1. Elementy wytrzymałości materiałów

Transkrypt

1 . lementy wytrzymałści materiałów.7. Mduł sprężystści Wielkść charakteryzująca reakcję materiału na sprężyste bciążenie zewnętrzne kreślneg rdzaju. Przy bciążeniu jednsiwym (uniaxial lad) dkształcenie w kierunku przyłżneg naprężenia zmienia się wraz z tym naprężeniem. Stsunek naprężenia d dkształcenia ma stałą wartść w zakresie dkształceń sprężystych materiału i zmniejsza się gdy występuje dkształcenie plastyczne. Mdułem sprężystści (mdulus f elasticity, elastic mdulus) jest dwrtnść współczynnika prprcjnalnści we wzrze wyrażającym praw Hke a (Hk s law) wartść stsunku naprężenia d dpwiadająceg mu dkształcenia pniżej granicy prprcjnalnści materiału, nachylenie prstliniwej (zakres sprężystści) części wykresu naprężenie-dkształcenie zwykle wyrażany w MPa, GPa lub GN/m. Dla materiałów, które nie wykazują prstliniwej zależnści naprężeniedkształcenie mżna używać następujących kreśleń: pczątkwy mduł styczny (initial tangent mdulus) - nachylenie krzywej naprężenie-dkształcenie w pczątku układu współrzędnych; mduł styczny (tangent mdulus f elasticity) - nachylenie krzywej naprężenie-dkształcenie dla kreślneg naprężenia lub dkształcenia; mduł siecznej (secant mdulus f elasticity) - nachylenie siecznej pprwadznej z pczątku układu współrzędnych d kreślneg punktu krzywej naprężenie-dkształcenie; mduł cięciwy (chrd mdulus f elasticity) - nachylenie cięciwy pprwadznej między dwma punktami krzywej naprężeniedkształcenie. Dla rzciągania (tensin) znaczany jak mduł sprężystści wzdłużnej, mduł Yunga (Yung s mdulus, elastic mdulus, lngitudinal mdulus f elasticity, cefficient f direct elasticity). Dla ściskania (cmpressin) znaczany jak c mduł ściśliwści, mduł ściskania, (mdulus f cmpressin).

2 Pdstawy wytrzymałści materiałów Sylwester Kłysz Dla bciążeń hydrstatycznych (hydrstatic lad) znaczany jak K mduł Helmhltza (Helmhltz mdulus), mduł sprężystści bjętściwej (mdulus f vlume elasticity, bulk mdulus f elasticity). Dla ścinania (shear) i skręcania (trsin) znaczany jak G mduł Kirchhffa (Kirchhff mdulus), mduł sprężystści pprzecznej lub mduł sprężystści pstaciwej (rigidity mdulus, mdulus f elasticity in shear, shear mdulus, mdulus f elasticity in trsin, trsin mdulus). Dla materiałów iztrpwych zachdzą związki: G (.) + ν ( ) K (.) ( ν) gdzie ν jest współczynnikiem Pissna (Pissn s rati). Dla materiałów niejednrdnej strukturze (np. kmpzytów lub platerwanych stpów aluminium (clad aluminum ally)) mgą wystąpić w zakresie sprężystym dwa dcinki liniwej zależnści naprężenie-dkształcenie i wówczas dwie różne wartści współczynnika sprężystści. Współczynnik sprężystści pczątkwy lub pierwtny (initial r primary mdulus) jest zazwyczaj średnią ze współczynnika sprężystści rdzenia i współczynnika sprężystści warstwy plateru (matrycy i snwy kmpzytu). Ma n zastswanie tylk d bciążeń na pzimie granicy prprcjnalnści plateru (prprtinal limit f the cladding) i przykładw dla blachy platerwanej (clad sheet) 04-T jest t pzim kł 40 MPa a dla blachy platerwanej 7075-T6 d 70 MPa. Pczątkwy współczynnik sprężystści ma zastswanie głównie d badań zmęczenia niskamplitudweg wyskiej częsttliwści (lw amplitude, high frequency fatigue). Nie jest n jednak zalecany d stswania w gólnej analizie naprężeń lub prjektwaniu knstrukcji. Pwyżej teg pzimu bciążeń następuje krótki zakres przejściwy i materiał wykazuje wtórny współczynnik sprężystści (secndary mdulus) aż d granicy prprcjnalnści materiału rdzenia/matrycy jak nachylenie drugieg dcinka prstliniweg wykresu. Na skutek ddziaływań niesprężystych wartści mdułów sprężystści wyznaczne z nachylenia krzywej naprężenie-dkształcenie (stress-strain curve) są zaniżne (częst dwukrtnie, a nawet i więcej razy) w stsunku d wartści mdułów wyznacznych metdami dynamicznymi, plegającymi np. na wzbudzeniu drgań własnych w belce alb drucie lub na wyznaczeniu prędkści rzchdzenia się fali dźwiękwej (sund wave) w materiale. W przypadku

3 Mduł sprężystści (.) materiału iztrpweg (istrpic material) między mdułami sprężystści zachdzą przybliżne zależnści G /8 i K raz następujące związki: K G, K, G K( υ) G( + ν) 9KG K + G K G ν ( ν) ( + ν) K + 6K K K( ν) ( + ν) K + G (K + G) G( + ν) ( ν) G + G G G (G ) K 9K Mduł Yunga większści materiałów zależy d dwóch czynników: sztywnści wiązania międzyatmweg i gęstści wiązań na jednstkę pwierzchni. Wiązanie chemiczne pdbnie jak sprężyna charakteryzuje się sztywnścią k jednstce N/m. Mduł Yunga w przybliżeniu wynsi k/r 0, gdzie r 0 jest wielkścią atmu (r jest średnią bjętścią atmu lub jnu). Szerki zakres zróżnicwania wartści mdułu sprężystści jest przede wszystkim związany ze zróżnicwaniem wartści k. Wiązanie kwalencyjne jest sztywne (k 0 00 N/m). Wiązania metaliczne i jnwe charakteryzują się niec mniejszymi wartściami k (5 00 N/m). Diament ma bardz duży mduł Yunga, pnieważ atmy węgla są małe (c daje dużą gęstść wiązań) i są bardz silnie wiązane (k 00 N/m). Metale charakteryzują się dużym mdułem Yunga, dzięki gęstemu upakwaniu atmów. Wiązania są silne, chciaż nie tak silne, jak wiązania w diamencie. W plimerach występują jedncześnie silne wiązania kwalencyjne - takie jak w diamencie raz słabe - wdrwe, tj. wiązania Van der Waalsa (k 0,5 N/m). Słabe wiązania umżliwiają znaczne dkształcanie plimerów, pwdując zmniejszenie wartści mdułu tych materiałów d pzimu rzędu GPa. Materiały mdułach Yunga mniejszych niż ta wartść t elastmery lub pianki. Spwdwane jest t mżliwścią swbdneg pruszania się segmentów łańcucha plimeru (temperatura zeszklenia T g (glassy temperature) leży pniżej temperatury pkjwej) raz zdlnścią łańcucha d brtów wkół jeg wiązań pjedynczych. Małe mduły pianek są związane ze zginaniem się ścianek ich

4 Pdstawy wytrzymałści materiałów Sylwester Kłysz kmórek pd wpływem bciążania materiału, umżliwiającym duże przemieszczenia pd wpływem bciążenia materiałów. Mduły Yunga materiałów inżynierskich przybierają wartści d 0,0 GPa (pianki małej gęstści) d 000 GPa (diament); natmiast gęstści materiałów mieszczą się w przedziale 0, 0 Mg/m - Rys... Prędkść rzchdzenia się fal sprężystych w materiale raz częsttliwść drgań własnych wyknanych z nieg elementów są prprcjnalne d (/ρ) m. Wielkść (/ρ) m jest prędkścią pdłużnej fali w cienkim pręcie na rysunku są naniesine linie dpwiadające jednakwym wartścim (/ρ) m - prędkść fali pdłużnej waha się d pniżej 50 m/s dla miękkich elastmerów, d pnad 0 4 m/s w materiałach ceramicznych. Aluminium i szkł z pwdu małej gęstści przekazują drgania z dużą prędkścią, pmim małeg mdułu Yunga. Prędkść dźwięku w piankach nie jest mała, na c wskazywałby ich niewielki mduł sprężystści, gdyż kmpensuje t ich mała gęstść. W drewnie dźwięk rzchdzi się z małą prędkścią w kierunku prstpadłym d włókien, natmiast wzdłuż włókien znacznie szybciej (w przybliżeniu tak jak w stalach) - właściwść tę wykrzystuje się m.in. w knstruwaniu instrumentów muzycznych. 4

5 Mduł sprężystści pstaciwej, mduł Kirchhffa (.) Rys... Zakresy zmiennści mdułów Yunga i gęstści ρ materiałów inżynierskich.8. Mduł sprężystści pstaciwej, mduł Kirchhffa Stsunek kąta dkształcenia pstaciweg (shear strain) γ d naprężenia τ w przypadku jednrdneg ścinania (shear stress) dwrtnść współczynnika prprcjnalnści we wzrze wyrażającym praw Hke a (Hk s law) dla czysteg ścinania. Jest zależny d rdzaju materiału (składu, struktury, dmiany plimrficznej) raz temperatury i ciśnienia nie zależy d prędkści dkształcania. Mduł Kirchhffa (Kirchhff mdulus, G) jest k. -krtnie mniejszy d mdułu Yunga. Stan czysteg ścinania (shear state) mżna uzyskać np. w płaskim stanie naprężenia (plane stress state) przy działaniu na element knstrukcji głównych naprężeń (principal stress): σ τ i σ -τ. W wyniku takieg bciążenia pczątkw kwadratwa ściana hiptetycznej kstki materiału (ABCD na Rys..) bku równym jednści zamieni się w rmb (A B C D ). 5

6 Pdstawy wytrzymałści materiałów Sylwester Kłysz Odkształcenia względne dla występująceg w tym przypadku płaskieg stanu naprężenia wynszą: ε ε ( σ νσ ) + ν τ ν ( σ νσ ) τ (.) a) b) Rys... Czyste ścinanie wywłane naprężeniami głównymi σ σ τ i σ -σ -τ a) schemat bciążenia i dkształceń, b) dpwiednie kł Mhra czyli: + ν ε ε ε τ (.4) Długści przekątnych rmbu B D i A C będą równe: B D ε A C + ε (.5) Pnieważ miarą dkształcenia pstaciweg jest kąt γ, jaki zmniejszyły się pczątkw prste kąty <BAD i <BCD lub pwiększyły się kąty <ADC i <ABC rzpatrywanej kstki sześciennej, a kąt <OA D π/-γ stąd: tg π γ ε 4 + ε (.6) 6

7 Mduł sprężystści bjętściwej, mduł Helmhltza (.7) a wykrzystując wzór na tangens różnicy kątów i przyjmując, że kąt γ jest bardz mały (tzn. tg(γ/) γ/), zachdzi: Prównując ba pwyższe wzry trzymamy: γ π γ tg (.7) 4 γ + + ν ε τ γ (.8) i statecznie kąt dkształcenia pstaciweg γ, pisany prawem Hke a dla czysteg ścinania, wynsi: τ γ ( + ν) τ G (.9) Wyrażenie w mianwniku, zależne d stałych materiałwych, mdułu Yunga i współczynnika Pissna ν, jest stałą materiałwą, znaczaną przez G współczynnik (mduł) sprężystści pstaciwej (mduł Kirchhffa, Kirchhffa mdulus): G (.0) + ν ( ).9. Mduł sprężystści bjętściwej, mduł Helmhltza Stsunek ciśnienia d względnej zmiany bjętści materiału w przypadku wszechstrnneg iztermiczneg ściskania/sprężania, bciążenia hydrstatyczneg (hydrstatic lad, hydrstatic pressure) dwrtnść współczynnika prprcjnalnści we wzrze wyrażającym praw Hke a (Hk s law). Zmiana bjętści elementarneg prstpadłścianu pczątkwych wymiarach dx l, dx, dx, pddaneg działaniu przestrzenneg stanu naprężenia wynsi: V V V dx ( + ε ) dx ( + ε ) dx ( + ε ) dx dx dx ( + ε )( + ε )( + ε ) dx dxdx (.) 7

8 Pdstawy wytrzymałści materiałów Sylwester Kłysz Pmijając małe drugieg i trzecieg rzędu, nie wpływające isttnie na wartść ww. wyrażenia mżna zapisać: V V V ε + ε + ε Wykrzystując ugólnine praw Hke a pstaci: ε ε ε ( σ ν( σ + σ )) ( σ ν( σ + σ )) ( σ ν( σ + σ )) (.) (.) (.4) (.5) względną zmianę bjętści dla hydrstatyczneg bciążenia σ σ σ -p mżna wyrazić jak: V V V p ( ν)( σ + σ + σ ) ( ν) (.6) Tak więc względną zmianę bjętści wyrażną w funkcji wywłująceg ją ciśnienia, pisaną prawem zmiany bjętści, mżna zapisać jak: V V V p K (.7) gdzie K jest współczynnikiem sprężystści bjętściwej, stałą zależną d i ν, mdułem Helmhltza (Helmhltz mdulus): K (.8) ( ν) 8