REGRESJA LINIOWA. gdzie

Transkrypt

1 REGREJA LINIOWA Jeżel zmerzoo obarczoe tlko błędam przpadkowm wartośc (, ),,,..., dwóch różch welkośc fzczch X Y, o którch wadomo, że są zwązae ze sobą zależoścą lową f(), to ajlepszm przblżeem współczków A B w rówau A + B jest A Γ, B Γ, gdze Γ Welkośc charakterzujące zależość lową został oblczoe w oparcu o pukt dośwadczale, a te obarczoe są epewoścam zwązam z wkowam pomaram. Dlatego współczk A B też są wzaczae z pewą dokładoścą. Nepewośc welkośc A B oblczam astępująco: δa σ Γ, δb σ Γ, gdze σ ( A B) ε UWAGA:. Ab arsować prostą regresj lowej a paperze mlmetrowm wberam dowole ( względe odległe od sebe) współrzęde p k ( e współrzęde puktów pomarowch! ), oblczm odpowadające m współrzęde p k według rówaa A + B ( A B już są zae ), aosm pukt o współrzędch ( p, p ) oraz ( k, k ) przez te pukt przeprowadzam prostą. Pukt odpowadające wkom aszch pomarów wraz z ch epewoścam pow rozkładać sę rówomere w poblżu tej prostej może sę okazać, że żade z aszch puktów pomarowch e leż a ej! Zacze odstępstwa ( poad 0 % ) puktów pomarowch od l teoretczej pozwalają przpuszczać, że merzoe welkośc e są lowo zależe. Wted też współczk korelacj zacze róż sę od jedośc. Jeśl te odstępstwa dotczą małej lośc puktów pomarowch ustuowach w różch częścach wkresu to przjmujem, że pukt te obarczoe są tzw. błędem grubm. Take pukt odrzucam, a dla pozostałch poowe oblczm wszstke parametr prostej ajlepszego dopasowaa tz. A, δa, B, δb oraz współczk korelacj R.

2 . Wszstke kalkulator tpu CIENTIFIC, które wkoują oblczea statstcze jedej zmeej, automatcze oblczają sum tpu,, gdze,,,.... Kalkulator pozwalające wkować oblczea statstcze a dwóch zmech, oblczają także sum tpu,,. Możlwe węc jest wzaczee wszstkch parametrów prostej ajlepszego dopasowaa metodą regresj lowej zwaej róweż metodą ajmejszch kwadratów. Przed oblczeam sprawdzć w strukcj dołączoej do kalkulatora, cz regresja jest lczoa dla rówaa A + B cz dla A + B. Ab wzaczć epewośc współczków A B prz pomoc kalkulatora wgodej jest zastosować astępujące przblżee zamast ε A B ( A B) ε Procedura ta może wpłąć a zmaę wartośc σ, która zależa jest od ε to spowodować zmaę wartośc δa δb choć wrażea pozostają take same. W kosekwecj może δa ε Γ δb ε Γ W rozważam przkładze f() z wzorów wgodch mam ε 469, ,064 4,6749,4047 ε 4047, 0, δa 0,9966 δb 0,66865 Na podstawe wzorów dokładch otrzmao ( A B) 40499, 0, δa 0,9960 δb 0,6686 Wdać, że zgodość otrzmach welkośc lczbowch jest bardzo dobra. Celowo zaechao zaokrągleń. Rówae prostej ajlepszego dopasowaa będze (,54 ± 0,99) + (,707 ± 0,66 ) Te sposób oblczaa epewośc δa δb jest o wele prostsz szbsz lecz mej dokład. Może a przkład zawżać wartośc poszukwach welkośc δa δb ezależe od zaokrągleń różch welkośc a poszczególch etapach oblczeń. Poza tm, schematcze stosowae przblżoej zależośc

3 ε A B może prowadzć do bezsesowch wartośc lczbowch welkośc ε ( p. wartośc ujeme!!! ) awet prz dużej dokładośc pomarów oblczeń. W przpadku, gd prz oblczau wrażea przblżoego ε wstępuje różca dwóch dużch, prawe jedakowch lczb, ależ koecze posłużć sę zależoścą defcją ε ( A B). WPÓŁCZYNNIK KORELACJI Współczk korelacj R jest marą lczbową korelacj (zwązku, współzależośc) zmech (,,,...) tworzącch sere pomarów welkośc X Y. Z jedej stro służ do upewea sę, cz mam wstarczającą lość pomarów welkośc b twerdzć, że zachodz mędz m korelacja czl zależość p. lowa, wkładcza, logartmcza. Z drugej stro R jest marą prawdopodobeństwa stea przjętej (postulowaej) współzależośc zmech. Jeżel zwązek mędz zmem jest low, f(), to R azwam współczkem korelacj lowej, a współzależość mędz dwema seram pomarów - korelacją lową. Korelacja jest tm slejsza, m wększą wartość z przedzału [-, + ] osąga R. Duża wartość współczka R śwadcz o dużm prawdopodobeństwe postulowaego zwązku zmech. W szczególośc R ±0,95 ozacza prawdopodobeństwo rówe 95% dla badaej współzależośc. Tak węc, może zachodzć korelacja lowa pomędz puktam dośwadczalm (, ), lecz obarczoa jest epewoścą względą woszącą 5%. Jeżel R ± mówm o korelacj zupełej, jeżel R 0 to mówm o braku korelacj. Mała wartość współczka korelacj R może wskazwać a zbt krótką serę pomarów lub a ą, ż przjęto, współzależość mędz welkoścam. W perwszm przpadku przeprowadzam pomar uzupełające, a w drugm, o le e przecz to prawom rządzącm badam zwązkem mędz seram pomarów, sprawdzam ą korelację, p. krzwolową zamast lowej. Iformacje dotczące regresj elowej zawarte są w 4.. skrptu Ćwczea laboratorje z fzk, cz.i. Podstaw opracowaa wków pomarów OWPWr., Wrocław POPRAWKI R., ALEJDA W. Jeżel atomast wadomo, że zwązek mędz welkoścam ma charakter wkładcz, to warto ajperw dokoać tzw. learzacj badaej zależośc a astępe skorzstać z metod regresj lowej. Węcej a te temat moża zaleźć w.. wspomaego skrptu. Gracze wartośc R w zależośc od lczb pomarów, od którch wzwż moża woskować o steu współzależośc, przedstawa poższa tabela R 0,99 0,84 0,64 0,5 0,47 0,4 0,5 0,0 0,4 0,0 0,0 Rozumem ją astępująco: jeżel p. dla 0 otrzmao wartość współczka korelacj R e mej ż 0,84, to przjęt zwązek mędz welkoścam jest popraw, ale tlko w 84%. W zwązku z tm, e moża spodzewać sę ułożea wszstkch puktów pomarowch a l ajlepszego dopasowaa.

4 Wartośc średe zmech, stadardowe odchlea pojedczego pomaru, współczk korelacj R parametr prostej A + B spełają astępujące relacje: A R B A ( ) Δ ( ) Δ gdze: odchlea stadardowe pojedczej wartośc z ser pomarów, Δ -, Δ -, wartośc średe ser, lość pomarów w serach. W programe użtkowm Ecel prz wkowau wkresów moża określć współczk korelacj, jedak epewośc współczków A B lczm korzstając ze wzorów regresj lowej, lub korzstając z programów regresja. Należ pamętać, że w przpadku maowach welkośc zmech róweż współczk A, δa, B δb są welkoścam maowam ależ podawać wartośc tch współczków wraz z jedostkam!!!. Wskazae jest także podae faktczej zależośc, dla której zastosowaa będze metoda regresj lowej. Przkładowo rozważm odkształcea jedoosowe (p. rozcągae drutu), które w wąskm zakrese aprężeń podlegają prawu Hooke a: ΔL E L 0 F, gdze: L O - welkośc stałe dla daego drutu ( długość początkowa pole przekroju poprzeczego) F sła powodująca aprężee ( F mg ), ΔL wdłużee drutu pod wpłwem sł F, E moduł Youga, poszukwa parametr drutu. Δ L Jeśl ta zależość zostae przblżoa fukcją lową A + B to L 0, F, A E oraz δa ΔE. E Jeśl atomast fukcją lową przblż sę wrażee E Δ L m to ΔL, m oraz A. L0 g L0 g W tm przpadku moduł Youga, E, ależ oblczć a podstawe wartośc lczbowch A,, L 0 g, a jego epewość ΔE - a podstawe epewośc δa, Δ, ΔL 0 Δg. Obe metod są poprawe, jedak perwsza pozwala bezpośredo wzaczć szuka parametr E epewość ΔE. Wmar współczków prostej regresj ( A, B ) w każdm z prezetowach przkładów będą oczwśce róże. 4

5 Przkład: Dokoao pomarów o różej preczj. Wk pomarów welkośc zebrao w tabel. a) tabela wkres wkoae za pomocą programu Ecel Lp. f ( ) f ( ), 5,5, 5,5,0 6,80,0 6,40,95 8,99,95 9,49 4,98,0,98,8 5 5,0,09 5,0,09 Jak wdać, dla fukcj f () czl,54 +,707 współczk korelacj R 0,987 jest za mał (dla 5, współczk R 0,99) czl e moża powedzeć,że wstępuje lowa zależość ( ). Należ węc wkoać dodatkowe pomar w ch, lub w tch samch puktach (zagęścć pomar, powtórzć wątplwe lub/ rozszerzć zakres pomarow). b) oblczea wkoae a podstawe pomarów f() ujętch w tabel powżej za pomocą programu regresja.zp zajdującego sę w sec teretowej pod adresem: Współczk: A,06 E + 0 B,884 E + 0 Nepewość współczków: δa 4,54 E δb,506 E c) oblczea wkoae a podstawe pomarów ujętch w tabel w pukce a) za pomocą programu regresja.ee zajdującego sę w komputerze w LPF pod adresem: C:\UŻYTKI\regresja.ee Rówae prostej:,06 +,884 Nepewość współczków: δa δa 0,045 δb δb 0,5 Take rówae ależ przepsać, stosując prawdła zaokrąglea, w astępując sposób: (,06 ± 0,045 ) + (,88 ± 0,6 ) 5