COMPARING OF COEFFICIENTS R 2 AND RMS USED IN VERIFICATIONS OF CORRECTNESS MATHEMATICAL MODELS ON BASIC ON EXPERIMENTAL DATA

Transkrypt

1 Adrzej KORNACKI, Mrosława WESOŁOWSKA-JANCZAREK Katedra Zastosowań Matematk Iformatk Uwerstet Przrodcz ul. Akademcka 3, Lubl e-mal: COMPARING OF COEFFICIENTS R AND RMS USED IN VERIFICATIONS OF CORRECTNE MATHEMATICAL MODELS ON BASIC ON EXPERIMENTAL DATA Summar R ad RMS are used for verfcato of correctess of fttg models. I ths paper we tr to test f both coeffcets gve the same coclusos about goodess of ft of model to expermetal data, ad whch of them ma be recommeded to practcas. Research were coducted b meas of computer smulatos wth four kds of fuctos, two kds of dstrbutos of x: ormal ad uform ad three rages values of x. PORÓWNANIE WSPÓŁCZYNNIKÓW R I RMS UŻYWANYCH PRZY WERYFIKOWANIU POPRAWNOŚCI MODELI MATEMATYCZNYCH W OPARCIU O DANE EMPIRYCZNE Streszczee Wśród współczków wkorzstwach do werfkowaa poprawośc dopasowach model są R RMS. W ejszej prac podjęto próbę sprawdzea, cz oba te współczk dają zgode wosk o dobroc dopasowaa modelu do dach emprczch wskazaa, któr z tch współczków moża błob polecać praktkom. Badaa przeprowadzoo metodą smulacj komputerowej prz czterech różch tpach fukcj, dwóch różch rozkładach x: ormalm jedostajm oraz trzech różch zakresach zma wartośc x.. Wstęp Badae dobroc dopasowaa model regresjch do dach emprczch jest jedm z częścej rozważach problemów w aalze wków dośwadczeń. Jedą z powszeche stosowach mar jest współczk determacj R. Współczk R jest marą dopasowaa, e zawsze ajlepszą. Stąd też w lteraturze statstczej moża zaleźć prace, w którch prezetowae są owe sposob wzaczaa tego współczka badae ch własośc (p.: Barrett [], Recher Pu [6], Magge [4] cz Nagelkere [5] lub propoowae są e owe współczk dopasowaa, jak współczk d w prac Korackego Wesołowskej-Jaczarek [3]. Przegląd tch współczków wraz z przkładem ch zastosowaa do dach emprczch moża zaleźć w prac Korackego Wesołowskej-Jaczarek [3]. Uwzględoe tam współczk e zawsze dają jedozaczą odpowedź, co do dobroc dopasowaa modelu. Ne moża jedak wskazać kokretch krterów ch wkorzstaa (Magge [4]). W pracach z żer rolczej moża jeszcze zaleźć kolej współczk, ozaczo RMS, użwa jako mara dobroc dopasowaa modelu do dach emprczch (Bałobrzesk []). W tej prac porówujem współczk R RMS a podstawe dach smulowach prz wkorzstau arkusza kalkulacjego EXCEL. Koleje częśc prac zawerają: krótke przpomee współczków, ops przjętej metod smulacj dach, uzskae wk estmacj parametrów w przjętch modelach oblczoe wartośc R RMS oraz podsumowae wosk.. Porówwae współczk Wbrae do porówaa współczk to zwkł współczk determacj R oraz (RMS) (Root Mea Square). Przpomjm je krótko: a) Współczk R dla cech defowa jest jako regr e R = =, () gdze = = od średej dla badaej cech, sumą kwadratów dla regresj; ( ) jest sumą kwadratów odchleń regr e = = = ( Y ) jest ( = Y ) jest sumą kwadratów odchleń od regresj; ( =,..., ) są wartoścam obserwowam a Y wartoścam dopasowam z oszacowaego rówaa, atomast jest lczeboścą prób. Współczk te dla zwkłej regresj prostolowej jest rów kwadratow współczka korelacj r mędz badam cecham. Przjmuje o a ogół wartośc z przedzału 0,. Oblczoe ujeme wartośc współczka determacj R mogą wskazwać a źle wbraą fukcję regresj. Ne powe bć o też użwa do badaa dopasowaa logstczej regresj (Ra [7, str. 447] x A. Korack, M. Wesołowska-Jaczarek Joural of Research ad Applcatos Agrcultural Egeerg 00, Vol. 55() 50

2 wskazuje też a możlwość pojawea sę ujemej wartośc R oblczaej według wzoru (.), gd regresja e zawera wrazu wolego. Oblczoa wartość współczka R blższa wskazuje a lepsze dopasowae krzwej, a blższa 0 a złe dopasowae. b) Współczk RMS (Root Mea Square) wraża sę wzorem: Y RMS =, = gdze jak poprzedo są wartoścam emprczm, zaś Y wartoścam oszacowam z rówaa, a -lczbą obserwacj. Współczk te przjmuje wartośc dodate. Wartość współczka blższa 0 wskazuje a lepsze dopasowae oszacowaej krzwej do puktów emprczch, ale jak łatwo moża zobaczć w tabelach zameszczoch pożej, może przjmować dowole duże wartośc, co e ułatwa terpretacj oblczoej wartośc. W dalszej częśc prac zostaą porówae wk uzskwach wartośc obu tch współczków. 3. Ops zastosowaej metod smulacjej Dla wbrach dowole fukcj czterech tpów: welomau, potęgowej, logartmczej wkładczej prz założeu dla zmeej ezależej x rozkładu ormalego o określoch parametrach µ σ, co zapsujem N ( µ, σ ) lub jedostajego określoego a przedzale o odpowedej długośc, czl przedzału ( a, b) ozaczoego J ( a, b) geerowao losowo po 00 wartośc x oblczoo, a astępe wzaczoo dopasowwaą krzwą opcją dopasuj le tredu. Rozpatrzoo przpadk, w którch obe krzwe daa dopasowaa bł welomaam, perwsza z ch bła welomaem a dopasowaa każdego z rozważach ch tpów fukcj perwsza z ch bła ego tpu, a dopasowwaa welomaem, a wreszce zarówo daa jak dopasowaa bła ego tpu ż weloma. Dla każdej z tch 6 kombacj uwzględoo róweż róż zakres zma wartośc x. Dla rozkładu ormalego w zakrese ( µ 3σ, µ + 3σ ) dla σ = ; 5; 0 różch µ, a dla rozkładu jedostajego podobe ustaloo długość zakresu wartośc x a 6, Każda kombacja została powtórzoa 4 raz, zatem rozważoo 96 możlwośc. Uporządkowae wk obejmujące krzwe dae, dopasowae oraz oblczoe współczk R RMS oraz ch porówae są przedstawoe w dalszej częśc prac. 4. Aalza wków badań Jak już wspomao wcześej a lepsze dopasowae modelu wskazuje wartość R blższa, ale rówocześe mejsza, blższa zeru, wartość RMS. Oblczoa wartość współczka korelacj dla oblczoch tch współczków jest rzeczwśce ujema, ale korelacja jest bardzo słaba, r = 0, 075, co wskazuje a bardzo słabą zgodość wosków wkającch z terpretacj tch wskaźków. 8 Najwększą wartoścą współczka RMS jest 3 0 prz dopasowau fukcj potęgowej, gd dam bł weloma wartośc x bł losowae z rozkładu jedostajego z przedzału (3; 63), podczas gd wartość współczka R bła dość duża co mogłob śwadczć o eajgorszm dopasowau (pozcja 90 w tab. ). Najwększa zmeość wśród wartośc RMS wdocza jest, gd zadaą bła fukcja potęgowa a dopasowwa bł weloma (poz ) kolejo daa bła fukcja potęgowa dopasowaa logartmcze (poz ), da weloma, a dopasowaą fukcja logartmcza (poz. 5 9), daą fukcja wkładcza dopasowaą weloma (poz ) daa potęgowa a dopasowaa wkładcza (poz. 79 9). Współczk R e wkazwał w tch samch przpadkach slego zróżcowaa. Warto jeszcze zwrócć uwagę a to, że te ajwększe wartośc RMS wcale e wszędze odpowadał ajmejszm wartoścom R odwrote. Jako przkład moża wskazać R = 0, 9967 RMS = 5465, 7 (poz. 9 tab. ), 5 cz też R = 8 0 podczas, gd RMS =, 670 (poz. 84 tab. ) co pocągęłob za sobą zdecdowae przecwe wosk. Podobe różące sę wosk co do dobrego dopasowaa fukcj po oblczeu R RMS, mogłb bć sformułowae w przpadku dopasowwaa welomau do fukcj potęgowej cz welomau do fukcj wkładczej bez względu a to z jakego rozkładu pochodzł wartośc x. W pozostałch przpadkach różce e są, aż tak zdecdowae, ale też mogłb bć podstawą do rozbeżch wosków. Przkładem mogą tu bć chocażb take, gd dopasowa weloma do daej fukcj logartmczej wkazał raz R = 0, 94 a RMS =, 5380 dla rozkładu ormalego, podczas gd R = 0, 6633, a RMS = 0,48 (poz. 44 tab. ) prz rozkładze jedostajm, R = 0, 394 a RMS = 5, 7348 (poz. 0 tab. ) dla rozkładu ormalego. Ne wdać węc żadej regularośc zma tch współczków. Warto jeszcze zwrócć uwagę a przpadk, w którch oba współczk są prawe rówe, jak p. R = 0, 578 RMS = 0, 58, gd dopasowaa bła fukcja wkładcza do potęgowej (poz. 63 tab. ) oraz R = 0, 930, a RMS = 0, 46, gd dopasowaa bła fukcja wkładcza, podczas gd daa bła logartmcza (poz. 8 tab. ). W perwszm z tch przpadków rozkład x bł jedostaj, a w drugm ormal. Warto róweż zwrócć uwagę jak zmeają sę współczk R RMS prz odpowedch rozkładach zakresach zma dla wartośc x, bez względu a kształt fukcj daej dopasowwaej. Odpowede wk są zameszczoe w tab. 3. Z tab. 3 wdać, że ajwększą zgodość wosków ajmejsze zróżcowae RMS moża zaobserwować w przpadku, gd x bł losowae z rozkładu ormalego o małm σ = czl o małm zróżcowau wartośc x (potwerdza to wartość r = 0, 076 (tab. 4)), chocaż tu zdarzają sę take stuacje jak R = 0, 7986 RMS = 0, 0, R = 0,7639 RMS = 73, 69 oraz R = 0, 9008 RMS =,759. W przpadku rozkładu jedostajego wartośc RMS są sle zróżcowae, ale daje sę zauważć eco wększa zbeżość wosków (tab. 3) prz ajwższej korelacj ujemej r = 0, 08 (tab. 4). A. Korack, M. Wesołowska-Jaczarek Joural of Research ad Applcatos Agrcultural Egeerg 00, Vol. 55() 5

3 Tab.. Fukcja daa, dopasowaa, R, RMS rozkład X Table. Gve fucto, fttg fucto, R, RMS ad dstrbuto of X Lp. Daa fukcja Dopasowaa fukcja R RMS Rozkład x =x^-3x+ =,05x^-3,5865x+3,5308 0,988 0,679 N(5,) =x^+4x- =,996x^+4,08x-,044 0,9999 0,794 N(4,5) 3 =x^3-3x^+ =x^3-3x^+0,0x+,80 0,847 N(3,0) 4 =x^-3x+ =5,946l(x)-4,34 0, ,69 N(4,) 5 =3x^-4x+5 =455,4l(x)-,78 0,9475 0,458 N(30,5) 6 =x^3-3x^+4x-5 =589785l(x) ,637 55,597 N(50,0) 7 =x^-4x+5 =7,4968exp(0,407x) 0,9445 0,0686 N(3,) 8 =x^3-x^+3x-5 =,079exp(0,03x) 0,8665,43 N(4,5) 9 =3x^-5x+6 =78,3exp(0,0999x) 0,6547 5,8677 N(8,0) 0 =x^+x-4 =,87x^(,0) 0,994 0,0438 N(5,) =x^3+x^+5x+00 =3,509x^(,849) 0,999 0,007 N(7,5) =x^+3x+5 =,383x^(,9633) 0,006 N(50,0) 3 =,35l(x)-3, =,468l(x)-,898 0,7986 0,0 N(5,) 4 =,l(x)+3 =,0306l(x)+3,09 0,75 0,09 N(0,5) 5 =-,5l(x)+ =-,374l(x)+,350 0,56 0,5349 N(40,0) 6 =,l(x)-3 =,406exp(0,3498x) 0,84 0,8 N(4,) 7 =3,l(x)+ =8,7exp(0,0077x) 0,37 0,0986 N(30,5) 8 =,5l(x)+ =5,55exp(0,0067x) 0,93 0,46 N(40,0) 9 =,l(x)- =-0,48x^+,8753x-4,367 0,94,538 N(5,) 0 =-,6l(x)+3 =0,00x^-0,63x+0,0894 0,394 5,7348 N(0,5) =3,l(x)+ =0,004x^+0,3005x+3,308 0,997 0,009 N(40,0) =,3l(x)+3, =3,63x^(0,4389) 0,85 0,94 N(4,) 3 =,4l(x)+0,9 =,59x^(0,3587) 0,0986 0,05 N(30,5) 4 =-,l(x)+3, =9,035x^(-0,563) 0,069 6,843 N(40,0) 5 =4x^3-x^+x-5 =9,89x^3-,57x^+4,48x-5,04 0,4805 J(0,6) 6 =4x^+x-5 =3,9547x^+,7099x-7,874 0,004 J(5,35) 7 =x^+3x+5 =,986x^+3,99x+4,59 0,008 J(,6) 8 =x^3-x^+3x+4 =36,06l(x)-,94 0,6954 9,09 J(,7) 9 =3x^3-x^+x- =4657l(x) , ,6 J(0,30) 30 =3x^+x- =4308,9l(x) ,8855 0,784 J(3,63) 3 =x^+4x-3 =8,89exp(0,39x) 0,953 0,6 J(,8) 3 =3x^3+x^-x+4 =54,87exp(0,94x) -4,685 3,07 J(0,30) 33 =4x^+x-3 =50,exp(0,0748x) 0,6059 0,664 J(4,64) 34 =x^+4x-3 =3,644x^(,8094) 0,998 0,0306 J(,8) 35 =3x^3+x^-x+4 =,59x^(,478) 0,8786 0,460 J(0,30) 36 =4x^+x-3 =4,3959x^(,9778) 0,005 J(4,64) 37 =,35l(x)+3, =,3673l(x)+3,798 0,863 0,5346 J(0,6) 38 =,l(x)+3 =,0573l(x)+3,98 0,5389 0,35 J(5,35) 39 =-,5l(x)+ =-,4339l(x)+,8603 0,5575 9,3 J(,6) 40 =,l(x)-3 =7,447exp(-0,385x) 0,4645 0,9768 J(,7) 4 =3,l(x)+ =,6exp(-0,0506x) 0,7676 0,896 J(0,30) 4 =,5l(x)+ =4,9886exp(0,0096x) 0,456 0,07 J(3,63) 43 =,l(x)- =-0,0x^4+0,4x^3-,5x^+8,3x-9,8 0,46 33,367 J(,8) 44 =-,6l(x)+3 =0,009x^-0,4305x+3,083 0,6633 0,48 J(0,30) 45 =3,l(x)+ =-0,003x^+0,773x+5,706 0,86 0,4 J(4,64) 46 =,3l(x)+3, ==3,734exp(0,3709) 0,343,85 J(,8) 47 =,4l(x)+0,9 =,44x^(0,349) 0,5794 0,94 J(0,30) 48 =-,l(x)+3, =,876x^(-0,4094) 0,798 7,686 J(4,64) 49 =,4exp(,5x) =,3978exp(,500x) 0,003 N(5,) 50 =,8exp(0,00x) =,87exp(0,0000x) 0,0003,549 N(4,5) 5 =3,5exp(0,0x) =3,3898exp(0,0x) 0,0643 0,7863 N(3,0) 5 =,4exp(,5x) =33,7x^-7580x+040 0,9008,759 N(4,) 53 =3,exp(,7x) =0,44x^-5,956x+7,98 0,996 0,0889 N(30,5) 54 =,exp(0,x) =3,49x^-8,93x+558, 0,778 38,68 N(50,0) 55 =,4exp(,5x) =77,9l(x)-68,04 0, , N(3,) 56 =3,exp(,7x) =7503,4l(x)-030 0,99 73,8 N(4,5) 57 =0,7exp(0,5x) =6406l(x)-*0^6 0,6 570,7 N(35,0) 58 =,4exp(,5x) =0,055x^(7,094) 0,709 0,64 N(5,) 59 =,exp(0,5x) =*0^(-7)*x^8,73 0,5798 0,53 N(0,5) 60 =,5exp(3,x) =4*0^(-)*x^9,3464 0,7505 0,47 N(50,0) 6 =,4exp(,5x) =38,36x^(,483) 0,08,5978 J(0,6) 6 =,8exp(0,8x) =9*0^(-0)*x^(3,8) 0,08,6504 J(5,35) 63 =3,5exp(0,0x) =,8855x^(0,584) 0,578 0,58 J(,6) A. Korack, M. Wesołowska-Jaczarek Joural of Research ad Applcatos Agrcultural Egeerg 00, Vol. 55() 5

4 c.d. Tab.. Lp. Daa fukcja Dopasowaa fukcja R RMS Rozkład x 64 =,4exp(,5x) =,393exp(,5006x) 0,076 J(,7) 65 =3,exp(,7x) =3,0764exp(,709x) 0,9997 0,96 J(0,30) 66 =,exp(0,x) =,06exp(0,009x) 0,9996 0,398 J(3,63) 67 =,4exp(,5x) =6760x^ x^+33036x ,96 75,803 J(,8) 68 =3,exp(,7x) =0,904x^-6,03x+50,48 0, ,8 J(0,30) 69 =0,7exp(0,5x) =36,4x^-3490x+0^6 0, J(4,64) 70 =,4exp(,5x) =637l(x) ,44 0 J(,8) 7 =,exp(0,5x) =7865l(x) , J(0,30) 7 =,exp(0,x) =6509l(x)-690 0, J(4,64) 73 =,x^4 =,98x^(4,004) 0,003 N(5,) 74 =0,8x^6 =0,8x^6,3*0^(-6) N(0,5) 75 =0,9x^8 =0,9x^8 4*0^(-9) N(3,0) 76 =,x^4 =06,49x^-505,0x+630,4 0,9949,09 N(4,) 77 =0,8x^6 =0^6x^-5*0^7x+6*0^8 0,436 6,4606 N(30,5) 78 =0,9x^8 =9*0^x^-7*0^3x+0^5 0, ,3 N(50,0) 79 =,x^4 =0,5078exp(0,8346x) 0,876 0,84 N(5,) 80 =0,0x^6 =9696,5exp(0,97x) 0,993 5,447 N(0,5) 8 =0,9x^8 =9699,5exp(0,389x) 0,5853 0,9893 N(35,0) 8 =,x^4 =786,4l(x)-356,8 0,783,9856 N(5,) 83 =0,8x^6 =3*0^8l(x)-9*0^8 0,505 65,5 N(0,5) 84 0,9x^8 =-0,056l(x)+0,64 8*0^-5,67 N(35,0) 85 =,x^4 =,57x^(3,986) 0,3787 J(0,6) 86 =0,8x^6 =0,8353x^(5,9888) 0,003 J(5,35) 87 =0,9x^8 =0,904x^(7,997) 0,0034 J(,6) 88 =,x^4 =,57x^-558,8x+595,53 0,99,94 J(,7) 89 =0,8x^6 =79x^3-*0^6*x^+*0^7x-3*0^7 0,649 8*0^6 J(0,30) 90 =0,9*x^8 =0^x^-5*0^x+4*0^3 0,7769 3*0^8 J(3,63) 9 =,x^4 =7,4447exp(0,865x) 0,80 0,386 J(,8) 9 =0,4x^5+ =930exp(0,x) 0, ,7 J(0,30) 93 =0,9x^8 =86088exp(0,97x) 0,8476 5,4 J(4,64) 94 =,x^4 =903l(x)-353,9 0,784 0,4 J(,8) 95 =0,8x^6 =*0^8l(x)-*0^8 0,774 0^8 J(0,30) 96 0,9x^8 =*0^l(x)-4*0^ 0,3347 8*0^7 J(4,64) Tab.. Przkład wskazujące a zgodość lub brak zgodośc wosków dla różch tpów dach dopasowwach fukcj Table. Examples llustratg cosstec ad lack of cosstec of coclusos for dfferet kds of data ad fttg fuctos a) zgode wosk a) cosstet coclusos b) brak zgodośc b) lack of cosstec weloma weloma (A) wkładcza logartmcza (B) R RMS R RMS 0,988 0,679 0, ,00 0,9999 0,7940 0,99 73,800 0,847 0,60 570,7000 0,4805 0,44 0,0000 0,004 0, ,0000 0,0080 0, ,0000 potęgowa wkładcza (C) wkładcza weloma (D) R RMS R RMS 0,8760 0,84 0,9008,7590 0,993 5,447 0,996 0,0889 0,5853 0,9893 0,778 38,6800 0,800 0,386 0,96 75,8030 0, ,7000 0, ,800 0,8476 5,40 0, ,0000 A. Korack, M. Wesołowska-Jaczarek Joural of Research ad Applcatos Agrcultural Egeerg 00, Vol. 55() 53

5 Tab. 3. Wartośc współczków R RMS prz rozkładach x: ormalm z dowolą wartoścą µ σ = oraz jedostajm a przedzale o długośc 6 Table 3. Values of coeffcets of R ad RMS uder ormal dstrbutos of x wth arbtrar µ ad σ = ad ufed dstrbuto o terval wth legth 6 N (, ) J ( 0,6) J (,7) J (,8) R RMS R RMS 0,988 0,679,0000 0,4805 0, ,690 0,953 0,6 0,9445 0,0686 0,9980 0,0306 0,994 0,0438 0,8630 0,5346 0,7986 0,000 0,460 33,3670 0,84 0,8 0,343,850 0,94,5380 0,08,5978 0,85 0,94 0,96 75,8030,0000 0,003 0,44 0,0000 0,9008,7590,0000 0,3787 0, ,00 0,800 0,386 0,709 0,649 0,784 0,40,0000 0,003 0,6954 9,090 0,9949,090 0,4645 0,9768 0,8760 0,84,0000 0,076 0,783,9856 0,99,940 Tab. 4. Współczk korelacj mędz R RMS prz różch rozkładach x różch przedzałach zmeośc Table 4. Coeffcets of correlatos betwee R ad RMS uder dfferet dstrbutos of x ad dfferet tervals of varato Współczk korelacj N (, ) N (, 5) N (, 0) J ( 0,6) J (,7) J (,8) J ( 0,30) J (5,35) J (,6) J (3,63) J (4,64) 0,0763-0,0670 0,0653-0,080-0,0800-0, Podsumowae wosk Przeprowadzoe porówaa dwóch wbrach współczków badającch dobroć dopasowaa e przosło jedozaczej odpowedz, któr z ch jest lepsz, cz też któr z ch powe bć wkorzstwa w kokretch rozważach tu przpadkach. Moża jedak zasugerować astępujące stwerdzea:. Ze względu a ograczo zakres wartośc, jak może przjmować współczk R 0, jest o wgodejsz do terpretacj.. Wosk o dobroc dopasowaa modelu regresjego uzskae prz użcu R RMS mogą sę zdecdowae różć. Ne stwerdzoo jedozacze, ked wstępuje zgodość we woskowau, a ked wosk mogą sę różć. 3. Ze wstępch badań moża przjąć stwerdzee, że ajwększa zgodość wosków uzskach prz użcu obu wskaźków, co do dobroc dopasowaa modelu, jest w przpadku dopasowaa welomau do daego welomau prz losowach wartoścach x z rozkładu ormalego o małm zakrese wartośc oraz dopasowaa fukcj logartmczej do wkładczej bez względu a rozkład cech x. 4. Zmeość wartośc współczka RMS jest też w przpadkach wskazach we wosku 3. mejsza ż w pozostałch. 6. Lteratura [] Barrett J.P.: The Coeffcet of Determato Some Lmtatos The Amerca Statstca, 974, 8,, pp 9-0. [] Bałobrzesk J.: Wbrae problem modelowaa procesów kowekcjego suszea owoców warzw. Rozprawa habltacja. Olszt, 006. [3] Korack A., Wesołowska-Jaczarek M.: O werfkowau poprawośc matematczch model procesów w oparcu o dae emprcze. Problem Iżer Rolczej, 008, (3)6, s 5-8. [4] Magge, L.: R Measures Based o Wald ad Lkelhood Rato Jot Sgfcace Tests. The Amerca Statstca. 990, 44,, pp [5] Nagelkere N.J.D.: A ote o a geeral defto of the coeffcet of determato. Bometrka, 99, 78, 3, pp [6] Recher A.C., Pu F.C.: Iflato of R Best Subset Regresso. Techometrcs, 980,,, [7] Ra T.P.: Moder Regresso Methods. Joh Wle & Sos, New York, 997. A. Korack, M. Wesołowska-Jaczarek Joural of Research ad Applcatos Agrcultural Egeerg 00, Vol. 55() 54