UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI. Entropie złożonych operacji kwantowych

Transkrypt

1 UNIWERSYTET JAGIELLOŃSKI Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Zakład Optyki Atomowej Entropie złożonych operacji kwantowych Wojciech Roga Praca magisterska pod kierunkiem prof. dr hab. Karola Życzkowskiego. Kraków 2007

2 Spis treści 1 Wstęp Operacje kwantowe Stany układów złożonych Operacje kwantowe Reprezentacje operacji kwantowych Macierze dynamiczne Rozkład Schmidta i jego konsekwencje Entropie złożonych operacji kwantowych Teoria Lindblada i entropia wymiany Informacja koherentna Dynamiczna subaddytywność entropii bistochastycznych operacji kwantowych Silna dynamiczna subaddytywność entropii bistochastycznych operacji kwantowych Nierówności dla stochastycznych operacji kwantowych Przypadek klasyczny Entropia wymiany w przypadku szczególnym Nierówności dla macierzy stochastycznych o wspólnym wektorze niezmienniczym Nierówności dla dowolnych macierzy stochastycznych Podsumowanie Zastosowania Zagadnienia otwarte Literatura 40

3 1. Wstęp 1 Wstęp Rozważania na temat teorii prawdopodobieństwa zwykle rozpoczyna się od określenia zbioru zdarzeń elementarnych. Rozważmy zbiór zdarzeń elementarnych Ω = {ω 1,..., ω N }. Wektor p = (p 1,..., p N ), gdzie p i = p(ω i ), może przedstawiać miarę prawdopodobieństwa na zbiorze Ω, gdy spełnione są dwa warunki: i p i 0, (1.1) oraz N p i = 1. (1.2) i=1 Wektor p nazywa się wtedy wektorem prawdopodobieństwa lub rozkładem prawdopodobieństwa. Zmienną losową X nazywamy funkcję X : Ω R. Wartość oczekiwaną zmiennej losowej definiuje się jako: N X = X(ω i )p i. (1.3) i=1 Zbiór wszystkich N-wymiarowych wektorów prawdopodobieństwa stanowi zbiór wypukły o wymiarze m = N 1, zwany sympleksem m. Przez zbiór wypukły należy rozumieć taki, że gdy dwa wektory, p 1 oraz p 2, należą do m, ich kombinacja wypukła: p = ap 1 + (1 a)p 2, gdzie 0 a 1, (1.4) również należy do m. W wyrażeniu (1.4) wektor p został rozłożony na kombinację wypukłą dwóch innych wektorów. Zazwyczaj taki rozkład nie jest jednoznaczny, ale istnieją też w sympleksie m takie wektory, których nie sposób zapisać jako kombinację wypukłą żadnych innych, nazywamy je stanami czystymi. 3

4 1. Wstęp Do zbioru stanów czystych należą takie rozkłady prawdopodobieństwa p, że dla pewnego i, p i = 1. Jeśli jakaś zmienna losowa ma taki rozkład prawdopodobieństwa, to mówimy, że posiadamy maksymalną wiedzę o wyniku eksperymentu losowego związanego z tą zmienną albo, że niepewność otrzymania danego wyniku jest zerowa. Jeśli zmienna losowa rządzona jest najbardziej przypadkowym rozkładem prawdopodobieństwa, oznaczanym p (takim, że p i = 1, dla każdego i), to mówimy, że nasza wiedza o wyniku eksperymentu losowego jest minimalna, lub niepewność otrzymania danego N wyniku jest maksymalna. Jako miarę niepewności związanej z otrzymaniem danego wyniku eksperymentu losowego wprowadza się wielkość charakteryzującą rozkłady prawdopodobieństwa, zwaną entropią. W roku 1948 Shannon [1] przedstawił wzór na entropię h(p) rozkładu prawdopodobieństwa p, w następujący sposób: N h(p) = p i ln(p i ), gdzie przyjmuje się 0 ln(0) 0. (1.5) i=1 Entropia Shannona jest równa zero w stanach czystych (niepewność otrzymania danego wyniku jest zerowa), natomiast jest maksymalna i równa ln(n) w stanie najbardziej przypadkowym. Chcąc rozpatrywać dynamikę dyskretną w zbiorze wektorów prawdopodobieństwa, należy wprowadzić odwzorowanie A : m m. Odwzorowanie tego typu jest realizowane przez mnożenie wektora prawdopodobieństwa przez macierz, która zachowuje dodatniość oraz normę wektora. Taką macierz nazywa się stochastyczną. Macierz stochastyczna A transformuje wektor prawdopodobieństwa p w wektor prawdopodobieństwa p : p = Ap. (1.6) Zachowanie dodatniości implikuje, że: i, j A ij 0. (1.7) 4

5 1. Wstęp Warunek na zachowanie unormowania wektora prawdopodobieństwa: 1 = i p i = i,j A ij p j = j p j, (1.8) narzuca więz: j A ij = 1, (1.9) i co oznacza, że suma elementów w każdej kolumnie macierzy stochastycznej jest równa jeden. Każda macierz stochastyczna posiada wektor stacjonarny p s [9], to znaczy taki, że: Ap s = p s. (1.10) W zbiorze macierzy stochastycznych wyróżnia się podzbiór takich macierzy, których wektorem stacjonarnym jest rozkład najbardziej przypadkowy, p. Takie macierze nazywane są bistochastycznymi. Z warunku na zachowanie p : 1 N = p i = j A ij p j = 1 N A ij, (1.11) j wynika następująca własność macierzy bistochastycznych: i A ij = 1, (1.12) j co oznacza, że suma elementów w każdym wierszu macierzy bistochastycznej jest równa jeden, tak samo jak w każdej kolumnie. W mechanice kwantowej zakłada się, że wynik dowolnego pomiaru jest wartością własną hermitowskiego operatora zwanego obserwablą. Dowolny operator hermitowski K, działający na skończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta, można przedstawić w postaci: K = i λ i i i, (1.13) 5

6 1. Wstęp gdzie {λ i } to wartości własne operatora K, natomiast i i jest operatorem rzutowym na podprzestrzeń własną operatora K do wartości własnej λ i. Prawdopodobieństwo otrzymania w wyniku pomiaru wartości λ i oblicza się następująco: p λi = Tr(ρ i i ), (1.14) gdzie ρ to macierz gęstości, czyli hermitowski operator o dodatnich wartościach własnych i śladzie równym jeden. Macierz gęstości, nazywana też stanem, jest odpowiednikiem miary prawdopodobieństwa w klasycznej teorii prawdopodobieństwa, natomiast obserwable odpowiadają zmiennym losowym. Wartość oczekiwaną obserwabli oblicza się w sposób przypominający relację (1.3): A = Tr(ρA). (1.15) Zbiór macierzy gęstości o wymiarze N N oznaczamy symbolem M N. Jest to zbiór wypukły, to znaczy, że każda kombinacja wypukła (1.4) elementów zbioru M N, też jest elementem zbioru M N. Istnieją w zbiorze macierzy gęstości stany, których nie sposób rozłożyć na kombinację wypukłą innych macierzy gęstości, nazywane są stanami czystymi. Macierz gęstości, która jest stanem czystym, ma tylko jedną niezerową wartość własną, równą jeden. Główną zaletą stosowania formalizmu macierzy gęstości jest wygodne przechodzenie od stanu układu złożonego do stanu jego dowolnego podukładu. Macierz gęstości opisującą stan podukładu (zredukowaną macierz gęstości) otrzymuje się przez działanie na stan układu złożonego operatorem, zwanym częściowym śladem. Operator częściowego śladu, przeprowadzając macierz gęstości, działającą w N wymiarowej przestrzeni Hilberta, w macierz gęstości o wymiarze M N, wykonuje ślad po pozostałej N M wymiarowej podprzestrzeni. Uzasadnienie formalizmu śladów częściowych i zredukowanych macierzy gęstości znaleźć można w rozdziale drugim monografii [19]. Sposób działania śladu częściowego jest następujący: niech ρ AB oznacza stan układu złożonego z dwóch podukładów A i B. Macierz gęstości ρ AB dzia- 6

7 1. Wstęp ła na przestrzeni Hilberta H A H B. Niech { a i } N A i=1 oznacza bazę ortonormalną przestrzeni Hilberta H A, o wymiarze N A, analogicznie: niech { b j } N B j=1 oznacza bazę ortonormalną przestrzeni H B, o wymiarze N B. Wówczas, stosując konwencję sumowania Einsteina, macierz gęstości złożonego układu wyraża się poprzez poczwórną sumę: ρ AB = ρ i m a i a j b m b n. (1.16) j n Stan podukładu A otrzymuje się działając na stan ρ AB śladem częściowym po podukładzie B: ρ A = Tr B (ρ AB ), (1.17) przy czym działanie operatora śladu częściowego należy rozumieć następująco: Tr B ( a i a j b m b n ) a i a j Tr( b m b n ). (1.18) W mechanice kwantowej także wprowadza się entropię. Dla układu kwantowego rozważał ją po raz pierwszy von Neumann w 1927 roku [2]. O eksperymencie myślowym, motywującym wprowadzenie tej wielkości, można przeczytać w [8]. Entropia von Neumanna dla macierzy gęstości jest zdefiniowana jako: S(ρ) = Tr(ρ lnρ) = i λ i lnλ i, (1.19) gdzie {λ i } są wartościami własnymi macierzy gęstości ρ, a przyjmuje się, że 0 ln0 0. Entropia von Neumanna, w zbiorze macierzy gęstości M N, jest funkcją ciągłą [3], przyjmuje wartość minimalną, równą 0, dla stanu czystego, a maksymalną, równą lnn, dla stanu maksymalnie zmieszanego, ρ = 1 1. Można N zatem uważać entropię von Neumanna, podobnie jak w przypadku klasycznym, za miarę nieprzewidywalności wyniku eksperymentu kwantowego. Przegląd właściwości entropii von Neumanna można znaleźć w [4], tutaj 7

8 1. Wstęp warto przytoczyć dwie: zasadę subaddytywność entropii dla dwóch układów kwantowych A i B: S(ρ AB ) S(ρ A ) + S(ρ B ), (1.20) oraz zasadę silnej subaddytywności entropii dla trzech układów kwantowych A, B i C: S(ρ ABC ) + S(ρ B ) S(ρ AB ) + S(ρ BC ). (1.21) Własność silnej subaddytywności posiada również entropia Shannona. W przypadku klasycznym dowód nie jest skomplikowany [4], natomiast dla entropii von Neumanna, wymaga wyrafinowanych metod. Dowód silnej subaddytywności entropii von Neumanna przedstawili E. Lieb i M. B. Ruskai [5], dopiero w roku Przegląd zagadnień, związanych z silną subaddytywnością można znaleźć w [6], [7]. Dynamikę dyskretną w zbiorze M N wprowadza się przez tzw. operacje kwantowe. Są to odwzorowania Ψ : M N M N, które spełniają dwa warunki: zachowują ślad i są całkowicie dodatnie [10]. Odwzorowanie nazywamy dodatnim, gdy przeprowadza operator o nieujemnych wartościach własnych, czyli dodatni, również w operator dodatni. Odwzorowanie Ψ nazywamy całkowicie dodatnim, gdy Ψ 1 N jest dodatnie, dla każdego N. Różne reprezentacje operacji kwantowych są rozważane w części 1.1. Odwzorowania kwantowe, które zachowują unormowanie nazywamy stochastycznymi, natomiast takie, które ponadto zachowują stan maksymalnie zmieszany, nazywamy bistochastycznymi, podobnie jak w przypadku klasycznej teorii prawdopodobieństwa. W pracy [11] A. Jamiołkowski pokazał, że istnieje dualność pomiędzy 1 odwzorowaniami Ψ : M N M N a stanami N DΨ M N 2, definiowanymi jako: 1 N DΨ = Ψ 1( φ + φ + ), (1.22) gdzie φ + = 1 Ni N i i jest stanem maksymalnie splątanym. Macierz D Ψ jest nazywana macierzą dynamiczną odwzorowania Ψ, lub macierzą Choi 8

9 1. Wstęp (M. D. Choi również badał [12] własności operatora 1.22). O cechach macierzy dynamicznych traktuje część 1.2 niniejszej pracy. Dzięki temu, że macierz dynamiczna jednoznacznie określa operację kwantową, można zdefiniować entropię operacji kwantowej jako entropię von Neumanna macierzy 1 N DΨ : S(Ψ) S( 1 N DΨ ). (1.23) W celu uzasadnienia takiej definicji entropii operacji kwantowej, warto przytoczyć dwa przykłady. Gdy transformacja jest unitarna, czyli taka, która nie zmienia stopnia zmieszania stanu, entropia jest najmniejsza i równa 0. Gdy rozpatruje się transformację całkowicie depolaryzującą, która rzutuje dowolny stan na stan maksymalnie zmieszany, entropia osiąga największą wartość, ln(n 2 ) [13]. Można uważać zatem entropię zdefiniowaną w (1.23), za miarę zmniejszenia się informacji o układzie pod wpływem danej operacji kwantowej, która opisuje oddziaływanie z otoczeniem. Przykłady entropii różnych operacji kwantowych przedstawione zostały dokładniej w rozdziale 4. Głównym wynikiem niniejszej pracy jest podanie dowodów pięciu twierdzeń przedstawionych w rozdziale (2), dotyczących entropii złożonych operacji kwantowych i macierzy stochastycznych. W części 2.1 prezentowany jest dowód dynamicznej subaddytywności entropii bistochastycznych operacji kwantowych: S(Ψ 2 Ψ 1 ) S(Ψ 1 ) + S(Ψ 2 ), (1.24) gdzie Ψ 2 Ψ 1 oznacza złożenie operacji Ψ 1 oraz Ψ 2. Własność ta przypomina subaddytywność entropii dla macierzy gęstości (1.20), ale to nie jest prosta analogia, ponieważ relacja między macierzą dynamiczną złożonej operacji D Ψ 2 Ψ 1 i macierzami dynamicznymi operacji składowych D Ψ 1 i D Ψ 2, jest inna niż relacja między macierzami gęstości ρ AB oraz ρ A i ρ B [13]. 9

10 1. Wstęp W części 2.2 przedstawiony jest dowód silnej dynamicznej subaddytywności entropii złożonych bistochastycznych operacji kwantowych. W rozdziale 2.3 wynik rozdziału 2.1 zostaje uogólniony na dowolne stochastyczne operacje kwantowe, przy czym użyto innego schematu dowodzenia tego typu twierdzeń, niż ten, który był zastosowany w poprzednich rozdziałach. W dalszej części zostało omówione przejście od dynamiki dyskretnej na zbiorze macierzy gęstości, do dynamiki dyskretnej na zbiorze wektorów prawdopodobieństwa, czyli od operacji kwantowych do macierzy stochastycznych, jako szczególnego przypadku. 1.1 Operacje kwantowe Stany układów złożonych Zgodnie z zasadami mechaniki kwantowej, ewolucję izolowanego układu kwantowego opisuje unitarny operator ewolucji. Ale dowolna część izolowanego układu złożonego, która stanowi układ otwarty, nie musi podlegać ewolucji unitarnej. W rzeczywistości, rozważając dowolny układ, nie sposób a priori wykluczyć, że nie jest on podukładem jakiejś większej całości, która dopiero jest izolowana. Innymi słowy: rozważany układ może być splątany z innymi, nawet odległymi układami, a to powoduje, że jego ewolucja może nie być unitarna Operacje kwantowe Najbardziej ogólnie opisuje się dyskretną ewolucję dowolnego układu kwantowego za pomocą tzw. operacji kwantowych. Odwzorowanie Ψ : M N M N, przeprowadzające macierz gęstości w macierz gęstości, nazywane jest operacją kwantową wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia dwa warunki: gdy zachowuje ślad i jest całkowicie dodatnie. Warunek na zachowanie śladu, oznaczany skrótem TP (ang. trace 10

11 1. Wstęp preserving), wynika z faktu, że operacja kwantowa przeprowadza macierz gęstości w macierz gęstości - macierze o śladzie jednostkowym. Warunek na całkowitą dodatniość, oznacza, że operacja Ψ, działająca na rozważany układ, rozszerzona o operację identycznościową na dowolnym innym układzie, jest odwzorowaniem dodatnim, czyli przeprowadza macierz dodatnio określoną w macierz dodatnio określoną. Zapisuje się to w następujący sposób: Ψ 1 0. (1.25) Warunek całkowitej dodatniości oznacza się skrótem CP (ang. completely positive) Reprezentacje operacji kwantowych Operację kwantową Ψ : M N M N, przeprowadzającą macierz gęstości ρ w macierz gęstości ρ : można opisywać w różny sposób: ρ = Ψ(ρ), (1.26) reprezentacja operacji kwantowej za pomocą czterowskaźnikowego operatora Ψ, nazywanego też superoperatorem: ρ k l = Ψ k l m n reprezentacja unitarna operacji kwantowej: ρ m n (1.27) Niech macierz ρ AB opisuje izolowany układ złożony, którego ewolucję wyznacza operator unitarny U AB. W dowolnej chwili stan podukładu A jest opisywany przez macierz gęstości ρ A, która jest śladem częściowym ze zmieniającej się z czasem macierzy ρ AB. Przy takiej ewolucji U AB, zmieniony stan podukładu A, który można rozumieć jako konsekwencję pewnej operacji kwantowej Ψ na ρ A, zapisuje się w postaci: ρ A = Ψ A (ρ A ) = Tr B (U AB ρ AB U AB ). (1.28) 11

12 1. Wstęp Operator unitarny U AB wyznacza postać operacji Ψ, dlatego jest nazywany reprezentacją unitarną operacji kwantowej Ψ. Reprezentacja unitarna nie jest jednak jednoznaczna, gdyż można znaleźć różne ewolucje złożonego układu, które powodują jednakowe zmiany w jego części (jedna macierz gęstości może powstać jako ślad częściowy z różnych macierzy). Poza tym, układ A można rozszerzyć do układu AB na wiele sposobów. Często układ B traktuje się jako otoczenie, z którym oddziałuje obiekt kwantowy A. Wówczas U AB oznacza ewolucję układu złożonego: otoczenia B i oddziałującego z nim obiektu kwantowego A. Natomiast efektywna ewolucja wyróżnionego podukładu A opisywana jest przez operację kwantową Ψ. reprezentacja operacji kwantowej przez sumę operatorów (forma Krausa): N 2 Ψ(ρ) = A i ρa i, (1.29) i=1 gdzie N, to wymiar macierzy ρ. Taka reprezentacja istnieje dla każdej operacji całkowicie dodatniej [20] i każda operacja, dla której taka reprezentacja istnieje jest całkowicie dodatnia. Ponadto zachowanie śladu narzuca na macierze A i następujące więzy: N 2 A ia i = 1 N. (1.30) i=1 Symbol 1 N oznacza macierz jednostkową o wymiarze N. Więzy (1.30) wynikają z następującego rozumowania, które prowadzi do zachowania 12

13 1. Wstęp śladu: Tr(ρ ) = Tr( N 2 i=1 A i ρa i) = N 2 i=1 Tr(A i ρa i) = N 2 i=1 Tr(A ia i ρ) (1.31) = Tr(( N 2 i=1 A ia i )ρ) = Tr(ρ) Ostatnia równość, gwarantująca zachowanie śladu, jest spełniona dla dowolnego ρ, tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek (1.30), pozostałe przekształcenia wynikają z własności liniowości i cykliczności śladu. Element iloczynu tensorowego dwóch macierzy B i C, w zapisie czterowskaźnikowym, jest równy: (B C) k l m n = B km C ln. (1.32) Korzystając z zależności (1.32) i z (1.29), można otrzymać wyrażenie na macierz operatora Ψ oznaczoną symbolem ˆΨ: N 2 ˆΨ = A i Āi, (1.33) i=1 gdzie macierz Āi oznacza sprzężenie zespolone macierzy Krausa A i. Wyrażenie (1.33) wynika z następującego rozumowania (dolne wskaźniki oznaczają numer operatora Krausa, górne oznaczają współrzędne 13

14 1. Wstęp macierzowe): kl Ψ m n k l ρ kl = i kl(a i ) mk ρ kl (A i) ln = i kl(a i ) mk (Āi) nl ρ kl (1.34) Operatory Krausa A i = kl i(a i Āi) m n k l ρ kl. również nie są jednoznacznie określone, ale istnieje wyróżniona postać kanoniczna tych operatorów, w której zachodzi relacja ortogonalności: Tr(A i A j ) = d i δ ij. (1.35) Operatory A i sposób: w postaci kanonicznej można wyrazić w następujący A i = d i χ i, (1.36) gdzie {χ i } jest zbiorem macierzy ortonormalnych, czyli takich, że Tr(χ i χ j ) = δ ij. Warunek (1.30) narzuca na d i więz: N 2 d i = N. (1.37) i=1 W celu otrzymania tego rezultatu, wystarczy wstawić (1.36) do warunku (1.30), a następnie wykonać ślad obu stron równania. 1.2 Macierze dynamiczne Działanie operacji kwantowej, Ψ : M N M N, w reprezentacji czterowskaźnikowego superoperatora zapisuje się jako: ρ k l = Ψ k l m n 14 ρ m n. (1.38)

15 1. Wstęp Dla każdego superoperatora można zdefiniować macierz dynamiczną (1.22), poprzez przestawienie wskaźników: D Ψ k l m n = Ψ k m. (1.39) l n Warunki na całkowitą dodatniość oraz zachowanie śladu przez operację Ψ, implikują dla macierzy dynamicznej D Ψ, że jest hermitowska, dodatnio określona, a jej ślad jest równy N [13], [12]. Zatem operator 1 N DΨ jest również macierzą gęstości, ale o podwyższonym wymiarze: 1 N DΨ M N 2. Gdy w przestrzeni Hilberta o wymiarze N 2, na której działa macierz 1 N DΨ, wprowadzi się strukturę iloczynu tensorowego podprzestrzeni N wymiarowych: H N 2 = H N H N, warunek na zachowanie przez operację kwantową śladu przyjmuje postać Przy czym Tr 1 (D Ψ ) = 1 N. (1.40) (Tr 1 (D Ψ )) k m = N n=1 D Ψ n k n m, (1.41) oznacza ślad częściowy po pierwszym podukładzie. Operację kwantową zachowującą ślad nazywamy stochastyczną. Równanie (1.40) jest zatem warunkiem na stochastyczność operacji kwantowej Ψ. Rozumowanie prowadzące do warunku (1.40) przebiega następująco (używając konwencji sumowania Einsteina): 1 = Trρ = ρ mm = Ψ m m k l ρ kl = D ψ m k m l ρ kl = (Tr 1 D Ψ ) kl ρ kl, (1.42) powyższe wyrażenie równa się Trρ, gdy zachodzi warunek (1.40). Bistochastyczność operacji kwantowej Ψ, czyli cecha zachowywania stanu maksymalnie zmieszanego, narzuca ponadto na macierz dynamiczną warunek: Tr 2 (D Ψ ) = 1 N, (1.43) 15

16 1. Wstęp gdzie macierz gęstości, która jest wynikiem śladu częściowego po drugim podukładzie, ma elementy: (Tr 2 (D Ψ )) ln = N k=1 D Ψ l k n k. (1.44) Warunek (1.43) na zachowanie stanu ρ, wynika z następującego rozumowania: 1 N δ nk = (Ψρ ) nk = 1 N Ψ n k m l δ ml = 1 N Dψ n l k l = 1 N (Tr 1D Ψ ) nk. (1.45) Entropię operacji kwantowej Ψ definiuje się jako entropię von Neumanna macierzy 1 N DΨ M N 2: S(Ψ) = S( 1 N DΨ ). (1.46) Warto powiązać diagonalne macierze dynamiczne z operatorami Krausa. Współczynniki d i z równania (1.37) są to diagonalne elementy macierzy dynamicznej, a samą macierz dynamiczną moża zapisać używając operatorów Krausa w postaci kanonicznej: D ij = TrA ia j, i, j = 1,..., N 2. (1.47) Uzasadnienie powyższego równania jest następujące. Operatory w postaci kanonicznej, wchodzące w skład formy Krausa, mają specyficzną postać (1.36). Wskaźnik i przyjmuje tam wartości od 1 do N 2, gdzie N jest wymiarem macierzy gęstości, która podlega operacji. Dla potrzeb dalszego rozumowania, należy zmienić notację: zamiast jednego wskaźnika i = 1...N 2, wprowadzić dwa wskaźniki µ, ν = 1...N, gdzie i = (µ 1)N + ν. Wówczas równanie (1.36) przyjmuje postać: A µν = d µν χ µν (1.48) Przy takiej notacji, {χ µν } jest bazą kanoniczną przestrzeni wektorowej macierzy N N: (χ µν ) mn = δ µm δ νn, (1.49) 16

17 1. Wstęp czyli zbiorem macierzy o jedynym elemencie niezerowym, równym jeden, na przecięciu wiersza µ z kolumną ν [21]. Niezerowe elementy diagonalnej macierzy dynamicznej: D l k, na mocy l k (1.39), są równe elementom odpowiedniej operacji kwantowej Ψ l l, które k k z kolei, na mocy (1.33), są równe Ψ l l k k = N α,β=1 (A αβ ) lk (Āαβ) lk (dolne wskaźniki oznaczają numer operatora Krausa, górne, elementy macierzowe operatorów). Mamy zatem: D l k = Ψ l l l k k k = N α,β=1 (A αβ Āαβ) l l k k (1.50) = N α,β=1 (A αβ ) lk (Āαβ) lk następnie, zakładając że operatory Krausa są w postaci kanonicznej, używamy (1.48) oraz (1.49): Nα,β=1 (A αβ ) lk (Āαβ) lk = N α,β=1 d αβ (χ αβ ) lk (χ αβ ) lk = N α,β=1 d αβ δ αl δ βk. (1.51) = d lk Ale d lk = Tr(A lk A lk) (1.35), zatem d lk są niezerowymi elementami macierzy dynamicznej i równanie (1.47) jest spełnione. 1.3 Rozkład Schmidta i jego konsekwencje Prezentowane w niniejszej pracy rozumowania niejednokrotnie odwołują się do twierdzenia o puryfikacji. Mówi ono o tym, że dowolną macierz 17

18 1. Wstęp gęstości o wymiarze N, można otrzymać przez wykonanie częściowego śladu z powiększonego układu złożonego, który jest w stanie czystym. Istnienie stanu czystego powiększonego układu wynika z niżej prezentowanego lematu o rozkładzie Schmidta [15]. Lemat 1 (Rozkład Schmidta) [15] Dla dowolnego wektora ϕ AB z przestrzeni Hilberta H A H B istnieje taka baza ortogonalna { a i } N A i=1 przestrzeni H A, oraz baza ortogonalna { b i } N B i=1 przestrzeni H B, że wektor ϕ AB można zapisać w postaci: gdzie N = min{n A, N B }. ϕ AB = N i=1 λ i a i b i, (1.52) Dowód lematu przebiega następująco: dowolny wektor z H A H B można zapisać w postaci: ϕ AB = ij c ij e i A f j B, (1.53) gdzie { e i A } oraz { f j B }, to bazy ortogonalne układów A i B, odpowiednio. Załóżmy, że wymiar przestrzeni A jest mniejszy niż wymiar przestrzeni B. Z wektora (1.53) można utworzyć macierz gęstości całego układu, a następnie wykonując częściowy ślad po podukładzie B, otrzymać zredukowaną macierz gęstości ρ A podukładu A. Następnie, należy znaleźć unitarną macierz diagonalizującą ρ A i utworzyć nową bazę ortogonalną { a i A }, w której macierz gęstości podukładu A jest diagonalna. Następnie, trzeba ponownie utworzyć wektor ϕ AB, taki jak w (1.53), używając nowej bazy dla podukładu A. We wzorze (1.53) zmienią się przy tym współczynniki c ij utworzenie macierzy gęstości prowadzi do: na c ij. Ponowne ρ AB = kl a k a l A ψ k ψ l B, (1.54) 18

19 1. Wstęp gdzie używamy nie znormalizowanych stanów ψ k = j c kj f j B. Po ponownym obliczeniu zredukowanej macierzy gęstości dla podukładu A otrzymujemy: ρ A = kl ψ l ψ k a k a l A, (1.55) ale, skoro w bazie { a i A } macierz gęstości ρ A jest diagonalna to: ψ l ψ k = λ k δ kl, (1.56) gdzie {λ l } to wartości własne ρ A. Wektory { ψ k }, po znormalizowaniu, tworzą nową bazę ortonormalną przestrzeni H B w postaci: b k = 1 λk ψ k. To kończy dowód lematu. Po utworzeniu ze stanu czystego ϕ AB (1.52) macierzy gęstości ρ AB, a następnie wykonaniu śladu częściowego po podukładzie B, okazuje się, że współczynniki λ i to wartości własne macierzy ρ A. Rozkład Schmidta daje zatem przepis na takie rozszerzenie macierzy gęstości - z ρ A w H A na ρ AB działającą w H AB działającej H A H B, żeby macierz ρ AB w rozszerzonej przestrzeni odpowiadała stanowi czystemu, oraz żeby ρ A = Tr B ρ AB. Właśnie taki proces powiększenia przestrzeni Hilberta i rozszerzania macierzy gęstości do stanu czystego nosi nazwę puryfikacji. Inną konsekwencją rozkładu Schmidta jest fakt, że gdy ρ AB opisuje stan czysty, entropia zredukowanej macierzy gęstości ρ A jest równa entropii zredukowanej macierzy gęstości ρ B. Wystarczy utworzyć macierz gęstości ρ AB z (1.52), a następnie wykonać ślad częściowy, bądź po jednym podukładzie, bądź po drugim, żeby zobaczyć, że obie zredukowane macierze gęstości mają jednakowe niezerowe wartości własne, więc i jednakowe entropie. 19

20 2. Entropie złożonych operacji kwantowych 2 Entropie złożonych operacji kwantowych Teoria Lindblada i entropia wymiany Rozważmy operację kwantową Ψ działającą na układ kwantowy Q opisywany macierzą gęstości ρ M N. Załóżmy, że forma Krausa operacji Ψ przyjmuje postać ρ = Ψ(ρ) = M µ=1 A µ ρa µ, gdzie M = N 2. Entropię wymiany dla stanu początkowego ρ i operacji kwantowej Ψ, S e (ρ, Ψ) definiuje się jako: S e (ρ, Ψ) = S(σ(ρ, Ψ)), (2.1) gdzie macierz σ, która jest funkcją stanu początkowego ρ i operacji kwantowej Ψ, oznacza macierz o elementach: σ µν = Tr(A µ ρa ν). (2.2) Macierz σ z (2.2) jest hermitowska, dodatnio określona i ma jednostkowy ślad, więc można ją interpretować jako stan pewnego fikcyjnego układu na przestrzeni Hilberta H M, który będziemy nazywać otoczeniem E. Stan (2.2) po raz pierwszy był rozważany przez Lindblada [18], przy badaniu ograniczeń na entropię układu po operacji kwantowej opisywanej przez operatory Krausa A µ. Nierówność Lindblada przyjmuje postać: S(ρ) S(σ) S(ρ ) S(ρ) + S(σ) (2.3) Z nierówności Lindblada wynika, że jeśli układ był początkowo w stanie czystym S(ρ) = 0, wówczas po operacji kwantowej entropia tego układu wynosi S(σ). Z tego powodu wielkość S(σ), nazywana jest entropią wymiany informacji między oddziałującymi układami, początkowo nie skorelowanymi. W celu udowodnienia nierówności (2.3) Lindblad wprowadził odwzorowanie F : H N H N H M, które działa w następujący sposób: M F : ϕ (A µ ϕ ) µ. (2.4) µ=1 20

21 2. Entropie złożonych operacji kwantowych gdzie wektory { µ } tworzą ortogonalną bazę przestrzeni H M, którą nazywamy przestrzenią pomocniczego układu kwantowego E. Za pomocą odwzorowania F konstruuje się stan ω M N+M, poprzez transformację F ρf, co prowadzi do: M ω = (A µ ρa ν ) ( µ ν ) (2.5) µ,ν=1 Macierz gęstości ω ma takie własności, że: Tr M (ω) = Ψ(ρ) = ρ, (2.6) oraz Tr N (ω) = σ(ρ, Ψ), (2.7) gdzie stan σ(ρ, Ψ) jest zdefiniowany w (2.2). Korzystając z własności operatorów Krausa 1 = M µ=1 A µa µ łatwo sprawdzić, że F F = 1 N, dlatego transformacja F zachowuje normę transformowanych wektorów: ψ ψ = ψ F F ψ = ψ ψ (2.8) i niezerowe wartości własne: j ω j = j F F ρf F j. (2.9) Wektory j = F j tworzą bazę N wymiarowej podprzestrzeni w H N H M. Jest to podprzestrzeń, na którą rzutuje operator F F. Cała podprzestrzeń ortogonalna jest zdegenerowaną podprzestrzenią własną macierzy ω do wartości własnej 0, gdyż niezerowe wartości własne leżą w podprzestrzeni rzutowej operatora F F, a nie może ich być więcej, bo transformacja F zachowuje normę. Zatem dla operacji Φ mamy: ω = F ρ F, (2.10) 21

22 2. Entropie złożonych operacji kwantowych co przyjmuje postać (2.5). Własność (2.7) stanu ω, implikuje, że macierz gęstości układu E po operacji kwantowej ρ E M M, jest równa: ρ E = Tr N (ω) = σ(ρ, Ψ). (2.11) Gdy ρ = ρ, macierz gęstości σ(ρ, Φ), zdefiniowana w (2.2), jest równa macierzy 1 N DΨ, (gdzie D Ψ jest zdefiniowana w (1.47)). Zatem, gdy stan układu przed ewolucją jest stanem maksymalnie zmieszanym ρ = ρ, entropia wymiany jest równa entropii operacji kwantowej, S e (ρ, Ψ) = S(Ψ) Informacja koherentna Rozważmy dwie stochastyczne operacje kwantowe Ψ 1 i Ψ 2, które działają kolejno na układ znajdujący się początkowo w stanie ρ M N. Wprowadźmy oznaczenia ρ = Ψ 1 (ρ) i ρ = Ψ 2 (ρ ) = Ψ 2 (Ψ 1 (ρ)). Będziemy używać reprezentacji operacji kwantowych w postaci sumy operatorów Krausa, Ψ 1 (ρ) = M i=1 A i ρa i oraz Ψ 2 (ρ) = M i=1 B i ρb i, gdzie M = N 2. W sposób analogiczny do opisanego w punkcie (2.0.1), wprowadźmy, stan Lindblada ω 1 na przestrzeni H N H M, skojarzony z operacją kwantową Ψ 1. Używamy transformacji F 1 : H N H N H M, która działa w sposób przedstawiony w (2.4), wektory { i } tworzą bazę ortonormalną przestrzeni H M, którą kojarzymy z przestrzenią stanu pomocniczego E 1. Otrzymujemy stan ω 1 = F 1 ρf 1. Macierz gęstości układu E 1 po operacji kwantowej Φ 1 : ρ E 1 = Tr N (ω 1 ) = σ(ρ, Φ 1 ). (2.12) Podobnie dla drugiej operacji kwantowej Ψ 2, konstruujemy stan ω 2, który wprowadza układ pomocniczy E 2. Stan układu E 2 po obu operacjach ρ E 2, jest równy: ρ E 2 = Tr N (ω 2 ) = σ(ρ, Φ 2 ). (2.13) 22

23 2. Entropie złożonych operacji kwantowych Przez konstrukcję odpowiedniego stanu Lindblada można również znaleźć stan połączonego układu E 1 E 2 po obu operacjach kwantowych Φ 2 Φ 1. Tworzymy stan ω 3 na przestrzeni H N H M H M w następujący sposób: ω 3 = (F 2 1 M )[F 1 ρf 1 ](F 2 1 M ) = (F 2 1 M )ω 1 (F 2 1 M ). (2.14) Po wykonaniu częściowego śladu po H N otrzymujemy stan E 1 E 2 po obu operacjach: ρ E 1 E 2 = Tr N (ω 3 ) = σ(ρ, Φ 2 Φ 1 ). (2.15) Wprowadźmy układ R, który zapewnia puryfikację stanu początkowego ρ. Ponieważ odwzorowania F α 1 R (α = 1, 2) zachowują normę i wartości własne, dzięki układowi R, również ω β (β = 1, 2, 3) ulegają puryfikacji. Niech ω β,r oznacza złożony stan czysty. W pracach [16] i [17] B. Schumacher i M. A. Nielsen analizując pewne nierówności entropii, w podobny sposób wprowadzają układy E 1, E 2 i R. Używają następnie silnej subaddytywności entropii układów kwantowych E 1, E 2 i R po obu operacjach. S(ρ RE 1 E 2 ) + S(ρ E 1 ) S(ρ RE 1 ) + S(ρ E 1 E 2 ). (2.16) Należy zauważyć: S(ρ RE 1 E 2 ) = S(ρ ), co wynika z faktu, że stan ω 3,R, który opisuje układ złożony RQE 1 E 2 jest czysty, a zgodnie z tym co zostało wykazane w punkcie (1.3), oba podukłady takiego układu mają jednakowe entropie. Ponadto: S(ρ RE 1 ) = S(ρ RE 1 ) = S(ρ ), (pierwsza równość wynika z faktu, że druga operacja Φ 2 nie zmienia ani układu pomocniczego E 1 ani R, druga równość wynika z czystości stanu ω 1,R ). Wprowadzając oznaczenia na entropie wymiany informacji odpowiednio: z pierwszym podukładem po pierwszej operacji i z dwoma układami po obu operacjach: S(ρ E 1 ) = S e (ρ Q, Ψ 1 ) S e1 (2.17) S(ρ E 1 E 2 ) = S e (ρ Q, Ψ 2 Ψ 1 ) S e12, (2.18) 23

24 2. Entropie złożonych operacji kwantowych silną subaddytywność (2.16) można zapisać w postaci: S(ρ Q) S e1 S(ρ Q) S e12 (2.19) Wielkość I e S(ρ Q) S e = S(ρ Q) S(ρ RQ) nazwana została informacją koherentną. Informacja koherentna, w przypadku układów kwantowych, może być dodatnia, ujemna, lub osiągać zero, podczas gdy analogicznie zdefiniowana wielkość dla układów klasycznych nigdy nie jest dodatnia, gdyż entropia układu złożonego zawsze jest większa od entropii podukładu. Wynika to z nieujemności warunkowej entropii klasycznej H(X Y ) = H(XY ) H(X) = i p i H i, gdzie p i to prawdopodobieństwo Pr(X = x i ), natomiast H i to entropia Shannona wektora (q i1,..., q in ), elementy q ij to prawdopodobieństwa warunkowe Pr(Y = y j X = x i ). Entropia warunkowa w przypadku kwantowym (S(A B) = S(AB) S(A)) nie musi być dodatnia np. gdy AB jest w stanie maksymalnie splątanym. Informację koherentną można zatem uważać za pewną miarę nieklasyczności układu, czy też splątania układów R i Q. Nierówność (2.19), wyprowadzona przez Schumachera i Nielsena przyjmuje postać: I e1 I e12 (2.20) i oznacza, że informacja koherentna jaką mamy po pierwszej operacji nie zwiększa się przy kolejnych operacjach, czyli stopień splątania układów nie zwiększa się wraz z wykonywaniem operacji kwantowych. 2.1 Dynamiczna subaddytywność entropii bistochastycznych operacji kwantowych Celem tego rozdziału jest pokazanie, że prawdziwe jest twierdzenie: 24

25 2. Entropie złożonych operacji kwantowych Twierdzenie 1 Niech Ψ 1 i Ψ 2 oznaczają bistochastyczne operacje kwantowe. Entropie operacji kwantowych Ψ 1, Ψ 2 oraz ich złożenia Ψ 2 Ψ 1 spełniają relację: S(Ψ 1 ) S(Ψ 2 Ψ 1 ) S(Ψ 1 ) + S(Ψ 2 ). (2.21) Dowód twierdzenia 1 jest oparty na rozumowaniach prezentowanych w częściach (2.0.1) i (2.0.2). Stosowane oznaczenia są jednakowe z używanymi poprzednio. Zasada subaddytywności entropii von Neumanna dla układów E 1 E 1 oraz E 2 po dwóch operacjach kwantowych kolejno Ψ 1 i Ψ 2, czyli po operacji równej złożeniu Ψ 2 Ψ 1, przyjmuje postać: S(ρ E 1 E 2 ) S(ρ E 1 ) + S(ρ E 2 ). (2.22) Zgodnie z (2.12), (2.13) oraz (2.15), można zapisać powyższą nierówność w języku entropii wymiany. Dla podkreślenia, że entropia wymiany zależy tylko od operacji kwantowej i stanu początkowego warto zapisać nierówność (2.22) w postaci: S e (ρ, Ψ 2 Ψ 1 ) S e (ρ, Ψ 1 ) + S e (ρ, Ψ 2 ) (2.23) Następnie należy skorzystać z faktu, że gdyby układ Q był początkowo w stanie maksymalnie zmieszanym, wówczas entropia wymiany S e zdefiniowana w (2.1) byłaby entropią operacji kwantowej Ψ 1 (entropia operacji kwantowej została zdefiniowana w (1.46)). S e ( 1 N 1, Ψ) = S( 1 N DΨ ) = S(Ψ). (2.24) Podobnie, gdyby układ Q po pierwszej operacji był w stanie maksymalnie zmieszanym, entropia wymiany S e2 macierzy stochastycznej Ψ 2. byłaby równa entropii kwantowej 25

26 2. Entropie złożonych operacji kwantowych Do tego momentu rozumowanie było ogólne, nie wykorzystywało założenia o bistochastyczności operacji. Wystarczy teraz w (2.23) za stan początkowy ρ podstawić stan maksymalnie zmieszany ρ = 1 1, oraz zażądać, żeby operacja Ψ N 1, działająca jako pierwsza, była bistochastyczna, wtedy otrzymuje się żądaną nierówność: S(Ψ 2 Ψ 1 ) S(Ψ 1 ) + S(Ψ 2 ). (2.25) To kończy dowód prawej nierówności twierdzenia 1. Dowód lewej nierówności wykorzystuje rozumowanie przedstawione w punkcie (2.0.2). Gdy zażądamy żeby stan początkowy układu Q był maksymalnie zmieszany ρ, a obie operacje były bistochastyczne, wówczas S(ρ ) = S(ρ ), i równanie (2.19) sprowadza się do postaci: S(Ψ 1 ) S(Ψ 2 Ψ 1 ) (2.26) To kończy dowód dolnego ograniczenia w twierdzeniu Silna dynamiczna subaddytywność entropii bistochastycznych operacji kwantowych Twierdzenie 2 Niech Ψ 1 oznacza bistochastyczną operację kwantową, zaś Ψ 2 i Ψ 3 oznaczają stochastyczne operacje kwantowe. Prawdziwa jest relacja: S(Ψ 3 Ψ 2 Ψ 1 ) + S(Ψ 2 ) S(Ψ 2 Ψ 1 ) + S(Ψ 3 Ψ 2 ). (2.27) Twierdzenie 2 można udowodnić w sposób zupełnie analogiczny do twierdzenia 1. Wystarczy nieco zmodyfikować rozważany układ wprowadzając trzecią operację kwantową Ψ 3 i trzeci układ pomocniczy E 3. Następnie należy skorzystać z silnej subaddytywności entropii dla układów E 1, E 2, E 3 : S(ρ E 3 E 2 E 1 ) + S(ρ E 2 ) S(ρ E 2 E 1 ) + S(ρ E 3 E 2 ), (2.28) 26

27 2. Entropie złożonych operacji kwantowych która jest równoważna analogicznej relacji dla entropii wymiany: S e (ρ, Ψ 3 Ψ 2 Ψ 1 ) + S e (ρ, Ψ 2 ) S e (ρ, Ψ 3 Ψ 2 ) + S e (ρ, Ψ 2 Ψ 1 ). (2.29) Gdy założymy, że układ Q był początkowo w stanie maksymalnie zmieszanym, dzięki bistochastyczności operacji kwantowej Ψ 1, stan układu Q po tej operacji również będzie maksymalnie zmieszany, wówczas na mocy (2.24), entropie wymiany będą równe entropiom odpowiednich operacji kwantowych, co kończy dowód twierdzenia Nierówności dla stochastycznych operacji kwantowych Rozumowanie dowodzące twierdzenia (1) dla bistochastycznych operacji kwantowych prezentowane w rozdziale 2.1 jest do pewnego momentu ogólne czyli nie angażujące założenia o bistochastyczności operacji - prawdziwe również dla operacji stochastycznych. W niniejszym rozdziale przedstawiony zostanie dowód ogólniejszego twierdzenia, słusznego dla dowolnych stochastycznych operacji kwantowych. Twierdzenie 3 Niech Ψ 1 i Ψ 2 oznaczają stochastyczne operacje kwantowe. Entropie macierzy Ψ 1, Ψ 2 oraz ich iloczynu Ψ 2 Ψ 1 spełniają relacje: S(Ψ 1 ) + 1 S(Ψ 2 Ψ 1 ) S(Ψ 1 ) + S(Ψ 2 ) + 2, (2.30) gdzie 1 oznacza różnicę entropii stanu maksymalnie zmieszanego ρ = 1 1 N po kolejnych operacjach: 1 = S(Ψ 2 (Ψ 1 (ρ ))) S(Ψ 1 (ρ )), (2.31) natomiast 2 oznacza różnicę: 2 = S e (Ψ 1 (ρ ), Ψ 2 ) S(Ψ 2 ). (2.32) 27

28 3. Przypadek klasyczny Uzasadnienie prawej nierówności (2.30) jest następujące: gdy system Q, który podlega działaniu operacji kwantowych, jest początkowo w stanie maksymalnie zmieszanym: (ρ = 1 1), ale operacje kwantowe Ψ N 1 oraz Ψ 2 nie są bistochastyczne, układ Q po pierwszej operacji nie musi już być w stanie maksymalnie zmieszanym. Zatem entropia wymiany S e (ρ Ψ 2 ) nie jest już równa entropii operacji kwantowej S(Ψ 2 ). Nierówność (2.23) przyjmuje postać: S(Ψ 2 Ψ 1 ) S(Ψ 1 ) + S e (ρ, Ψ 2 ). (2.33) Wprowadzenie oznaczenia 2 w postaci przedstawionej w twierdzeniu, kończy dowód prawej nierówności. Lewą nierówność twierdzenia 3 uzasadnia się korzystając z rozumowania przedstawionego w punkcie Nierówność (2.19) przyjmuje postać: S e (ρ, Ψ 1 ) + [S(ρ ) S(ρ )] S e (ρ, Ψ e Ψ 1 ) (2.34) Ponieważ początkowo, Q był w stanie maksymalnie zmieszanym, entropie wymiany z powyższego twierdzenia są entropiami odpowiednich operacji kwantowych. Występującą z lewej strony nierówności różnicę oznacza się symbolem 1, co daje następujący rezultat: S(Ψ 1 ) + 1 S(Ψ 2 Ψ 1 ). (2.35) To kończy dowód twierdzenia. Należy zaznaczyć, że gdy obie operacje Ψ 1 oraz Ψ 2 są bistochastyczne, wtedy 1 = 2 = 0, a wówczas twierdzenie 3 sprowadza się do twierdzenia 1. 3 Przypadek klasyczny W niniejszym rozdziale przeprowadzamy dowody twierdzeń dla macierzy stochastycznych w oparciu o udowodnione wcześniej twierdzenia dla operacji 28

29 3. Przypadek klasyczny kwantowych. Macierze stochastyczne można otrzymać ze stochastycznych operacji kwantowych, gdy dynamiczne macierze tych operacji są diagonalne. Wówczas macierz A = A(Ψ), utworzona w następujący sposób: A ij = Ψ i i j j (3.1) jest macierzą stochastyczną, co wynika z następującego rozumowania: z warunku na stochastyczność operacji kwantowej Ψ (1.40) wynika: δ km = N n=1 D Ψ n k n m zatem gdy macierz dynamiczna jest diagonalna, (3.2) k 1 = N n=1 D Ψ n k n k N = d nk (3.3) n=1 Jednocześnie pamiętając, że A nk = Ψ n n k k = D n k n k = d nk stwierdzamy, że d nk są równe elementom macierzowym (A) nk. Widzimy, że macierz A, utworzona jak pokazano w (3.1), istotnie jest macierzą stochastyczną, czyli taką której suma elementów każdej kolumny jest równa jeden. Każda kolumna a i macierzy stochastycznej jest więc wektorem prawdopodobieństwa. A = {a 1,..., a N } (3.4) Dla dowolnej macierzy stochastycznej A istnieje jednoznacznie określony wektor stacjonarny p s, taki że: Ap s = p s. (3.5) Przy pomocy tych wielkości, charakterystycznych dla danej macierzy stochastycznej A, definiuje się entropię macierzy stochastycznej H p s(a) jako 29

30 3. Przypadek klasyczny średnią z entropii Shannona poszczególnych kolumn, ważoną przez elementy wektora stacjonarnego p s [14]. Niech h(a i ) oznacza entropię Shannona wektora a i : wówczas entropia macierzy stochastycznej: N h(a i ) = a i l ln(a i l), (3.6) l=1 N H p s(a) = p s i h(a i ). (3.7) i=1 W przypadku macierzy bistochastycznych wektorem stacjonarnym jest p 1 1. W tym przypadku używamy notacji opuszczającej dolny indeks N przy oznaczeniu entropii macierzy bistochastycznej: H(A). Czasem używa się też średniej z entropii kolumn macierzy stochastycznej, ważonej przez dowolny wektor, niekoniecznie stacjonarny. Wówczas ten wektor zapisuje się jako indeks dolny przy symbolu entropii. N H p (A) = p i h(a i ). (3.8) i=1 Dla jasności dalszego rozumowania należy rozważyć, do jakiej postaci sprowadza się entropia wymiany S e (ρ, Ψ) zdefiniowana w (2.1), gdy macierz dynamiczna operacji kwantowej D Ψ oraz macierz gęstości układu ρ, są diagonalne. 3.1 Entropia wymiany w przypadku szczególnym W celu obliczenia entropii wymiany dla szczególnego przypadku, diagonalnych macierzy, należy wyrazić macierz σ (2.2) poprzez odpowiednie operatory Krausa i diagonalną macierz gęstości, której diagonala zawiera klasyczny wektor prawdopodobieństwa p: σ k l m n = Tr(ρA mna kl ). (3.9) 30

31 3. Przypadek klasyczny Stosując teraz konwencję sumowania Einsteina wykonuje się ślad iloczynu trzech macierzy. Górne wskaźniki oznaczają numer wiersza i kolumny macierzy, dolne, numer operatora A z formy Krausa. σ k l m n = p β δ αβ (A mn) βγ (A kl ) γα = p β (Āmn) γβ (A kl ) γβ (3.10) = p β dmn dkl δ mγ δ nβ δ kγ δ lβ = p n dmn dkl δ nl δ mk. W trzeciej linijce zastosowano postać kanoniczną operatorów Krausa (1.49). Z powyższego rozumowania wynika, że w przypadku klasycznym, σ jest macierzą diagonalną z elementami ze zbioru {p n d kn } N n,k=1 na diagonali. Jej entropia wynosi zatem: S(σ) = N Nk=1 n=1 d kn p n ln(d kn p n ) = N n=1 Nk=1 d kn p n ln(d kn ) N n=1 N d kn p n ln(p n ) (3.11) = N n=1 p Nk=1 n d kn ln(d kn ) N n=1 p n ln(p n ). W linii trzeciej wykorzystano fakt, że N k=1 d kn = 1 dla każdego n, co wynika z warunku na stochastyczność odwzorowania (3.3). Używając definicji entropii ważonej (3.8), wynik rachunku (3.11) można przedstawić następująco: S(σ) = H p (A) + h(p). (3.12) Zatem, w przypadku diagonalnej macierzy gęstości, takiej że: p = diag(ρ) 31

32 3. Przypadek klasyczny oraz A = A(Ψ), entropia wymiany jest równa sumie średniej ważonej z entropii kolumn macierzy stochastycznej A = A(Ψ) i entropii wagi: S(σ) = S e (ρ, Ψ) = S e (p, A) = H p (A) + h(p). (3.13) Ponadto, ponieważ S e (ρ, Ψ) = S(Ψ), zatem entropia operacji stochastycznej sprowadza się, w przypadku diagonalnej macierzy dynamicznej, do: S(Ψ) = H(A(Ψ)) + ln(n). (3.14) 3.2 Nierówności dla macierzy stochastycznych o wspólnym wektorze niezmienniczym Prawdziwe jest twierdzenie dla macierzy stochastycznych klasycznych analogiczne do twierdzenia 1: Twierdzenie 4 (Słomczyński) [14] Niech A i B oznaczają macierze stochastyczne o wspólnym wektorze stacjonarnym p. Entropie macierzy A, B oraz ich iloczynu BA spełniają relacje: H p (A) H p (BA) H p (A) + H p (B). (3.15) Dowód twierdzenia 4 podał W. Słomczyński w 2002 roku [14]. W niniejszej pracy zostanie zaprezentowany inny dowód, oparty na metodach mechaniki kwantowej. Jego idea polega na zastosowaniu twierdzeń mechaniki kwantowej do szczególnego przypadku diagonalnych macierzy dynamicznych i diagonalnych macierzy gęstości. W niniejszej części twierdzenie 4 zostanie również uogólnione na dowolne macierze stochastyczne, niekoniecznie o wspólnym wektorze stacjonarnym. Gdy wektor stacjonarny jest jednorodnym rozkładem prawdopodobieństwa, nierówność dla macierzy bistochastycznych (3.15) ma analogiczną postać do nierówności (2.21) dla bistochastycznych operacji kwantowych, ale rozważanie 32

33 3. Przypadek klasyczny szczególnego przypadku macierzy diagonalnych i użycie wyniku (3.14), nie prowadzi od (2.21) do (3.15), lecz do słabszej nierówności: H p (BA) H p (A) + H p (B) + h(p ). (3.16) Zatem wynik (3.15) - subaddytywność entropii macierzy bistochastycznych, nie jest szczególnym przypadkiem dynamicznej subaddytywności bistochastycznych operacji kwantowych. Żeby odtworzyć wynik (3.15) jako szczególny przypadek rozważań nad mechaniką kwantową należy skorzystać z silniejszego prawa - silnej subaddytywności entropii von Neumanna. Zapisując nierówność (2.27) w postaci: S e (ρ, Ψ 3 Ψ 2 Ψ 1 ) + S e (ρ, Ψ 2 ) S e (ρ, Ψ 2 Ψ 1 ) + S e (ρ, Ψ 3 Ψ 2 ), (3.17) a następnie sprowadzając do postaci klasycznej (z operacjami kwantowymi Ψ 1, Ψ 2, Ψ 3 o diagonalnych macierzach dynamicznych, należy skojarzyć macierze stochastyczne odpowiednio A = A(Ψ 1 ), G = G(Ψ 2 ), B = B(Ψ 3 )), uzyskujemy wtedy: H p (BGA)+h(p)+H p (G)+h(p ) H p (GA)+h(p)+H p (BG)+h(p ). (3.18) Podstawienie teraz za G odwzorowania identycznościowego, a za p wektora stacjonarnego (wtedy p = Ap = p) daje, dla macierzy o wspólnym wektorze stacjonarnym p, rezultat identyczny z wynikiem [14], czyli: H p (BA) H p (A) + H p (B). (3.19) To dowodzi prawej nierówności w twierdzeniu 4. Lewa nierówność wynika z zastosowania wyniku (3.13) do nierówności (2.34). Gdy wektorem stacjonarnym jest jednorodny rozkład prawdopodobieństwa, twierdzenie 4 jest twierdzeniem o macierzach bistochastycznych. 33

34 3. Przypadek klasyczny 3.3 Nierówności dla dowolnych macierzy stochastycznych Dla macierzy stochastycznych A i B, nierówność (2.34) prowadzi do rezultatu: H p (A) + δ H p (BA), (3.20) gdzie δ oznacza różnicę: δ = h(p ) h(p ) = h(b(a(p))) h(a(p)). (3.21) Natomiast nierówność (3.18) dla macierzy stochastycznych A = A(Ψ 1 ), G = G(Ψ 2 ) = 1 i B = B(Ψ 3 ), implikuje: H p (BA) H p (A) + H p (B), (3.22) gdzie p = Ap. Te dwie uwagi dowodzą twierdzenia następującego: Twierdzenie 5 Niech A i B oznaczają macierze stochastyczne. Entropie macierzy A, B oraz ich iloczynu BA spełniają relacje: H p (A) + δ H p (BA) H p (A) + H Ap (B), (3.23) przy czym δ oznacza: δ = h(p ) h(p ) = h(b(a(p))) h(a(p)) (3.24) Gdy wektor p jest wspólnym wektorem stacjonarnym dla macierzy stochastycznych A i B, twierdzenie 5 sprowadza się do twierdzenia 4. Twierdzenie 5 dotyczy entropii ważonych dowolnych macierzy stochastycznych, przy czym wagi są wyznaczone przez dowolny wektor, niekoniecznie stacjonarny. Użycie (3.13) do nierówności (2.23), dla szczególnego przypadku macierzy diagonalnych, prowadzi do słabszej nierówności: H p (A) + δ H p (BA) H p (A) + H Ap (B) + h(ap), (3.25) gdzie δ jest zdefiniowana jak poprzednio. 34

35 4. Podsumowanie 4 Podsumowanie Macierze stochastyczne wprowadzają dynamikę dyskretną w zbiorze wektorów prawdopodobieństwa. Entropia macierzy stochastycznej (3.7) mówi o tym, w jakim stopniu dynamika miesza stany. Warto podać dwa przykłady: (a) Macierze, które nie zmieniają entropii wektora, czyli takie, które w szczególności transformują stan czysty w stan czysty, mają entropię równą zero. Realizacją macierzy stochastycznych, nie zmieniających entropii rozkładu prawdopodobieństwa, są macierze, których kolumny są permutacjami stanu czystego, np. dla przypadku rozkładów dwuwymiarowych: A a = 0 1 a = b, (4.1) b 1 0 b a entropia macierzy stochastycznej A, która nie zmienia stopnia zmieszania rozkładu prawdopodobieństwa, jest równa 0, zgodnie z definicją entropii macierzy stochastycznej (3.7), jako średniej z entropii jej kolumn. (b) Macierze, które transformują dowolny wektor w wektor, który stanowi jednorodny rozkład prawdopodobieństwa mogą osiągać entropię maksymalną, równą lnn, gdzie N jest wymiarem wektora prawdopodobieństwa. Przykładem realizującym taką transformację jest macierz, której kolumnami są rozkłady jednorodne. Dla rozkładów dwuwymiarowych: B a = b a = 1 b 2 entropia macierzy B jest równa ln(2). 1 2, (4.2)

36 4. Podsumowanie Podobnie jest w przypadku entropii operacji kwantowych zdefiniowanych w (1.46). Operacje kwantowe unitarne, nie zmieniają stopnia zmieszania stanu kwantowego. Niech Ψ u będzie operacją unitarną, wówczas jej macierz dynamiczna D u /N na mocy (1.22), jest stanem czystym, zatem entropia operacji unitarnej jest równa zero. Operacja transformująca dowolny stan [4] w stan maksymalnie zmieszany Ψ, zwana kanałem całkowicie depolaryzującym, Ψ (ρ) = 1 1, ma entropię maksymalną, równą 2ln2. Przykładowo, N niech macierz gęstości ma postać ρ = a b, wtedy działanieψ na b 1 a ρ, zgodnie z (1.27), można zapisać w postaci mnożenia wektora przez macierz: a b = b 1 a (4.3) Macierz dynamiczna D odpowiadająca tej operacji, jest diagonalna i przyjmuje postać: D = (4.4) Entropia operacji kwantowej Ψ, równa entropii macierzy D /2 jest równa 2 ln2. W roku 2002 W. Słomczyński z Instytutu Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego udowodnił [14] twierdzenie o subaddytywności entropii 36

37 4. Podsumowanie macierzy stochastycznych B, C, które mają wspólny wektor stacjonarny p s (3.7) i twierdzenie o silnej subaddytywności macierzy stochastycznych o wspólnym wektorze stacjonarnym. Twierdzenie o subaddytywności macierzy stochastycznych wyraża się następująco: H p s(c) H p s(bc) H p s(b) + H p s(c). (4.5) Twierdzenie o silnej subaddytywności: H p s(abc) + H p s(b) H p s(ab) + H p s(bc). (4.6) W niniejszej pracy przedstawiono uogólnienia wyniku (4.5) idące w dwóch kierunkach: na dowolne macierze stochastyczne, niekoniecznie o wspólnym wektorze stacjonarny oraz na bistochastyczne i stochastyczne operacje kwantowe. Uogólnienie (4.5) na entropie bistochastycznych operacji kwantowych, czyli operacji, które mają stan stacjonarny maksymalnie zmieszany, ρ (twierdzenie 1): S(Ψ 1 ) S(Ψ 2 Ψ 1 ) S(Ψ 1 ) + S(Ψ 2 ). (4.7) Uogólnienie silnej subaddytywności (4.6) na entropie bistochastycznych operacji kwantowych (twierdzenie 2): S(Ψ 3 Ψ 2 Ψ 1 ) + S(Ψ 2 ) S(Ψ 2 Ψ 1 ) + S(Ψ 3 Ψ 2 ). (4.8) Uogólnienie (4.5) na entropie dowolnych stochastycznych operacji kwantowych, niekoniecznie o wspólnym stanie stacjonarnym (twierdzenie 3) S(Ψ 1 ) + 1 S(Ψ 2 Ψ 1 ) S(Ψ 1 ) + S(Ψ 2 ) + 2, 1 = S(Ψ 2 (Ψ 1 (ρ ))) S(Ψ 1 (ρ )) (4.9) 2 = S e (Ψ 1 (ρ ), Ψ 2 ) S(Ψ 2 ). 37

38 4. Podsumowanie Uogólnienie (4.5) na entropie dowolnych macierzy stochastycznych (twierdzenie 5) H p (A) + δ H p (BA) H p (A) + H Ap (B). δ = h(b(a(p))) h(a(p)) (4.10) Dowód tego twierdzenia, podobnie jak prezentowany w tej pracy dowód twierdzenia Słomczyńskiego (4.5) przeprowadzono opierając się na wynikach poprzednich twierdzeń, przy rozważaniu szczególnego przypadku operacji kwantowych, takich, które mają diagonalne macierze dynamiczne. 4.1 Zastosowania Twierdzenie (4.7) można zastosować do rozważania dyskretnej ewolucji w czasie. Niech dyskretna ewolucja w kolejnych chwilach czasu, oznaczanych n, będzie opisywana bistochastyczną operacją kwantową Ψ. Po n chwilach, ewolucja jest opisywana przez złożenie n razy operacji Ψ, działającej na stan początkowy. Entropia takiego złożenia, zgodnie z (4.7), jest ograniczona: S(Ψ n ) ns(ψ). (4.11) Powyższa zależność jest nietrywialna dla małych n, lub dla małych entropii S(Ψ), takich że ns(ψ) 2 ln(n), gdzie N jest wymiarem macierzy gęstości podlegającej operacji. Zależność (4.11) informuje zatem, jak szybko zmienia się entropia operacji kwantowej w początkowej fazie ewolucji. Szybkość zmiany entropii jest wielkością rozważaną w teorii chaosu. Zagadnieniem otwartym jest poszukiwanie relacji między entropiami operacji kwantowych a dynamicznymi entropiami rozważanymi w teorii chaosu oraz poszukiwania zastosowań prezentowanych twierdzeń w teorii chaosu. 38

39 4. Podsumowanie 4.2 Zagadnienia otwarte Izomorfizm Jamiołkowskiego [11] wprowadza odpowiedniość między własnościami operacji kwantowych a własnościami macierzy dynamicznych. Całkowicie dodatnim operacjom kwantowym odpowiadają dodatnie macierze dynamiczne. Innym, szczególnym klasom operacji kwantowych (kanałów kwantowych), na przykład operacjom nierozkładalnym [23], których nie można złożyć z innych operacji kwantowych, odpowiadają macierze dynamiczne o innych własnościach. Zbadanie tych odpowiedniości pozwoli na szukanie silniejszych ograniczeń na entropie złożonych operacji kwantowych, które należą do konkretnej klasy. Podjęte pierwsze próby numeryczne wskazują na to, że zależność (4.11) jest również prawdziwa dla operacji stochastycznych, niekoniecznie bistochastycznych. Zweryfikowanie tego spostrzeżenia jest również kwestią otwartą. 39