Rachunek Prawdopodobieństwa i statystyka W 10: Analizy zależności pomiędzy zmiennymi losowymi (danymi empirycznymi)

Transkrypt

1 Rachuek Prawdopodoeństwa statstka W 0: Aalz zależośc pomędz zmem losowm dam emprczm) Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 adra@tempus.metal.agh.edu.pl

2 Odkrwae aalza zależośc pomędz zmem loścowmlczowm) Przedmotem kolejch dwóch wkładów ędą zależośc dla Zmech jedowmarowch Korelacja lowa Korelacja lowa test stotośc współczka korelacj lowej regresja prosta Współczk regresj, wzaczae ch MNK Ocea dopasowaa modelu Współczk determacj Stadardow łąd estmacj Współczk zmeośc losowej Zmech welowmarowch Macerz korelacj Korelacje cząstkowe regresja weloraka

3 Metod statstcze stosuje sę do adaa struktur zorowośc zależośc pomędz jej cecham Metod statstcze dotczące aalz struktur zorowośc operał sę a oserwacjach tlko jedej cech, a jeśl rao pod uwagę klka cech, to każdą aalzowao oddzele. W welu przpadkach, do pozaa całokształtu zagadea potrzea jest aalza zorowośc z puktu wdzea klku cech, pomędz którm wstępują pewe zależośc Odkrwae postac sł zależośc wstępującch pomędz cecham zorowośc są przedmotem aalz korelacj regresj. Uwzględając lczę zmech aalzowach cech zorowośc) rozróża sę astępujące odma zależośc Rodzaj zmeej zależa ojaśaa) jedowmarowa jedowmarowa welowmarowa welowmarowa ezależa ojaśająca) jeda zmea wele zmech jeda zmea wele zmech

4 Wprowadzee do aalz zależośc pomędz dam statstczm Celem aalz jest stwerdzee, cz mędz adam zmem zachodzą jakeś zależośc, jaka jest ch: sła współczk determacj, współczk korelacj) postać dopasowae fukcj reprezetującch zależość - aproksmacja) keruek mootoczość) Współzależość mędz zmem może ć dwojakego rodzaju: fukcja stochastcza proalstcza).

5 Przkład zwązków fukcjch statstczch

6 Rodzaje zależośc pomędz dam - zależość fukcja Istota zależośc fukcjej polega a tm, że zmaa wartośc jedej zmeej powoduje ścśle określoą zmaę wartośc drugej zmeej. W przpadku zależośc fukcjej: f ), każdej wartośc zmeej X) odpowada jeda tlko jeda wartość zmeej Y). Smolem X ozaczam zmeą ojaśającą ezależą), atomast smolem Y - zmeą ojaśaą zależą ).

7 Postać zwązków przkład dla jedowmarowej zmeej ojaśaej ), gd jeda jest zmea ojaśająca ) + EXP) ,5,5,5 8,00 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00,00,00 0,00 0 0,5,5,5 a log +cos),00 0,50 0,00 0 0,5,5,5 3 3,5 4-0,50,00,00 0, ,00 -,00 -,00-3,00 c -,50 d

8 Rodzaje zależośc pomędz dam Zależość korelacja Zależość stochastcza wstępuje wted, gd wraz ze zmaą wartośc jedej zmeej zmea sę rozkład prawdopodoeństwa drugej zmeej Szczególm przpadkem zależośc stochastczej jest zależość korelacja statstcza). Zależość korelacja polega a tm, że określom wartoścom jedej zmeej odpowadają ścśle określoe średe wartośc drugej zmeej. Zwązk tpu statstczego są możlwe do wkrca oraz loścowego opsu w przpadku, ked mam do czea z weloma oserwacjam, opsującm adae oekt, zjawska cz też proces

9

10 Badae zależośc statstczch pomędz dam emprczm W adaach statstczch zależośc pomędz cecham ajczęścej sprowadza sę do fukcj lowch. Nelowe zwązk pomędz zmem mogą ć opswae przez weloma drugego wższch stop alo przez e fukcje wkładcze, logartmcze, trgoometrcze tp.). Prz podejmowau deczj o worze fukcj aproksmacjej, opsującej w przlżeu zwązek pomędz aalzowam cecham, pomoce jest sporządzee wkresu rozrzutu wartośc adach zmech. Jeśl okaże sę, że pomędz zmem wdocza jest zależość e jest oa lowa, wówczas trzea zaleźć odpowede rozwązae elowe

11 Marą sł keruku zależośc lowej jest współczk korelacj lowej Statstką, która opsuje słę lowego zwązku pomędz dwema zmem jest współczk korelacj z pró ρ r). ρ cov X, Y ) D X ) D Y ) Przjmuje o wartośc z przedzału domkętego <-; >. Wartość - ozacza wstępowae doskoałej korelacj ujemej to zacz stuację, w której pukt leżą dokłade a prostej, skerowaej w dół), a wartość ozacza doskoałą korelację dodatą pukt leżą dokłade a prostej, skerowaej w górę). Wartość 0 ozacza rak korelacj lowej

12 Przkład układów puktów prz różch wartoścach współczka korelacj lowej

13 Wzór do olczaa emprczego współczka korelacj ma postać gdze: oraz ozaczają emprcze wartośc zmech, odpowedo, X Y, atomast oraz ozaczają średe wartośc tch zmech. Współczk korelacj daje też formację o keruku zależośc, o jeśl małm wartoścom X odpowadają przeważe małe wartośc zmeej Y, a dużm wartoścom X duże wartośc Y, to lczk wrażea dla r ędze dodat, maowk jest zawsze dodat, zatem r>0 ozacza zależość rosącą, r<0 malejącą.

14 Test stotośc współczka korelacj lowej Pearsoa) Badae zmee X, Y) mają dwuwmarow rozkład ormal, o ezam współczku korelacj ρ. Z populacj wlosowao elemetową próę wlczoo r Zwerfkować hpotezę H 0 : ρ 0 woec jedej z hpotez alteratwch H : ρ 0 lu H : ρ < 0 alo H : ρ > 0 Fukcja testowa ma postać: t r r a gd >00 to u r r zmea t ma rozkład Studeta z - stopam swood; u ma rozkład ormal. Hpotezę H 0 odrzucam lekroć wartość olczoa fukcj testowej zajdze sę w oszarze krtczm zdefowam przez hpotezę H )

15 Nejedozaczość formacj przekazwaej przez współczk korelacj - przkład R0.985 Zależość pomędz lczą ocaow lczą urodz dzec Lcza urodzoch dzec ,8 +,305 R 0, Lcza ocaow Iterpretacja: przez aalogę do flmu Seksmsja: jeśl oca to mejsce wrał mus to ć zdrow rego pomślel młodz postaowl sę tu osedlć

16 Regresja prosta regresja lowa) Aalza regresj staow w stosuku do aalz korelacj dalsz krok w zakrese loścowego opsu powązań zachodzącch mędz zmem. Model regresj lowej prostej przjmuje postać: Y β 0 + β + ε gdze β 0 ozacza wraz wol, β współczk kerukow, a ε łąd. Zazwczaj e wszstke pukt układają sę dokłade a prostej regresj. Źródłem łędu są wpłw ch e uwzględoch w modelu zmech, takch jak p. łęd pomarowe. Zakłada sę prz tm, że łęd mają średą wartość rówą zero ezaą warację oraz, że łęd e są awzajem skorelowae. Współczk regresj β 0 β moża wzaczć korzstając z metod ajmejszch kwadratów.

17 Istota metod ajmejszch kwadratów - MNK Wprowadzoa przez Legedre'a Gaussa, jest ajczęścej stosowaą w praktce metodą statstczą Jej stota jest astępująca: Wk kolejego pomaru moża przedstawć jako sumę ezaej) welkośc merzoej oraz łędu pomarowego ε, Od welkośc oczekujem, a suma kwadratów ła jak ajmejsza: ε ) ˆ m

18 Ocea stopa dopasowaa modelu do dach rzeczwstch Zasadcz cel aalz regresj polega a ocee ezach parametrów modelu regresj. Ocea ta jest dokowaa za pomocą metod ajmejszch kwadratów MNK). MNK sprowadza sę do mmalzacj sum kwadratów odchleń wartośc teoretczch od wartośc rzeczwstch czl tzw. reszt modelu). Dopasowa model regresj prostej, któr daje puktową oceę średej wartośc dla określoej wartośc przjmuje postać: ˆ f ) 0 + gdze f) ozacza teoretczą wartość zmeej zależej, 0 odpowedo oce wrazu wolego współczka kerukowego, uzskae a podstawe wków z pró.

19 MNK ) + 0 ) 0 0 ) ) m ) ˆ 0 + Wrażee Osąge m wted tlko wted gd ) + 0 ) 0

20 Współczk rówaa regresj lowej 0 ) ) )

21 Iterpretacja współczków regresj 0 jest puktem przecęca prostej regresj z osa wartośc rzędch) ozacza przrost wartośc prostej prz jedakowm przrośce argumet

22 Iterpretacja rówaa regresj r r l) 0 jest puktem przecęca prostej regresj z osa wartośc rzędch) ozacza przrost wartośc prostej prz jedakowm przrośce argumetu Łatwo wlczć zwązek współczka z wartoscą współczka korelacj prókowej ) ) )) 0 0 s s r s s s s s ) ) ) ) ) ) ) ) )

23 Iterpretacja rówaa regresj r r l) Prosta regresj przechodz przez pukt o współrzędch odpowadającm średm wartoścom zmech X Y Z faktu, że MNK mmalzuje sumę kwadratów różc e wka, ze Stąd wka, że reszt e mogą ć dowole, w szczególośc e mogą ć jedakowego zaku ) ) ˆ e ˆ 0 ) ) ˆ 0 + e

24 Tpowae postac zależośc- Statstca/wkres/ wkres rozrzutu W

25 Wkres lustrując zależość pomędz średą temperaturą a zużcem gazu

26 Regresja weloraka

27

28 Regresja welomaowa dla ) ) m ˆ 0 0 ) ˆ f + + W s p ó ł Współczk 0, wzaczm z układu trzech rówań utworzoch z trzech pochodch olczoch względem zmech 0, przrówach do zera

29 Regresja welomaowa

30

31 Learzacja fukcj elowch a a e

32 Ocea dopasowaa modelu do dach Współczk determacj R Jeśl wartość współczka determacj R welkość ta ozacza kwadrat współczka korelacj) jest duża, to ozacza, że łęd dla przjętego modelu są stosukowo małe w zwązku z tm model jest dorze dopasowa do rzeczwstch dach R ) Lczk reprezetuje tu zmeość welkośc olczoej z modelu, a maowk jest marą zmeośc emprczch wartośc Współczk R, przjmując wartośc z przedzału [0,], jest zatem marą stopa w jakm model wjaśa kształtowae sę zmeej Y. Im jego wartość jest lższa, tm lepsze dopasowae modelu do dach emprczch ˆ )

33 Aalza reszt Reszta odpowadająca -tej oserwacj wraża sę wzorem e ˆ, gdze,,..., Waracja resztowa ędąca oceą waracj składka losowego wraża sę wzorem S e e m Perwastek z waracj resztowej, czl odchlee stadardowe reszt S e, zwae stadardowm łędem estmacj jest ajczęścej stosowaą marą zgodośc modelu z dam emprczm.

34 Współczk zmeośc losowej Welkość S e wskazuje a przecętą różcę mędz zaoserwowam wartoścam zmeej ojaśaej wartoścam teoretczm olczom z prostej regresj. Współczk W, olcza według wzoru W S e formuje o tm jaką część średej wartośc zmeej ojaśaej staow łąd stadardow estmacj. Po wzaczeu rówaa regresj modelu) ależ sprawdzć hpotezę o stotośc otrzmach współczków regresj, W tm celu przeprowadzam test stotośc t.

35 Podsumowae Aalza zależośc pomędz adam cecham polega a określeu Sł Keruku Postac modelu matematczego Aalza stopa dopasowaa modelu matematczego do dach emprczch