Pomiar wartości stałej Stefana-Boltzmanna

Transkrypt

1 Pmiar wartści stałej Stefana-Bltzmanna I. Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartści stałej Stefana-Bltzmanna, zapznanie z terią prmieniwania ciała dsknale czarneg. II. Przyrządy: żarówka, ampermierz, wltmierz, zasilacz V, mikrskp d pmiaru średnicy włókna żarówki, płytka mikrmetryczna d skalwania mikrskpu. III. Literatura:. J. L. Kacperski, I pracwnia fizyczna, WUŁ Łódź 998. IV. Wstęp Praktycznym przybliżeniem ciała czarneg jest wnęka zapatrzna w mały twór, tak że prmieniwanie dciera d twru p wielkrtnych dbiciach d ścian wnęki. Prmieniwanie wnęki tym bardziej przypmina prmieniwanie ciała czarneg, im większa jest bjętść wnęki V i im mniejsza pwierzchnia twru A (V, A ). Jeśli przez u ν znaczyć gęstść energii emitwanej przez ciał czarne w zakresie częstści d ν d ν + dν, wówczas całkwita gęstść energii, tzn. energia unszna przez fale w całym zakresie częstści (długści) w jednstce bjętści, wyniesie: u uν dν () D jednstkwej pwierzchni wnęki z kąta bryłweg dω dciera w jednstce czasu energia: csθ dω π gdzie θ znacza kąt pmiędzy kierunkiem wiązki a pwierzchnią ścianki. Czynnik c/π dnsi się d iztrpweg prmieniwania rzchdząceg się z prędkścią c (c znacza prędkść światła). W mmencie dbicia światła d ścianki jest jej przekazywany pęd równy pdwjnej składwej pędu prmieniwania, prstpadłej d ścianki. Wykrzystując związek E pc, zachdzący pmiędzy energią i pędem ftnów, przekaz pędu mżna zapisać w pstaci: u cs θ p dω π Całkując t równanie p przedstawieniu elementu kąta bryłweg dω w dgdnej d bliczeń pstaci: d ω sinθ dθ dϕ d(csθ) dϕ, trzymamy wyrażenie na ciśnienie wywierane przez prmieniwanie: () () π u u p dϕ cs θ d(csθ) π () I Pracwnia Fizyczna

2 Zauważmy, że wnęka zawierająca prmieniwanie przypmina naczynie z gazem. Jeśli jedną ze ścianek zastąpić przez rhmy tłk, d pisu przemian gazu ftnweg mżna zastswać zasady termdynamiki: TdS dw+ pdv () gdzie T znacza temperaturę bezwzględną, S entrpię, p ciśnienie, a W uv energię gazu. Pnieważ W zależy tylk d temperatury, p uwzględnieniu wzru () trzymamy następujące wyrażenie pisujące zmianę entrpii ds ds(v,t) przy przesuwaniu tłka: Pnieważ z definicji udv V u V du u ds + du+ dv dt+ dv (6( T T T T dt T z prównania dwu wyrażeń trzymamy związki: Wbec teg S S ds dt+ dv (7) T V S T S V V T u T S T V S V T du dt du T dt du T dt u T (pamiętamy ciągle, że u nie zależy d bjętści). Z prównania (9a) i (9b) trzymujemy równanie różniczkwe: (8a) (8b) (9a) (9b) du dt () u T i jak rzwiązanie, związek pmiędzy całkwitą gęstścią prmieniwania wnęki i temperaturą: u αt () Znajdźmy teraz mc wyprmieniwaną przez jednstkę pwierzchni ciała czarneg, jest t bwiem wielkść, która będzie badana w dświadczeniu. Niech ciał czarne emituje prmieniwanie iztrpw w kąt bryłwy π. Rzpatrzmy element kąta bryłweg dω, dpwiadający wszystkim mżliwym kątm azymutalnym φ (d d π) raz kątm zenitalnym zawartym w przedziale d θ d θ + dθ; d Ω πsinθ dθ () W ten kąt bryłwy emitwane jest z jednstkwej pwierzchni prmieniwanie mcy: de πsinθ dθ csθ sinθd(sinθ) () π Jeśli wybrazić sbie, że energia ftnów w gazie ftnwym, pdbnie jak zwykłeg gazu, jest prprcjnalna d temperatury gazu raz, że ftn zajmuje bjętść sześcianu krawędzi prprcjnalnej d λ, wówczas ze związku pmiędzy energią ftnu: E hν hc/λ ~ T i zajmwaną bjętścią ~ λ trzymamy na gęstść bjętściwą energii wyrażenie: I Pracwnia Fizyczna

3 ρ E E ~ λ ~ λ ~ T dpwiadające jakściw prawu Stefana-Bltzmanna. P scałkwaniu wzru () znajdujemy całkwitą mc emitwaną przez jednstkę pwierzchni ciała czarneg: E sinθ d(sinθ) () Płączenie teg wyniku z równaniem () prwadzi d związku pmiędzy mcą emitwaną i temperaturą bezwzględną: αc αc E T σt, gdzie σ () trzymaneg empiryczne przez Stefana w 879 r. i nazywaneg prawem Stefana-Bltzmanna. Dkładniej praw należałby zapisać w pstaci: E σet (6) gdzie e, mgące przyjmwać wartści d d, w zależnści d emitującej pwierzchni, jest tzw. zdlnścią emisyjną. Dla ciała czarneg alb, jak się zwykle mówi, dsknale czarneg, e. Chciaż związki () i () mżna trzymać klasyczne, t nie jest mżliwe przewidzenie na pdstawie fizyki klasycznej wartści stałej S B. Jak wiadm, wzór pisujący pprawnie prmieniwanie ciała czarneg trzymał w 9 r. Planck, p wprwadzeniu słynneg pstulatu mówiąceg ziarnistści energii emitwanej przez scylatr: E n nhν (n jest liczbą naturalną) (7) gdzie h jest nwą stałą, nazwaną później stałą Plancka. Praw Plancka: 8πhν u ν (8) σ hν exp kt wykrzystamy d trzymania teretycznej wartści stałej σ; w tym celu należy scałkwać wzór (8) ze względu na częstść ν: 8πh ν dν u u ν dν σ (9) hν exp kt P zamianie zmiennych: hν kt x ; dν dx; kt h π( kt) ( hc) 8 x u dx () x e Występująca tutaj całka należy d tzw. całek eliptycznych: jej wartść, którą mżna znaleźć w dpwiednich tablicach, wynsi π /. Wbec teg: ( kt) 8π u αt () h c I Pracwnia Fizyczna

4 i zgdnie ze wzrem (): αc π k σ () h c Znając dświadczalną wartść σ raz stałej Bltzmanna k R/N (R stała gazwa, N stała Avgadr), Planck mógł znaleźć wartść liczbwą swjej tzw. stałej działania h. Zamiast teg wykrzystał ddatkw praw Wiena, również zawierające h i k i dzięki temu mógł wyznaczyć wartści bu stałych niezależnie d siebie. Z klei znajmść k psłużyła Planckwi d znalezienia (na pdstawie prawa elektrlizy Faradaya) wartści ładunku elektrnu, mniejszej zaledwie % d przyjmwanej becnie. Wspmnijmy tutaj, że słynne dświadczenie Millikana zstał wyknane dpier w 99 r, a trzymana wówczas wartść ładunku elementarneg była mniejsza d znanej becnie,% (przyczyną był wykrzystanie przez Millikana zaniżnej wartści współczynnika lepkści pwietrza). Wstępwi d dświadczenia pświęciliśmy tak wiele miejsca ze względu na znaczenie zagadnienia prmieniwania ciała czarneg dla rzwju fizyki współczesnej, a także dlateg, że ukazuje n związki zachdzące pmiędzy stałymi fizycznymi: niektóre z tych stałych są szczególnie fundamentalne. Na przykład stała Plancka jest bardziej fundamentalna d stałej Stefana- Bltzmanna nie tylk dlateg, że praw S-B kazał się być knsekwencją prawa Plancka, lecz również dlateg, że stała h występuje pwszechnie na najgłębszym pzimie naszej znajmści materii pzimie cząstek elementarnych, pdczas gdy σ ma znaczenie raczej makrskpwe. V. Metda pmiaru Rlę ciała dsknale czarneg spełnia w dświadczeniu włókn żarówki, d któreg dprwadzana jest mc P UI (U znacza napięcie na kńcach włókna, I natężenie prądu). Jeśli przyjąć, że mc ta w całści zstaje wyprmieniwana, związek (6) mżna zapisać w pstaci: ( T T ) σat P Aσ dla T >> T () gdzie A jest pwierzchnią włókna, T temperaturą tczenia. Załóżmy, że pór włókna zależy liniw d temperatury (pr. ćw. E-6): R R T/T, gdzie R znacza pór włókna w temperaturze panującej w labratrium. Dzięki temu związkwi pmiar pru pzwli w prsty spsób kreślić temperaturę włókna (metda znalazła zastswanie przy knstrukcji termmetrów prwych): RT R T () Zakładamy tutaj, że temperatura włókna na całej długści jest jednakwa (w rzeczywistści miejsca zamcwania są chłdniejsze d pzstałych części). P pdstawieniu statnieg związku d wzru () trzymamy: T P AσR () R VI. Pmiary Układ pmiarwy przedstawiny jest na rys.. Opór żarówki w temperaturze T wyznaczyć mżna krzystając z prawa Ohma: R U/I. Ostatecznie trzymujemy następującą zależnść pmiędzy prądem płynącym przez włókn i napięciem zasilającym: I d T R / / π l σ (6) U I Pracwnia Fizyczna

5 (d i l znaczają dpwiedni średnicę i długść włókna). Jest t zależnść ptęgwa: I KU (6a) gdzie: K d T R / π l σ (6b) zasilacz napięcia V Rys. Układ d badania temperaturwej zależnści prnści włókna żarówki A P zlgarytmwaniu bu strn wzru (6a) trzymamy związek liniwy: gdzie: y a + bx (7a) a lg K, b, y lgi, x lg U (7b) Pmiary plegają na dświadczalnym zbadaniu zależnści (6), tzn. na zmierzeniu natężenia prądu płynąceg przez włókn żarówki przy różnych napięciach zasilających, zmienianych pkrętłem regulacji napięcia na zasilaczu. Należy więc:. Zmierzyć natężenie prądu I płynąceg przez żarówkę dla kilku napięć zasilających (nie przekraczać parametrów nminalnych żarówki).. Zmierzyć średnicę włókna żarówki, używając mikrskpu (pmiaru dknujemy na próbce włókna teg sameg typu jakiej użyt w pmiarach). Pdziałkę ekranu mikrskpu wyskalwać używając płytki mikrmetrycznej (działka elementarna skali mikrmetrycznej wynsi, mm).. Zmierzyć pór R badaneg włókna żarówki w temperaturze pkjwej. D teg celu używamy mmierza cyfrweg, pnieważ prąd płynący przez badane włókn nie pwduje wówczas zauważalnej zmiany jeg temperatury.. Dknać nieniszcząceg pmiaru pśrednieg długści l włókna. Pmiar plega na kreśleniu długści włókna ze związku między długścią włókna, pwierzchnią przekrju przeczneg, prem właściwym materiału (dczytanym z tablic, przyjmujemy, że jest t wlfram): VII. Opracwanie R S πr d l (8) ρ ρ. Zlgarytmwać wartści natężenia prądu I i napięcia U. Sprządzić wykres lg(i) w funkcji lg(u). Oczekiwaną zależnścią jest prsta pstaci y a + bx (patrz zależnść (7a) i (7b)). I Pracwnia Fizyczna

6 Wartść rzędnej a lg K mżna znaleźć metdą najmniejszych kwadratów lub graficznie. Użycie papieru lgarytmiczneg umżliwia bezpśrednie dczytanie lg K z wykresu.. Znając K, w parciu (6b), znaleźć wartść stałej Stefana-Bltzmanna: K R σ d T π l. Prównać wynik z wartścią przewidywaną przez wzór ().. Ocenić niepewnść pmiarwą wyznacznej wartści σ, bliczając ją ze wzru: K R σ±σ + K R T + T d l + + d l gdzie R, T, d są niepewnściami pmiaru dpwiedni pru włókna, temperatury tczenia i średnicy włókna żarówki. Niepewnść względną pmiaru długści l włókna trzymuje się ze wzru (patrz zależnść (8)): l R d + l R d Pmijamy tutaj wpływ niepewnści ρ na tę wartść. Metdą najmniejszych kwadratów wyznacza się również niepewnści a i b parametrów prstej. Wówczas dwóm wartścim lgarytmów (a + a) i (a a) dpwiadają dwie wartści K: a + a lg K stąd K raz a a lg K stąd K. Niepewnścią wyznaczenia wielkści K jest wyrażenie: K K K. 6 I Pracwnia Fizyczna