Szybkie mno»enie wielomianów i macierzy
|
|
- Halina Marszałek
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Szybkie mno»enie wielomianów i macierzy Šukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 1 / 30
2 Szybka Transformata Fouriera Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 2 / 30
3 Wielomiany Wielomian reprezentowany jako ci g wspóªczynników Niech R b dzie pier±cieniem (np. R = C, R, Z,...). Wielomian stopnia n 1 to funkcja A : C C postaci n 1 A(x) = a i x i, i=0 gdzie a i R. Wielomian A reprezentujemy jako ci g (a 0,..., a n 1). Dodawanie Dane dwa wielomiany A = (a 0,..., a n 1) i B = (b 0,..., b n 1). Obliczy wielomian C, C(x) = A(x) + B(x). Rozwi zanie: C = (a 0 + b 0,..., a n 1 + b n 1). Czas: O(n) operacji arytmetycznych (na elementach R). Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 3 / 30
4 Mno»enie wielomianów w O(n 2 ) Problem Dane dwa wielomiany A = (a 0,..., a n 1) i B = (b 0,..., b n 1). Obliczy wielomian C, C(x) = A(x) B(x). Rozwi zanie Rozwi zanie: C = (c 0,..., c 2n 2), gdzie c k = k a i b k i. i=0 Czas: O(n 2 ) operacji arytmetycznych (na elementach R). Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 4 / 30
5 Mno»enie wielomianów w O(n) A gdyby tak... Wyobra¹my sobie nowy lepszy ±wiat, w którym wielomiany mno»y si równo ªatwo jak dodaje. (Co to za ±wiat?) Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 5 / 30
6 Mno»enie wielomianów w O(n) Twierdzenie (O Interpolacji) Dla dowolnego zbioru {(x 0, y 0 ),..., (x n 1, y n 1)} takiego,»e x i s parami ró»ne, istnieje dokªadnie jeden wielomian P stopnia mniejszego ni» n taki,»e P(x i ) = y i dla ka»dego i = 0,..., n 1. Reprezentacja przez warto±ci w 2n punktach n par (x i, y i ) jednoznacznie wyznacza wielomian stopnia < n. 2n par tym bardziej. Niech A i B b d stopnia < n, dane jako A = {(x 0, y 0 ),..., (x 2n 1, y 2n 1)} oraz B = {(x 0, y 0 ),..., (x 2n 1, y 2n 1 )}. Wtedy C = A B jest reprezentowany przez {(x 0, y 0 y 0 ),..., (x 2n 1, y 2n 1 y 2n 1 )} Obliczyli±my C w czasie O(n). Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 5 / 30
7 (Prawdziwe) mno»enie wielomianów w O(n log n) Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 6 / 30
8 (Prawdziwe) mno»enie wielomianów w O(n log n) Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 6 / 30
9 Liczby zepolone, pierwiastki z 1: przypomnienie Liczby zespolone przedstawiamy jako: z = x + yi = r(cos ϕ + i sin ϕ) z = r e ϕi ω n = e 2π n jest pierwiastkiem stopnia n z 1. wszystkie pierwiastki stopnia n z 1: ω 0 n, ω 1 n,... ω n 1 n. Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 7 / 30
10 DFT i FFT Dyskretna Transformata Fouriera, DFT Dany ci g (a 0,..., a n 1) reprezentuj cy wielomian A(x) = n 1 i=0 a i x i. Obliczy warto±ci A(x 0 ),..., A(x n 1), gdzie x j = ω j n dla j = 0,..., n. Uwaga W naszym zastosowaniu do mno»enia wielomianów stopnia < d, n = 2d oraz a d = a d+1 =... = a 2d 1 = 0. Poka»emy algorytm, który oblicza DFT u»ywaj c O(n log n) operacji arytmetycznych (na liczbach zespolonych). Ten algorytm to szybka transformata Fouriera (FFT), odkryty przez Cooleya i Tuckeya w 1965 (wªa±ciwie wywa»yli oni drzwi otwarte w 1805 przez Gaussa). Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 8 / 30
11 FFT: dziel i zwyci»aj Zaªó»my,»e n = 2k (wpp. dodajemy a n = 0). Okre±lmy 2 wielomiany stopnia < n/2: Wtedy: A [0] (x) = a 0 + a 2 x + a 4 x a n 2x n/2 1, A [1] (x) = a 1 + a 3 x + a 5 x a n 1x n/2 1. A(x) = A [0] (x 2 ) + xa [1] (x 2 ), (tzn. wystarczy obliczy n warto±ci 2 wielomianów stopnia < n/2.) fartownie, (ω n ) 2 = (e 2π n i ) 2 = e 2π n/2 i = ω n/2. st d, dla k = 0,..., n/2, mamy: (ωn) k 2 = ωn/2 k oraz (ωk+n/2 n ) 2 = ωn/2 k ωn/2 n/2 = ωk n/2. czyli {(ωn) 0 2, (ωn) 1 2,..., (ω n 1 n ) 2 } = {ωn/2 0, ω1 n/2,..., ωn/2 1 n/2 } Rekurencyjnie obliczamy n/2 warto±ci 2 wielomianów stopnia < n/2 Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 9 / 30
12 FFT: dziel i zwyci»aj Wniosek Algorytm FFT dziaªa w czasie O(n log n). Dowód Bo T (n) = 2T (n/2) + O(n). Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 10 / 30
13 Mno»enie wielomianów w O(n log n): Czego jeszcze brakuje? Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 11 / 30
14 Odwrotna Dyskretna Transformata Fouriera (IDFT) Odwrotna Dyskretna Transformata Fouriera, IDFT Dany ci g (y 0,..., y n 1) reprezentuj cy warto±ci wielomianu A(x) = n 1 i=0 a i x i odpowiednio w punktach 1, ωn, 1..., ω n 1 n. Wykona interpolacj, tzn. obliczy warto±ci a 0,..., a n 1. Chcemy znale¹ a 0,..., a n 1 takie,»e: y 0 = a 0 + a 1 + a a n 1, y 1 = a 0 + a 1 ω n + a 2 ω 2 n a n 1ω n 1 n, y 2 = a 0 + a 1 ω 2 n + a 2 ω 4 n a n 1ω 2(n 1) n,.. y n 1 = a 0 + a 1 ω n 1 n + a 2 ω 2(n 1) n a n 1ω (n 1)(n 1) n. Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 12 / 30
15 Odwrotna Dyskretna Transformata Fouriera (IDFT) Odwrotna Dyskretna Transformata Fouriera, IDFT Dany ci g (y 0,..., y n 1) reprezentuj cy warto±ci wielomianu A(x) = n 1 i=0 a i x i odpowiednio w punktach 1, ωn, 1..., ω n 1 n. Wykona interpolacj, tzn. obliczy warto±ci a 0,..., a n 1. Chcemy znale¹ a 0,..., a n 1 takie,»e: y 0 y 1 y 2. y n 1 = ω n ω 2 n ω 3 n ω n 1 n 1 ω 2 n ω 4 n ω 6 n ω 2(n 1) n ω n 1 n ω 2(n 1) n ω 3(n 1) n ω (n 1)(n 1) n czyli y = V n a, gdzie V n jest macierz Vandermonde'a det V n = (ω j n ωn) i 0. St d, a = V 1 n y. 0 i<j n 1 a 0 a 1 a 2. a n 1 Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 12 / 30
16 Odwrotna Dyskretna Transformata Fouriera (IDFT), cd Chcemy obliczy a = V 1 n y, (V n jest macierz Vandermonde'a dla warto±ci 1, ω n, ω 2 n,..., ω n 1 n.) Fakt (dowód: obliczenie V 1 n (V 1 n ) j,k = 1 n ω jk n Wniosek a j = n 1 k=0 n 1 1 n ω jk n y k = 1 n k=0 V n, V n V 1 n, nuda.) y k (ω j n ) k = 1 Y n (ωn j n ), gdzie Y jest wielomianem o wspóªczynnikach (y 0,..., y n 1). Wniosek z wniosku a = 1(DFT (y n 0,..., y n 1)) R, gdzie operacja v R odwraca wektor v, oprócz pierwszej skªadowej. Czyli IDFT liczymy za pomoc FFT w czasie O(n log n). Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 13 / 30
17 Uwagi W algorytmie zakªadali±my dokªadn arytmetyk liczb rzeczywistych (zespolonych). W praktyce korzystamy z liczb o ograniczonej precyzji. Nie prowadzi to do du»ych bªedów (algorytm FFT ma bardzo dobre wªasno±ci numeryczne) Je±li wspóªczynniki na wej±ciu s caªkowite (wi c na wyj±ciu chcemy równie» mie caªkowite) to mo»emy zaokr gla /obcina, ale nale»y przeprowadzi analiz jak dokªadnej arytmetyki liczb rzeczywistych potrzebujemy. Algorytm FFT bardzo ªatwo si zrównolegla: mo»na go zaimplementowa jako obwód arytmetyczny o gª boko±ci log 2 n. Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 14 / 30
18 Zastosowanie 1: Mno»enie Powiedzmy,»e chcemy pomno»y przez siebie 2 liczby n-bitowe a = n 1 i=0 a i 2 i i b = n 1 i=0 b i 2 i. 1 a i b reprezentujemy jako wielomiany A(x), B(x): mo»na po prostu jako A(x) = n 1 i=0 a i x i, gdzie a i {0, 1} ale zwykle bardziej si opªaca pokroi liczby na grubsze bloki, l-bitowe. Wtedy A(x) = n/l 1 i=0 a i x i, gdzie a i {0,..., 2 l 1}. Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 15 / 30
19 Zastosowanie 1: Mno»enie Powiedzmy,»e chcemy pomno»y przez siebie 2 liczby n-bitowe a = n 1 i=0 a i 2 i i b = n 1 i=0 b i 2 i. 1 a i b reprezentujemy jako wielomiany A(x), B(x): mo»na po prostu jako A(x) = n 1 i=0 a i x i, gdzie a i {0, 1} ale zwykle bardziej si opªaca pokroi liczby na grubsze bloki, l-bitowe. Wtedy A(x) = n/l 1 i=0 a i x i, gdzie a i {0,..., 2 l 1}. 2 za pomoc FFT obliczamy C(x) = A(x)B(x) (wówczas c j {0,..., n}). Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 15 / 30
20 Zastosowanie 1: Mno»enie Powiedzmy,»e chcemy pomno»y przez siebie 2 liczby n-bitowe a = n 1 i=0 a i 2 i i b = n 1 i=0 b i 2 i. 1 a i b reprezentujemy jako wielomiany A(x), B(x): mo»na po prostu jako A(x) = n 1 i=0 a i x i, gdzie a i {0, 1} ale zwykle bardziej si opªaca pokroi liczby na grubsze bloki, l-bitowe. Wtedy A(x) = n/l 1 i=0 a i x i, gdzie a i {0,..., 2 l 1}. 2 za pomoc FFT obliczamy C(x) = A(x)B(x) (wówczas c j {0,..., n}). 3 wykonujemy przeniesienie za pomoc O(n log n) operacji na bitach Przeniesienie p i zawsze ma co najwy»ej warto± n: Na pocz tku c 0/2 n, czyli OK Je±li p i n to p i+1 = (p i + c i )/2 n. St d, obliczenie i-tej cyfry wyniku wymaga O(log n) operacji bitowych. Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 15 / 30
21 Zastosowanie 1: Mno»enie, cd Analiza Powiedzmy,»e n bitów podzielili±my na 2 k bloków dªugo±ci l. Wówczas algorytm wykona si w czasie O(n + k Mn/l), gdzie M to czas mno»enia dwóch liczb zespolonych. Powiedzmy,»e liczby zespolone reprezentujemy na m bitach. Jak du»e powinno by m»eby wynik mno»enia byª poprawny? m 4k + 2l (patrz Knuth, t. II) Wnioski sytuacja praktyczna W praktyce dla rozs dnych danych (np. n = 10 9 ) wystarczy liczby zespolone reprezentowa jako par liczb typu double. Wówczas mno»enie dwóch liczb m-bitowych dziaªa w czasie O(1). Bior c l = k dostajemy algorytm w czasie O(n). Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 16 / 30
22 Zastosowanie 1: Mno»enie, cd Analiza Powiedzmy,»e n bitów podzielili±my na 2 k bloków dªugo±ci l. Wówczas algorytm wykona si w czasie O(n + k Mn/l), gdzie M to czas mno»enia dwóch liczb zespolonych. Powiedzmy,»e liczby zespolone reprezentujemy na m bitach. Jak du»e powinno by m»eby wynik mno»enia byª poprawny? m 4k + 2l (patrz Knuth, t. II) Teoria (Schönhage-Strassen 1971) W powy»szej analizie we¹my l = k. Mamy rekurencj T (n) = O(nT (log n)), st d T (n) = O(n log n log log n log log log n ) (Schönhage-Strassen 1971) Zamiast ciaªa C bierzemy pier±cie«z 2 e +1 dla pewnego e. Prowadzi to do czasu O(n log n log log n). (Fürer 2007) algorytm O(n log n2 log n ). Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 16 / 30
23 Zastosowanie 2: Dodawanie zbiorów Problem Dane dwa zbiory A, B {0,..., n}, Znale¹ C = {a + b : a A, b B}. Rozwi zanie w czasie O(n log n) We¹my A(x) = a A x a, B(x) = b B x b. Obliczamy C(x) = A(x)B(x). Je±li C(x) = 2n j=0 c j x j to C = {j : c j 0}. Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 17 / 30
24 Szybkie mno»enie macierzy Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 18 / 30
25 Mno»enie macierzy (kwadratowych) Problem Dane macierze n n: A i B. Znale¹ macierz C = A B. Algorytm naiwny (wg zwykªego wzoru) c ij = n k=1 a ikb kj. Czas: O(n 3 ) operacji arytmetycznych. Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 19 / 30
26 Mno»enie macierzy: Dziel i zwyci»aj (1) Bez straty ogólno±ci n = 2 k. Podzielmy A, B, C na podmacierze o wymiarach (n/2) (n/2): [ ] [ ] A1,1 A A = 1,2 B1,1 B, B = 1,2 A 2,1 A 2,2 B 2,1 B 2,2 Wówczas [ ] A1,1 B C = 1,1 + A 1,2 B 2,1 A 1,1 B 1,2 + A 1,2 B 2,2 A 2,1 B 1,1 + A 2,2 B 2,1 A 2,1 B 1,2 + A 2,2 B 2,2 Mamy rekurencj T (n) = 8T (n/2) + O(n 2 ) czyli T (n) = O(n 3 ). (Dominuj cy jest ostatni poziom, gdzie jest 8 log 2 n = n 3 w zªów.) Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 20 / 30
27 Mno»enie macierzy: Dziel i zwyci»aj (2) [ ] A1,1 A A = 1,2 A 2,1 A 2,2 Drugie podej±cie (Strassen 1969): [ ] B1,1 B, B = 1,2 B 2,1 B 2,2 M 1 := (A 1,1 + A 2,2 )(B 1,1 + B 2,2 ) M 2 := (A 2,1 + A 2,2 )B 1,1 M 3 := A 1,1 (B 1,2 B 2,2 ) M 4 := A 2,2 (B 2,1 B 1,1 ) M 5 := (A 1,1 + A 1,2 )B 2,2 M 6 := (A 2,1 A 1,1 )(B 1,1 + B 1,2 ) M 7 := (A 1,2 A 2,2 )(B 2,1 + B 2,2 ). Wtedy: [ ] A1,1 B C = 1,1 + A 1,2 B 2,1 A 1,1 B 1,2 + A 1,2 B 2,2 A 2,1 B 1,1 + A 2,2 B 2,1 A 2,1 B 1,2 + A 2,2 B 2,2 [ ] M1 + M = 4 M 5 + M 7 M 3 + M 5 M 2 + M 4 M 1 M 2 + M 3 + M 6 Mamy rekurencj T (n) = 7T (n/2) + O(n 2 ) czyli T (n) = O(7 log 2 n ) = O(n log 2 7 ) = O(n 2.81 ). Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 21 / 30
28 Kilka faktów podanych bez dowodu Najszybszy znany algorytm mno»enia macierzy Coppersmitha i Winograda (1990) dziaªa w czasie O(n 2.38 ) (jest kompletnie niepraktyczny). Najlepsze znane dolne ograniczenie to Ω(n 2 ). Ciekawe wyniki dla macierzy prostok tnych, np. je±li r to macierz n n r mo»na pomno»y przez macierz n r n w czasie O(n 2+o(1) ). Niech M(n) to czas mno»enia macierzy n n. Wiemy,»e M(n) = O(n ω ), gdzie ω < Mo»na znale¹ odwrotno± macierzy w czasie O(M(n)). Mo»na obliczy wyznacznik macierzy w czasie O(M(n)). Dowody dwóch ostatnich faktów mo»na znale¹ w podr czniku Cormena. Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 22 / 30
29 Zastosowanie 1: liczba marszrut Lemat Niech A b dzie macierz s siedztwa n-wierzchoªkowego grafu G (skierowanego lub nieskierowanego). Dla k N >0. Wówczas dla dowolnego i, j = 1,..., n element A k zawiera liczb marszrut dªugo±ci k i,j od wierzchoªka i do wierzchoªka j Dowód Indukcja. Dla k = 1 OK. Dla k > 1 mamy: A k 1 i,l A l,j jest liczb marszrut dªugo±ci k od i do j, w których przedostatni wierzchoªek to l. St d, A k = n i,j k od i do j. l=1 Ak 1 i,l A l,j jest liczb wszystkich marszrut dªugo±ci Wniosek Liczb marszrut dªugo±ci k mi dzy wszystkimi parami wierzchoªków mo»emy policzy w czase O(n ω log k). Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 23 / 30
30 Szybkie mno»enie macierzy: zastosowania Oznaczmy przez O(n ω ) najlepszy znany czas mno»enia macierzy n n. 1 Rozwi zywanie ukªadów równa«w O(n ω ) 2 Wyszukiwanie trójk tów w grae w O(n ω ) 3 Domkni cie przechodnie w O(n ω log n) 4 Sprawdzenie (ew. znajdowanie) czy graf zawiera skojarzenie doskonaªe w czasie (n ω ). Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 24 / 30
31 MAX-SAT (Williams 2004) Problem MAX-SAT Dana formuªa φ w postaci 2-CNF, zawieraj ca n zmiennych. Znale¹ warto±ciowanie zmiennych, które maksymalizuje liczb speªnionych klauzul. Zªo»ono± Odpowiedni problem decyzyjny jest NP-zupeªny. Algorytm naiwny ma zªo»ono± O(2 n ) Pytanie: Czy mo»na szybciej? Np. O(1.9 n )? Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 25 / 30
32 MAX-SAT (Williams 2004) Problem MAX-SAT Dana formuªa φ w postaci 2-CNF, zawieraj ca n zmiennych. Znale¹ warto±ciowanie zmiennych, które maksymalizuje liczb speªnionych klauzul. Zªo»ono± Odpowiedni problem decyzyjny jest NP-zupeªny. Algorytm naiwny ma zªo»ono± O(2 n ) Pytanie: Czy mo»na szybciej? Np. O(1.9 n )? B dziemy si zajmowa równowa»nym (z dokªadno±ci do czynnika log(#klauzul)) problemem: Problem MAX-SAT, wersja testuj ca Dana formuªa φ w postaci 2-CNF, zawieraj ca n zmiennych oraz k N Czy istnieje warto±ciowanie zmiennych, dla którego jest dokªadnie k speªnionych klauzul. Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 25 / 30
33 MAX-SAT (Williams 2004) Zbudujemy pewien graf G o O(2 n/3 ) wierzchoªkach. Ustalmy dowolny podziaª V = V 0 V 1 V 2 na trzy równe cz ±ci (tak równe jak si da). Wierzchoªkami G s wszystkie warto±ciowania v i : V i {0, 1} dla i = 0, 1, 2. Dla dowolnych v V i, w V (i+1) mod 3 graf G zawiera kraw d¹ vw. 2 V 0 2 V 1 2 V 2 Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 26 / 30
34 MAX-SAT (Williams 2004) Idea rozwi zania Dobierzemy tak wagi na kraw dziach,»e waga trójk ta vwu w G b dzie równa liczbie speªnionych klauzul przy warto±ciowaniu (v, w, u). Wtedy wystarczy sprawdzi, czy istnieje trójk t o wadze k w G. 2 V 0 2 V 1 2 V 2 Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 27 / 30
35 MAX-SAT (Williams 2004) Idea rozwi zania Dobierzemy tak wagi na kraw dziach,»e waga trójk ta vwu w G b dzie równa liczbie speªnionych klauzul przy warto±ciowaniu (v, w, u). Wtedy wystarczy sprawdzi, czy istnieje trójk t o wadze k w G. Problem 1 Jak dobra wagi? Niech c(v) = wszystkie klauzule, które s speªnione przy warto±ciowaniu v. Wtedy liczba speªnionych klauzul przy warto±ciowaniu (v, w, u) wynosi: c(v) c(w) c(u) = c(v) + c(w) + c(u) c(v) c(w) c(v) c(u) c(w) c(u) + c(v) c(w) c(u). Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 27 / 30
36 MAX-SAT (Williams 2004) Idea rozwi zania Dobierzemy tak wagi na kraw dziach,»e waga trójk ta vwu w G b dzie równa liczbie speªnionych klauzul przy warto±ciowaniu (v, w, u). Wtedy wystarczy sprawdzi, czy istnieje trójk t o wadze k w G. Problem 1 Jak dobra wagi? Niech c(v) = wszystkie klauzule, które s speªnione przy warto±ciowaniu v. Wtedy liczba speªnionych klauzul przy warto±ciowaniu (v, w, u) wynosi: c(v) c(w) c(u) = c(v) + c(w) + c(u) c(v) c(w) c(v) c(u) c(w) c(u) + c(v) c(w) c(u). }{{} 0 Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 27 / 30
37 MAX-SAT (Williams 2004) Idea rozwi zania Dobierzemy tak wagi na kraw dziach,»e waga trójk ta vwu w G b dzie równa liczbie speªnionych klauzul przy warto±ciowaniu (v, w, u). Wtedy wystarczy sprawdzi, czy istnieje trójk t o wadze k w G. Problem 1 Jak dobra wagi? Niech c(v) = wszystkie klauzule, które s speªnione przy warto±ciowaniu v. Wtedy liczba speªnionych klauzul przy warto±ciowaniu (v, w, u) wynosi: c(v) c(w) c(u) = c(v) + c(w) + c(u) c(v) c(w) c(w) c(u) c(u) c(v) + c(v) c(w) c(u). }{{} 0 Czyli dajemy waga(xy) = c(x) c(x) c(y). Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 27 / 30
38 MAX-SAT (Williams 2004) Pozostaªo sprawdzi, czy istnieje trójk t o wadze k w G. Trick Rozwa»amy wszystkie O(m 2 ) = O(n 4 ) podziaªów (m = liczba klauzul) k = k 0 + k 1 + k 2. Dla ka»dego podziaªu budujemy graf G zªo»ony k0,k1,k2 tylko z: kraw dzi o wadze k 0 mi dzy 2 V 0 a 2 V 1, kraw dzi o wadze k 1 mi dzy 2 V 1 a 2 V 2, kraw dzi o wadze k 2 mi dzy 2 V 2 a 2 V 0. Wtedy wystarczy... Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 28 / 30
39 MAX-SAT (Williams 2004) Pozostaªo sprawdzi, czy istnieje trójk t o wadze k w G. Trick Rozwa»amy wszystkie O(m 2 ) = O(n 4 ) podziaªów (m = liczba klauzul) k = k 0 + k 1 + k 2. Dla ka»dego podziaªu budujemy graf G zªo»ony k0,k1,k2 tylko z: kraw dzi o wadze k 0 mi dzy 2 V 0 a 2 V 1, kraw dzi o wadze k 1 mi dzy 2 V 1 a 2 V 2, kraw dzi o wadze k 2 mi dzy 2 V 2 a 2 V 0. Wtedy wystarczy... sprawdzi, czy istnieje dowolny trójk t. Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 28 / 30
40 Sprawdzanie, czy G k0,k 1,k 2 zawiera trój t Wniosek Graf G k0,k1,k2 ma 3 2n/3 wierzchoªków. Mo»emy sprawdzi, czy G k0,k1,k2 O(2 ωn/3 ) = O(1.732 n ) zawiera trój t w czasie Czyli mo»emy sprawdzi, czy G zawiera trój t o wadze k w czasie O(n 4 2 ωn/3 ) = O(n n ) = O(1.733 n ) Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 29 / 30
41 MAX-SAT (Williams 2004): Podsumowanie Wniosek Mo»emy rozwi za MAX-SAT w czasie i pami ci O(1.733 n ). Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 30 / 30
42 MAX-SAT (Williams 2004): Podsumowanie Wniosek Mo»emy rozwi za MAX-SAT w czasie i pami ci O(1.733 n ). Šatwo przerobi nasz algorytm (jak?)»eby dosta Wniosek Mo»emy zliczy wszystkie rozwi zania optymalne MAX-SAT w czasie i pami ci O(1.733 n ). Šukasz Kowalik (UW) FFT & FMM 30 / 30
Macierze. Dziaªania na macierzach. 1. Niech b d dane macierze , D = , C = , B = 4 12 A = , F = , G = , H = E = a) Obliczy A + B, 2A 3B,
Macierze Dziaªania na macierzach Niech b d dane macierze A = E = [ 2 3 0 3 2 3 2 0 [ 0 8, B = 4 2, F = [ 2 3, C = 3 2 2 3 0 0 0 4 0 6 3 0, G =, D = 0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 0 2 2 0 0 5 0 2,, H = 0 0 4 0 0
Interpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR WYKŠAD II Maªgorzata Murat MACIERZ A rzeczywist (zespolon ) o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporz dkowanie ka»dej uporz dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj
Metody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Macierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II.
Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Marek Zawadowski Zadanie 1 Napisz
Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana
c Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie
2: Drogi i Cykle Spis Zagadnie«drogi i cykle spójno± w tym sªaba i silna k-spójno± (wierzchoªkowa i kraw dziowa) dekompozycja grafu na bloki odlegªo±ci w grae i poj cia pochodne grafy Eulera i Hamiltona
Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1
Ciaªa i wielomiany 1 Ciaªa i wielomiany 1 Denicja ciaªa Niech F b dzie zbiorem, i niech + (dodawanie) oraz (mno»enie) b d dziaªaniami na zbiorze F. Denicja. Zbiór F wraz z dziaªaniami + i nazywamy ciaªem,
1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Drzewa Gomory-Hu Wprowadzenie. Drzewa Gomory-Hu. Jakub Š cki. 14 pa¹dziernika 2009
Wprowadzenie Drzewa Gomory-Hu Jakub Š cki 14 pa¹dziernika 2009 Wprowadzenie 1 Wprowadzenie Podstawowe poj cia i fakty 2 Istnienie drzew Gomory-Hu 3 Algorytm budowy drzew 4 Problemy otwarte Wprowadzenie
ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Liczenie podziaªów liczby: algorytm Eulera
Liczenie podziaªów liczby: algorytm Eulera Wojciech Rytter Podziaªy liczb s bardzo skomplikowanymi obiektami kombinatorycznymi, przedstawimy dwa algorytmy liczenia takich oblektów. Pierwszy prosty algorytm
Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych
Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych Wielomian: W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 wspóªczynniki wielomianu: a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n ; wyraz wolny: a 0
Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:
Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow
Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej
Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:
Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski
Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Pier±cie«przemienny P nazywamy dziedzin caªkowito±ci (lub po prostu dziedzin ) je±li nie posiada nietrywialnych dzielników zera. Pier±cie«z jedynk nazywamy pier±cieniem
Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Macierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Ukªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
det A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
Informacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Przekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Elementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Omówienie zada«potyczki Algorytmiczne 2015
Omówienie zada« Biznes Najszybsze rozwi zanie: Jarosªaw Kwiecie«(0:24) Na pocz tku mamy kapitaª P (megabajtalarów) i dochody 0 (megabajtalary/rok). W dowolnym momencie mo»emy kupi maszyn typu i, co kosztuje
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da
Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych w j zyku Python
Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych w j zyku Python Marcin Ciura Zakªad Oprogramowania 28 marca 2007 Marcin Ciura (Zakªad Oprogramowania) Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych 28 marca 2007 1 / 24
Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Ukªady równa«liniowych PWSZ Gªogów, 2009 Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zada«redukuje si do problemu rozwi zania ukªadu
Wektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Jan Rodziewicz-Bielewicz, Wydziaª Informatyki ZUT May 8, 2019 8 Struktury algebraiczne ZASTOSOWANIE: Kryptograa. 1. Sprawdzi, czy jest dziaªaniem wewn trznym: (a) y y w zbiorze Q,
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Wielomiany. El»bieta Sadowska-Owczorz. 19 listopada 2018
Wielomiany El»bieta Sadowska-Owczorz 19 listopada 2018 Wielomianem nazywamy wyra»enie postaci a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = n a k x k. k=0 Funkcj wielomianow nazywamy funkcj W :
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Materiaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Algebra Liniowa 2. Zadania do samodzielnych wicze«wydziaª Elektroniki, I rok Karina Olszak i Zbigniew Olszak
Algebra Liniowa 2 Zadania do samodzielnych wicze«wydziaª Elektroniki, I rok Karina Olszak i Zbigniew Olszak Podobie«stwo macierzy, diagonalizacja macierzy 1. Znale¹ macierze przeksztaªcenia liniowego T
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +
Przetwarzanie sygnaªów
Przetwarzanie sygnaªów Laboratorium 1 - wst p do C# Dawid Poªap Przetwarzanie sygnaªów Pa¹dziernik, 2018 1 / 17 Czego mo»na oczekiwa wzgl dem programowania w C# na tych laboratoriach? Dawid Poªap Przetwarzanie
AM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,
XIII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne. Olsztyn 2015 Rozwi zania zada«dla szkóª ponadgimnazjalnych ZADANIE 1 Zakªadamy,»e a, b 0, 1 i a + b 1. Wykaza,»e z równo±ci wynika,»e a = -b 1 a + b 1 = 1
Metodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Algorytmy zwiazane z gramatykami bezkontekstowymi
Algorytmy zwiazane z gramatykami bezkontekstowymi Rozpoznawanie j zyków bezkontekstowych Problem rozpoznawania j zyka L polega na sprawdzaniu przynale»no±ci sªowa wej±ciowego x do L. Zakªadamy,»e j zyk
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
ZADANIA. Maciej Zakarczemny
ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1
Przykªady problemów optymalizacji kombinatorycznej
Przykªady problemów optymalizacji kombinatorycznej Problem Komiwoja»era (PK) Dane: n liczba miast, n Z +, c ji, i, j {1,..., n}, i j odlegªo± mi dzy miastem i a miastem j, c ji = c ij, c ji R +. Zadanie:
Interpolacja wielomianowa i splajnowa
Rozdziaª 5 Interpolacja wielomianowa i splajnowa 5.1 Wielomiany w octavie W octavie istnieje caªa gamma funkcji zwi zanych z wielomianami: polyval( ) - funkcja pozwalaj ca oblicza warto± wielomianu zadanego
Problemy optymalizacyjne - zastosowania
Problemy optymalizacyjne - zastosowania www.qed.pl/ai/nai2003 PLAN WYKŁADU Zło ono obliczeniowa - przypomnienie Problemy NP-zupełne klika jest NP-trudna inne problemy NP-trudne Inne zadania optymalizacyjne
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Szeregowanie zada« Wykªad nr 5. dr Hanna Furma«czyk. 4 kwietnia 2013
Wykªad nr 5 4 kwietnia 2013 Procesory dedykowane Przypomnienie: zadania s podzielone na operacje (zadanie Z j skªada si z operacji O ij do wykonania na maszynach M i, o dªugo±ciach czasowych p ij ); zadanie
Wst p do sieci neuronowych 2010/2011 wykªad 7 Algorytm propagacji wstecznej cd.
Wst p do sieci neuronowych 2010/2011 wykªad 7 Algorytm propagacji wstecznej cd. M. Czoków, J. Piersa Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University, Toru«, Poland 2010-11-23
Algorytmy grafowe 2. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI. Politechnika Gda«ska Algorytmy grafowe 2
Algorytmy grafowe 2 Andrzej Jastrz bski Akademia ETI Minimalne drzewo spinaj ce Drzewem nazywamy spójny graf nie posiadaj cy cyklu. Liczba wierzchoªków drzewa jest o jeden wi ksza od liczby jego kraw dzi.
Lista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Algorytmy i Struktury Danych
Lista zada«. Nr 4. 9 kwietnia 2016 IIUWr. II rok informatyki. Algorytmy i Struktury Danych 1. (0pkt) Rozwi» wszystkie zadania dodatkowe. 2. (1pkt) Uªó» algorytm znajduj cy najta«sz drog przej±cia przez
Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Macierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego
Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad
Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów
Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69
Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Liczby zespolone. dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0.in». 6 pa¹dziernika Oznaczenia. B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«:
Liczby zespolone Oznaczenia B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«: N = {1, 2, 3,...}- zbiór liczb naturalnych, Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}- zbiór liczb caªkowitych, Q = { a b : a, b Z, b 0}- zbiór
2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)
Przeksztaªcenia liniowe Def 1 Przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem liniowym) rzeczywistych przestrzeni liniowych U i V nazywamy dowoln funkcj L : U V speªniaj c warunki: 1 L( u + v) = L( u) + L( v) dla
WBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0
WBiA Architektura i Urbanistyka Matematyka wiczenia 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: 1) 2A + C 2) A C T ) B A 4) B C T 5) A 2 B T 1 0 2 dla A = 1 2 1 1 0 B = ( 1 2 1 0 1 ) C = 1 2 1 0 2 1 0 1 2. Które
Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.
Nr zadania Nr czynno ci... ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwi zania zadania Wprowadzenie oznacze : x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania: x y lub: zapisanie
LZNK. Rozkªad QR. Metoda Householdera
Rozdziaª 10 LZNK. Rozªad QR. Metoda Householdera W tym rozdziale zajmiemy si liniowym zadaniem najmniejszych wadratów (LZNK). Dla danej macierzy A wymiaru M N i wetora b wymiaru M chcemy znale¹ wetor x
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
c Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach
12: w sieciach Spis zagadnie«sieci przepªywowe przepªywy w sieciach ±cie»ka powi kszaj ca tw. Forda-Fulkersona Znajdowanie maksymalnego przepªywu Zastosowania przepªywów Sieci przepªywowe Sie przepªywowa
Lab. 02: Algorytm Schrage
Lab. 02: Algorytm Schrage Andrzej Gnatowski 5 kwietnia 2015 1 Opis zadania Celem zadania laboratoryjnego jest zapoznanie si z jednym z przybli»onych algorytmów sªu» cych do szukania rozwi za«znanego z
Liniowe zadania najmniejszych kwadratów
Rozdziaª 9 Liniowe zadania najmniejszych kwadratów Liniowe zadania najmniejszych kwadratów polega na znalezieniu x R n, który minimalizuje Ax b 2 dla danej macierzy A R m,n i wektora b R m. Zauwa»my,»e
Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. W pewnym sonda»u partia A uzyskaªa o 8 punktów procentowych wi ksze poparcie ni» partia B. Wiadomo,»e liczba gªosów oddanych w sonda»u
1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Algorytmy tekstowe. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI
Andrzej Jastrz bski Akademia ETI Wyszukiwanie wzorca Wyszukiwaniem wzorca nazywamy sprawdzenie, czy w podanym tekscie T znajduje si podci g P. Szukamy sªowa kot: Ala ma kota, kot ma ale. Algorytm naiwny
Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5. Interpolacja wielomianowa
Sformułowanie zadania interpolacji Metody Numeryczne Wykład 4 Wykład 5 Interpolacja wielomianowa Niech D R i niech F bȩdzie pewnym zbiorem funkcji f : D R. Niech x 0, x 1,..., x n bȩdzie ustalonym zbiorem
Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126
Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 2
O pewnym zadaniu olimpijskim
O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby
Geometria. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Geometria Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Dane s równania postych, w których zawarte s boki trójk ta ABC : 3x 4y + 36 = 0 x y = 0 4x + 3y + 23 = 0 1. Obliczy wspóªrz dne wierzchoªków
ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Grafy. Andrzej Jastrz bski. Akademia ET I. Politechnika Gda«ska
Andrzej Jastrz bski Akademia ET I Graf Grafem nazywamy par G = (V, E), gdzie V to zbiór wierzchoªków, E zbiór kraw dzi taki,»e E {{u, v} : u, v V u v}. Wierzchoªki v, u V s s siaduj ce je±li s poª czone
Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona
Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G b dzie grafem spójnym. Denicja Je»eli w grae G istnieje zamkni ta droga prosta zawieraj ca wszystkie kraw dzie
Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne.
Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne. IIUWr. II rok informatyki. Przygotowaª: Krzysztof Lory± 1 Schemat ogólny. Typowe zadanie rozwi zywane metod zachªann ma charakter optymalizacyjny.
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Interpolacja Lagrange'a, bazy wielomianów
Rozdziaª 4 Interpolacja Lagrange'a, bazy wielomianów W tym rozdziale zajmiemy si interpolacj wielomianow. Zadanie interpolacji wielomianowej polega na znalezieniu wielomianu stopnia nie wi kszego od n,
Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona
Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisªawa Staszica w Krakowie Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej Krzysztof Grz dziel kierunek studiów: informatyka stosowana Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci
Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1
II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Przeksztaªcenia liniowe
Przeksztaªcenia liniowe Przykªady Pokaza,»e przeksztaªcenie T : R 2 R 2, postaci T (x, y) = (x + y, x 6y) jest przeksztaªceniem liniowym Sprawdzimy najpierw addytywno± przeksztaªcenia T Niech v = (x, y
Zbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Stereometria (geometria przestrzenna)
Stereometria (geometria przestrzenna) Wzajemne poªo»enie prostych w przestrzeni Stereometria jest dziaªem geometrii, którego przedmiotem bada«s bryªy przestrzenne oraz ich wªa±ciwo±ci. Na pocz tek omówimy
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz