REZONANS PRĄDOWY. I. Cel ćwiczenia: zapoznanie z problematyką rezonansu prądowego, wyznaczenie charakterystyk. IV. Wprowadzenie

Transkrypt

1 Ćwiczenie E- EZONANS PĄDOWY I. el ćwiczenia: zapoznanie z problematyką rezonansu prądowego, wyznaczenie charakterystyk prądowych obwodu, częstości rezonansowej, współczynnika dobroci i tłumienia, pasma przenoszenia obwodu, wyznaczenie oporności zespolonej całego obwodu w stanie rezonansu. II. Przyrządy: płytka montaŝowa obwodu, generator mocy, amperomierze. III. iteratura:. E. Purcell Elektryczność i magnetyzm,. H. Szydłowski Pracownia fizyczna, 3. S. Malzacher aboratorium elektroniki stosowanej, 4. T. Masewicz, S. Paul Podstawy Elektrotechniki. IV. Wprowadzenie W obwodach prądu przemiennego zawierających pojemność i indukcyjność, reaktancja indukcyjna X jest proporcjonalna do częstości, a reaktancja pojemnościowa X jest odwrotnie proporcjonalna do częstości, Dla pewnej częstości, zwanej częstością rezonansową, wartości bezwzględne obu reaktancji stają się równe co powoduje, Ŝe reaktancje te wzajemnie się znoszą. Obwód zachowuje się jakby zawierał tylko rezystancję. Zjawisko to nazywamy rezonansem, a obwód w którym moŝe ono powstać zwany jest obwodem rezonansowym. W ćwiczeniu tym badamy obwód rezonansowy równoległy, w którym do źródła napięcia przemiennego dołączone są indukcyjność, pojemność i oporność połączone równolegle. Dla rozwaŝań teoretycznych przyjmiemy następujące oznaczenia: oporność rzeczywista (rezystancja) X oporność pozorna, inaczej część urojona impedancji (reaktancja) Z oporność zespolona (impedancja) przewodność rzeczywista (konduktancja) B przewodność pozorna, część urojona admitancji (susceptancja) Y - przewodność zespolona Z - moduł impedancji, zawada Z = +ix Y = +ib i = - Terminy podane w nawiasach są stosowane w literaturze technicznej i podręcznikach elektrotechniki. IV. ównoległy obwód o idealnych elementach. W równoległym obwodzie wektorowa suma natęŝeń prądu w poszczególnych elementach równa się natęŝeniu prądu płynącego ze źródła siły elektromotorycznej: I = I + I + I ZałóŜmy, Ŝe napięcie zmienne U moŝna przedstawić w postaci: I PAOWNIA FIZYZNA

2 Ćwiczenie E- U = U m sinωt I ~ U I I I ys. ównoległy obwód z zewnętrznym źródłem napięcia zmiennego. Wówczas natęŝenie prądu płynącego przez opornik wyniesie I = U m sinωt NatęŜenie prądu w cewce jest opóźnione w stosunku do napięcia U o kąt przesunięcia fazowego równy π, zatem I = U m U π m sin ωt = ω ù cosωt NatęŜenie prądu w kondensatorze wyprzedza w fazie o π napięcie U I = U m ω sin(ωt+ π ) = Um ω cosωt Sumując natęŝenia prądu I, I i I otrzymujemy Wprowadzimy teraz następujące oznaczenia: = - przewodność rzeczywista I= I +I +I = U m [ sinωt ( ω) cosωt] () ω B = - przewodność pozorna indukcyjna ω B = ω - przewodność pozorna pojemnościowa Jednostką powyŝszych wielkości jest simens (S). Po wprowadzeniu przewodności równanie () przybiera postać ównanie () mnoŝymy stronami przez I = U m [ sinωt + (B B ) cosωt] () Y = + ( B B ) i wprowadzając kąt ϕ, określony wzorami I PAOWNIA FIZYZNA

3 Ćwiczenie E- sinϕ = cosϕ = B B + ( B B ) + ( B B) (3a) (3b) tgϕ = otrzymujemy po elementarnym przekształceniu Wielkość Y = B B π π, (- ϕ ) (3c) I = Y U m sin(ωt+ϕ) (4) + ( B B) (5) nazywamy modułem przewodności zespolonej obwodu równoległego. Moduł przewodności zespolonej obwodu jest równy odwrotności modułu oporności zespolonej tego obwodu: Y = Z Jak wynika ze wzorów (3) i (4) kąt ϕ jest kątem przesunięcia fazowego miedzy napięciem (siłą elektromotoryczną), a natęŝeniem prądu płynącego w obwodzie, wartość zaś tego kąta zaleŝy od parametrów,,, oraz częstości. I I m I m I m - I m I m ϕ I m U, I I ys. Diagram wektorowy (wykres wskazowy) dla obwodu równoległego PowyŜsze rozwaŝania moŝna zilustrować graficznie posługując się tzw. diagramem wektorowym (wykresem wskazowym), przedstawionym na rys.. I m = U m I m = U m B I m = U m B I m = U m Y (6a) (6b) (6c) (6d) W oparciu o diagram przedstawiony na rys. moŝna otrzymać między innymi zaleŝności (3) i (5). 3 I PAOWNIA FIZYZNA

4 Ćwiczenie E- Zasady konstrukcji diagramów wektorowych są podane w pozycji (4) literatury. Jak wynika z przytoczonych zaleŝności moŝna wyodrębnić trzy zasadnicze przypadki: π. B > B, - ϕ < 0 π. B >B, 0 < ϕ 3. B = B, ϕ = 0 Przypadek 3 jest najbardziej interesujący z fizycznego punku widzenia, gdyŝ spełnienie warunku B = B jest równoznaczne ze spełnieniem warunku rezonansu prądowego. IV. ezonans prądowy Warunkiem rezonansu w równoległym obwodzie jest zerowa wartość całkowitej przewodności pozornej tego obwodu: B = B B = 0 (7) Warunek (7) moŝe być spełniony tylko dla ściśle określonej częstości, zaleŝnej od parametrów i obwodu: B r = B r Z ostatniej równości wynika f r = (8) π Diagram wektorowy dla równoległego obwodu w stanie rezonansu jest przedstawiony na rys.3 I I mr I mr = I mr U, I I mr I ys.3 Diagram wektorowy dla równoległego obwodu w stanie rezonansu. Diagram ilustruje cechy charakterystyczne dla stanu rezonansu, a mianowicie:. NatęŜenia prądów w gałęziach i są równe i przesunięte w fazie o π, a więc prądy te płyną w przeciwnych kierunkach. Amplituda całkowitego natęŝenia prądu w obwodzie jest równa amplitudzie natęŝenia prądu płynącego przez gałąź.: U I mr = I mr = m = Um (9) 3. Kąt przesunięcia fazowego miedzy natęŝeniem prądu, a napięciem wynosi 0. Ze względu na to, Ŝe w stanie rezonansu występuje równowaŝenie się natęŝeń prądów w 4 I PAOWNIA FIZYZNA

5 Ćwiczenie E- cewce i kondensatorze, rezonans w tym obwodzi nazywamy rezonansem prądowym równoległym. Amplitudy natęŝeń prądów wynoszą odpowiednio: a poniewaŝ i to I mr = U m B r I mr = U m I mr = U m B r I mr = I mr I mr = I mr I mr = I mr B r B r (0a) (0b) (0c) NatęŜenia prądów w cewce i kondensatorze mogą być większe w rezonansie od prądu pobieranego ze źródła mówimy wówczas o przetęŝeniu. Wielkość przetęŝenia moŝemy powiązać tzw. współczynnikiem dobroci obwodu. Współczynnik dobroci obwodu definiujemy jako bezwymiarowy stosunek Q: Q = ω o energia zmagazynowana w obwodzie średnia moc rozproszona gdzie ω o = πf r Tak zdefiniowana dobroć obwodu odnosi się zatem do stanu rezonansu i nazywana bywa dobrocią w rezonansie(q r ). Dobroć obwodu wskazuje, o czym wspomniano określając przetęŝenie, ile razy prąd w gałęzi z indukcyjnością lub w gałęzi z pojemnością jest większy od prądu dopływającego do obwodu rezonansowego ałkowita energia zmagazynowana w obwodzie w stanie rezonansu jest równa: () W = I mr = U rm () Średnia moc rozproszona dla obwodu równoległego wyraŝa się wzorem: P = Im = Imr (3) Stąd otrzymujemy teoretyczną wartość dobroci obwodu w rezonansie: Q r = Odwrotność współczynnika dobroci obwodu nazywamy współczynnikiem tłumienia obwodu i oznaczamy przez θ r θ r = = (5) Q r PoniewaŜ Q Br Br = = (4) 5 I PAOWNIA FIZYZNA

6 Ćwiczenie E- moŝemy wzory (0) przepisać w postaci: I mr = I mr Q r = I mr (6a) θr I mr = I mr Q r = I mr (6b) θr Ze wzorów (4), (5) i (6) wynika, Ŝe natęŝenie prądu w obwodzie jest funkcją częstości napięcia zasilającego obwód i osiąga ono wartość minimalną dla częstości rezonansowej. Wykres zaleŝności I = I(f) nazywamy krzywą rezonansową. PoniewaŜ amperomierz mierzy wartość skuteczną natęŝenia prądu, która jest związana z amplitudą prądu relacją I sk = I m, to ściśle biorąc wykres krzywej rezonansowej jest zaleŝnością I sk = I sk (f) lub I m = I m (f). zęsto pomijamy dolne indeksy sk lub m, mając świadomość co reprezentuje symbol I w zaleŝności I = I(f). Przewodność zespolona obwodu Y jest równieŝ funkcją częstości i osiąga minimum równe wartości przewodności rzeczywistej obwodu przy częstości rezonansowej f r. Kształt krzywej Z(f) jest odwróceniem krzywej Y(f). Na rys. 4 przedstawiono krzywe Z(f) dla róŝnych wartości θ. Z θ >θ B B Y B Y θ B f r f f r f ys.4 Kształt krzywych modułu oporności zespolonej Z w funkcji częstości dla róŝnych wartości θ. ys.5 ZaleŜność przewodności indukcyjnej B, pojemnościowej B, rzeczywistej i modułu przewodności zespolonej obwodu Y. I m I mr I mr f f r f f ys.6 Krzywa rezonansu prądowego 6 I PAOWNIA FIZYZNA

7 Ćwiczenie E- Wprowadźmy teraz wielkość, nazywaną szerokością pasma przenoszenia obwodu, a definiowaną jako zakres częstości f f, na krańcach którego natęŝenie prądu w obwodzie osiąga wartość I mr. Szerokość pasma przenoszenia obwodu moŝna powiązać z wartością współczynnika dobroci Q lub współczynnika tłumienia θ. Przesunięcie fazowe prądu względem napięcia wyraŝa się wzorem: tgϕ = ω ω (7) mnoŝymy licznik i mianownik przez : tgϕ = ω ω = ω ω Oznaczając przez ω 0 i korzystając ze wzoru (5) otrzymamy: ω ω0 ω ω0 tgϕ = - = - θr ω0 ω θ r (8) ω0 ω Amplituda natęŝenia prądu pobieranego ze źródła wyraŝa się wzorem: I m = U m B B + W warunkach rezonansu amplituda prądu osiąga wartość (9) I mr = U m = U m (0) Podstawiając do wzoru (9) wyraŝenia na B, B i i korzystając ze wzoru (0) otrzymamy: ω ω0 I m (ω) = I mr + θ ω0 ω r () ozwiązując równanie () względem ω dla wartości I m = I mr otrzymamy: ω, ω 0 = ±θr. () ω 0 ω, gdzie ω, ω są częstościami kołowymi dla których zachodzi: I m = I mr (3) 7 I PAOWNIA FIZYZNA

8 Ćwiczenie E- stąd lub ω ω = ω0 ω0 ω0 ω = θ r. (4) f f = f = f r θ r (5) Zgodnie z ogólnie przyjętą terminologią moŝemy nazwać f dolną częstością graniczną, a f górną częstością graniczną. Obwód rezonansowy o paśmie przenoszenia f = f f moŝe zatem spełniać funkcję filtru częstości. Stosunek określony wzorem (3) jest umownie przyjętą wartością dla określenia częstości granicznej w fizyce, elektrotechnice i elektronice, jeŝeli do opisu stosunku wartości wielkości fizycznych stosowana jest skala logarytmiczna wyraŝona w decybelach to tłumienie o wartości równej odpowiada wartości -3 db. Dobroć obwodu jest wielkością fizyczną często uŝywaną w praktyce, gdyŝ pozwala określenie zarówno pasma przenoszenia danego układu elektrycznego jak i wielkości energii rozproszonej w tym układzie, a w układach typu rezonansowego umoŝliwia znalezienie wartości przetęŝenia (obwód równoległy) i przepięć (rezonans napięciowy w obwodzie szeregowym). Szeregowe obwody rezonansowe, sterowane np. w odbiornikach radiowych czy telewizyjnych z reguły charakteryzują się bardzo wysoką wartością współczynnika dobroci. IV.3 Obwód rzeczywisty Dokładne wyznaczenie teoretyczne wartości częstości rezonansowej rzeczywistego układu doświadczalnego, złoŝonego z generatora, obwodu rezonansowego i przyrządów pomiarowych wymaga uwzględnienia parametrów poszczególnych przyrządów. A A A 3 a) ~ 9nF ± 0% 90mH ± 0% = 6Ω 0,kΩ ±5% b) ys.7 Schemat układu pomiarowego do badania zjawisk rezonansu prądowego (a) i schemat połączeń wewnętrznych płytki montaŝowej obwodu (b). Spróbujemy przewidzieć, jaka będzie wartość częstości rezonansowej rzeczywistej układu, przedstawionego na rys.7, a składającego się z generatora mocy, amperomierzy i obwodu. 8 I PAOWNIA FIZYZNA

9 Ćwiczenie E- JeŜeli w pierwszym przybliŝeniu zaniedbamy wpływ pojemności i indukcyjności wyjściowych (wewnętrznych) generatora, oraz mierników to równowaŝny schemat elektryczny układu pomiarowego przyjmie taką postać, jak na rys.8. g ~ ε = ε o sin(ω t) 3 ys. 8 Uproszczony schemat zastępczy układu pomiarowego. g oporność wyjściowa (wewnętrzna ) generatora;, oporność wewnętrzna mierników,; 3 = * 3 +, gdzie * 3 jest opornością wewnętrzną miernika 3; oporność rzeczywista indukcyjności. zęstość drgań własnych ( rezonansowych) takiego układu jest opisana wzorem: f = π 3 (6) V. Pomiary UWAA! Maksymalne napięcie zasilania obwodu wynosi 7,75V.. Zbadać zaleŝność I, I i I od częstości przy stałych, w miarę moŝliwości, zakresach czułości mierników dla = 0,9H, = 9 nf, = 0.kΩ zalecany zakres czułości 0,05A przy napięciu wyjściowym generatora (nieobciąŝonego) 7,5V, pracującego na zakresie 7,75V/6Ω i (00 000)Hz.. Powtórzyć pomiary dla obwodów o parametrach: = 0,9H, = 0,kΩ, = 94nF oraz = 0,9H, = 0,kΩ, = 64,5nF. VI. Opracowanie wyników.. Przedstawić zaleŝności I(f), I (f) i I (f) na wspólnym dla kaŝdej pojemności,,, wykresie.. Wyznaczyć częstości rezonansowe, współczynnik dobroci i tłumienia oraz pasma przenoszenia obwodów. Oszacować błędy i porównać otrzymane wyniki z przewidywanymi na podstawie wzorów teoretycznych. 9 I PAOWNIA FIZYZNA

10 Ćwiczenie E- Określić wpływ oporności wewnętrznych przyrządów na wartość dobroci i współczynnika tłumienia obwodu. 3. Wyznaczyć oporności zespolone całego obwodu w stanie rezonansu. 4. Ocenić, czy schemat zastępczy, przedstawiony na rys.8 jest dobrym (tzn. dopuszczalnym w granicach błędów doświadczalnych i dokładności z jaką znamy wartości poszczególnych elementów) przybliŝeniem pełnego schematu zastępczego. 5. Przeprowadzić dyskusję wyników. 0 I PAOWNIA FIZYZNA