II. ĆWICZENIA LABORATORYJNE

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "II. ĆWICZENIA LABORATORYJNE"

Transkrypt

1 II. ĆWICZENIA LABORATORYJNE ZADANIE Nr STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW DOŚWIADCZALNYCH. Wartość średa, odchlee stadardowe, mar dspersj. ZADANIE Nr STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW DOŚWIADCZALNYCH. Zależość wartośc średej oraz mar dspersj od lczośc próbek. ZADANIE Nr 3 STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW DOŚWIADCZALNYCH 3a. Zastosowae regresj lowej krzwa kalbracja. 3b. Zastosowae regresj lowej do oblczaa stałej szbkośc reakcj I-rzędu. ZADANIE Nr 4 OBLICZANIE ph MIESZANINY DWÓCH KWASÓW (LUB ZASAD) ZADANIE Nr 5 LINIOWA REGRESJA WIELOKROTNA ZADANIE Nr 6 REGRESJA LINIOWA TRANSFORMACJE LINEARYZUJĄCE ZADANIE Nr 7 CAŁKOWANIE NUMERYCZNE METODA PROSTOKĄTÓW, TRAPEZÓW I SIMPSONA ZADANIE Nr 8 NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH. METODA EULERA, RUNGEGO KUTTY, MILNE A (PREDYKTOR-KOREKTOR) ZADANIE Nr 9 OPTYMALIZACJA SIMPLEKSOWA WPROWADZENIE

2 Wkowae a pracow ćwczea są ścśle zwązae z tematką prezetowaą a wkładach jedakże wmagają podstawowej wedz dotczącej posługwaa sę arkuszem kalkulacjm (Mcrosoft Offce Ecel). Krótke wprowadzee do arkusza przedstawoo pożej. Omówee podstawowch właścwośc arkusza kalkulacjego wraz z opsem przkładowch fukcj przedstawoo pożej. Arkusz kalkulacj (ag. spreadsheet) jest programem komputerowm stosowam do oblczeń tablcowch. W arkuszu kalkulacjm możlwe jest przedstawee wartośc lczbowch ch dach, w postac tabel składającch sę z wersz kolum. Kolum ozaczae są lteram, wersze - cfram. Na przecęcu każdej kolum wersza zajduje sę komórka, jedozacze określoa poprzez jej adres. Adres komórk składa sę z lter (lub lter) określającej kolumę lczb ozaczającej wersz, w którm sę zajduje (p. B). W każdej komórce wprowadzć moża trz rodzaje dach: etketę, lczbę lub formułę (wzór). Etketam azwa sę odpowede azw p. Dae, Suma, Ilocz tp., służące do detfkacj (opsu) oblczeń wkowacch w arkuszu. Lczba, to kombacja cfr od 0-9, atomast formuła to specfcza zależośc pomędz komórkam. Formuł stosowae są do oblczeń artmetczch, p. formuła =B*B3 moż zawartość komórk o adrese B przez wartość komórk o adrese B3. Zak = jest obowązkowm operatorem w przpadku wkowaa oblczeń artmetczch. W programe Mcrosoft Ecel do dspozcj są także formuł stadardowe, dostępe po wbrau kreatora formuł (koka f - wstaw fukcję) lub jeżel zaa jest azwa fukcj, po wpsau jej w komórce arkusza. Pożej przedstawoe są przkład fukcj stadardowch arkusza kalkulacjego, które wkożstać moża w rozwązwau poszczególch zadań a pracow. Z powodu różc pomędz azwam poszczególch fukcj w ajowszej wersj MS Ecel 00 wersjam poprzedm, przedstawoe został odpowede do wersj azw fukcj. Wbrae fukcje arkusza kalkulacjego, dotczące statstk opsowej: Starsze wersje MS Ecel MS Ecel 00 =suma(zakres_komórek) =perwastek(lczba) =średa(zakres_komórek) =medaa(zakres_komórek) =waracja(zakres_komórek) =odch.stadardowe(zakres_komórek) =rozkł.t.odw(prawdopodobeństwo;stope_swobod) =rozkł.ch.odw(prawdopodobeństwo;stope_swobod) =częstość(tablca_dae;tablca_przedzał) Fukcja CZĘSTOŚĆ jest przkładem fukcj tablcowej, którą wprowadza sę w ścśle zdefowa sposób. Po wbrau fukcj zazaczeu dach (tablca_dae) oraz przedzałów (tablca_przedzał), zazacza sę zakres komórek w którch pojawć sę mają odpowede wk (tak sam rozmar jak tablca_przedzał). Następe acska sę klawsz F z klawatur fukcjej kończ oblczea acskając kombację klawsz Ctrl+Shft+Eter. Fukcje ROZKŁ.T.ODW oraz ROZKŁ.CHI.ODW umożlwają oblczee wartośc t (z rozkładu t-sudeta) oraz X (z rozkładu ch kwadrat), ezbęde do waczea przedzału ufośc dla wartośc średej oraz odchlea stadardowego (lub waracj), odpowedo. Oblczea statstcze przeprowadzć moża stosując dodatek programu Ecel - Aalza dach. Po włączeu tej opcj (pasek arzędz Szbk dostępopcje programu EcelDodatkPrzejdź wborze opcj Aalss toolpack) w zakładce Dae dostęp jest przcsk Aalza dach. Wberając z dostępej lst arzędze Statstka opsowa, zazaczając odpowede dae (Zakres wejścow) opcje (Statstk podsumowujące Pozom ufośc dla średej) uzskuje sę podsumowae aalz w postac odpowedej tabel. Wbrae fukcje arkusza kalkulacjego, dotczące aalz regresj:

3 Starsze wersje MS Ecel MS Ecel 00 =achlee(zae_;zae_) =odcęta(zae_;zae_) =r.kwadrat(zae_;zae_) =regbłstd(zae_;zae_) =macerz.locz(tablca;tablca) =macerz.odw(tablca) Dwe ostate fukcje, podobe jak fukcja CZĘSTOŚĆ są fukcjam tablcowm wmagają wprowadzea ch w opsa powżej sposób. Pełą aalzę regresj uzskać moża po wborze z lst dostępch arzędz (Aalza dach), arzędza: Regresja. Po zazaczeu dach wejścowch (Zakres wejścow Y, Zakres wejscow X) oraz opcj (Pozom ufośc Składk resztowe) w tm samm, lub owm arkuszu (Opcje wjsca) geerowae jest podsumowae przeprowadzoch oblczeń. Arkusz kalkulacj umożlwa także grafcze przedstawee dach lczowch w postac wkresów. W celu wgeerowaa wkresu, po zazaczeu bloku dach, wkorztać moża kreator wkresów (w starszch wersjach programu) lub odpowede meu (WstawaeWkres ). Kolejm dodatkem programu Ecel, wkorzstwam a zajęcach jest Solver. Dodatek Solver wkorzstać moża w oblczeach w którch koecze jest zmeae wartośc w pewch komórkach (komórk zmeae) celem uzskaa wku, któr określo jest przez użtkowka w postac odpowedej formuł w komórce docelowej (komórka celu). Po wwołau dodatku Solver wśwetlae jest okeko, w którm ależ wprowadzć: komórkę celu (zawerającą formułę), która może przmować określoą, maksmalą lub mmalą wartość. Z komórką celu bezpośredo lub pośredo zwązae są komórk zmeae. Wartośc lczbowe w tch komórkach będą przez program zmeae do mometu ked formuła w komórce wskazaej w polu Komórka celu przjme określoą wartość. Dodatkowo mogą zostać wprowadzoe odpowede ograczea (Waruk ograczające) wpłwające a zmeae wartośc lczbowe. Przcsk Opcje umożlwa załadowae lub zapsae model, albo zmaę stadardowo ustawoch parametrów oblczeń. Przcsk Rozwąż uruchama oblczea. Polecaa lteratura: M. Plch, Ćwczea z Ecel dla chemków, Mkom, 00 K. Mądr, W. Ufalsk, Ecel dla chemków e tlko, W. N.-T., 000 E. Joseph Bllo, Ecel for Chemsts: A Comprehesve Gude. Joh Wle & Sos, Ic., 00 R. de Leve, How to use Ecel aaltcal chemstr ad geeral scetfc data aalss, Cambrdge Uverst Press, 004 Z. Smogur, Ecel w zastosowaach żerjch, Wdawctwo Helo, 008 3

4 ZADANIE Nr STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW DOŚWIADCZALNYCH. Wartość średa, odchlee stadardowe, mar dspersj. ZAD.: Przeprowadzoo badaa zawartośc wod w próbkach awozu sztuczego. Próbk o mase 0 g poberao zgode z zasadam opsam w PN/C Wk ozaczeń zawartośc wod są astępujące: r pr masa r pr masa r pr. 3 4 masa Wkoać oblczea z wkorzstaem podach żej wzorów porówać wk z wartoścam oblczom prz pomoc stadardowch fukcj arkusza kalkulacjego. Jeżel wstąpą różce zameścć kometarz wjaśając. Szczegółowa strukcja dotcząca zakresu oblczeń prezetacj wków przedstawoa jest żej (p. UWAGI...) w puktach od -8. I. OBLICZENIA STATYSTYCZNE Korzstając z arkusza kalkulacjego (EXCEL) oblczć: (a) Średą artmetczą zawartośc wod w próbkach : () (b) Wartość środkową (medaę) zawartośc wod w próbkach : ( )/ / ( /) dla eparzstch wartośc dla parzstch wartośc () (c) Warację ozaczeń zawartośc wod w próbkach : s (3) ( ) gdze - ozacza lczbę stop swobod (r), tj. lczbę ezależch obserwacj, które mogą bć wkorzstae w oblczeach. (d) Odchlee stadardowe zawartośc wod w próbkach : s s (4) (e) Współczk zmeośc (względe odchlee stadardowe): 4

5 v s 00 (5) (f) Nepewość stadardową (odchlee stadardowe średej) s u( )= s (6) (g) Nepewość rozszerzoą: s U = k u( )= k s k k - współczk rozszerzea (k = lub 3) (7) (h) Przedzał ufośc dla średej: s p.u.= t, s t, t parametr z rozkładu t-studeta (fukcja ROZKŁAD.T.ODW.DS). (8) II. OCENA WARIANCJI I ODCHYLENIA STANDARDOWEGO Na podstawe przeprowadzoch oblczeń wzaczć przedzał ufośc dla waracj samm dla odchlea stadardowego) zawerając "prawdzwą" wartość s (tm prawdopodobeństwem 95%. W oblczeach przjąć, że próba pochodz ze zborowośc o rozkładze ormalm a zmea losowa: z rs (9) charakterzuje sę rozkładem ormalm o r stopach swobod, tj. r s P χ r s σ r, / χr, / (0) UWAGA: w oblczeach przjąć współczk ufośc - =0.95, (pozom stotośc =0.05) atomast wartośc odszukać w odpowedch tablcach statstczch (p. Metod statstcze dla chemków, J.B. Czermńsk, A. Iwasewcz, Z. Paszek, A. Skorsk). UWAGI DOTYCZĄCE WYKONANIA I ZALICZENIA ZADANIA:. Założć ow arkusz kalkulacj zapsać go a dsku secowm w katalogu S:\PfAABB\ZADANIA\ZADANIE0\Zad0.ls, w którm AA ozacza umer grup, BB - umer użtkowka.. Sporządzć tablcę z dam do oblczeń wraz z dowole zaplaowam ramkam. 5

6 3. Wkoać oblczea z wkorzstaem podach w opse wzorów porówać wk z wartoścam oblczom prz pomoc stadardowch fukcj arkusza kalkulacjego oraz z aalz dach (statstka opsowa). Jeżel wstąpą różce zameścć kometarz wjaśając. 4. Uporządkować wk pomarów wg rosącej zawartośc wod w próbkach oraz wzaczć lczość ozaczeń w zakresach (fukcja CZĘSTOŚĆ): Oblczć względą lczość ozaczeń w poszczególch przedzałach tj. l gdze - lczba ozaczeń w dam przedzale - całkowta lczba ozaczeń oraz wkoać hstogram zawartośc wod w próbkach ozaczając kolejo przedzał jako: I, II, III, IV, V, VI, VII. 6. Wkoać krzwą rozkładu w zawartośc wod w próbkach wkreślając l w fukcj przedzał, gdze przedzał odpowada średej wartośc w podach wżej przedzałach, tj. 0.07, 0.09, 0. td. Cz wkres krzwej odpowada rozkładow ormalemu? 7. Metodą rekurecją oblczć średą odchlee stadardowe. 8. Wk średej podać zgode z wlczoą ) epewoścą stadardową, ) epewoścą rozszerzoą (k=), oraz ) przedzałem ufośc dla średej. 9. Przgotować arkusz do wdruku stosując marges: lew 3 cm gór cm. Iformacje dotczące wkoawc pow bć zameszczoe w stopce lub agłówku (do wboru). UZUPEŁNIENIE I METODA REKURENCYJNA Średą oraz odchlee stadardowe oblczć moża wkorzstując metodę rekurecją. W metodze tej jako perwsza próba wartość średa (m ) przjmowaa jest perwsza zmerzoa wartość, tj.: a perwsza suma kwadratów odchleń (q ) jest rówa zero: m = () q =0 () Koleje wartośc średej (m ) sum kwadratów odchleń (q ) oblczć moża z astępującch wzorów: 6

7 m q ( ) m (3) ( )( m ) q (4) Po wkoau oblczeń dla wszstkch wartośc ( =,,..), końcowa wartość m staow średą ozaczaą jako m a odchlee stadardowe oblczć moża ze wzoru: s w którm q ozacza ostatą, oblczoą wartość sum kwadratów odchleń (q ). q (5) 7

8 ZADANIE Nr STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW DOŚWIADCZALNYCH. Zależość wartośc średej oraz mar dspersj od lczośc próbek. ZAD.: Przeprowadzoo badaa zawartośc wod w próbkach awozu sztuczego. Próbk o mase 0 g poberao zgode z zasadam opsam w PN/C Wk ozaczeń zawartośc wod są astępujące: r pr masa r pr masa r pr. 3 4 masa Stwerdzoo, że w 4 godzm cklu produkcjm uzskuje sę zawsze wk ozaczeń aalogcze do zameszczoch w powższej tabel. Celem obżea kosztów badań laboratorjch postaowoo ograczć lczbę aalz zaczęto poberać próbk co godz, astępe co 3 godz, co 4 godz, co 6 godz oraz co 8 godz. Celem zadaa jest zbadae zależośc średej zawartośc wod oraz ch welkośc statstczch od częstotlwośc poberaa próbek do aalz. Wkoać oblczea żej wmeoch welkośc (dla każdej z 6 ser) wkorzstując fukcje stadardowe arkusza kalkulacjego. Szczegółowa strukcja dotcząca wkoaa oblczeń prezetacj wków przedstawoa jest żej (patrz Uwag) w pkt. od do 7. I. OBLICZENIA STATYSTYCZNE Korzstając z arkusza kalkulacjego (EXCEL) oblczć: (a) Średą artmetczą zawartośc wod w próbkach : () (b) Wartość środkową (medaę) zawartośc wod w próbkach : ( )/ / ( /) dla eparzstch wartośc dla parzstch wartośc () (c) Warację ozaczeń zawartośc wod w próbkach : s (3) ( ) gdze - ozacza lczbę stop swobod (r), tj. lczbę ezależch obserwacj, które mogą bć wkorzstae w oblczeach. 8

9 (d) Odchlee stadardowe zawartośc wod w próbkach : s s (4) (e) Współczk zmeośc (względe odchlee stadardowe): v s 00 (5) II. OCENA WARIANCJI I ODCHYLENIA STANDARDOWEGO Na podstawe przeprowadzoch oblczeń wzaczć przedzał ufośc dla waracj samm dla odchlea stadardowego) zawerając "prawdzwą" wartość s (tm prawdopodobeństwem 95%. W oblczeach przjąć, że próba pochodz ze zborowośc o rozkładze ormalm a zmea losowa: z rs (6) charakterzuje sę rozkładem ormalm χ o r stopach swobod, tj. r s r s P σ χ r, α/ χ r, α/ (7) UWAGA: w oblczeach przjąć współczk ufośc - =0.95, (pozom stotośc =0.05) atomast wartośc odszukać w odpowedch tablcach statstczch (p. Metod statstcze dla chemków, J.B. Czermńsk, A. Iwasewcz, Z. Paszek, A. Skorsk). UWAGI DOTYCZĄCE WYKONANIA I ZALICZENIA ZADANIA:. Założć ow arkusz kalkulacj zapsać go a dsku secowm w katalogu S:\PfAABB\ZADANIA\ZADANIE0\Zad0.ls, w którm AA ozacza umer grup, BB - umer użtkowka.. Sporządzć tablcę zawerającą wk ozaczeń zawartośc wod w próbkach odpowadającch każdej z 6 ser. 3. Wkoać oblczea, a ch wk umeścć w oddzelej tablc. 4. Zwrócć uwagę a starae zaplaowae tablc, opsów ramek. 5. Wk oblczeń przedstawć grafcze w postac krzwch: s f f f v f Zwrócć uwagę a stara ops krzwch poprzez zameszczee odpowedch kometarz a rsuku. 6. Przgotować arkusz do wdruku stosując marges: lew 3 cm gór cm. 7. Iformacje dotczące wkoawc pow bć zameszczoe w stopce lub agłówku (do wboru). 9

10 ZADANIE Nr 3 STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW DOŚWIADCZALNYCH 3a. Zastosowae regresj lowej krzwa kalbracja. ZAD.: Przeprowadzoo pomar absorbacj dla ser wzorców. Wk ozaczeń są astępujące: KALIBRACJA Stężee [mol/dm 3 ] Absorbacja W celu wkoaa zadaa, korzstając z arkusza kalkulacjego ależ:. Oblczć współczk w rówau regresj,. Oblczć welkośc statstcze pozwalające oceć współczk regresj ( S ufośc dla współczków a pozome stotośc = 0.05, 3. Zwerfkować stotość poszczególch współczków, 4. Wzaczć owe rówae bez współczków regresj estotch statstcze. a S a 0 ) oraz przedzał I. OBLICZENIA WSPÓŁCZYNNIKÓW REGRESJI Korzstając z rówaa regresj lowej w postac: Y = a 0 + a X () oblczć współczk regresj metodą ajmejszch kwadratów. Oblczea wkoać korzstając z podprogramu regresj lowej arkusza kalkulacjego oraz ezależe z wkorzstaem żej podach wzorów. a () a0 gdze oraz staową średe artmetcze oraz : a (3) (4) 0

11 Dla oce błędu ależ oblczć: II. OCENA MODELU LINIOWEGO (a) warację resztową (resdual varace): S ( ) a ( ) (5) gdze - ozacza lczbę stop swobod, tj. lczbę ezależch obserwacj, które mogą bć wkorzstae w oblczeach. (b) średe odchlee od l regresj (mea devato from the regresso) S S (6) (c) współczk korelacj lowej: ( )( ) r (7) / ( ) ( ) (d) współczk determacj (squared correlato coeffcet) wsp.det. = r (8) III. ODCHYLENIA STANDARDOWE ORAZ PRZEDZIAŁY UFNOŚCI WSPÓŁCZYNNIKA REGRESJI. Wk oblczeń współczka a ależ podać zgode z odchleem stadardowm przedzałem ufośc a pozome stotośc = Odchlee stadardowe współczka regresj a oblczć korzstając ze wzoru (9): S a S ( ) (9) Celem oblczea przedzału ufośc (cofdece lmt) przjmujem, że błąd: B A (0) ma rozkład ormal (A B ozaczają współczk regresj w zborowośc geeralej). W takm przpadku zmea t : a t a a A S () charakterzuje sę rozkładem Studeta prz - stopach swobod. Ozacza to, że przedzał ufośc dla a prz założom współczku ufośc = - jest astępując: a

12 P a t S A K a t S ) () (, a, a Zgode z powższm oblczć przedzał ufośc współczka a dla = 0.05 wrażo wzorem: p.u. = t,- S (3) gdze, t,- ozacza tabelarczą wartość rozkładu Studeta (p. Metod statstcze dla chemków, J.B. Czermńsk, A. Iwasewcz, Z. Paszek, A. Skorsk). Zaps a p.u. ozacza, że stała a leż w podam przedzale z prawdopodobeństwem rówm 00 (-), to jest prz = 0.05 woszącm 95%. Odchlee stadardowe współczka regresj a 0 oblczć korzstając ze wzoru (6): a S a0 S ( ) (4) Przedzał ufośc wrazu wolego dla = 0.05 oblczć moża ze wzoru: p.u. = t,- S (5) UWAGI DOTYCZĄCE WYKONANIA I ZALICZENIA ZADANIA:. Założć ow arkusz kalkulacj zapsać go a dsku twardm w katalogu S:\PfAABB\ZADANIA\ZADANIE03\Zad03a.ls, w którm AA ozacza umer grup, BB - umer użtkowka. Sporządzć tablcę z dam do oblczeń wraz z dowole zaplaowam ramkam. 3. Wkoać oblczea statstcze z wkorzstaem podach w opse wzorów porówać wk z wartoścam oblczom z wkorzstaem stadardowej procedur arkusza kalkulacjego (dotcz r, a 0 a ) oraz aalz dach (regresja). Jeżel wstąpą różce zameścć kometarz wjaśając. Zastosować dodatek Solver do wzaczea a 0 a. Sprawdzć stotość statstczą poszczególch współczków. W wdzeloej tablc przedstawć wk oblczeń stałej a zgode z przedzałem ufośc oraz zameścć wosek wkając z welkośc współczka korelacj współczka determacj oraz przedzałów ufośc dla współczków a 0 a. 4. Wkoać wkres lustrując zależość absorbacj od stężea w postac puktów oraz l tredu wlczoej z ostateczego rówaa. 5. Oblczć stężee dla absorbacj woszącej.. Wk podać z odpowedm odchleem stadardowm. 6. Przgotować arkusz do wdruku stosując marges: lew cm gór cm. 7. Iformacje dotczące wkoawc zameścć w stopce, formacje dotczące zadaa (ttuł, data) w agłówku. a 0

13 ZADANIE Nr 3 STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW DOŚWIADCZALNYCH 3b. Zastosowae regresj lowej do oblczaa stałej szbkośc reakcj I-rzędu. ZAD.: Przeprowadzoo reakcje hdrolz estru w obecośc kwasu solego jako katalzatora. W czase reakcj poberao próbk mesza reakcjej ozaczao stężee powstającego kwasu karbokslowego [C] t Wk ozaczeń są astępujące: REAKCJA czas (m) [C] A,t (mol/dm 3 ) W celu wkoaa zadaa, korzstając z arkusza kalkulacjego ależ: 5. Oblczć stałe szbkośc reakcj hdrolz jako reakcj I-rzędu, 6. Zwerfkować założee o I-rzędowm przebegu reakcj a podstawe aalz korelacj lowej, 7. Oblczć welkośc statstcze pozwalające oceć współczk regresj ( S S ) oraz przedzał ufośc dla stałej k a a pozome stotośc = 0.05 I. OBLICZENIA WSPÓŁCZYNNIKÓW REGRESJI Całkowa postać rówa ketczego reakcj I-rzędu wraża sę wzorem: [ C] t [ C] t l kt () [ C] [ C] t gdze k - stała ketcza reakcj (s - ), t - czas reakcj w s ([C] t = 0.5) Korzstając z rówaa regresj lowej w postac: Y = a 0 + a X () gdze Y l f([c] R,t ) X t a k (3) oblczć współczk regresj (a tm samm k) metodą ajmejszch kwadratów. Oblczea wkoać korzstając z podprogramu regresj lowej arkusza kalkulacjego oraz ezależe z wkorzstaem żej podach wzorów. a t 0 (4) a a (5) 0 gdze oraz staową średe artmetcze oraz : a a 0 3

14 (6) II. OCENA MODELU LINIOWEGO Dla oce błędu popełaego prz próbe opsu zjawska hdrolz estru za pośredctwem lowego modelu reakcj I-rzędu ależ oblczć: (a) warację resztową (resdual varace): s ( ) a ( ) (7) gdze - ozacza lczbę stop swobod, tj. lczbę ezależch obserwacj, które mogą bć wkorzstae w oblczeach. (b) średe odchlee od l regresj (mea devato from the regresso) s s (8) (c) współczk korelacj lowej: r ( )( ) ( ) ( ) / (9) (d) współczk determacj (squared correlato coeffcet) wsp.det. = r (0) III. ODCHYLENIA STANDARDOWE ORAZ PRZEDZIAŁY UFNOŚCI WSPÓŁCZYNNIKA REGRESJI. Wk oblczeń stałej ketczej k ależ podać zgode z odchleem stadardowm przedzałem ufośc a pozome stotośc = Odchlee stadardowe współczka regresj a (rówoważego ze stałą szbkośc reakcj k) oblczć korzstając ze wzoru (): s s a ( ) () Celem oblczea przedzału ufośc (cofdece lmt) przjmujem, że błąd: B A () ma rozkład ormal (A B ozaczają współczk regresj w zborowośc geeralej). W takm przpadku zmea t : a 4

15 t a a A s (3) a charakterzuje sę rozkładem Studeta prz - stopach swobod. Ozacza to, że przedzał ufośc dla k prz założom współczku ufośc = - jest astępując: P( a t s A k a t s ) (4), a, a Zgode z powższm oblczć przedzał ufośc k dla = 0.05 wrażo wzorem: p.u. = t,- s (5) gdze, t,- ozacza tabelarczą wartość rozkładu Studeta (p. Metod statstcze dla chemków, J.B. Czermńsk, A. Iwasewcz, Z. Paszek, A. Skorsk). Zaps k p.u. ozacza, że stała k leż w podam przedzale z prawdopodobeństwem rówm 00 (-), to jest prz = 0.05 woszącm 95%. Odchlee stadardowe współczka regresj a 0 oblczć korzstając ze wzoru (6): a s s a0 ( ) (6) Przedzał ufośc wrazu wolego dla = 0.05 oblczć moża ze wzoru: p.u. = t,- s a (7) 0 UWAGI DOTYCZĄCE WYKONANIA I ZALICZENIA ZADANIA: 8. Założć ow arkusz kalkulacj zapsać go a dsku twardm w katalogu S:\PfAABB\ZADANIA\ZADANIE03\Zad03b.ls, w którm AA ozacza umer grup, BB - umer użtkowka. 9. Sporządzć tablcę z dam do oblczeń wraz z dowole zaplaowam ramkam. 0. Wkoać oblczea statstcze z wkorzstaem podach w opse wzorów porówać wk z wartoścam oblczom z wkorzstaem stadardowej procedur arkusza kalkulacjego (dotcz r, a 0 a ) oraz aalz dach (regresja). Jeżel wstąpą różce zameścć kometarz wjaśając. W wdzeloej tablc przedstawć wk oblczeń stałej k zgode z przedzałem ufośc oraz zameścć wosek wkając z welkośc współczka korelacj współczka determacj.. Wkoać wkres lustrując zależość ekspermetale zmerzoch stężeń od czasu, tj.[c] t =(t) w postac puktów oraz l tredu wlczoej z rówaa (8) (przekształcoe rówae ()): a0 w którm [ C] t e oraz k = a. kt [ C] [ C] [ C] e (8) t t t. Wkoać wkres fukcj logartmczej 5

16 Y l [ C] [ C] f ( t) t t (9) oblczoej a podstawe dach dośwadczalch. Zależość Yˆ f () t oblczoą a podstawe aalz regresj lowej przedstawć a tm samm rsuku w postac l cągłej bez uwdaczaa oszacowach wartośc Y, w postac puktów. 3. Przgotować arkusz do wdruku stosując marges: lew cm gór cm. 4. Iformacje dotczące wkoawc zameścć w stopce, formacje dotczące zadaa (ttuł, data) w agłówku. 6

17 ZADANIE Nr 4 OBLICZANIE ph MIESZANINY DWÓCH KWASÓW (LUB ZASAD) ZAD.: Przgotowao meszaę dwóch kwasów HM HP o całkowtm stężeu [C] = [HM] + [HP]. Ułamek molow kwasu HM w kolejch meszaach wosł: X =0.9 X =0.8 X 3 =0.7 X 4 =0.6 X 5 =0.5 X 6 =0.4 X 7 =0.3 X 8 =0. X 9 =0. pk kwasów - (tab. ) oraz [C] - podaje prowadząc ćwczea W celu wkoaa zadaa ależ wprowadzć weloma wążąc całkowte stężee joów wodorowch [H] ze stałm dsocjacj kwasów, ch ułamkem molowm (X) oraz całkowtm stężeem [C]. Korzstając z opcj "SOLVER" arkusza kalkulacjego oblczć [H] spełające wprowadzoe rówae w dla poszczególch wartośc X HM. Następe korzstając z oszacowach wartośc [H] oblczć: ph= log[h] () [M]=K HM[C]X/([H]+K HM) () [P]=K HP [C](-X)/([H]+K HP ) (3). stężee ezdsocjowaego kwasu HM HP [HM]=[C]X-[M] (4) [HP]=[C](-X)-[P] (5) 3. stopeń dsocjacj kwasu HM =[M]/[C]X HP =[P]/([C](-X)) (6) UWAGI DOTYCZĄCER WYKONANIA I ZALICZENIA ZADANIA:. Założć ow arkusz kalkulacj zapsać go a dsku twardm w katalogu S:\PfAABB\ZADANIA\ZADANIE04\Zad04.ls, w którm AA ozacza umer grup, BB - umer użtkowka.. Sporządzć wzorcow blok oblczeow dla X=0. 3. Wkoać oblczea stosując koleje korekcje wku celem uzskaa maksmalej zgodośc pomędz lewą a prawą stroą rówaa (fukcj [H]). 4. Wkoać oblczea dla pozostałch wartośc X po uprzedm skopowau zmodfkowau bloku wzorcowego. 5. Wkoać wkres przebegu zależośc: ph=f(x) [M]=f(X) [P]=f(X) HM =f(x) HP =f(x) 6. Dla X=0. wzaczć mejsce zerowe: a) metodą połowea odcka (bsekcj) w przedzale [H] =0 [H] =, b) metodą seczch (reguła fals) w przedzale [H] = - [H] =, c) metodą stczch (Newtoa-Raphsoa) w przedzale [H] =0 [H] =. 7. Przgotować arkusz do wdruku stosując marges: lew 3 cm gór cm. 8. Iformacje dotczące wkoawc pow bć zameszczoe w stopce lub agłówku (do wboru). UZUPEŁNIENIE I Wprowadzee rówaa HP H P () HM H M () [H][M] K HM (3) [HM] 7

18 [H][P] K HP [HP] (4) [HM] = [C]X [M] (5) [HP] = [C]( X) [P] (6) KHM([C]X [M]) [ H] [M] (7) [H] = [M] + [P] (8) [M] = [H] [P] (9) KHM([C]X [H] [P]) [ H] [H] [P] (0) [H] [H][P] = K HM [C]X K HM [H] + K HM [P] () K HM [P] +[H][P] = [H] + K HM [H] K HM [C]X () KHP([C]( X) [P]) [ H] [P] (3) [H] KHM[H] KHM[C]X [P] (4) K [H] HM [H] KHM[H] K [C]X HM KHP [C]( X) KHM [H] [H] (5) [H] KHM[H] KHM[C]X K [H] HM KHP{[C]( X)(KHM [H]) [H] KHM[H] KHM[C]X} [H] [H] KHM[H] KHM[C]X (6) [H] 3 + (K HM + K HP )[H] + {K HP K HM K HM [C]X K HP [C](-X)}[H] = K HM K HP [C] (7) WZÓR DO OBLICZEŃ: 3 a[h] b[h] c[h] gdze a K HP K HM [C] K b K HM KHP K [C] HM HP c [C] X K X HP K HM TAB. UZUPEŁNIENIE II Wartośc stałch dsocjacj kwasów do oblczeń: KWAS pk K mrówkow mlekow octow propoow

19 UZUPEŁNIENIE III Metoda połowea odcka (bsekcj) W oblczeach zgode z tą metodą przjmuje sę dwe wartośc argumetu ( ) dla którch fukcja f() zmea zak. W takm przpadku, że jeśl f( ) f( )<0, to w przedzale <, > steje co ajmej jede tak pukt, w którm f()=0. W perwszm kroku oblczeń wzacza sę wartość f( 3 ) w środku przedzału: 3 = ½ ( + ) Jeśl f( 3 ) > 0, to rozwązae zajduje sę pomędz 3 : 4 = ½ ( + 3 ) Oblczea są kotuowae do mometu uzskaa wstarczająco dobrego oszacowaa mejsca zerowego. W praktce, oblczea teracje kończ sę po spełeu któregoś z astępującch waruków: ε któr ozacza, że różca pomędz kolejm przblżeam jest wstarczająco mała, lub: f( ) ε czl wartość fukcj w wzaczom pukce jest blska 0. W rówach tch, ozacza założoą dokładość oblczeń (krterum podawae przez użtkowka). Te same rówaa wkorzstwae są w metodze seczch metodze stczch. Metoda seczch (reguła fals) W metodze tej, azwaej róweż metodą fałszwego założea lowośc fukcj, przez pukt, dla którch fukcja f() zmea zak, prowadz sę cęcwę o astępującm rówau: f ( ) f ( ) f ( ) ( ) Za perwsze przblżee szukaego mejsca zerowego przjmuje sę odcętą 3 puktu, w którm wzaczoa cęcwa przeca oś OX. f ( ) 3 f ( ) f ( ) td. Ogól wzór rekurecj zapsać moża w astępującej postac: f ( ) ( k) ( k) ( k) ( k) f ( ) f ( ) ( k) k k Gdze k =,,... 9

20 Metoda stczch (Newtoa-Raphsoa) W metodze tej wmagaa jest zajomość fukcj f() oraz jej pochodej f (). Nachlee stczej do wkresu w pukce wlczć moża ze wzoru: f( ) f( ) 3 Zatem perwsze przblżee szukaego mejsca zerowego ( 3 ) wlczć moża z rówaa: f( ) f ( ) 3 Ogól wzór rekurecj przedstawa sę astępująco: f( ) f( ) 0

21 ZADANIE Nr 5 LINIOWA REGRESJA WIELOKROTNA postać: Ogóle rówae lowej regresj welokrotej dla p zmech ezależch przjmuje a a a... a 0 p p () Współczk zależośc lowej w prost sposób wzaczć moża metodą ajmejszch kwadratów, z której uzskuje sę astępującą zależość a wektor współczków regresj (a): w którm ozacza macerz wartośc, macerz wartośc : a = ( T ) - T () () () p() () () p(), ( ) ( ) p( ) () () (3) ( ) T traspozcję macerz, a ( T ) - odwrotość loczu macerz. Kolejm etapem aalz regresj jest ocea jakośc dopasowaa modelu. Odpowede sum kwadratów odchleń wkające z fukcj regresj (Q ), błędów dośwadczalch (Q 3 ) oraz ze zmeośc całkowtej (Q ) oblczć moża z astępującch wzorów: Q = ( ˆ ) = a T T - (4) Q 3 = ( ˆ ) = T - a T T (5) Q = ( ) = T - w którch ozacza lczbę obserwacj, - średą wartość zmeej zależej. Współczk determacj (r ) wzaczć moża z zależośc: (6) r = Q / Q (7) W chem aaltczej modele lowe są szeroko stosowae w kalbracj. Jedocześe stosukowo rzadko zdarza sę stuacja, w której zmea objaśaa zależ tlko od jedej zmeej objaśającej. W przpadku atomowej spektrometr absorpcjej (ASA) a wartość sgału aaltczego, merzoego prz użcu roztworu o ustalom stężeu ozaczaego perwastka, ma wpłw wele czków. Czk te mogą meć charakter spektral (częstotlwość emtowaego lub absorbowaego promeowaa, prawdopodobeństwo przejśca eergetczego atomów, wag statstcze staów eergetczch, e), jak zwąza z procesem trasportu roztworu do płomea (określom przez tzw. wdajość ebulzacj), warukam stejącm w płomeu (skład, kształt temperatura płomea) reakcjam w m zachodzącm (p. jozacja atomów ozaczaego perwastka, dsocjacja cząsteczek jego sol, tworzee sę zwązków chemczch z cząstkam gazów płomea). Obecość w roztworze badam ch substacj (obok ozaczaego

22 katou metalu) może bć źródłem zakłóceń spektralch (polegającch główe a kocdecj l wdmowch tch składków) lub zma własośc fzczch roztworu (lepkośc, apęca powerzchowego) w kosekwecj, zma wdajośc ebulzacj. Składk towarzszące ozaczaemu perwastkow mogą w róż sposób wpłwać a sgał aaltcz. Korzstając ze zmodfkowach dach zameszczoch pożej (P.C. Jurs, Computer Software Applcatos Chemstr, J. Wle, New York 996) wzaczć współczk zależośc lowej pomędz sgałem aaltczm R (zmeą zależą) a stężeam c, c, c 3 składków towarzszącch (zmem ezależm). c [mol dm -3 ] c [mol dm -3 ] c 3 [mol dm -3 ] R UWAGI DOTYCZĄCE WYKONANIA I ZALICZENIA ZADANIA: 5. Założć ow arkusz kalkulacj zapsać go a dsku twardm w katalogu S:\PfAABB\ZADANIA\ZADANIE0\ZADANIE0.ls, w którm AA ozacza umer grup, BB - umer użtkowka. 6. Sporządzć tablcę z dam do oblczeń wraz z dowole zaplaowam ramkam. 7. Oblczea: a) Oblczć współczk rówaa oraz korelacj lowej dla poszczególch par zmech z osoba (dowolą metodą). R=a 0() +a () c R=a 0() +a () c R=a 0(3) +a (3) c 3 b) Oblczć współczk rówaa oraz korelacj lowej dla astępującch zależośc (dowolą metodą): R=a 0() +a () c +a () c R=a 0(3) +a (3) c +a (3) c 3 R=a 0(3) +a (3) c +a (3) c 3 c) Wkoać oblczea statstcze z wkorzstaem podach w opse wzorów (()-(7)). Porówać wk z wartoścam oblczom z wkorzstaem stadardowej procedur arkusza kalkulacjego (Q, Q, Q 3, r ) oraz dodatku SOLVER (współczk regresj). Jeżel wstąpą różce zameścć kometarz wjaśając.

23 W osobej tabel przedstawć wk oblczeń (współczk modelu) z odpowedm przedzałam ufośc. 8. Przgotować arkusz do wdruku stosując marges: lew cm gór cm. 9. Iformacje dotczące wkoawc zameścć w stopce, formacje dotczące zadaa (ttuł, data) w agłówku. 3

24 ZADANIE Nr 6 REGRESJA LINIOWA TRANSFORMACJE LINEARYZUJĄCE Rówaa stosowae do opsu dach dośwadczalch w chem często mają charakter elow. Jedocześe w welu przpadkach elow model, poprzez proste przekształcee (podstawee zmech), moża sprowadzć do zależośc lowej. Tpowe fukcje elowe oraz odpowede podstawea learzujące przedstawoo pożej: Rówae elowe b a Podstawee learzujące Y = X = / a b Y = / X = Y = log() a b X = b Y = log() a X = log() Y = l() a e X = Y = a b X = a b Y = / lub Y = / X = X = / ZAD. a) Zgode z rówaem Arrheusa-Guzmaa, zależość lepkośc cecz od temperatur przjmuje postać: E RT A e () w którm E jest eergą aktwacj przepłwu lepkego [Jmol - ], T temperaturą [K], R - stałą gazową [JK - mol - ]. Na podstawe uzskach wków dośwadczalch (Tab..) [J. Demchowcz-Pgoowa, Oblczea fzkochemcze, PWN, Warszawa, 984] wzaczć wartośc stałch A E. Tab.. Zmerzoe wartośc lepkośc cecz w fukcj temperatur T [K] 0 3 [N s m - ] wkoać wkres (Rs..) przedstawając zależość ekspermetale zmerzoch wartośc lepkośc w fukcj temperatur ( = f(t)), przedstawć a wkrese (Rs..) uzskaą z przekształcea zależość lową z odpowedą lą tredu, rówaem zależośc oraz wartoścą r, 4

25 współczk w rówau lowm wzaczć z odpowedch wzorów, aalz dach jak róweż z zastosowaem dodatku SOLVER, w osobej tabel (Tab..) przedstawć wk oblczeń (współczk modelu), przedzał ufośc oraz odpowed wmar wzaczoch współczków. ZAD. b) Rówae Arrheusa opsuje zależość szbkośc reakcj od temperatur: E a RT k A e () w którm k ozacza stałą szbkośc reakcj [s - ], E a eergę aktwacj [Jmol - ], R stałą gazową [JK - mol - ], T temperaturę [K]. Na podstawe wków dośwadczalch (Tab.3.) [J. Demchowcz-Pgoowa, Oblczea fzkochemcze, PWN, Warszawa, 984] oblcz eergę aktwacj oraz wartość czka częstośc A. Tab.3. Zmerzoe wartośc stałej szbkośc reakcj w fukcj temperatur T [K] k [s - ] wkoać wkres (Rs..) przedstawając zależość ekspermetale zmerzoch wartośc stałej szbkośc reakcj w fukcj temperatur (k = f(t)), przedstawć a wkrese (Rs..) uzskaą z przekształcea zależość lową z odpowedą lą tredu, rówaem zależośc oraz wartoścą r, współczk w rówau lowm wzaczć z odpowedch wzorów, aalz dach jak róweż z zastosowaem dodatku SOLVER, w osobej tabel (Tab.4.) przedstawć wk oblczeń (współczk modelu) z odpowedm przedzałam ufośc oraz odpowed wmar wzaczoch współczków. ZAD. c) Izotermę adsorpcj kwasu karbokslowego a węglu aktwm opsać moża rówaam: k c (3) m abc (4) m bc w którch /m ozacza masę kwasu zaadsorbowaego a jedostkę mas adsorbeta [g/g], c rówowagowe stężee kwasu [mol dm -3 ], k,, a, b stałe rówaa zoterm. Na podstawe wków dośwadczalch (Tab.5.) wzacz odpowede stałe z rówaa (3) (4). Tab.5. Zmerzoe wartośc mas kwasu zaadsorbowaego a jedostkę mas adsorbeta w fukcj stężea /m [g/g] c [mol dm -3 ]

26 wkoać wkres (Rs..) przedstawając zależość ekspermetale zmerzoch wartośc mas kwasu zaadsorbowaego a jedostkę mas adsorbeta w fukcj rówowagowego stężea kwasu (/m = f(c)), przedstawć a wkrese (Rs..) uzskaą z przekształcea zależość lową z odpowedą lą tredu, rówaem zależośc oraz wartoścą r, współczk w rówaach lowch wzaczć z odpowedch wzorów, aalz dach jak róweż z zastosowaem dodatku SOLVER, w osobej tabel (Tab.6.) przedstawć wk oblczeń (współczk modelu) z odpowedm przedzałam ufośc oraz odpowed wmar wzaczoch współczków. ZAD. d) Szbkość reakcj ezmatczej opsać moża rówaem Mchaelsa-Mete: r r [ S [ S] ma (5) ] K MM w którm K MM jest stałą Mchaelsa-Mete [moldm -3 ], [S] - stężeem substratu [moldm -3 ], r ma maksmalą szbkoścą reakcj [moldm -3 s - ]. Na podstawe dach dośwadczalch (Tab.7.) [J. Demchowcz-Pgoowa, Oblczea fzkochemcze, PWN, Warszawa, 984] wzacz wartośc K MM r ma Tab.7. Zmerzoe wartośc szbkośc reakcj w fukcj stężea [S] [S] [moldm -3 ] r0 3 [moldm -3 s - ] wkoać wkres (Rs..) przedstawając zależość ekspermetale zmerzoch wartośc szbkośc reakcj w fukcj stężea (r = f([s])), przedstawć a wkrese (Rs..) uzskaą z przekształcea zależość lową z odpowedą lą tredu, rówaem zależośc oraz wartoścą r, współczk w rówau lowm wzaczć z odpowedch wzorów, aalz dach jak róweż z zastosowaem dodatku SOLVER, w osobej tabel (Tab.8.) przedstawć wk oblczeń (współczk modelu) z odpowedm przedzałam ufośc oraz odpowed wmar wzaczoch współczków. UWAGI DOTYCZĄCE WYKONANIA I ZALICZENIA ZADANIA: 0. Założć ow arkusz kalkulacj zapsać go a dsku twardm w katalogu S:\PfAABB\ZADANIA\ZADANIE\ZADANIE.ls, w którm AA ozacza umer grup, BB - umer użtkowka.. Sporządzć tablcę z dam do oblczeń wraz z dowole zaplaowam ramkam.. Przgotować arkusz do wdruku stosując marges: lew 3 cm gór cm. 3. Iformacje dotczące wkoawc zameścć w stopce, formacje dotczące zadaa (ttuł, data) w agłówku. 6

27 ZADANIE Nr 7 CAŁKOWANIE NUMERYCZNE METODA PROSTOKĄTÓW, TRAPEZÓW I SIMPSONA I. WPROWADZENIE b W celu oblczea całk ozaczoej f ( ) d metodam umerczm, dzel sę przedzał a b a całkowaa [a, b] a rówch częśc. Dla wzaczoch puktów podzału,,, - oblcza sę astępe wartość fukcj podcałkowej = f() ( 0 = f(a), = f( ),, - = f( - ), = f(b)). W końcowch oblczeach wkorzstuje sę astępujące wzor:. Metoda prostokątów b a f ) ( ) d ( 0. Metoda trapezów 3. Metoda Smpsoa (dla parzstej lczb ) b a b 0 f ( ) d a f ( ) d 0 4( 3 ) ( 4 ) 3 II. OBLICZENIA. Oblczć wartość całek ozaczoch: 7 tdt a) B = t 3.6 b) V = dc c metodam prostokątów, trapezów oraz Smpsoa dla przedzałów = 6, 8, 0. Wk dla poszczególch całek zestawć w tabel: Met. prostokątów Met. trapezów Met. Smpsoa Oblczć metodam prostokątów, trapezów oraz Smpsoa całkę: D 5 f ( t) dt 3 c = f(t) 7

28 mając do dspozcj astępujące dae dośwadczale: t c Wzaczć rówae regresj (weloma 3 stopa) opsujące przedstawoą zależość oblczć aaltczą wartość całk. Zając aaltczą wartość całk D, wzaczć błąd względ dla poszczególch metod całkowaa. 3. Oblczć metodam prostokątów, trapezów oraz Smpsoa odpowede całk w zadau. Stadardowe cepło tworzea jodowodoru z jodu wodoru w temperaturze 000 K oblczć moża z astępującego rówaa [J. Demchowcz-Pgoowa, Oblczea fzkochemcze, PWN, Warszawa, 984]: w którm kjmol - ), H o H r, o o o o, 000 H r,98 C p, dt H p. f. k C p, dt o r 98 jest stadardowm cepłem tworzea jodowodoru w temperaturze 98 K (5.94 cepłem sublmacj jodu (59.8kJ mol - ). o H p. f. k Dla przedzału temperatur <98,438> suma molowch pojemośc ceplch wos: C T T [JK - ] o p, Dla przedzału temperatur <438,000> wos: C T T T - [JK - ] o p, Odpowede całk oblczć metodą prostokątów, trapezów Smpsoa (=0). UWAGI DOTYCZĄCE WYKONANIA I ZALICZENIA ZADANIA: 5. Założć ow arkusz kalkulacj zapsać go a dsku secowm w katalogu S:\PfAABB\ZADANIA\ZADANIE\ZAD.ls, w którm AA ozacza umer grup, BB - umer użtkowka 6. Sporządzć tablcę z dam do oblczeń wraz z dowole zaplaowam ramkam. 7. Wkoać oblczea z wkorzstaem podach w opse wzorów. 8. Iformacje dotczące wkoawc pow bć zameszczoe bezpośredo w arkuszu, stopce lub agłówku (do wboru)

29 ZADANIE Nr 8 NUMERYCZNE ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH. METODA EULERA, RUNGEGO KUTTY, MILNE A (PREDYKTOR-KOREKTOR) Zwczaje rówae różczkowe perwszego rzędu przedstawć moża w astępując sposób: ' d ( ) f ( ) () d Rozwązaem jest fukcja () spełająca to rówae oraz jede z waruków początkowch, zwkle ( 0 ) = 0. Tpowm przkładem zastosowaa rówaa różczkowego jest ops zma stężea substratu w czase reakcj. Dla przkładu, rówae ketcze dla eodwracalej reakcj I rzędu ma astępującą postać: dc k c () dt W rówau tm k ozacza stałą szbkośc reakcj [s - ], c stężee substratu [mol/dm 3 ], t czas [s]. Rówae to, po rozwązau prowadz do zależośc stężea substratu od czasu: c kt c 0 e (3) w którm c 0 ozacza początkowe stężee substratu [mol/dm 3 ] Zależość stężea od czasu wlczć moża także za pomocą odpowedej metod umerczego rozwązwaa rówań różczkowch. W tm celu zastosować moża p.: metodę Eulera, Rugego-Kutt oraz metodę predktor-korektor. W przpadku umerczch metod rozwązwaa rówań różczkowch ezbęde jest określee puktu początkowego ( 0, 0 ) oraz achlea fukcj będącej rozwązaem rówaa w dam pukce ( ).. Metoda Eulera W metodze Eulera wartość fukcj w pukce 0 + ( ) oblczaa jest ze wzoru: ( ) f (, ) (4) w którm f( 0, 0 ) rówe jest achleu fukcj staowącej rozwązae w dam pukce. Ogól wzór zapsać moża w astępującej postac: ( ) f (, ) (5). Metoda Rugego-Kutt W metodze Rugego-Kutt czwartego stopa odpowede oblczea wkoać moża za pomocą astępującch wzorów: c c c3 c4 (6) 6 9

30 c f ( ) c f (, c ) c3 f, c ( c4 f (, c3) ) (7) (8) (9) (0) w którch c ozacza wartość achlea fukcj będącej rozwązaem w pukce początkowm (= 0 )., c c w puktach pośredch, c 4 a końcu przedzału. 3. Metoda Mle a (predktor-korektor) Alteratwą metodą rozwązwaa rówań różczkowch jest welokrokowa metoda Mle a (predktor-korektor). W tej metodze musm dspoować wartoścam: 0, 0,,,, 3, 3 () oraz fukcją: d f (, ) () d Oblczea wkowae są zgode z astępującm rówaam: 4,,,, p 3 0 (3) 3, f (, ) (4) p p,,, c 40 (5) 3, f (, ) (6) c c w którch,p ozacza przewdwaą wartość, c skorgowaą wartość,, p oszacowaą wartość pochodej w pukce,, c skorgowaą wartość pochodej w pukce. I. OBLICZENIA Korzstając z rówaa (3) oraz przjmując, że k = 0.8 s -, c 0 = 0. mol/dm 3 oraz t = s, oblczć zma stężea substratu w czase (t ma =8 s). Stosując metodę Eulera (rówae (5)), Rugego-Kutt (rówaa (6)-(0)) oraz Mle a (rówaa (3)-(6)) oblczć zależość stężea substratu od czasu. Zając rzeczwste wartośc stężea (rówae ()) oraz wk uzskae dla każdej metod oblczć błąd względ [%]. W metodze Mle a jako pukt startowe wkorzstać początkowe wartośc wlczoe metodą Rugego-Kutt. 30

31 UWAGI DOTYCZĄCE WYKONANIA I ZALICZENIA ZADANIA:. Założć ow arkusz kalkulacj zapsać go a dsku twardm w katalogu S:\AABB\ZADANIA\ZADANIE\ZADANIE3.ls, w którm AA ozacza umer grup, BB - umer użtkowka. Sporządzć tablcę z dam do oblczeń wraz z dowole zaplaowam ramkam. 3. Wkoać wkres lustrując zależość stężea od czasu c = f(t) oblczoej a podstawe rówaa (3) w postac puktów. Wlczoe metodam Eulera oraz Rugego-Kutt zależośc przedstawć a tm samm rsuku w postac l cągłej bez uwdaczaa oszacowach wartośc c, w postac puktów. 4. Wkoać wkres lustrując zależość l(c/c 0 ) = f(t) oblczoej a podstawe rówaa (3) w postac puktów. Wlczoe metodam Eulera oraz Rugego-Kutt zależośc po odpowedm przelczeu (l(c/c 0 )) przedstawć a tm samm rsuku w postac l cągłej bez uwdaczaa oszacowach wartośc c, w postac puktów. 5. Przgotować arkusz do wdruku stosując marges: lew 3 cm gór cm. 6. Iformacje dotczące wkoawc zameścć w stopce, formacje dotczące zadaa (ttuł, data) w agłówku. 3

32 ZADANIE Nr 9 OPTYMALIZACJA SIMPLEKSOWA Smpleks jest fgurą geometrczą o rówch krawędzach oraz o + werzchołkach ( jest lczbą optmalzowach parametrów). Pożej przedstawoo przkład smpleksów w przestrze jedo-, dwu- trójwmarowej []. 3 P (, ) P 3 (, ) P 4 P 3 P () P () P (, ) P P (,, 3 ) Rs.. Smpleks w przestrze jedo-, dwu- trójwmarowej. Metoda smpleksowa polega a sstematczej aalze powerzch odpowedz w celu zlokalzowaa optmum fukcj odpowedz. Optmalzacja rozpocza sę od wgeerowaa smpleksu wjścowego (+ dośwadczeń). Gorskj Brodskj [] zapropoowal metodę, w której w środku smpleksu zajduje sę początek układu współrzędch. Odpowedą macerz wjścową (3) wgeerować moża z astępującch wzorów: Ogóla postać macerz przedstawa sę astępująco: k () ( ) R () ( ) k R 0 A 0 0 k k R 0 0 k k k R 0 k k k k R (3) Dla = 3, macerz A zapsać moża w postac: A (4) Macerz A (smpleks wjścow) wrażoa jest w jedostkach emaowach przedstawa wartośc parametrów poszczególch (+) dośwadczeń. Współrzęde maowae uzskać moża z prostego przelczea wg astępującego wzoru: 3

33 m = 0, + z A (5) m jest maowaą wartoścą -tego parametru, 0, maowaą wartoścą wjścową -tego parametru, z maowaą wartoścą jedostk a os zmeej (krok smpleksu), A - emaowaą wartoścą -tego parametru odpowadającą wartośc z macerz A. Po wkoau ser dośwadczeń (zgode z smpleksem wjścowm) przeprowadza sę oceę wków pod względem własośc ajlepej charakterzującej wk (krterum jakośc) Spośród dośwadczeń (pukt A, B, C Rs..) wbera sę take, którego krterum jakośc ma wartość ajższą (pukt C). Pukt te zastępuje sę owm (pukt D), smetrczm do puktu o ajższej wartośc krterum jakośc, powstałm poprzez smetrcze odbce względem przecwległej krawędz smpleksu. E B P D C Rs.. Odbce (D) ekspasja (E) w wzaczau parametrów owego dośwadczea w metodze smpleksowej. Współrzęde owego puktu, smetrczego do puktu odrzucoego (dla poszczególch parametrów z osoba), oblczć moża ze wzoru: D = P + (P C) (6) w którm P ozacza średą ze wszstkch wartośc parametrów bez wku odrzucaego, C wartość parametrów puktu odrzucoego. W przpadku zaczego wzrostu fukcj odpowedz w owm pukce możlwe jest zastosowae ekspasj smpleksu w wbram keruku (pukt E). Współrzęde puktu ekspadowaego oblczć moża ze wzoru: E = D + (P C) (7) Jeżel krterum jakośc w pukce D e jest gorsze od wku w pukce odrzucam e jest lepsze od pozostającch, to zastosować moża kotrakcję smpleksu. Możlwe jest zastosowae kotrakcj dodatej (pukt K +, Rs. 3.) lub kotrakcj ujemej (pukt K -, Rs. 3.). A D B P K + K - A Rs. 3. Kotrakcja dodata (K + ) kotrakcja ujema (K - ) w wzaczau parametrów owego dośwadczea w metodze smpleksowej. Współrzęde odpowedch puktów wlczć moża ze wzorów: C K + = P + (P C)/ (8) 33

34 K - = P (P C)/ (9) Aalza powerzch odpowedz kończ sę, gd zostae osągęt obszar optmum wbraego krterum optmalzacj. ZAD: Zależość wdajośc (WR) pewej reakcj chemczej zależ od stężea (c) oraz temperatur (T) opsaa jest astępującm rówaem: WR = (75 - (0 - c) - (0 - T) )/7.5 Zlokalzować maksmum wdajośc metodą smpleksową. Smpleks początkow wgeerować dla astępującch wartośc parametrów () kroku (z): 0,c = 3.5 mol/dm 3, z c = mol/dm 3 0,T = 0 o C, z T = o C UWAGI DOTYCZĄCE WYKONANIA I ZALICZENIA ZADANIA:. Założć ow arkusz kalkulacj zapsać go a dsku twardm w katalogu S:\PfAABB\ZADANIA\ZADANIE4\ZADANIE4.ls, w którm AA ozacza umer grup, BB - umer użtkowka. Sporządzć tablcę z dam do oblczeń wraz z dowole zaplaowam ramkam. 3. Oblczea: Po wkoau oblczeń (zalezeu maksmum wdajośc), wgeerować w pukce blsko maksmum smpleks, w którm krok wos: z c = 0.5 mol/dm 3, z T = 0.5 o C. Wzaczć maksmum wdajośc dla owego smpleksu. Oblczoe pukt smpleksu (c, T) przedstawć a wkrese. 4. Przgotować arkusz do wdruku stosując marges: lew 3 cm gór cm. 5. Iformacje dotczące wkoawc zameścć w stopce, formacje dotczące zadaa (ttuł, data) w agłówku. [] R. Wódzk, J. Ceowa, Smpleksowa metoda plaowaa dośwadczeń ekstremalch, Wadomośc Chemcze, 976, 30, 37 [] W. G. Gorskj, W.Z. Brodskj, Zawod. Łab., 968, 34, 7,

Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji.

Wnioskowanie statystyczne dla korelacji i regresji. STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 6 Woskowae statstcze dla korelacj regresj. Aalza korelacj Założee: zmea losowa dwuwmarowa X, Y) ma rozkład ormal o współczku korelacj ρ. X, Y cech adae rówocześe. X X X...

Bardziej szczegółowo

opisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn

opisać wielowymiarową funkcją rozkładu gęstości prawdopodobieństwa f(x 1 , x xn ROZKŁAD PRAWDOPODBIEŃSTWA WIELU ZMIENNYCH LOSOWYCH W przpadku gd mam do czea z zmem losowm możem prawdopodobeństwo, ż przjmą oe wartośc,,, opsać welowmarową fukcją rozkładu gęstośc prawdopodobeństwa f(,,,.

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologia techniczna i systemy pomiarowe.

INSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologia techniczna i systemy pomiarowe. INSTRUKCJA LABORATORIUM Metrologa techcza sstem pomarowe. MTSP pomar MTSP 00 Autor: dr ż. Potr Wcślok Stroa / 5 Cel Celem ćwczea jest wkorzstae w praktce pojęć: mezurad, estmata, błąd pomaru, wk pomaru,

Bardziej szczegółowo

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki

Materiały do wykładu 7 ze Statystyki Materał do wkładu 7 ze Statstk Aalza ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI (Aalza KORELACJI REGRESJI) korelacj wkres rozrzutu (korelogram) rodzaje zależośc (brak, elowa, lowa) pomar sł zależośc lowej (współczk korelacj

Bardziej szczegółowo

II. ĆWICZENIA LABORATORYJNE

II. ĆWICZENIA LABORATORYJNE II. ĆWICZENIA LABORATORYJNE ZADANIE Nr STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW DOŚWIADCZALNYCH. Wartość średa, odchylee stadardowe, mary dyspersj. ZADANIE Nr STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW DOŚWIADCZALNYCH. Zależość wartośc

Bardziej szczegółowo

Niepewności pomiarów. DR Andrzej Bąk

Niepewności pomiarów. DR Andrzej Bąk Nepewośc pomarów DR Adrzej Bąk Defcje Błąd pomar - różca mędz wkem pomar a wartoścą merzoej welkośc fzczej. Bwa też azwa błędem bezwzględm pomar. Poeważ wartość welkośc merzoej wartość prawdzwa jest w

Bardziej szczegółowo

Regresja linowa metoda najmniejszych kwadratów. Tadeusz M. Molenda Instytut Fizyki US

Regresja linowa metoda najmniejszych kwadratów. Tadeusz M. Molenda Instytut Fizyki US Regresja lowa metoda ajmejszch kwadratów Tadeusz M. Moleda Isttut Fzk US Regresja lowa (też: metoda ajmejszch kwadratów, metoda wrówawcza, metoda Gaussa) Zagadea stota metod postulat Gaussa współczk prostej

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Katarzyna Chudy Laskowska

Statystyka. Katarzyna Chudy Laskowska Statstka Katarza Chud Laskowska http://kc.sd.prz.edu.pl/ Aalza korelacj umożlwa stwerdzee wstępowaa zależośc oraz oceę jej atężea ZALEŻNOŚCI pomędz CECHAMI: CECHY: ILOŚCIOWA ILOŚCIOWA CECHY: JAKOŚCIOWA

Bardziej szczegółowo

Linie regresji II-go rodzaju

Linie regresji II-go rodzaju Lam regresj II-go rodzaju zmeej () względem () azwam zadae krzwe g(;,, ) oraz h(;,, ) gd spełają oe odpowedo waruk: E E Le regresj II-go rodzaju ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) g ;,,... g ;,,... f, dd m,,... (

Bardziej szczegółowo

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka

Teoria i praktyka. Wyższa Szkoła Turystyki i Ekologii. Fizyka. WSTiE Sucha Beskidzka Fizyka Nepewośc pomarowe. Teora praktka. Prowadząc: Dr ż. Adrzej Skoczeń Wższa Szkoła Turstk Ekolog Wdzał Iformatk, rok I Fzka 014 03 30 WSTE Sucha Beskdzka Fzka 1 Iformacje teoretcze zameszczoe a slajdach tej

Bardziej szczegółowo

Józef Beluch Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie. Wpływ wag współrzędnych na wyniki transformacji Helmerta

Józef Beluch Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie. Wpływ wag współrzędnych na wyniki transformacji Helmerta Józef Beluch Akadema Górczo-Hutcza w Krakowe płw wag współrzędch a wk trasformacj Helmerta . zór a trasformację współrzędch sposobem Helmerta: = c + b = d + a + a b () 2 2. Dwa modele wzaczea parametrów

Bardziej szczegółowo

Opracowanie wyników pomiarów

Opracowanie wyników pomiarów Opracowae wków pomarów Praca w laboratorum fzczm polega a wkoau pomarów, ch terpretacj wcagęcem wosków. Ab dojść do właścwch wosków aleŝ szczególą uwagę zwrócć a poprawość wkoaa pomarów mmalzacj błędów

Bardziej szczegółowo

METODY KOMPUTEROWE 1

METODY KOMPUTEROWE 1 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN MTODA ULRA Mcał PŁOTKOWIAK Adam ŁODYGOWSKI Kosultacje aukowe dr z. Wtold Kąkol Pozań 00/00 MTODY KOMPUTROW WIADOMOŚCI WSTĘPN Metod umercze MN pozwalają a ormułowae matematczc

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

KORELACJA KORELACJA I REGRESJA. X, Y - cechy badane równocześnie. Dane statystyczne zapisujemy w szeregu statystycznym dwóch cech

KORELACJA KORELACJA I REGRESJA. X, Y - cechy badane równocześnie. Dane statystyczne zapisujemy w szeregu statystycznym dwóch cech KORELACJA I REGRESJA. KORELACJA X, Y - cech badae rówocześe. Dae statstcze zapsujem w szeregu statstczm dwóch cech...... lub w tablc korelacjej. X Y... l.... l.... l................... k k k... kl k..j......l

Bardziej szczegółowo

BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH - ANALIZA KORELACJI PROSTEJ

BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH - ANALIZA KORELACJI PROSTEJ Matematka statstka matematcza dla rolków w SGGW Aa Rajfura, KDB WYKŁAD 2 BADANIE WSPÓŁZALEśNOŚCI DWÓCH CECH - ANALIZA KORELACJI PROSTEJ Matematka statstka matematcza dla rolków w SGGW Aa Rajfura, KDB Przkład.

Bardziej szczegółowo

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki)

Podstawy analizy niepewności pomiarowych (I Pracownia Fizyki) Podstawy aalzy epewośc pomarowych (I Pracowa Fzyk) Potr Cygak Zakład Fzyk Naostruktur Naotecholog Istytut Fzyk UJ Pok. 47 Tel. 0-663-5838 e-mal: potr.cygak@uj.edu.pl Potr Cygak 008 Co to jest błąd pomarowy?

Bardziej szczegółowo

ANALIZA ZALEŻNOŚCI DWÓCH ZMIENNYCH ILOŚCIOWYCH

ANALIZA ZALEŻNOŚCI DWÓCH ZMIENNYCH ILOŚCIOWYCH ANALIZA ZALEŻNOŚCI DWÓCH ZMIENNYCH ILOŚCIOWYCH Na ogół oprócz obserwacj jedej zmeej zberam róweż formacje towarzszące, które mogą meć zaczee w aalze teresującej as welkośc. Iformacje te mogą bć p. wkorzstae

Bardziej szczegółowo

Natalia Nehrebecka. Dariusz Szymański

Natalia Nehrebecka. Dariusz Szymański atala ehreecka Darusz Szmańsk Wkład . MK przpadek welu zmech. Własośc hperpłaszczz regresj 3. Doroć ć dopasowaa rówaa regresj. Współczk determacj R Dekompozcjawaracj zmeejzależejzależej Współczk determacj

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZA 1. Wkład wstęp. Teora prawdopodobeństwa elemet kombatork. Zmee losowe ch rozkład 3. Populacje prób dach, estmacja parametrów 4. Testowae hpotez statstczch 5. Test parametrcze (a

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Zadae. W ure zajduje sę 5 kul, z których 5 jest bałych czarych. Losujemy bez zwracaa kolejo po jedej kul. Kończymy losowae w momece, kedy wycągęte zostaą wszystke czare kule. Oblcz wartość oczekwaą lczby

Bardziej szczegółowo

Planowanie eksperymentu pomiarowego I

Planowanie eksperymentu pomiarowego I POLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Plaowae eksperymetu pomarowego I Laboratorum merctwa (M 0) Opracował: dr ż. Grzegorz Wcak

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU

RACHUNEK NIEPEWNOŚCI POMIARU Mędzarodowa Norma Oce Nepewośc Pomaru (Gude to Epresso of Ucertat Measuremets - Mędzarodowa Orgazacja Normalzacja ISO RACHUNEK NIEPEWNOŚCI http://phscs.st./gov/ucertat POMIARU Wrażae Nepewośc Pomaru. Przewodk.

Bardziej szczegółowo

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi.

N ( µ, σ ). Wyznacz estymatory parametrów µ i. Y które są niezależnymi zmiennymi losowymi. 3 Metody estymacj N ( µ, σ ) Wyzacz estymatory parametrów µ 3 Populacja geerala ma rozład ormaly mometów wyorzystując perwszy momet zwyły drug momet cetraly z prób σ metodą 3 Zmea losowa ma rozład geometryczy

Bardziej szczegółowo

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej

Miary położenia wskazują miejsce wartości najlepiej reprezentującej wszystkie wielkości danej zmiennej. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej Podstawy Mary położea wskazują mejsce wartośc ajlepej reprezetującej wszystke welkośc daej zmeej. Mówą o przecętym pozome aalzowaej cechy. Średa arytmetycza suma wartośc zmeej wszystkch jedostek badaej

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów

Podstawy opracowania wyników pomiarowych, analiza błędów Podstawy opracowaa wyków pomarowych, aalza błędów I Pracowa Fzycza IF UJ Grzegorz Zuzel Lteratura I Pracowa fzycza Pod redakcją Adrzeja Magery Istytut Fzyk UJ Kraków 2006 Wstęp do aalzy błędu pomarowego

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH, TWIERDZENIE STEINERA LABORATORIUM RACHUNKOWE

OBLICZANIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH, TWIERDZENIE STEINERA LABORATORIUM RACHUNKOWE OBLICZNIE GEOMETRYCZNYCH MOMENTÓW BEZWŁDNOŚCI FIGUR PŁSKICH, TWIERDZENIE STEINER LBORTORIUM RCHUNKOWE Prz oblczeach wtrzmałoścowch dotczącch ektórch przpadków obcążea (p. zgae) potrzeba jest zajomość pewch

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10)

Tablica Galtona. Mechaniczny model rozkładu normalnego (M10) Tablca Galtoa. Mechaczy model rozkładu ormalego (M) I. Zestaw przyrządów: Tablca Galtoa, komplet kulek sztuk. II. Wykoae pomarów.. Wykoać 8 pomarów, wrzucając kulk pojedyczo.. Uporządkować wyk pomarów,

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie oporu naczyniowego kapilary w przepływie laminarnym.

Wyznaczanie oporu naczyniowego kapilary w przepływie laminarnym. Wyzaczae oporu aczyowego kaplary w przepływe lamarym. I. Przebeg ćwczea. 1. Zamkąć zawór odcający przewody elastycze a astępe otworzyć zawór otwerający dopływ wody do przewodu kaplarego. 2. Ustawć zawór

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. Wykład 11. Całka podwójna. Zamiana na całkę iterowaną. Obliczanie pól obszarów i objętości brył.

Matematyka II. Wykład 11. Całka podwójna. Zamiana na całkę iterowaną. Obliczanie pól obszarów i objętości brył. Wkład. Całka podwója. Zamaa a całkę terowaą. Oblczae pól obszarów objętośc brł.. Całka podwója w prostokące. Jak pamętam, całka ozaczoa z cągłej fukcj jedej zmeej wprowadzoa bła w celu oblczaa pola powerzch

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA. Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Koninie. Materiały pomocnicze do ćwiczeń. Materiały dydaktyczne 17 ARTUR ZIMNY

STATYSTYKA OPISOWA. Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Koninie. Materiały pomocnicze do ćwiczeń. Materiały dydaktyczne 17 ARTUR ZIMNY Państwowa Wższa Szkoła Zawodowa w Koe Materał ddaktcze 17 ARTUR ZIMNY STATYSTYKA OPISOWA Materał pomoccze do ćwczeń wdae druge zmeoe Ko 010 Ttuł Statstka opsowa Materał pomoccze do ćwczeń wdae druge zmeoe

Bardziej szczegółowo

TESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego).

TESTY NORMALNOŚCI. ( Cecha X populacji ma rozkład normalny). Hipoteza alternatywna H1( Cecha X populacji nie ma rozkładu normalnego). TESTY NORMALNOŚCI Test zgodośc Hpoteza zerowa H 0 ( Cecha X populacj ma rozkład ormaly). Hpoteza alteratywa H1( Cecha X populacj e ma rozkładu ormalego). Weryfkacja powyższych hpotez za pomocą tzw. testu

Bardziej szczegółowo

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu

Statystyczne charakterystyki liczbowe szeregu Statystycze charakterystyk lczbowe szeregu Aalzę badaej zmeej moża uzyskać posługując sę parametram opsowym aczej azywaym statystyczym charakterystykam lczbowym szeregu. Sytetycza charakterystyka zborowośc

Bardziej szczegółowo

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA

TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA Ćwczee 8 TARCIE CIĘGIEN O POWIERZCHNIĘ WALCOWĄ WZÓR EULERA 8.. Cel ćwczea Celem ćwczea jest wyzaczee statyczego współczyka tarca pomędzy walcową powerzchą cała a opasującą je lą. Poadto a drodze eksperymetalej

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wkład 4 Matematcze opracowwae wków ekspermetalch Cz. I. Metoda ajmejszch kwadratów Cz. II. Metod statstcze UWAGI OGÓLNE Ekspermet wkowae w auce moża podzelć

Bardziej szczegółowo

Laboratorium fizyczne

Laboratorium fizyczne Laboratorum fzcze L a portalu WIKMP CMF PŁ cmf.edu.p.lodz.pl Klkam odośk Laboratorum fzk Właścwą strukcję ależ pobrać ze stro Pracow zazajomć sę z jej treścą przed zajęcam!!! grupa I grupa II edzela

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobeństwo statystyka 0.06.0 r. Zadae. Ura zawera kul o umerach: 0,,,,. Z ury cągemy kulę, zapsujemy umer kulę wrzucamy z powrotem do ury. Czyość tę powtarzamy, aż kula z każdym umerem zostae wycągęta

Bardziej szczegółowo

REGRESJA LINIOWA. gdzie

REGRESJA LINIOWA. gdzie REGREJA LINIOWA Jeżel zmerzoo obarczoe tlko błędam przpadkowm wartośc (, ),,,..., dwóch różch welkośc fzczch X Y, o którch wadomo, że są zwązae ze sobą zależoścą lową f(), to ajlepszm przblżeem współczków

Bardziej szczegółowo

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = = 4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ. W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ

WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANEJ PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ 9 Cel ćwczea Ćwczee 9 WYZNACZANIE WARTOŚCI ENERGII ROZPRASZANE PODCZAS ZDERZENIA CIAŁ Celem ćwczea jest wyzaczee wartośc eerg rozpraszaej podczas zderzea cał oraz współczyka restytucj charakteryzującego

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84

Zadanie 1. ), gdzie 1. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN (, . EX (A) 0,91 (B) 0,86 (C) 1,82 (D) 1,95 (E) 0,84 Zadae. Zmea losowa X ma rozkład logarytmczo-ormaly LN (, ), gdze E ( X e X e) 4. Wyzacz. EX (A) 0,9 (B) 0,86 (C),8 (D),95 (E) 0,84 Zadae. Nech X, X,, X0, Y, Y,, Y0 będą ezależym zmeym losowym. Zmee X,

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość

Bardziej szczegółowo

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = =

W zadaniu nie ma polecenia wyznaczania estymatora nieobciążonego o minimalnej wariancji. σ σ σ σ σ = = 4. Na podstawe erówośc Cramera Rao wyzacz dole ograczee dla waracj eobcążoego estymatora waracj σ w rozkładze ormalym N(0, σ ). W zadau e ma polecea wyzaczaa estymatora eobcążoego o mmalej waracj dla σ,

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH. dr Michał Silarski

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH. dr Michał Silarski PODTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH dr Mchał larsk I Pracowa Fzycza IF UJ, 9.0.06 Pomar Pomar zacowae wartośc prawdzwej Bezpośred (welkość fzycza merzoa jest

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer

Statystyka Opisowa 2014 część 3. Katarzyna Lubnauer Statystyka Opsowa 014 część 3 Katarzya Lubauer Lteratura: 1. Statystyka w Zarządzau Admr D. Aczel. Statystyka Opsowa od Podstaw Ewa Waslewska 3. Statystyka, Lucja Kowalsk. 4. Statystyka opsowa, Meczysław

Bardziej szczegółowo

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację.

Jego zależy od wysokości i częstotliwości wypłat kuponów odsetkowych, ceny wykupu, oczekiwanej stopy zwrotu oraz zapłaconej ceny za obligację. Wrażlwość oblgacj Jedym z czyków ryzyka westowaa w oblgacje jest zmeość rykowych stóp procetowych. Iżyera fasowa dyspouje metodam pozwalającym zabezpeczyć portfel przed egatywym skutkam zma stóp procetowych.

Bardziej szczegółowo

KALIBRACJA NIE ZAWSZE PROSTA

KALIBRACJA NIE ZAWSZE PROSTA KALIBRACJA NIE ZAWSZE PROSTA Potr Koeczka Katedra Chem Aaltyczej Wydzał Chemczy Poltechka Gdańska S w S C -? C w Sygał - astępstwo kosekwecja przeprowadzoego pomaru główy obekt zateresowań aaltyka. Cel

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5

L.Kowalski zadania ze statystyki opisowej-zestaw 5. ZADANIA Zestaw 5 L.Kowalsk zadaa ze statystyk opsowej-zestaw 5 Zadae 5. X cea (zł, Y popyt (tys. szt.. Mając dae ZADANIA Zestaw 5 x,5,5 3 3,5 4 4,5 5 y 44 43 43 37 36 34 35 35 Oblcz współczyk korelacj Pearsoa. Oblcz współczyk

Bardziej szczegółowo

Projekt 2 2. Wielomiany interpolujące

Projekt 2 2. Wielomiany interpolujące Proekt Weloma terpoluące Rodzae welomaów terpoluącc uma edomaów Nec w przedzale a, b określoa będze fukca f: ec będze ustaloc m wartośc argumetu :,,, m, m L prz czm: < < L < < m m Pukt o tc odcztac azwa

Bardziej szczegółowo

MODEL SHARP A - MIARY WRAŻLIWOŚCI

MODEL SHARP A - MIARY WRAŻLIWOŚCI MODEL SHARP A - MIARY WRAŻLIWOŚCI Współzależość cech Rozważam jedostk zborowośc badae ze względu a dwe, lub węcej zmech W przpadku obserwacj opartch a dwóch zmech możem wkreślć dagram korelacj. Każda obserwacja

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 2 ESTYMACJA PUNKTOWA STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD ESTYMACJA PUNKTOWA Nech - ezay parametr rozkładu cechy X. Wartość parametru będzemy estymować (przyblżać) a podstawe elemetowej próby. - wyberamy statystykę U o rozkładze

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych

Statystyczna analiza miesięcznych zmian współczynnika szkodowości kredytów hipotecznych dr Ewa Wycka Wyższa Szkoła Bakowa w Gdańsku Wtold Komorowsk, Rafał Gatowsk TZ SKOK S.A. Statystycza aalza mesęczych zma współczyka szkodowośc kredytów hpoteczych Wskaźk szkodowośc jest marą obcążea kwoty/lczby

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ

MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ MATEMATYKA STOSOWANA W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład Układy rówań metody aaltycze Metody umerycze rozwązywaa rówań lczbowych Prof. Ato Kozoł, Wydzał Chemczy Poltechk Wrocławskej ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ

Bardziej szczegółowo

f f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu

f f x f, f, f / / / METODA RÓŻNIC SKOŃCZONYCH niech N = 2 (2 równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-rz.) lub jedno II-rzędu METODA RÓŻIC SKOŃCZOYCH (omówee a przykładze rówań lowych) ech ( rówaa różczkowe zwyczaje lowe I-rz.) lub jedo II-rzędu f / / p( x) f / + q( x) f + r( x) a x b, f ( a) α, f ( b) β dea: a satce argumetu

Bardziej szczegółowo

W loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki:

W loterii bierze udział 10 osób. Regulamin loterii faworyzuje te osoby, które w eliminacjach osiągnęły lepsze wyniki: Zadae W loter berze udzał 0 osób. Regulam loter faworyzuje te osoby, które w elmacjach osągęły lepsze wyk: Zwycęzca elmacj, azyway graczem r. otrzymuje 0 losów, Osoba, która zajęła druge mejsce w elmacjach,

Bardziej szczegółowo

Wyrażanie niepewności pomiaru

Wyrażanie niepewności pomiaru Wyrażae epewośc pomaru Adrzej Kubaczyk Wydzał Fzyk, Poltechka Warszawska Warszawa, 05 Iformacje wstępe Każdy pomar welkośc fzyczej dokoyway jest ze skończoą dokładoścą, co ozacza, że wyk tego pomaru dokoyway

Bardziej szczegółowo

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1

POPULACJA I PRÓBA. Próba reprezentatywna. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 5 1 POPULACJA I PRÓBA POPULACJĄ w statystyce matematyczej azywamy zbór wszystkch elemetów (zdarzeń elemetarych charakteryzujących sę badaą cechą opsywaą zmeą losową. Zbadae całej populacj (przeprowadzee tzw.

Bardziej szczegółowo

Wiek statku a prawdopodobieństwo wystąpienia wypadku na morzu analiza współzależności

Wiek statku a prawdopodobieństwo wystąpienia wypadku na morzu analiza współzależności BOGALECKA Magda 1 Wek statku a prawdopodobeństwo wstąpea wpadku a morzu aalza współzależośc WSTĘP Obserwowa od blsko weku tesw rozwój trasportu morskego, oprócz lądowego powetrzego, jest kosekwecją wzmożoej

Bardziej szczegółowo

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA

JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA ZMIENNA LOSOWA Nech E będze zborem zdarzeń elemetarych daego dośwadczea. Fucję X(e) przyporządowującą ażdemu zdarzeu elemetaremu e E jedą tylo jedą lczbę X(e)=x azywamy ZMIENNĄ LOSOWĄ. Przyład:

Bardziej szczegółowo

Statystyka powtórzenie (II semestr) Rafał M. Frąk

Statystyka powtórzenie (II semestr) Rafał M. Frąk Statstka powtórzee (II semestr) Rafał M. Frąk TEORIA, OZNACZENIA, WZORY Rodzaje mar statstczch mar położea - wzaczają przecęta wartość cech statstczej mar zróżcowaa (lub zmeośc, rozproszea, dspersj) -

Bardziej szczegółowo

Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Różniczkowanie funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Różczkowae fukcj rzeczywstych welu zmeych rzeczywstych Matematyka Studum doktoracke KAE SGH Semestr let 8/9 R. Łochowsk Pochoda fukcj jedej zmeej e spojrzee Nech f : ( α, β ) R, α, β R, α < β Fukcja f

Bardziej szczegółowo

ma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m

ma rozkład normalny z nieznaną wartością oczekiwaną m Zadae Każda ze zmeych losowych,, 9 ma rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją, a każda ze zmeych losowych Y, Y,, Y9 rozkład ormaly z ezaą wartoścą oczekwaą m waracją 4 Założoo, że wszystke zmee

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Analiza zależności. Rodzaje zależności między zmiennymi występujące w praktyce: Funkcyjna

Statystyka. Analiza zależności. Rodzaje zależności między zmiennymi występujące w praktyce: Funkcyjna Aalza zależośc Rodzaje zależośc mędzy zmeym występujące w praktyce: Fukcyja wraz ze zmaą wartośc jedej zmeej astępuje ścśle określoa zmaa wartośc drugej zmeej (p. w fzyce: spadek swobody gt s ) tochastycza

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i statystyka W 10: Analizy zależności pomiędzy zmiennymi losowymi (danymi empirycznymi)

Rachunek Prawdopodobieństwa i statystyka W 10: Analizy zależności pomiędzy zmiennymi losowymi (danymi empirycznymi) Rachuek Prawdopodoeństwa statstka W 0: Aalz zależośc pomędz zmem losowm dam emprczm) Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 adra@tempus.metal.agh.edu.pl Odkrwae aalza zależośc pomędz zmem loścowmlczowm) Przedmotem

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 1. Wiadomości wstępne

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 1. Wiadomości wstępne TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD Wadomośc wstępe tatystyka to dyscypla aukowa, której zadaem jest wykrywae, aalza ops prawdłowośc występujących w procesach masowych. Populacja to zborowość podlegająca badau

Bardziej szczegółowo

( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości

( X, Y ) będzie dwuwymiarową zmienną losową o funkcji gęstości Zadae. Nech Nech (, Y będze dwuwymarową zmeą losową o fukcj gęstośc 4 x + xy gdy x ( 0, y ( 0, f ( x, y = 0 w przecwym przypadku. S = + Y V Y E V S =. =. Wyzacz ( (A 0 (B (C (D (E 8 8 7 7 Zadae. Załóżmy,

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8

Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Zajęcia 7-8 Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 7-8 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartość oczekwaa eocążoość estymatora Waracja

Bardziej szczegółowo

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych

Centralna Izba Pomiarów Telekomunikacyjnych (P-12) Komputerowe stanowisko do wzorcowania generatorów podstawy czasu w częstościomierzach cyfrowych Cetrala Izba Pomarów Telekomukacyjych (P-1) Komputerowe staowsko do wzorcowaa geeratorów podstawy czasu w częstoścomerzach cyrowych Praca r 1300045 Warszawa, grudzeń 005 Komputerowe staowsko do wzorcowaa

Bardziej szczegółowo

[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7

[, ] [, ] [, ] ~ [23, 2;163,3] 19,023 2,7 6. Przez 0 losowo wybrayh d merzoo zas dojazdu do pray paa A uzyskują próbkę x,..., x 0. Wyk przedstawały sę astępująo: jest to próbka losowa z rozkładu 0 0 x 300, 944. x Zakładamy, że N ( µ, z ezaym parametram

Bardziej szczegółowo

Strona: 1 1. CEL ĆWICZENIA

Strona: 1 1. CEL ĆWICZENIA Katedra Podstaw Sstemów Techczch - Podstaw metrolog - Ćwczee 4. Wzaczae charakterstk regulacjej slka prądu stałego Stroa:. CEL ĆWICZENIA Celem ćwczea jest pozae zasad dzałaa udow slka prądu stałego, zadae

Bardziej szczegółowo

. Wtedy E V U jest równa

. Wtedy E V U jest równa Prawdopodobeństwo statystyka 7.0.0r. Zadae Dwuwymarowa zmea losowa Y ma rozkład cągły o gęstośc gdy ( ) 0 y f ( y) 0 w przecwym przypadku. Nech U Y V Y. Wtedy E V U jest rówa 8 7 5 7 8 8 5 Prawdopodobeństwo

Bardziej szczegółowo

Wymiarowanie przekrojów stalowych

Wymiarowanie przekrojów stalowych Wmarowae przekrojów stalowch Program służ o prostch, poręczch oblczeń ośośc przekrojów stalowch. Pozwala o a oblczea przekrojów obcążoch: mometem zgającm [km], mometem zgającm [km], słą połużą [k]. Przekroje

Bardziej szczegółowo

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki

Podstawowe zadanie statystyki. Statystyczna interpretacja wyników eksperymentu. Zalety statystyki II. Zalety statystyki tatystycza terpretacja wyków eksperymetu Małgorzata Jakubowska Katedra Chem Aaltyczej Wydzał IŜyer Materałowej Ceramk AGH Podstawowe zadae statystyk tatystyka to uwersale łatwo dostępe arzędze, które pomaga

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE

AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE Istytut Iżyer Ruchu Morskego Zakład Urządzeń Nawgacyjych Istrukcja r 0 Wzory do oblczeń statystyczych w ćwczeach z radoawgacj Szczec 006 Istrukcja r 0: Wzory do oblczeń statystyczych

Bardziej szczegółowo

Pomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym

Pomiary bezpośrednie i pośrednie obarczone błędem przypadkowym Pomary bezpośrede pośrede obarczoe błędem przypadkowym I. Szacowae wartośc przyblŝoej graczego błędu przypadkowego a przykładze bezpośredego pomaru apęca elem ćwczea jest oszacowae wartośc przyblŝoej graczego

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE

PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE Marek Cecura, Jausz Zacharsk PODSTAWY PROBABILISTYKI Z PRZYKŁADAMI ZASTOSOWAŃ W INFORMATYCE CZĘŚĆ II STATYSTYKA OPISOWA Na prawach rękopsu Warszawa, wrzeseń 0 Data ostatej aktualzacj: czwartek, 0 paźdzerka

Bardziej szczegółowo

Projekt 3 3. APROKSYMACJA FUNKCJI

Projekt 3 3. APROKSYMACJA FUNKCJI Projekt 3 3. APROKSYMACJA FUNKCJI 3. Krter proksmcj. Złóżm że () jest ukcją cągłą w przedzle [ b ]. Zlezee przblże (proksmcj) poleg wzczeu współczków pewego welomu P() któr będze dobrze przblżł w tm przedzle

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Zajęcia 5 Stasław Cchock Natala Nehreecka Zajęca 5 . Testowae łączej stotośc wyraych regresorów. Założea klasyczego modelu regresj lowej 3. Własośc estymatora MNK w KMRL Wartośd oczekwaa eocążoośd estymatora Waracja

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa Wzory

Statystyka Opisowa Wzory tatystyka Opsowa Wzory zereg rozdzelczy: x - wartośc cechy - lczebośc wartośc cechy - lczebość całej zborowośc Wskaźk atężea przy rysowau wykresu szeregu rozdzelczego przedzałowego o erówych przedzałach:

Bardziej szczegółowo

Średnia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne

Średnia arytmetyczna Klasyczne Średnia harmoniczna Średnia geometryczna Miary położenia inne Mary położea Średa arytmetycza Klasycze Średa harmocza Średa geometrycza Mary położea e Modala Kwartyl perwszy Pozycyje Medaa (kwartyl drug) Kwatyle Kwartyl trzec Decyle Średa arytmetycza = + +... + 2

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzee macerzowe werdzee: Dla dwóch macerzy A B o tych samych wymarach zachodz: ( ) ( ) wersz a) R A R B A ~ B Dowód: wersz a) A ~ B stee P taka że PA B 3 0 A 4 3 0 0 E A B 0 0 0 E B 3 6 4 0 0 0

Bardziej szczegółowo

Oznaczanie tiosiarczanu metodą miareczkowania kulometrycznego

Oznaczanie tiosiarczanu metodą miareczkowania kulometrycznego Ozaczae tosarczau metodą mareczkowaa kulometryczego Metoda: Mareczkowae kulometrycze Cel ćwczea: Celem ćwczea jest kulometrycze ozaczee tosarczau. Odczyk KH PO 4, roztwór maoway o stężeu c = /5 M Na HPO

Bardziej szczegółowo

MODELE OBIEKTÓW W 3-D3 część

MODELE OBIEKTÓW W 3-D3 część WYKŁAD 5 MODELE OBIEKTÓW W -D część la wykładu: Kocepcja krzywej sklejaej Jedorode krzywe B-sklejae ejedorode krzywe B-sklejae owerzche Bezera, B-sklejae URBS 1. Kocepcja krzywej sklejaej Istotą z praktyczego

Bardziej szczegółowo

= n = = i i. Sprawdzenie istotności współczynnika korelacji ρ dla populacji na podstawie współczynnika r

= n = = i i. Sprawdzenie istotności współczynnika korelacji ρ dla populacji na podstawie współczynnika r STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB V I VI. Pla laboatoum V VI Koelacja współczk koelacj Peasoa testowae stotośc współczka koelacj Regesja lowa egesja posta, ocea dopasowaa, testowae stotośc współczków egesj

Bardziej szczegółowo

dev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =?

dev = y y Miary położenia rozkładu Wykład 9 Przykład: Przyrost wagi owiec Odchylenia Mediana próbkowa: Przykłady Statystyki opisowe Σ dev i =? Mary położea rozkładu Wykład 9 Statystyk opsowe Średa z próby, mea(y) : symbol y ozacza lczbę; arytmetyczą średą z obserwacj Symbol Y ozacza pojęce średej z próby Średa jest środkem cężkośc zboru daych

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 3,4 5 Szereg rozdzelczy przedzałowy (dae pogrupowae) (stosujemy w przypadku dużej lczby epowtarzających sę daych) Przedzał (w ; w + ) Środek x& Lczebość Lczebość skumulowaa s

Bardziej szczegółowo

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA

5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA 5. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA Zdarza sę dość często, że zależośc występujące w aalzowaych procesach (p. ospodarczych) mają charakter elowy. Dlateo też, oprócz lowych zadań decyzyjych, formułujemy także elowe

Bardziej szczegółowo

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a.

FINANSE II. Model jednowskaźnikowy Sharpe a. ODELE RYNKU KAPITAŁOWEGO odel jedowskaźkowy Sharpe a. odel ryku kaptałowego - CAP (Captal Asset Prcg odel odel wycey aktywów kaptałowych). odel APT (Arbtrage Prcg Theory Teora artrażu ceowego). odel jedowskaźkowy

Bardziej szczegółowo

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych

Pomiary parametrów napięć i prądów przemiennych Ćwczee r 3 Pomary parametrów apęć prądów przemeych Cel ćwczea: zapozae z pomaram wartośc uteczej, średej, współczyków kształtu, szczytu, zekształceń oraz mocy czyej, berej, pozorej współczyka cosϕ w obwodach

Bardziej szczegółowo

Statystyka Inżynierska

Statystyka Inżynierska Statystyka Iżyerska dr hab. ż. Jacek Tarasuk AGH, WFIS 013 Wykład 3 DYSKRETNE I CIĄGŁE ROZKŁADY JEDNOWYMIAROWE, PODSTAWY ESTYMACJI Dwuwymarowa, dyskreta fukcja rozkładu rawdoodobeństwa, Rozkłady brzegowe

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki

System finansowy gospodarki System fasowy gospodark Zajęca r 7 Krzywa retowośc, zadaa (mat. f.), marża w hadlu, NPV IRR, Ustawa o kredyce kosumeckm, fukcje fasowe Excela Krzywa retowośc (dochodowośc) Yeld Curve Krzywa ta jest grafczym

Bardziej szczegółowo

Statystyka Matematyczna Anna Janicka

Statystyka Matematyczna Anna Janicka Statystyka Matematycza Aa Jacka wykład II, 3.05.016 PORÓWNANIE WIĘCEJ NIŻ DWÓCH POPULACJI TESTY NIEPARAMETRYCZNE Pla a dzsaj 1. Porówywae węcej ż dwóch populacj test jedoczykowej aalzy waracj (ANOVA).

Bardziej szczegółowo

Badania Maszyn CNC. Nr 2

Badania Maszyn CNC. Nr 2 Poltechka Pozańska Istytut Techolog Mechaczej Laboratorum Badaa Maszy CNC Nr 2 Badae dokładośc pozycjoowaa os obrotowych sterowaych umerycze Opracował: Dr. Wojcech Ptaszy sk Mgr. Krzysztof Netter Pozań,

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT.. Zagadee trasportowe w postac tablcy Z m puktów (odpowedo A,...,A m ) wysyłamy edorody produkt w loścach a,...,a m do puktów odboru (odpowedo B,...,B ), gdze est odberay w

Bardziej szczegółowo

TMM-2 Analiza kinematyki manipulatora metodą analityczną

TMM-2 Analiza kinematyki manipulatora metodą analityczną Opracował: dr ż. Przemysław Szumńsk Laboratorum Teor Mechazmów Automatyka Robotyka, Mechatroka TMM- Aalza kematyk mapulatora metodą aaltyczą Celem ćwczea jest zapozae sę ze sposobem aalzy kematyk mechazmu

Bardziej szczegółowo

Liniowe relacje między zmiennymi

Liniowe relacje między zmiennymi Lowe relacje mędzy zmeym Marta Zalewska Zakład Proflaktyk ZagrożeńŚrodowskowych Alergolog Ocea lowych relacj mędzy zmeym Metoda korelacj - określee rodzaju sły zależośc mędzy cecham. Metoda regresj 1 Uwaga

Bardziej szczegółowo

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 2 x Prawdopodobeństwo statystyka 8.0.007 r. Zadae. Nech,,, rozkładze z gęstoścą Oblczyć m E max będą ezależym zmeym losowym o tym samym { },,, { },,, gdy x > f ( x) = x. 0 gdy x 8 8 Prawdopodobeństwo statystyka

Bardziej szczegółowo

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 3 Nr: 1 Metody obliczeniowe wykład nr 3 aproksymacja i interpolacja pojęcie modelu regresji

Metody obliczeniowe - Budownictwo semestr 2 - wykład nr 3 Nr: 1 Metody obliczeniowe wykład nr 3 aproksymacja i interpolacja pojęcie modelu regresji Nr: Metod oblczeowe - Budowctwo semestr - wkład r 3 Metod oblczeowe wkład r 3 aproksmacja terpolacja pojęce modelu regresj Nr: Metod oblczeowe - Budowctwo semestr - wkład r 3 Aproksmacja daa jest ukcja

Bardziej szczegółowo

ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji

ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną EX = EY = 1, EZ = 0 i macierzą kowariancji Zadae. Zmea losowa (, Y, Z) ma rozkład ormaly z wartoścą oczekwaą E = EY =, EZ = 0 macerzą kowaracj. Oblczyć Var(( Y ) Z). (A) 5 (B) 7 (C) 6 Zadae. Zmee losowe,, K,,K P ( = ) = P( = ) =. Nech S =. Oblcz

Bardziej szczegółowo