Algorytm hybrydowy dla alokacji portfela inwestycyjnego przy ograniczonych zasobach

Transkrypt

1 Adam Stawowy Algorytm hybrydowy dla alokacji portfela inwestycyjnego przy ograniczonych zasobach Summary: We present a meta-heuristic to combine Monte Carlo simulation with genetic algorithm for Capital Budgeting Problem. The main idea is to embed genetic algorithm into simulation model so that the algorithm is able to solve any problem with uncertain inputs. Experimental tests quantify the power of the proposed technique. 1. Wprowadzenie Celem pracy jest pokazanie możliwości współpracy symulacji oraz algorytmu genetycznego do rozwiązania problemu alokacji portfela inwestycyjnego przy ograniczonych zasobach. Tradycyjne techniki (pełny przegląd, programowanie dynamiczne) są nieadekwatne w przypadku problemów o dużych rozmiarach bądź zawierających zmienne o charakterze losowym. 2. Problem alokacji portfela inwestycji Każdego roku organizacje gospodarcze muszą określić, jakie projekty realizować. Powszechnie przyjętym kryterium jest maksymalizacja sumy NPV wnoszonych przez wybrane projekty, przy uwzględnieniu ograniczonych nakładów kapitałowych [5]. Problem ten można zapisać: znaleźć maksimum przy warunkach x i = 0 lub 1, i=1,...,n gdzie: n - liczba projektów, N i - nakłady początkowe na projekt i, NPV i - NPV projektu i, B - dysponowany budżet, dr inż., Wydział Zarządzania, Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków

2 Jest to w zasadzie wersja zero-jedynkowego zagadnienia plecakowego (ang. zero-one knapsack problem), przy czym funkcję ograniczonej wielkości plecaka spełnia ograniczona wartość możliwego do zainwestowania kapitału. Z obliczeniowego punktu widzenia problemy plecakowe są trudne; prawdopodobnie nie istnieją algorytmy wielomianowe dla tych problemów [3]. Proponowane w literaturze [1] techniki dzielą się na: metody redukcji i aproksymacji (typu zachłannego i Lagrange a), metody dokładne: o techniki sieciowe, o programowanie dynamiczne, o metody przeglądu (w tym technika przeglądu i ograniczeń). Klasyczną pozycją poświęconą zagadnieniu lokaty kapitału jest praca Weingartnera [4], w której zaproponował metodę programowania dynamicznego dającą optymalne rozwiązanie problemu. Tradycyjne techniki są nieadekwatne w przypadku problemów o dużych rozmiarach bądź zawierających zmienne o charakterze losowym. Losowość może dotyczyć zarówno efektów (mierzonych NPV) jak i nakładów na poszczególne projekty. W tabeli 1. przedstawiono typologię problemów i metody ich rozwiązania. Tabela 1. Typologia problemów lokaty kapitału L.p. 1 Nakłady NPV Metoda zdeterminowane dla wszystkich projektów zdeterminowane dla wszystkich projektów 2 zdeterminowane wielkości losowe 3 wielkości losowe wielkości losowe Źródło: opracowanie własne techniki tradycyjne TS, SA, EA, CBP symulacja techniki hybrydowe symulacja rozmyte programowanie liniowe 3. Algorytm hybrydowy dla zagadnienia lokaty kapitału Proponowany algorytm przeznaczony jest dla problemów 2. typu. Algorytm hybrydowy składa się z 2 elementów: symulacja jest odpowiedzialna za obliczanie wartości NPV projektowanych inwestycji w warunkach niepewności, algorytm genetyczny służy do optymalizacji struktury portfela inwestycyjnego. Technika symulacji służy do obliczenia wartości NPV dla wszystkich projektów, przy czym na wejściu mamy najczęściej zmienne opisane rozkładem trójkątnym (np. kursy walut, spodziewane ilości i ceny sprzedaży, ceny materiałów, energii - założenia te są jednakowe dla wszystkich projektów).

3 Powstały w wyniku symulacji wektor NPV oraz stały wektor nakładów są wielkościami używanymi do optymalizacji struktury portfela. W następnym kroku następuje ponowne obliczenie wektora NPV i optymalizacja struktury portfela. Symulacja i optymalizacja są powtarzane 1000 razy. To rozwiązanie, które zwycięży najwięcej razy jest uznawane za rozwiązanie problemu. Do optymalizacji struktury portfela użyto algorytmu genetycznego w klasycznej wersji [2] - jest to zrozumiałe, jako że rozwiązanie problemu jest wektorem składającym się z 0 i 1. Populację początkową stanowi 15 rozwiązań otrzymanych losowo. Selekcja odbywa się na zasadzie ruletki, podstawowym operatorem jest jednopunktowa krzyżówka. Prawdopodobieństwo krzyżowania wynosi 1.00, a prawdopodobieństwo mutacji Algorytm kończy działanie po wygenerowaniu 25 pokoleń, tak wiec badanych jest zaledwie 375 rozwiązań. W algorytmie maksymalizowano następującą funkcję: FD N i 1 gdzie: s - stała kary, taka że: 1 jeśli s 1000 jeśli reszta oznaczeń jak w (1) 4. Badania eksperymentalne F i F i C C Realizację programową algorytmu wykonano przy użyciu arkusza oraz języka VBA: arkusz EXCEL jest odpowiedzialny za interfejs oraz symulację NPV projektów, VBA posłużył do oprogramowania algorytmu genetycznego. W celu ilustracji działania algorytmu prześledźmy jego działanie na prostym przykładzie. Opis sytuacji 2 Fi s C N Przedsiębiorstwo rozpatruje realizację 16 projektów o nakładach przedstawionych w tabeli 1. Na realizację projektów przedsiębiorstwo dysponuje środkami w wysokości zł. Oszacowano rozkłady podstawowych zmiennych mających wpływ na efektywność inwestycji. Należy tak dobrać realizację projektów, by spodziewane efekty były jak największe, przy nakładach nie przekraczających dysponowanych środków. (2)

4 Tabela 1. Nakłady początkowe na rozpatrywane projekty. Projekt Nakłady początkowe Projekt Nakłady początkowe zł zł zł zł zł zł zł zł zł zł zł zł zł zł zł zł Krok 1. Symulacja wartości NPV dla wszystkich projektów W wyniku obliczeń symulacyjnych otrzymano wektor wartości NPV przedstawiony w tabeli 2. Tabela 2. Obliczone w kroku 1. NPV dla rozpatrywanych projektów. Projekt NPV Projekt NPV zł zł zł zł zł zł zł zł zł zł zł zł zł zł zł zł Krok 2. Optymalizacja struktury portfela Po zastosowaniu algorytmu genetycznego, dla danych zebranych w tabelach 1 i 2, uzyskano następujące rozwiązanie: Projekt Decyzja W tej konkretnej (zasymulowanej) sytuacji należałoby zrealizować projekty nr 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, przy czym sumaryczna wartość NPV wyniosłaby zł, a nakłady zł. Następne iteracje: powtórzenie kroków 1. i 2. Powtarzamy symulację i optymalizację zadaną ilość razy. Dla każdego wektora NPV otrzymujemy wektor rozwiązań problemu. Na końcu porównujemy

5 wszystkie kolejne rozwiązania i wybieramy to, które otrzymaliśmy najczęściej w trakcie działania algorytmu hybrydowego. W naszym przykładzie byłby to wektor: Projekt Decyzja dający średnią wartość sumy NPV w wysokości (odchylenie standardowe ), przy nakładach zł. W trakcie badań algorytmu rozwiązywano bez trudności problemy o rozmiarach 200 projektów. 5. Wnioski końcowe W pracy zaproponowano połączenie symulacji z algorytmem genetycznym w celu rozwiązania problemu lokaty kapitału w warunkach niepewności. Okazało się, że taką hybrydyzację można przeprowadzić stosunkowo prosto, a uzyskiwane rezultaty są bardzo zadowalające. Algorytm nie wymaga dużych nakładów obliczeniowych, jest prosty w konstrukcji i zastosowaniu. Literatura [1] Beasley J. E.: OR-notes: integer programming, [2] Michalewicz Z.: Algorytmy genetyczne + struktury danych = programy ewolucyjne, WNT, Warszawa [3] Sysło M., Deo N., Kowalik J.: Algorytmy optymalizacji dyskretnej, PWN, Warszawa [4] Weingartner H.: "Capital Budgeting and interrelated projects: survey and synthesis". Management Science, vol. 2, no. 1, 1968, str [5] Winston W. L.: Financial models using simulation and optimization, Palisade Corporation, Newfield 2000.