Przykªad obliczeniowy dla sko«czenie elementowego sformuªowania metody Galerkina

Transkrypt

1 Przykªad obliczeniowy dla sko«czenie elementowego sformuªowania metody Galerkina Anna Górska, Magdalena Kici«ska Abstrakt - Artykuª ma na celu przybli»enie procesu modelowania przepªywu ruchu ulicznego przy pomocy sko«czenie elementowego sformuªowania metody Galerkina. Opieraj c si na wiedzy z dziedziny dynamiki pªynów, ruch uliczny, na poziomie makroskopowym, mo»na opisa jako ci gªy przepªyw. Obserwacja ta zostaªa wykorzystana przez ighthilla, Withama i Richardsa do sformuªowania modelu WR pierwszego rz du. Model ten jest postaci jednorodnego równania ró»niczkowego, a przedstawienie jego rozwi zania numerycznego przy pomocy metody Galerkina dla staªej pr dko±ci jest jednym z celów tego artykuªu. Dla uzyskania dobrych wyników, droga dªugo±ci 5000 m zostaje podzielona na odcinki dªugo±ci 00 m, pr dko± zostaje ustalona na warto± 25 m/s, natomiast krok czasowy jest równy s. Dane odcinki dªugo±ci 00 m s dwuw zªowymi elementami liniowymi. Z ka»dym z w zªów zwi zna jest pewna warto± nat»enia ruchu. Metoda Galerkina prowadzi do okre±lenia tej warto±ci dla ka»dego w zªa. Praktycznym przykªadem wykorzystania modelu WR ze staª pr dko±ci jest taz zwana jazda blokowa (ang. block driving). Sªowa kluczowe - Makroskopowy przepªyw uliczny, model WR, sko«cznie elementowe sformuªowanie metody Galerkina, jazda blokowa. Wst p Cz ± pierwsza zawiera podstawowe zaªo»enia dotycz ce teorii przepªywu ruchu ulicznego na poziomie makroskopowym oraz posta i detale modelu WR (Anna Górska). W cz ±ci drugiej opisane zostaªo sko«czenie elementowe sformuªowanie metody Galerkina (Anna Górska). Przebieg rozwi zania modelu WR przy pomocy danej metody elementów sko«czonych zostaª zaprezentowany w nast pnej cz ±ci artykuªu (Magdalena Kici«ska). Czwarta cz ± przybli»a metod jazdy blokowej oraz posumowuje poprzednie cz ±ci artykuªu (Magdalena Kici«ska). 2 Teoria ruchu ulicznego 2 Podstawowymi czterema kategoriami modelów ruchu ulicznego s : makroskopowy, mezoskopowy, mikroskopowy oraz submikroskopowy. Model WR nale»y do kategorii makroskopowych.

2 2. Parametry Najwa»niejszymi parametrami opisuj cymi ruch uliczny s : nat»enie(k) wyra»one w ilo±ci pojazdów na kilometr veh/km przepªyw(q) wyra»ony w ilo±ci pojazdów na godzin veh/h pr dko± (u) wyra»ona w kilometrach na godzin km/h 2.2 Podstawowe relacje Ruch uliczny mo»e mie ró»ny charakter: wolno-przepªywowy - niskie nat»enie ruchu (zatem du»a pr dko± ); u f - maksimum dozwolonej pr dko±ci naªadowany - maksymalny przepªyw; q c - przepªyw pojemny zatªoczony - maksymalne nat»enie (zatem maªa pr dko± lub jej brak); k j - zatªoczone nat»enie Powi zania pomi dzy trzema przedstawionymi wcze±niej parametrami uzyskane do±wiadczalnie s przedstawione w postaci trzech wykresów. Rysunek : Fundamentalny diagram u k Zale»no± mi dzy nat»eniem a pr dko±ci (rys.) przedstawia si zale»no±ci u = u j ( k k j ) () 2

3 Rysune: Fundamentalny diagram q k Zale»no± mi dzy nat»eniem a przepªywem (rys.2) przedstawia si zale»no±ci q = k j u( u u j ) (2) Rysunek 3: Fundamentalny diagram u q Zale»no± mi dzy przepªywem a pr dko±ci (rys.3) przedstawia si zale»no±ci q = u j k( k k j ) (3) Jednoznaczna relacja wi» ca nat»enie, przepªyw oraz pr dko± ruchu ulicznego jest wyra»ona równaniem q = k u (4) 3

4 2.3 Model WR pierwszego rz du ighthill, Witham i Richards zauwa»yli,»e ruch uliczny mo»e by uto»samiony z nielepkim ale ±ci±liwym pªynem. Zatem dyskretny strumie«pojazdów mo»e by rozumiany jako ci gªy przepªyw. Dla nat»enia, przepªywu oraz pr dko±ci zdeniowanych jako zmienne ci gªe w ka»dym punkcie czasu i przestrzeni model WR pierwszego rz du to + q = 0 (5) Wykorzystuj c relacj (4), równanie (5) mo»na przedstawi w postaci: (k u) + = 0 (6) Przyjmuj c,»e pr dko± jest warto±ci staª (u = u 0 ), równanie (6) znacznie si upraszcza: + u 0 = 0 (7) Jak wida, nat»enie k jest funcj dwóch zmiennych zale»n od poªo»enia i czasu. Jest to zgodne z intuicjami, poniewa» z rozpatrywanym odcinkiem drogi oraz wybran chwil czasow t zwi zana jest konkretna warto± nat»enia k. Nietrudno si przekona, i» obserwuj c wybrany odcinek drogi, w zale»no±ci od pory dnia czy nocy nat»enie ruchu b dzie ró»ne (godziny szczytu a ±rodek nocy). Odwrotnie, badaj c stan nat»enia ruchu na ró»nych odcinkach dróg o wybranej porze dnia czy nocy, uzyskane warto±ci b d zró»nicowane (autostrada a wiejska droga). 3 Sko«czenie elementowe sformuªowanie metody Galerkina Niech rozwa»ane równanie ró»niczkowe b dzie postaci (u) = f, (8) gdzie jest liniowym operatorem ró»niczkowania, natomiast f = f() dowoln funkcj. Szukanym rozwi zaniem równania (8) na przedziale a, b jest funkcja u = u(). (9) Mo»liwe, lecz niekonieczne jest naªo»enie na funkcj u warunków brzegowych u(a) = α, u(b) = β, (0) gdzie α, β R. W opisywanej metodzie dany przedziaª a, b dzielimy na podprzedziaªy, które dalej nazywane b d sko«czonymi elementami liniowymi dwuw zªowymi, z w zªami na ko«cach. Poszczególne w zªy zwi zane s z okre±lonymi warto±ciami i odpowiedniej wspóªrz dnej oraz z okre±lonymi warto±ciami w zªowymi u i, czyli warto±ciami funkcji u w odpowiednich w zªach. Przypu± my,»e szukana funkcja (funkcja próbna) jest postaci u = c + c 2. () 4

5 Powy»sza posta funkcji próbnej nie jest bezpo±rednio zwi zana z warto±ciami w zªowymi. Nie wida bezpo±redniego zwi zku mi dzy danym w zªem czy warto±ci szukanej funkcji w danym w ¹le, a postaci funkcji próbnej (niezale»nie od warto±ci przepis na u jest nadal funkcj liniow ze wspóªczynnikami c i c 2 ). Dlatego równanie () nale»y przedstawi za pomoc warto±ci w zªowych. Innymi sªowy, wspóªczynniki c i c 2 nale»y zast pi warto±ciami u i i u i+. Z wcze±niejszych rozwa»a«wynikaj nast puj ce równo±ci: u( i ) = c i + c 2 = u i (2) u( i+ ) = c i+ + c 2 = u i+ (3) Traktuj c równania (2) i (3) jako ukªad dwóch równa«z dwiema niewiadomymi, nietrudno wyznaczy posta wspóªczynników c i c 2 c = u i+ u i i+ i (4) c 2 = u i i+ u i+ i i+ i (5) Po wstawieniu (4) i (5) do równania () oraz po dokonaniu pewnych przeksztaªce«funkcja próbna przyjmuje posta u = H ()u i + H 2 ()u i+, (6) gdzie H () = i+ i h i (7) H 2 () = i h i (8) h i = i+ i (9) Posta (6) funkcji u jest ±ci±le zale»na od warto±ci w zªowych, zatem znaj c warto±ci u i funkcji próbnej w okre±lonych w zªach i mo»na wyznaczy wzory funkcji u na odpowiednich podprzedziaªach (elementach sko«czonych). Do wyznaczenia warto±ci u i nale»y skonstruowa odpowiedni do danej sytuacji ukªad równa«zªo»onych z sum okre±lonych caªek przyrównanych do zera, jak wida poni»ej n i+ ωrd = 0, (20) i i= gdzie ω jest tak zwan funkcj wagow, tutaj natomiast R nazywane jest reszt (residuum) oraz ω = H (), ω 2 = H 2 (), (2) R = (u) f() (22) 5

6 4 Zastosowanie sko«czenie elementowej metody Galerkina 2 Dzi ki zastosowaniu sko«czenie elementowej metody Galerkina obliczamy równanie (5). Na pocz tku nale»y dla problemu (5) skontruowa odpowiedni caªk, opieraj c si na wzorze (20): V ω ( + u 0 gdzie V jest wielko±ci elementu. Uwzgl dniaj c (2) mo»emy zapisa : V N ( + u 0 (k) )dv = 0 (23) (k) )dv = 0, (24) gdzie wektor N jest odpowiednikiem wektora H ze wzoru (2). Dzi ki temu,»e element sko«czony jest liniowy i jednorodny mo»emy z dv przej± na d i bez straty ogólno±ci caªkowa po : ω ( + u 0 4. Macierze pojedynczych elementów (k) )d = 0 (25) W tej cz ±ci zostanie pokazane pochodzenie macierzy pojedynczych elementów sko«czonych o dªugo±ci i dwóch g sto±ciach w zªowych k i. Na rysunku 4 przedstawiono gracznie pojedynczy element sko«czony przepªywu ruchu ulicznego. Rysunek 4: Element sko«czony G sto± ruchu ulicznego w elemencie mo»na przedstawi za pomoc funkcji uzale»nionej od g sto±ci w zªowych, stosuj c równanie (6): k = N k + N 2 = k N N 2 (26) Funkcje ksztaªtu N i N 2 maj nast puj c posta : N = N N 2 =, (27) która wynika bezpo±rednio ze wzorów (7) i (8). 6

7 Zró»niczkowanie g sto±ci ruchu k w zale»no±ci od czasu t daje równianie: = N + N 2 2 = N N 2 2 (28) Zró»niczkowanie g sto±ci ruchu w zale»no±ci od poªo»enia daje równanie: = N k + N 2 = N N 2 k (29) Podstawiaj c (28) i (29) do równania (25) otrzymamy: N ( N N N 2 2 )d+ 2 + N (u 0 N 2 N N 2 ) k )d = 0 (30) Wstawienie (27) do powy»szego równania (30) i wymno»enie macierzy daje: ( ( )2 ( ) ( ) 2 2 )d+ 2 + ( ( ) ( ) k )d = 0 (3) 2 Nast pnie, po scaªkowaniu otrzymaujemy: k = 0 (32) Gdy zastosujemy granice caªkowania, tzn. dla pojedynczego elementu z rysunku X przyjmiemy granice caªkowania od 0 do, to po uproszczeniu otrzymamy równanie: u 0 2 k = 0 (33) Ze wzgl du na zale»no± od czasu (przepªyw ruchu drogowego jest zale»ny od czasu) konieczne jest zastosowanie schematu Eulera wstecz, czyli: = k k t t Po zastosowaniu powy»szego schematu (34) równanie (33) przyjmie posta : 2 k 6 t 2 k2 2 k 6 t t 2 k2 t + + u 0 2 Przedstawmy równanie (35) w nast puj cej formie: 2 k 6 t + u0 2 2 k2 k k2 = 6 t (34) = 0 (35) 2 2 k t k t 2 (36) 7

8 4.2 Rozwi zanie ogólne dla n elementów z krokiem czasowym m Rozwa»amy drog podzielan na n elementów o jednakowej dªugo±ci, z danymi warunkami pocz tkowymi: dla t = 0 s, k 0 do kn+ 0 i warunkami brzegowymi: dla = 0 m, k 0 do k m t. Przedstawiono to gracznie na rysunku 5. Rysunek 5: Problem zdeniowany dla n elementów sko«czonych i m kroków czasowych Maj c tak postawiony problem, g sto± ruchu w ka»dym momencie czasu i w ka»dym poªo»eniu mog by wyliczone z zale»no±ci: k = k t u k t (37)

9 5 Jazda blokowa Rozwa»any model jest prawdziwy tylko wtedy, gdy rozpatrywana pr dko± jest staªa. Oczywi±cie istniej ró»ne postaci modelu WR, które uwzgl dniaj inne zaªo»enia, np. pr dko± zmienn. Jednak to jest osobny temat na kolejny artykuª. Przykªadem praktycznym modelu WR ze staª pr dko±ci jest tzw. jazda blokowa (block driving) stosowana powszechnie w Niderlandach. Polega ona na tym,»e w przypadku du»ego nat»enia ruchu lub w przypadku zagro»enia samochody w grupach jad za policj. Wszystkie ze staª pr dko± poruszaj si ±rodkiem drogi, dzi ki czemu wyeliminowane zostaje niepotrzebne przyspieszanie i hamowanie. Korki rozªadowaj si szybciej, a prawdopodobie«stwo wypadków znacznie spada. 6 Podsumowanie Sko«czenie elementowe sformuªowanie metody Galerkina mo»e by z powodzeniem stosowane do rozwi zywania makroskopowego modelu WR przepªywu ulicznego pierwszego rz du ze staª pr dko±ci. Warto±ci g sto±ci, pr dko±ci i przepªywu mog by wyliczone w ka»dym punkcie drogi, w ka»dym momencie czasu. Otrzymane w ten sposób rezultaty znajduj potwierdzenie w rzeczywisto±ci. Przyszªe prace b d skupiaªy si na rozwini ciu modelu WR ze zmienn pr dko±ci, ale nadal w celu jego rozwi zania stosowana b dzie metoda Galerkina. iteratura Materiaªy ze strony internetowej Approimation Techniques, Section Wesley Ceulemans, Magd A. Wahab, Kurt De Proft, Geert Wets, Modelling Trac Flow with Constant Speed using the Galerkin Finite Element Method, ondon