, Cambridge 999. ZOMMA SENSITIVITY PARAMETER OF OPTIONS In practice, it is claimed that studying parameters: delta, gamma, theta, vega and rho are sufficient to manage option risk. However, in case of strategies created on the basis of these parameters one should remember that their value changes with the change of price of underlying instrument S and also due to the so called ageing of option, meaning the change in time. Hence, there is a need to apply in advanced analyses other sensitivity measures. The aim of this study is to present the values of less known sensitivity parameter: zomma of European call option and put option for Black Scholes option pricing model. Zomma measures the rate of change of gamma with respect to changes in volatility. Keywords: options, sensitivity measures, gamma, zomma, Black Scholes option pricing model. Dr Beata Stolorz jest adiunktem w Katedrze Ekonometrii i Statystyki Uniwersytetu Szczecińskiego. Jest magistrem matematyki i doktorem nauk ekonomicznych o specjalności ekonometria i rynki kapitałowe. Zainteresowania naukowe: inżynieria finansowa strategie opcyjne i ocena ryzyka inwestycji w opcje, ekonomia matematyczna, zastosowanie metod analizy przeżycia do badania zjawisk ekonomicznych, wykorzystanie narzędzi matematycznych do opisu i analizy procesów ekonomiczno społecznych. stolorz@interia.pl 35