MODEL SHARP A - MIARY WRAŻLIWOŚCI

Transkrypt

1 MODEL SHARP A - MIARY WRAŻLIWOŚCI Współzależość cech Rozważam jedostk zborowośc badae ze względu a dwe, lub węcej zmech W przpadku obserwacj opartch a dwóch zmech możem wkreślć dagram korelacj. Każda obserwacja opswaa parą lczb: oraz odpowada puktow P (=,,...) w dwuwmarowm układze współrzędch.

2

3 3

4 Gdb obe badae zmee bł dae ścsłm zwązkem fukcjm, w postac Y=f(), wówczas zając wartość jedej z ch możab jedozacze określć wartość drugej. W praktce, a zmeą Y oprócz zmeej X ma wpłw cał szereg dodatkowch czków. Zależość mędz zmem X Y moża wec zapsać w postac Jest to zależość stochastcza. Y = f(x, u) Smbol u ozacza sumarcz wpłw ch zmech (wartośc u e są wprost obserwowale). Na podstawe dagramu korelacjego określć moża stopeń zależośc stochastczej pomędz dwoma zmem (sla, słaba, brak zależośc, krzwolowa) Zalezeem obektwej mar stopa współzależośc pomędz dwoma zmem zajmuje sę aalza korelacj. Współczk korelacj lowej Pearsoa Zależość korelacja charakterzuje sę tm, że określom wartoścom zmeej (X) odpowadają ścśle określoe ŚREDNIE wartośc drugej zmeej (Y). Współczk korelacj lowej Pearsoa oblczam a podstawe wzoru: cov( X, Y) r( X, Y) r( X, Y) s cov(x, Y) kowaracja (współzmeość) mędz zmem X, Y s, s odchlea stadardowe Poeważ dowodz sę, że: cov( X, Y) cov( Y, X ) s ( )( ( ss ) cov( X, Y) ( ss ) ) Wówczas współczk korelacj Pearsoa jest w efekce wstadarzowaą kowaracją cov( X, Y) ( s ) s r ( X, Y) Zak współczka mów o keruku korelacj, moduł o sle. Przjmuje sę: 4

5 Współczk korelacj lowej Pearsoa Zależość lowa < 0, Brak 0, 0,4 Mała 0,4 0,7 Umarkowaa 0,7 0,9 Zacząca > 0,9 Sla Kwadrat współczka korelacj lowej azwam współczkem determacj lowej r ( X, Y) Współczk determacj lowej (kwadrat współczka korelacj) formuje o tm jaka część zmeośc zmeej zależej Y jest wjaśaa przez zmeość zmeej X Mar wrażlwośc dla westcj w akcje Mar wrażlwośc merzą stopeń zależośc daej zmeej od pewch czków. Najprostszm ajczęścej użwam modelem, opsującm powązae zma wartośc akcj z zachowaem całego rku, jest jedowskaźkow model rku (sgle-de model), zapropoowa przez W. Sharpe'a. Rozpatrujem zborowość badaą ze względu a dwe zmee X Y, o którch wadomo, że jeda z ch X wwera TRWAŁY WPŁYW a Y. W aszm przpadku przjmujem wpłw rkowej stop zwrotu (wrażoej zmaam deksu WIG0) a otowaa spółek A B. Przjmując, że zależość jest lowa, zależość ogóla: Y = f(x, u) przbera postać: Y X u Rówae to zwae jest rówaem regresj lowej Podstawowm celem aalz regresj jest oszacowae parametrów, a podstawe - elemetowej prób, która dostarcza formacj o wartoścach X Y poszczególch elemetów prób. 5

6 6 Estmacj parametrów będzem dokować metodą ajmejszch kwadratów, polegającą a zalezeu takch wartośc a b parametrów, dla którch fukcja: ) ( b a osąga mmum. Warukem koeczm stea ekstremum jest zerowae sę pochodch cząstkowch fukcj ze względu a zmee a b b a a b a b Po przrówau do zera otrzmujem b a b a Ostatecze rozwązae układu ma postać: b ) ( ) )( ( b a gdze oraz to średe artmetcze odpowedch zmech.

7 Model SHARP a Model jedowskaźkow (sgle-de model) Sharpe'a powstał jako model upraszczając klasczą teorę portfela. Obece model te z reguł rozpatruje sę w powązau z modelam rku kaptałowego (główe CAPM) Model te opera sę a założeu, że kształtowae sę stóp zwrotu akcj jest zdetermowae dzałaem czka odzwercedlającego zma a rku kaptałowm. Obserwacje emprcze potwerdzają, że a welu rkach kaptałowch stop zwrotu wększośc akcj są w dużm stopu powązae ze stopą zwrotu deksu rku, odzwercedlającego ogólą stuację a rku. Ideks gełd może bć traktowa jako substtut portfela rkowego. Zależość stop zwrotu akcj od stop zwrotu deksu rku (deksu gełd, portfela rkowego) przedstawa sę za pomocą astępującego rówaa: R R E () M gdze:. R zmea losowa opsująca stopę zwrotu -tej akcj E zmea losowa reprezetująca pozostałe (losowe) składk stop zwrotu -tej akcj R M - stopa zwrotu deksu rku Alfa-, beta- - współczk rówaa Rówae regresj () przedstawa lową zależość stop zwrotu akcj od stop zwrotu deksu rku. Dzałae ch (oprócz deksu rku) czków mającch wpłw a stopę zwrotu akcj wrażoe jest poprzez zmea losową E. W praktce rówae regresj jest szacowae w rezultace otrzmuje sę przblżo model SHARP a: R R () M Rówae to azwa sę lą charakterstczą akcj - SCL, a ogólej - lą charakterstczą paperu wartoścowego (securt characterstc le). W rówau tm podstawową rolę odgrwa współczk BETA, wskazując, o le procet w przblżeu wzrośe stopa zwrotu akcj, gd stopa zwrotu deksu rku (portfela rkowego) wzrośe o %. Współczk te oblcza jest z astępującego wzoru: 7

8 R R R R M t Mt t () RMt R M t R R (v) M R t - to stopa zwrotu akcj w okrese t R Mt - stopa zwrotu deksu rkowego w okrese t Współczk beta wskazuje o le procet średo zme sę kurs akcj daej frm, jeśl deks rkow zme sę o %. Może przjmować róże wartośc: 0 < beta < ozacza, że stopa zwrotu akcj w małm stopu reaguje a zma zachodzące a rku, beta > ozacza, że stopa zwrotu akcj w dużm stopu reaguje a zma zachodzące a rku, beta = ozacza, że stopa zwrotu akcj zmea sę w takm samm stopu, jak stopa zwrotu rku, beta = 0 ozacza, że stopa akcj e reaguje a zma rku, beta < 0 ozacza, że stopa zwrotu akcj reaguje a zma przecwe ż rek. 8

9 9

10 0

11

12 Na podstawe () w modelu SHARP a zachodzą astępujące zależośc: R RM (v) S SM S (v) E gdze: SM - waracja stop zwrotu deksu rku, S E - waracja składka resztowego, wzaczae są a podstawe SCL według wzorów: RMt RM t SM (v) S E t R t R Mt (v) Szczególe zaczee ma zależość (v). Wskazuje oa, że rzko akcj (merzoe za pomocą waracj), tzw. rzko całkowte (total rsk), jest sumą dwóch składków. Perwsz składk jest to rzko sstematcze, zwae róweż rzkem rkowm (sstematc rsk, market rsk). Rzko rkowe zależ od waracj (czl rzka) deksu rku (portfela rkowego) oraz od współczka beta, określającego, w jakm stopu stopa zwrotu akcj reaguje a zma stop zwrotu deksu rku. Im wższ współczk beta (co do wartośc bezwzględej), tm wższe jest rzko rkowe. W tm zatem sese współczk beta uważa jest za marę rzka sstematczego (rkowego). Druga część rzka akcj (drug składk wzoru (v)) jest to rzko specfcze lub esstematcze (specfc rsk, osstematc rsk), merzoe waracją składka losowego. Jest to ta część rzka, która jest zwązaa tlko z daą akcją e zależ od rku. Na podstawe (Sobczk, s.95-96) mam astępujące zależośc dla zmech losowch: E(X+Y)=E(X)+E(Y), E(CX)=CE(X), S (C )=0, S (CX)=C D (X), S (X+Y)=S (X)+S (Y) Pamętać prz tm ależ, że S (E)=0

13 Przkład. (Jajuga s.66) Rzko sstematcze rzko specfcze mają ścsł zwązek z dwersfkacją portfela. Jak wadomo, dwersfkacja portfela może prowadzć do zaczej redukcj rzka całkowtego. Jedakże rzko to e może bć w całośc welmowae. Umejęta dwersfkacja portfela prowadz do welmowaa (prawe całkowce) rzka specfczego akcj wchodzącch w skład portfela. Jedak pozostaje jeszcze rzko sstematcze, którego e moża welmować. Moża zatem powedzeć, że rzko całkowte dobrze zdwersfkowaego portfela jest rówe w przblżeu perwszemu składkow prawej stro wzoru (v). S S S M Jeżel a os odcętch zazaczoa jest lczba składków portfela, a a os rzędch rzko portfela, to zwększae lczb składków portfela prowadz tlko do pewego mometu do zaczego zmejszea rzka portfela. W przpadku welu rków jest to około 5-30 składków. W marę wzrostu lczb składków portfela spadk rzka są ezacze. La asmpotcza, do której a rsuku zblża sę rzko całkowte, obrazuje pozom rzka sstematczego. 3

14 Współczk beta wzacza sę e tlko dla pojedczch akcj, ale róweż dla portfel akcj. Stosuje sę tu astępując wzór: P w Z wzoru wka, że współczk beta portfela jest ważoą średą współczków beta akcj wchodzącch w skład portfela, prz czm wagam są udzał tch akcj w portfelu. W modelu SHARP a stosowaa jest róweż zależość: j j S S S Zależość ta jest zależoścą przblżoą. Przblżee to jest tm lepsze, m współczk korelacj ρj jest blższ loczow współczków korelacj ρ M ρ jm, gdze ρ M ozacza współczk korelacj stop zwrotu -tej akcj stop zwrotu deksu rku. Dawej zależość ta stosowaa bła w celu ukęca bezpośredego wzaczaa wszstkch współczków korelacj par akcj. j M 4