Rozwiązania zadań z numeru 36

Transkrypt

1 Rzwiązania zadań z numeru 36 Trudna gemetria Zadanie 1. Dany jest krąg śrdku O i prmieniu r. Średnica AB teg kręgu przecina pewną jeg cięciwę CD w punkcie M. kąt CMB jest równy 75, a kąt śrdkwy teg kręgu party na łuku BC (tym, d któreg nie należy punkt D), wynsi 110. czy ptrafisz bliczyć kąt śrdkwy party na łuku AD (nie zawierającym punktu B)? Rzwiązanie Zacznijmy d rysunku Uzupełnijmy rysunek pmcniczy dcinek

2 Trójkąt BOC jest trójkątem równramiennym, więc kąty przy wierzchłkach B i C mają taką samą rzwartść. Wyznaczmy marę kąta CBA 1 1 ( 180 BOC ) = ( ) = 70 = 1 CBA = Kąt CBA jest kątem wpisanym, a kąt COA jest kątem śrdkwym i ba parte są na tym samym łuku, więc Kąt COA ma dwa razy większą rzwartść niż kąt CBA. Wynika z teg, że kąt COA ma rzwartść 70. Obliczmy teraz z trójkąta CMO rzwartść kąta OCM ( ) = OCM = 180 ( CMO + COA) = 180 = 35 Kąty: kąt CMO i kąt DMO są przystające, więc DMO = 180 CMO = = 105 Trójkąt CDO jest równramienny więc kąty: kąt OCD i kąt CDO mają taką samą rzwartść, czyli kąt CDO ma 35. Z trójkąta OMD bliczmy rzwartść szukaneg kąta AOD. ( OMD + MDO) = 180 ( ) = AOD = 180 = 40 Odpwiedź: Szukany kąt ma 40. Zadanie 2. Na kręgu śrdku O i prmieniu r wybrane zstały cztery punkty: A; B; C i D, takie, że kąt śrdkwy teg kręgu party na łuku AB ma 120, kąt śrdkwy party na łuku BC ma 40 i kąt śrdkwy party na łuku CD ma 80. Oblicz Kąty wewnętrzne czwrkąta ABCD, kąty utwrzne przez jeg przekątne i kąty utwrzne przez prste zawierające przeciwległe bki. Rzwiązanie: Zacznijmy, jak pprzedni d rysunku

3 Obliczmy statni z czterech kątów śrdkwych 0 ( AOB + BOC + COD) = 360 ( ) = AOD = 360 = Obliczmy teraz kąty wewnętrzne czwrkąta ABCD. Kąt BAD jest kątem wpisanym partym na łuku, na którym jest party kąt śrdkwy BOD. Kąt BOD ma 120, więc kąt BAD ma 60. Pdbnie wyliczymy pzstałe kąty wewnętrzne czwrkąta ABCD. Kąt ABC ma 100 ; kąt BCD ma 120 i kąt CDA ma 80. Uzupełnijmy teraz nasz rysunek przekątne czwrkąta ABCD, aby bliczyć pd jakim kątem się ne przecinają. Zajmijmy się kątami trójkąta BSC. Kąt DBC jest kątem wpisanym, partym na łuku CD. Na tym łuku party jest też kąt śrdkwy, który ma 80. W takim razie kąt CBD ma 40. Pdbnie mżemy pliczyć, że kąt ACB ma 60. Mżemy teraz pliczyć kąt BSC, czyli kąt pd którym przecinają się przekątne. ( SBC + SCB) = 180 ( ) = BSC = 180 = 80

4 Pzstał jeszcze pliczyć kąt pd jakim przetną się przeciwległe bki czwrkąta. Uzupełnijmy wpierw rysunek. Skrzystamy, z trójkąta CDE. Kąty: kąt ADC i kąt CDE są przystające, więc kąt CDE ma 100. Pdbnie mżna bliczyć, że kąt DCE ma 60. W takim razie szukany kąt CED ma 20. Pdbnie, mżemy pliczyć, że bki AB i CD p przedłużeniu przetną się pd kątem 40. Odpwiedź: Kąty wewnętrzne czwrkąta mają: 60 ; 100 ; 120 i 80. przekątne teg czwrkąta przecinają się pd kątem 80, a przeciwległe bki p przedłużeniu przecięły by się pd kątami: 20 i 40. Zadanie 3. Dany jest trójkąt prstkątny ABC. Na przyprstkątnej BC bran punkt M taki, że nie jest n żadnym kńcem teg bku. Punkt M płączn z przeciwprstkątną AB trójkąta ABC dcinkiem MN takim, że dcinek MN jest prstpadły d przeciwprstkątnej AB. Udwdnij, że kąt MAN ma taką samą rzwartść jak kąt MCN. Rzwiązanie: Zacznijmy d pmcniczeg rysunku. Zajmijmy się czwrkątem ACMN. Ma n dwa kąty

5 prste, są t kąty: kąt MCA i kąt ANM. Odcinek AM rzcina ten czwrkąt na dwa trójkąty prstkątne: trójkąt ACM i trójkąt AMN. Na bydwóch trójkątach mżna pisać krąg. Pnieważ są t trójkąty prstkątne, więc śrdek tych kręgów będzie leżał na śrdku dcinka AM, czyli tak naprawdę, będzie tylk jeden krąg pisujący ba wymienine trójkąty prstkątne. Kąty α i β dla teg kręgu będą kątami wpisanymi i ba będą parte na tym samym łuku, czyli kąty te mają tą samą rzwartść. Zadanie 4. Niech AA będzie wyskścią trójkąta strkątneg ABC, a punkt S śrdkiem kręgu pisaneg na tym trójkącie. Udwdnij, że kąty: kąt BAA i kąt SAC mają taką samą rzwartść. Rzwiązanie: Załóżmy, że kąt ABA ma miarę. Krzystając z trójkąta prstkątneg ABA mżemy stwierdzić, że. Kąt CSA jest kątem śrdkwym partym na tym samym łuku c kąt wpisany CBA więc jeg rzwartść wynsi 2. Wyznaczmy teraz z trójkąta ACS kąt β. Trójkąt ACS jest równramienny więc ma dwa kąty takiej samej rzwartści. Kąty α i β mają taką samą rzwartść.

6 Zadanie 5. Na kręgu śrdku O i prmieniu r bran punkty: A; B; C; D. Następnie na tym kręgu wybran jeszcze punkty: A ; B ; C i D, w taki spsób, że AA = BA ; BB = CB ; CC = DC i DD = AD. Udwdnij, że prste A C i B D są d siebie prstpadłe. Rzwiązanie: Zauważ, że wystarczy dwieść, że trójkąt C D E jest prstkątny. Kąt B D C jest kątem wpisanym partym na łuku długści łuku długści. Kąt A C D jest kątem wpisanym partym na. W takim razie kąt będący sumą kątów: kąt B D C i kąt A C D party byłby na łuku długści, czyli na półkręgu. Wynika z teg, że suma kątów : kąt B D C +kąt A C D daje kąt prsty. Pnieważ suma wszystkich kątów w trójkącie wnsi 180, więc kąt C ED jest kątem prstym. Zadanie 6. Dwa kręgi są styczne wewnętrznie w punkcie M. Niech AB będzie cięciwą większeg kręgu styczną jedncześnie d małeg kręgu w punkcie T. Udwdnij, że półprsta MT jest dwusieczną kąta AMB. Rzwiązanie:

7 Aby rzwiązać t zadanie udwdnimy wpierw następujący lemat: Kąt między styczną a cięciwą kręgu, pprwadzną z punktu stycznści, jest równy płwie kąta śrdkweg, parteg na łuku zawartym między raminami pierwszeg kąta. Dwód lematu Zauważmy, że jeśli kąt α jest kątem prstym, t wewnątrz kąta α znajduje się cały półkrąg na którym party jest kąt śrdkwy, który ma 180, czyli dla teg przypadku lemat jest prawdziwy. Gdy α jest kątem strym, t ma takie sam rzwarcie jak kąt γ, b trójkąt BCD jest prstkątny kącie prstym w wierzchłku C. w takim razie zachdzi następująca równść: + CBD = + CBD = 90 γ α. P djęciu kąta CBD mamy, że α=γ. Kąt γ jest kątem wpisanym partym na tym samym łuku c kąt śrdkwy β, więc jest jeg płwą. Wynika z teg, że dla kąta streg α nasz lemat też jest prawdziwy. Kąt rzwarty δ jest równy się kąt wpisany χ = CBD. W jeg wnętrzu znajduje się łuk na którym piera + CAD. Pnieważ, kąt 90 jest płwą kata 180 0, a kąt CBD jak

8 kąt wpisany jest płwą kąta śrdkweg CAD (ba są parte na tym samym łuku) więc δ jest płwą kąta χ, c kńczy dwód lematu. Przystępujemy d rzwiązania zadania. Przypadek pierwszy: Trójkąt BDM jest trójkątem równramiennym. Odcinek MT jest jeg wyskścią więc jest dwusieczną kąta BMD. Przypadek drugi:

9 Należy dwieść, że kąt AMT=kąt BMT. Z rysunku widać, że AMT = TMP AMP, natmiast ( MBT + BTM ) BMT = 180. Na mcy udwdnineg pwyżej lematu kąt AMP=kąt MBT. Pnieważ trójkąt MPT jest równramienny (jeg raminami są bie styczne mniejszeg kręgu), więc kąt TMP=kąt ATM. wyrażenia na kąt BMT. BMT = 180 = 180 AMP 180 BTM = 180 ATM. Pdstawmy wyznaczne kąty d ( MBT + BTM ) = 180 ( AMP + ( 180 ATM ) = 180 ( AMP ATM ) = + ATM = ATM AMP = PMT AMP = AMT Zadanie 7.Dany jest trójkąt ABC, któreg kąt wewnętrzny wierzchłku B ma 60. Dwusieczne pzstałych kątów wewnętrznych teg trójkąta, czyli dcinki AD i CE przecinają się w punkcie M. Udwdnij, że MD = ME. Rzwiązanie:

10 Pnieważ kąt ABC ma 60, więc pzstałe kąty teg trójkąta mają w sumie 120. Pnieważ kąt MAC jest płwą kąta CAE, a kąt ACE jest płwą kąta ACB, więc w sumie mają ne 60.kąty te są kątami wewnętrznymi trójkąta AMC. W takim razie trzeci kąt AMC ma 120. W takim razie kąt EMD też ma 120. Ppatrzmy teraz na czwrkąt BDME. Przeciwległe w nim kąty: kąt EBD i kąt EMD maja w sumie 180. W takim razie druga para kątów przeciwległych ma też w sumie 180. Oznacza t, że na tym czwrkącie mżna pisać krąg. Wówczas kąty: kąt EBM i kąt DBM będą kątami wpisanymi w ten krąg, a że ba mają taką samą miarę, więc pierają się na łukach tych samych długściach. Tak więc dcinki ME i DM są cięciwami graniczającymi łuki tej samej długści, więc mają tę samą długść.