Zastosowanie metody fal spinowych do badania stanu podstawowego antyferromagnetyka. Maciej Misiorny

Transkrypt

1 Zastosowanie metody fal spinowych do badania stanu podstawowego antyferromagnetyka Macie Misiorny Zakład Fizyki Mezoskopowe Wydział Fizyki, Uniwersytet im. A. Mickiewicza Seminarium do przedmiotu Kwantowa Teoria Magnetyzmu Exact Solutions & Beyond, Poznań Wstęp Metoda Blocha (półklasyczna Metoda Holsteina-Primakoffa (kwantowo-mechaniczna Podsumowanie Motywaca Dlaczego warto znać metodę fal spinowych est względnie prostym narzędziem pozwalaącym badać stany wzbudzone magnetyka (F/AF w niskich temperaturach mimo, iż est przybliżeniem to dae dae dobre wyniki w niskich temperaturach dla AF pozwala nie tylko uzyskać widmo energii wzbudzeń ze stanu podstawowego, ale również est ważną metodą umożliwiaącą badanie stanu podstawowego i ego energii Celem seminarium est zaprezentowanie, ak przy pomocy metody fal spinowych w uęciu półklasycznym (Bloch oraz kwantowo-mechanicznym (Holstein-Primaoff uzyskać widmo wzbudzeń ze stanu podstawowego antyferromagnetyka. / 0

2 Wstęp Metoda Blocha (półklasyczna Metoda Holsteina-Primakoffa (kwantowo-mechaniczna Podsumowanie 1 Wstęp Metoda Blocha (półklasyczna 3 Metoda Holsteina-Primakoffa (kwantowo-mechaniczna 4 Podsumowanie 3 / 0 Wstęp Metoda Blocha (półklasyczna Metoda Holsteina-Primakoffa (kwantowo-mechaniczna Podsumowanie Fale spinowe w F/AF-magnetyku a drgania sieci w krysztale Jeżeli atom w krysztale wychylimy z położenia równowagi, to zacznie on drgać z częstością normalną kryształu. Kwantowo-mechaniczny efekt tych drgań prowadzi do skwantowania amplitudy poedynczych drgań normalnych FONONY. FALE SPINOWE = analog drgań normalnych w magnetykach Wskutek uwzględnienia kwantowe natury spinów również fale spinowe podlegaą skwantowaniu MAGNONY. Obecność członu poprzecznego w oddziaływaniu wymiennym powodue, że odwrócenie spinu przemieszcza się po sieci. W niskich temperaturach amplituda fal spinowych est mała i dlatego oddziaływanie pomiędzy falami można zaniedbać stany wzbudzone powyże stanu podstawowego przybliża się przez zbiór niezależnych fal spinowych. 4 / 0

3 Wstęp Metoda Blocha (półklasyczna Metoda Holsteina-Primakoffa (kwantowo-mechaniczna Podsumowanie Magnony ako mody Goldstone a T = 0 ciało stałe est uporządkowane (+ drgania punktu zerowego T 0 uporządkowanie zakłócone wzbudzone termicznie fonony Dyspersa fononów akustycznych: q = 0 ω = 0 eżeli λ = π/q wystarczaąco długa, to potrzeba infinitezymalnie mało energii na wytworzenie fononu o wektorze falowym q. Fonon akustyczny można wzbudzić termicznie dla dowolnego T 0 brak przerwy energetyczne! Tw. Goldstone a: zawsze kiedy złamana zostae ciągła globalna symetria układu można wytwarzać długofalowe wzbudzenia w parametrze porządku (tzw. mody Goldstone a, bo brak przerwy energetyczne w elementarnym widmie wzbudzeń. Magnony modami Goldstone a dla F/AF-magnetyków: lim q 0 ω(q = 0 5 / 0 Wstęp Metoda Blocha (półklasyczna Metoda Holsteina-Primakoffa (kwantowo-mechaniczna Podsumowanie Oszacowanie energii stanu podstawowego E g antyferromagnetyka Hamiltonian Heisenberga H = J S i S, i, = nabliżsi sąsiedzi i, Zał: nabliżsi sąsiedzi S należą do przeciwne podsieci 1 Ograniczenie z góry: w przybliżeniu pola średniego dla układu AF, E g zdominowana przez podłużną część oddziaływania wymiennego E g = JNzS Ograniczenie z dołu: H = J S δ S +δ = J S S T JS S T = J [ (S + S T S(S + 1 S T (S T + 1 ] Wniosek: dla J < 0 energia naniższa dla S + S T = zs S E g = JNS(zS + 1 JNzS ( E g JNzS zs 6 / 0

4 Wstęp Metoda Blocha (półklasyczna Metoda Holsteina-Primakoffa (kwantowo-mechaniczna Podsumowanie Sformułowanie metody IDEA: wychodzimy od uporządkowania klasycznego i systematycznie analizuemy fluktuace kwantowe wokół tego stabilnego uporządkowania. H =,l ( J l S S l gµ B B S + l S l 1 ( D Sz + l Slz AF = dwie podsieci, indeksowane przez ( do góry i l ( do dołu oś łatwa spinów wzdłuż osi z, będącą także osią anizotropii S 1 oraz oddziaływanie tylko między nabliższymi sąsiadami należącymi do różnych podsieci Równanie ruchu dla S ds dt = i [H, S ] = 1 S B B = l J l S l + gµ B B + DS z ê z Klasyczne równanie ruchu dla momentu pędu! 7 / 0 Wstęp Metoda Blocha (półklasyczna Metoda Holsteina-Primakoffa (kwantowo-mechaniczna Podsumowanie Przybliżenie pola średniego dla równań ruchu ds (l dt [ = l( J l S l( + gµ B B + DS (lz ê z ] S (l Zgodnie z przybliżeniem pola średniego rozkładamy spiny S (l na wartość odpowiadaącą stanowi podstawowemu ±S oraz małe odchylenie δs (l : dδs (l dt S (l = ±S + δs (l ±S oraz pole B wzdłuż osi z, podczas gdy δs (l w płaszczyźnie xy Pomiamy małe człony typu: δs (l δs l( = ( l( J l S + gµ B B ± DS δs (l ± l( J l δs (l S Dokonuemy transformaci Fouriera z przestrzeni położeń do przestrzeni wektorów falowych 8 / 0

5 Wstęp Metoda Blocha (półklasyczna Metoda Holsteina-Primakoffa (kwantowo-mechaniczna Podsumowanie Transformaca Fouriera do przestrzeni wektorów falowych dδs (l dt = ( l( J l S + gµ B B ± DS δs (l ± l( A µ = Definiuemy transformace dla odchyleń δs (l : B µ = J l δs (l S N N e iµr δs l e iµr l δsl Wektor falowy µ w pierwsze strefie Brillouina dane podsieci, może przyąć N/ wartości (N = liczba spinów w podsieci Oddziaływanie tylko między nabliższymi sąsiadami obu sieci oraz J l J δs (l leżą w płaszczyźnie xy stąd: A µ± = A µx ± ia µy B µ± = B µx ± ib µy J l e iµ(r R l = zjγ µ Ȧ µ± = i ( zjs + gµ B B + DSA µ± JzSγ µ B µ± Ḃµ± = i (zjs + gµ B B DSB µ± + JzSγ µ A µ± 9 / 0 Wstęp Metoda Blocha (półklasyczna Metoda Holsteina-Primakoffa (kwantowo-mechaniczna Podsumowanie Wprowadzenie harmoniczne zależności czasowe Ȧ µ± = i ( zjs + gµ B B + DSA µ± JzSγ µ B µ± Ḃµ± = i (zjs + gµ B B DSB µ± + JzSγ µ A µ± Zakładamy zależność A µ (B µ od czasu w postaci exp(iω µ t: d (e iω µt A µ = iωe iω µt A µ dt Otrzymuemy ednorodny układ równań liniowych: ω µ ± A µ± = ( zjs + gµ B B + DSA µ± ± JzSγ µ B µ± ω ± µ B µ± = (zjs + gµ B B DSB µ± JzSγ µ A µ± ω ± µ = (zjs (1 γ µ + 4z J S D + S D ± gµ B B Ponieważ 1 γ µ µ w przypadku granicznym gdy µ 0, stąd: ω ± µ = 4z J S D + S D ± gµ B B 10 / 0

6 Wstęp Metoda Blocha (półklasyczna Metoda Holsteina-Primakoffa (kwantowo-mechaniczna Podsumowanie Analiza wyniku dla metody Blocha [ ] ω µ ± = gµ B (BE + B A B A ±B BE = J zs gµ B : pole molekularne B A = DS gµ B : pole anizotropii Wynik zgodny z twierdzeniem Goldstone a dla: D = 0 oraz B = 0 Przestrzennie ednorodny mod fal spinowych o µ 0 sprzęga się z polem EM eksperymentalnie potwierdzona rezonansowa absorpca mikrofal Mod zanika w polu o wartości: B c = (B E + B A B A 1 pole krytyczne B c odpowiada polu magnetycznemu, przy którym wspólna oś spinów w obu podsieciach ulega obrotowi z pozyci równoległe względem osi z (łatwe do kierunku prostopadłego do nie dla B = 0 częstości precesi zgodne i przeciwne do ruchu wskazówek zegara względem osi z są takie same degeneraca modów Z klasycznego punktu widzenia, wzbudzenie fal spinowych o energii ω ± µ równoważne obrotowi wspólne osi spinów w podsieciach + oraz z pozyci równoległe względem osi z o pewien kąt. ω ± µ = 0 oznacza, że obrót ten nie wymaga energii! 11 / 0 Wstęp Metoda Blocha (półklasyczna Metoda Holsteina-Primakoffa (kwantowo-mechaniczna Podsumowanie Istota metody Holsteina-Primakoffa dla fal spinowych Wprowadzamy zbiór oscylatorów opisuących odchylenie spinów od ich klasycznego uporządkowania równowagowego w stanie podstawowym. Dla każdego spinu wprowadzamy edną zmienną bozonową związaną z odchyleniem tego spinu od pozyci równowagowe. Odchylenie określone est ako różnica między faktyczną wartością własną operatora S iz (dla spinu i, a ego wartością równowagową Ponieważ wartości własne S iz są skwantowane, stąd odchylenie est również skwantowane i reprezentue stan z odpowiednią liczbą boznów Metoda ta pozwala na automatyczne uwzględnienie oddziaływań pomiędzy falami spinowymi 1 / 0

7 Wstęp Metoda Blocha (półklasyczna Metoda Holsteina-Primakoffa (kwantowo-mechaniczna Podsumowanie Przeście od operatorów spinowych do operatorów bozonowych Wprowadzamy operatory spinowe: S (l± = S (lx ± is (ly n (l = S S (lz Wartościami własnymi operatora n (l są liczby od 0 do S Niech ψ(m est stanem własnym dla wartości własne M operatora S z : S ψ(m = (S + M(S M + 1 ψ(m 1 = S 1 n 1 + n ψ(m 1 S S + ψ(m = (S M(S + M + 1 ψ(m+1 = S 1 n 1 n ψ(m+1 S Wprowadzamy operatory bozonwe: n ψ(n = a a ψ(n = n ψ(n a ψ(n = n + 1 ψ(n a ψ(n = n ψ(n 1 S = Sa 1 a a /(S S + = S 1 a a /(Sa S z = S a a S l = S 1 b l b l /(Sb l S l+ = Sb l 1 b l b l /(S S lz = S + a a Sprzeczność pomiędzy liczbą stanów przestrzeni spinowe i bozonowe! 13 / 0 Wstęp Metoda Blocha (półklasyczna Metoda Holsteina-Primakoffa (kwantowo-mechaniczna Podsumowanie Przeście od operatorów spinowych do operatorów bozonowych H =,l ( J l S S l gµ B B S + l S l 1 ( D Sz + l Slz Kluczowym przybliżeniem est rozwinięcie w szereg pierwiastków we wzorach na zmienne spinowe: 1 a a 1 /(S 1 4S a a +h.o. 1 b l b 1 l /(S 1 4S b l b l +h.o. Pomiamy wszystkie wyrazy wyższego rzędu dla zmiennych bozonowych otrzymuemy hamiltonian układu sprzężonych oscylatorów harmonicznych, który można dokładnie zdiagonalizować H = JzNS D NS JS,l a b l + a b l + a a + b l b l ( + gµ B B a a l b l b l ( + DS a a + l b l b l Otrzymuemy zbiór niezależnych modów normalnych, których kwanty odpowiadaą wzbudzeniom elementarnym sieci = MAGNONY 14 / 0

8 Wstęp Metoda Blocha (półklasyczna Metoda Holsteina-Primakoffa (kwantowo-mechaniczna Podsumowanie Transformaca Fouriera do przestrzeni wektorów falowych H = JzNS D NS JS,l a b l + a b l + a a + b l b l ( + gµ B B a a l b l b l ( + DS a a + l b l b l Z postaci H wynika, że odchylenie spinów n (l nie est związane z ednym określonym węzłem, ale ulega propagaci w sieci ma ona charakter falowy Przechodzimy do przestrzeni odwrotne (wektorów falowych: a µ = N eiµr a a µ = N e iµr a b µ = b µ = d = D/( J z N l e iµr l b l N l eiµr l bl h = gµ B B/( J Sz H = JzNS D NS JS ( (1 + h + da µa µ + (1 h + db µb µ + γ µ a µ b µ + a µ b µ µ 15 / 0 Wstęp Metoda Blocha (półklasyczna Metoda Holsteina-Primakoffa (kwantowo-mechaniczna Podsumowanie Diagonalizaca hamiltonianu transformaca Bogoliubova H = JS µ (1 + h + da µa µ + (1 h + db µb µ + γ µ ( a µ b µ + a µ b µ Szukamy takich kombinaci liniowych: α µ = u µ a µ + v µ b µ oraz β µ = u µ b µ + v µ a µ, że spełnione są następuące relace komutacyne: [ ] H, α ( µ = ωµ α [ ] µ oraz H, β ( µ = ωµ β µ Otrzymuemy ednorodny układ równań liniowych: JsS [ (1 ± h + du µ γ µ v µ ] = ω ± µ u µ JsS [ (1 h + dv µ γ µ u µ ] = ω ± µ v µ ω ± µ = (zjs (1 γ µ + 4z J S D + S D ± gµ B B Wynik zgodny z wynikiem dla teorii Blocha fal spinowych! 16 / 0

9 Wstęp Metoda Blocha (półklasyczna Metoda Holsteina-Primakoffa (kwantowo-mechaniczna Podsumowanie Transformaca Bogoliubova Wyznaczanie współczynników u µ oraz v µ u µ v µ = γ µ (1 + d (1 + d γ µ Konkretne wartości u µ oraz v µ wynikaą z dodatkowego warunku na komutacę operatorów bozonowych, które muszą spełniać α ( µ oraz β ( [ αµ, α ] [ µ = 1 oraz βµ, β µ ] = 1, a stąd uµ vµ = 1 µ : Postać warunków na u µ oraz v µ sugerue, że mogą one być wyrażone przez funkce hiperboliczne: u µ = cosh(θ µ v µ = sinh(θ µ tgh(θ µ = γ u 1 + d Znaduemy transformacę odwrotną: [ ] [ aµ uµ v = µ v µ u µ b µ ] [ αµ β µ ] H = JzNS(S + 1 D NS(S µ [ ω + ( µ α µα µ ω ( µ β µβ µ + 1 ] 17 / 0 Wstęp Metoda Blocha (półklasyczna Metoda Holsteina-Primakoffa (kwantowo-mechaniczna Podsumowanie Energia stanu podstawowego E g w modelu Holsteina-Promakoffa H = JzNS(S + 1 D NS(S µ [ ω µ + ( α µ α µ ω ( µ β µ β µ + 1 ] Energia stanu podstawowego antyferromagnetyka w przybliżeniu fal spinowych H-P = energia drgań zerowych układu oscylatorów: E g = JzNS(S + 1 D NS(S + 1 zjs µ ( 1 D γ µ Jz I d = N Kluczowym problemem dla znalezienia wartości E g est obliczenie całki: π 1 γ µ = (π d ( Eg d=1 = NJS S µ π π ( 1... dλ 1... dλ d [1 π D ( Eg d= = 4NJS S Wyniki spełniaą nierówność oszacowaną na początku! d ] cos λ i i=1 ( Eg d=3 = NJS S 18 / 0

10 Wstęp Metoda Blocha (półklasyczna Metoda Holsteina-Primakoffa (kwantowo-mechaniczna Podsumowanie Podsumowanie główne wnioski Metoda fal spinowych est względnie prostym narzędziem pozwalaącym wyznaczyć elementarne widmo wzbudzeń dla antyferromagnetyka w stanie podstawowym. Pomimo, iż zarówno metoda Blocha ak i Holsteina-Primakoffa wykorzystuą przybliżenie pola średniego, to uzyskane dzięki nim energie stanu podstawowego antyferromagnetyka w niskich temperaturach są zgodne z oszacowaniem podanym przez Andersona (Phys. Rev. 83, 160 (1951. Dla D = 0 oraz B = 0 fale spinowe są modami Goldstone a. 19 / 0 Wstęp Metoda Blocha (półklasyczna Metoda Holsteina-Primakoffa (kwantowo-mechaniczna Podsumowanie Bibliografia K. Yosida, Theory of Magnetism, Springer-Verlag: Heidelberg, D. C. Mattis, The Theory of Magnetism I: Statics and Dynamics, Springer-Verlag: Heidelberg, W. J. Caspers, Układy spinowe, Stowarzyszenie Symetria i Własności Strukturalne : Poznań, T. Holstein, H. Primakoff, Field Dependence of the Intrinsic Domain Magnetization of a Ferromagnet, Physical Review 58, 1098 (1940. P. W. Anderson, Limits on the Energy of the Antiferromagnetic Ground State, Physical Review 83, 160 (1951. p. W. Anderson, An Approximate Quantum Theory of the Antiferromagnetic Ground State, Physical Review 86, 694 ( / 0