Zadania związane z realizacją celów ogólnych matematycznego kształcenia uczniów

Transkrypt

1 Zdni związne z relizcją celów ogólnych mtemtycznego ksztłceni uczniów Teres Kończl Stron 1 z 1

2 1. Uwgi o formułowniu celów ksztłceni Ksztłcenie n III i IV etpie edukcyjnym, relizowne w gimnzjum i w szkole pondgimnzjlnej, tworzy progrmowo spójną cłość. Dltego też cele ogólne, odnoszące się do tych etpów ksztłceni, są formułowne podobnie. W podstwie progrmowej, któr w gimnzjum będzie obowiązywć od 1 wrześni br. (w I klsie), w szkole pondgimnzjlnej od 1 wrześni 01 roku podno nowy ukłd stndrdów wymgń przejrzysty i odzwierciedljący wymgni egzmincyjne (tbel). Poziom podstwowy interpretuje tekst mtemtyczny i formułuje uzyskne wyniki Zdjący m umiejętności w zkresie: 1. wykorzystni i tworzeni informcji: Poziom rozszerzony używ język mtemtycznego do opisu rozumowni i uzysknych wyników. wykorzystni i interpretowni reprezentcji: używ prostych, dobrze znnych obiektów mtemtycznych dobier model mtemtyczny do sytucji stosuje strtegię, któr jsno wynik z treści zdni prowdzi proste rozumownie, skłdjące się z niewielkiej liczby kroków 3. modelowni mtemtycznego: 4. użyci i tworzeni strtegii: 5. rozumowni i rgumentcji: rozumie i interpretuje pojęci mtemtyczne i operuje obiektmi mtemtycznymi buduje model mtemtyczny dnej sytucji, uwzględnijąc ogrniczeni i zstrzeżeni tworzy strtegię rozwiązni problemu tworzy łńcuch rgumentów i uzsdni jego poprwność. Ksztłcenie przez mtemtykę rozwijnie odpowiednich postw i umiejętności Obowiązkow mtur z mtemtyki wymg zwróceni uwgi n te spekty ksztłceni mtemtycznego, które są wżne dl kżdego uczni szkoły pondgimnzjlnej. W zkresie treści i umiejętności zrobili to już twórcy (utorzy) podstwy progrmowej. Jednk głównym celem ksztłceni mtemtycznego jest zdobycie przez uczniów pewnej kultury myśleni. W dydktyce mtemtyki mówi się też o rcjonlizcji i intelektulizcji postw. Osiągnięcie tego celu jest możliwe tylko dzięki włsnej ktywności uczniów, więc przez rozwiązywnie odpowiednio dobrnych zdń i problemów. Efekty zleżą od wielu czynników: od temtyki zdń, poziomu ich trudności, od sposobu orgnizowni prcy uczniów, od formy zdń i motywcji koniecznej przy podejmowniu wysiłku. Godne Stron z 1

3 uwgi są dwie koncepcje nuczni: pierwsz z nich to znn od lt koncepcj nuczni problemowego, szczególnie polecn w prcy z ucznimi uzdolnionymi; drug, również znn od wielu lt, to koncepcj nuczni relistycznego. W tej koncepcji chodzi przede wszystkim o wykorzystnie nturlnych i sensownych dl uczni sytucji relistycznych, o pomoc w rozwijniu przez uczniów włsnych dróg uczeni się (n różnych poziomch), o pokzywnie zstosowń mtemtyki i wprowdznie pojęć mtemtycznych w oprciu o nturlne, relistyczne doświdczeni uczniów, we współprcy i współdziłniu wszystkich uczniów. Rozwijnie ktywności mtemtycznej uczniów łączy się z ksztłtowniem odpowiednich postw i umiejętności, tkich jk: odwg i niezleżność myśleni, krytycyzm, wytrwłość w pokonywniu trudności, umiejętność koncentrowni uwgi n sprwch istotnych, formułowni pytń i problemów, rgumentowni i podejmowni rcjonlnie uzsdnionych decyzji. Te postwy i umiejętności są wżne dl kżdego człowiek, niezleżnie od dziedziny jego dziłlności. Odpowiednie postępownie nuczyciel może pomóc w ich rozwijniu, zś mtemtyk jest przedmiotem, który szczególnie się do tego ndje. 3. Przykłdy zdń związnych z relizcją celów ksztłceni Relizcj wymgń szczegółowych powinn być odpowiednio ukierunkown tk, by jednocześnie możliwe było rozwijnie umiejętności brdziej ogólnych. Zprezentowne przykłdy zdń wiążą się z tym postultem. Pierwsze przykłdy dotyczą wykorzystywni i interpretowni reprezentcji orz modelowni mtemtycznego. Jedno z wymgń szczegółowych n poziomie gimnzjlnym określono nstępująco: Uczeń zpisuje związki między wielkościmi z pomocą równni pierwszego stopni z jedną niewidomą, w tym związki między wielkościmi wprost i odwrotnie proporcjonlnymi. Z kolei w podstwie progrmowej dl szkoły pondgimnzjlnej znjdujemy kontynucję tych zgdnień. Uczeń: wykorzystuje włsności funkcji liniowej do interpretcji zgdnień geometrycznych, fizycznych itp. (tkże osdzonych w kontekście prktycznym); szkicuje wykres funkcji f (x) = x dl dnego, korzyst ze wzoru i wykresu tej funkcji do interpretcji zgdnień związnych z wielkościmi odwrotnie proporcjonlnymi. Stron 3 z 1

4 Wielkości wprost proporcjonlne (gimnzjum) Zdnie 1. Pociąg przejechł 300 km w ciągu 4 godzin. Ile kilometrów przejechł w ciągu 6 godzin? Rozwiąznie 1. Rozwiąznie rytmetyczne (gdy dne są brdzo proste): 300 km 4 h 150 km h 450 km 6 h Rozwiąznie. Rozwiąznie z pomocą proporcji zkłdmy proporcjonlność prostą i wykorzystujemy jej włsność (stły ilorz odpowiednich wielkości): 300 km 4 h x km 6 h 300 x = 4 6 4x = 1800 x = 450 Rozwiąznie 3. trsie jest stł: Rozwiąznie z pomocą równni zkłdmy, że prędkość pociągu n cłej = x, gdzie x to liczb kilometrów, 6 i stąd x = 450. Określenie wielkości wprost proporcjonlnych y = ( > 0), x y skąd otrzymujemy y = x y = x (x, y > 0) 0 x KOMENTARZ DO ZADANIA 1. Rozwiąznie rytmetyczne poleg n tzw. sprowdzeniu do jedności (pociąg pokon 75 km w ciągu 1 h, więc 6 75 km w ciągu 6 h) lub posłużeniu się odpowiednimi dziłnimi (jk w przykłdzie). Rozwiąznie lgebriczne poleg n zstosowniu proporcji lub ułożeniu równni. We wszystkich przypdkch nleży wyrźnie sformułowć złożeni. Stron 4 z 1

5 Proporcjonlność prost w zdniu dotyczącym modelowni (IV etp edukcyjny zkres rozszerzony) Zdnie. Koszty pliw zużytego przez sttek są proporcjonlne do sześcinu prędkości sttku. Przy prędkości 10 km/h koszty te wynoszą 300 zł n godzinę. Inne wydtki są równe 480 zł z godzinę prcy sttku. Przy jkiej prędkości v ogóln sum wydtków przypdjących n 1 km drogi będzie njmniejsz? Rozwiąznie. Oznczeni: k p koszty pliw k c koszty cłkowite k koszty przypdjące n 1 km drogi współczynnik proporcjonlności Związek między wielkościmi k p i v to z dnych wynik, że czyli = 0,3. Ztem k c = 0,3 v orz lub w nieco innej postci k p = v 3 ; 300 = 10 3, k = 0,3 v v k = 0,3 v v. Dlsze rozwiąznie przebieg przy użyciu rchunku pochodnych i opier się n znlezieniu minimum funkcji k. KOMENTARZ DO ZADANIA. Konieczne jest uwżne odczytnie treści zdni i przyjęcie odpowiednich oznczeń. Zpis proporcjonlności dnych wielkości stnowi punkt wyjści do zbudowni modelu, w którym występują wyrżeni 0,3v orz 480 v. Zbdnie minimum otrzymnej funkcji wykrcz poz zkres podstwowy podstwy progrmowej. Stron 5 z 1

6 Wielkości odwrotnie proporcjonlne (gimnzjum) Zdnie 3. Ośmiu robotników nprwi odcinek drogi w ciągu 3 dni. W ciągu ilu dni wykon tę smą prcę sześciu robotników? Rozwiąznie 1. Rozwiąznie z pomocą proporcji: x liczb dni prcy kżdego z sześciu robotników (zkłdmy tką smą wydjność prcy kżdego robotnik). 8 robotników 3 dni 6 robotników x dni 8 : 6 = x : 3 6x = 4 x = 4 Zuwżmy, że iloczyn liczby robotników i liczby dni (czyli liczb roboczodni) jest stły: 6 4 = 8 3. Rozwiąznie. Rozwiąznie z wykorzystniem równni: Otrzymujemy równnie liczb robotników liczb dni prcy = cłość prcy do wykonni 6x = 8 3 Określenie wielkości odwrotnie proporcjonlnych (szkoł pondgimnzjln) y x = ( > 0), y czyli y = x y = x (x, y > 0) 0 x KOMENTARZ DO ZADANIA 3. Rozwiąznie rytmetyczne poleg n sprowdzeniu do jedności : jeden robotnik wykon cłą prcę w ciągu 8 3 dni, więc sześciu robotników wykon tę prcę w ciągu (8 3) : 4 dni. Rozwiązni lgebriczne opierją się n wykozystniu proporcjonlności odwrotnej lub ułożeniu równni. Konieczne jest złożenie o stłej wydjności prcy kżdego robotnik. Stron 6 z 1

7 Proporcjonlność odwrotn w zdniu dotyczącym modelowni (IV etp edukcyjny zkres rozszerzony) Zdnie 4. Do przewiezieni towru przeznczono pewną liczbę ciężrówek o jednkowej łdowności. Jeśliby przyjechły o ciężrówki mniej, to przewiezienie towru trwłoby o godz. dłużej. Jeśliby przyjechły o 4 ciężrówki więcej, to przewóz skróciłby się o godz. Ile było ciężrówek i jki był czs przewozu towru? Rozwiąznie. Anliz zdni: Liczb ciężrówek x x x + 4 Czs przewozu towru t t + t Złożeni: łdowność ciężrówki s czs potrzebny n jeden kurs ciężrówki z towrem (jednkowy dl wszystkich ciężrówek) t s liczb kursów kżdej ciężrówki t ms towru przewiezionego przez ciężrówkę s t s x cłkowit ms przewiezionego towru Otrzymujemy ukłd równń: równowżny ukłdowi t s x = t+ s t (x ) = s (x + 4), tx = (t + )(x ) = (t )(x + 4); mmy więc wielkości odwrotnie proporcjonlne. Równowżnie, ukłd powyższy możemy zpisć { x t = x + t = 4 i wyznczyć rozwiąznie: x = 8, t = 6. KOMENTARZ DO ZADANIA 4. Proporcjonlność odwrotn omwinych wielkości jest tu stwierdzon n podstwie nlizy zdni, nie zś przyjęt jko złożenie. Wprowdzenie odpowiednich oznczeń i zbudownie ukłdu równń pozwl uzsdnić, że iloczyn dnych wielkości jest stły, co ozncz, że są one odwrotnie proporcjonlne. Stron 7 z 1

8 Tworzenie strtegii rozwiązywni problemów i modelownie mtemtyczne Zdnie 5. Puszki z groszkiem sprzedje się w supermrkecie po 3,60 zł. Tygodniowo sprzedje się 400 puszek. Kierownik szcuje, że kżde 0 groszy obniżki spowodowłoby dodtkową sprzedż 100 puszek tygodniowo. Supermrket kupuje groszek od producent po zł z puszkę. Znjdź odpowiedni model lgebriczny tego zgdnieni (funkcję, jej dziedzinę i zbiór wrtości). Jk cen gwrntuje njwiększy zysk? Rozwiąznie. Zstosownie tbelki pozwl dokonć przeglądu sytucji: Liczb Cen Liczb obniżek puszki sprzednych puszek Zysk 0 3, ,6 400 = , ,4 500 = 700 3, , 600 = , ,0 700 = 700 4, ,8 800 = n 3,60 0,0 n n 100 (1,6 0,n)( n) Funkcj zysku m postć: z(n) = (1,6 0,n)(n + 4) 100 z(n) = 0(8 n)(n + 4) z(n) = 0( n + 4n + 3), jej dziedzin to zbiór liczb nturlnych niewiększych niż osiem. Zysk osiąg wrtość njwiększą, równą 70, dl n = obniżek, czyli dl ceny 3,0 zł. KOMENTARZ DO ZADANIA 5. Zprojektownie tbelki, ztytułownie odpowiednich rubryk i dokonnie przeglądu sytucji jest dostępne dl uczni gimnzjum. Włściwie ukierunkowny zpis ułtwi uogólnienie rozwżnych przypdków tk, by możn było podć wzór wymgnej funkcji. Bdnie tej funkcji opier się n wykorzystniu włsności funkcji kwdrtowej. Stron 8 z 1

9 Rozumownie i rgumentcj Zdnie 6. Podstwą ostrosłup jest trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości i kącie ostrym miry α. Kżd z krwędzi bocznych ostrosłup tworzy z płszczyzną podstwy kąt o mierze β. Oblicz objętość tego ostrosłup. Rozwiąznie. W W C b h C h b A α D B β D C α A B Wysokość ostrosłup tworzy z płszczyzną podstwy kąt prosty i jest wspólnym bokiem trzech trójkątów prostokątnych, których kąty ostre mją tę smą mirę. Wobec tego trójkąty te są przystjące. Stąd wynik, że spodek wysokości ostrosłup znjduje się w środku okręgu opisnego n podstwie, więc w środku przeciwprostokątnej trójkąt ABC. Mmy więc rozwiąznie i osttecznie h b = tg β h = tg β P p = 1 cos α sin α P p = sin α = cos α b = cos α V = 1 3 sin α α tg β V = sin α tg β. KOMENTARZ DO ZADANIA 6. Punktem wyjści w rozwiązniu jest poprwny rysunek. Przedstwione rozumownie pozwl uniknąć błędu, powinno więc stnowić pierwszy etp rozwiązni. Stron 9 z 1

10 Zdnie 7. ) Jedn z krwędzi ostrosłup trójkątnego m długość, pozostłe po 4. Wyzncz objętość tego ostrosłup. b) W ostrosłupie trójkątnym wszystkie krwędzie, poz jedną, mją długość. W ścinch, które są trójkątmi równormiennymi (nierównobocznymi) mir kąt między rmionmi wynosi α. Oblicz objętość tego ostrosłup. Rozwiąznie zdni 7). W C h x C x O B A A O x D B h p Stosujemy twierdzenie Pitgors. W ADO: x = ( 15 x) x = 16 x = Stąd otrzymujemy W COW: h = 16 x h = h = 16( ) 11 h = 4 15 W ACD: h p = 16 1 h p = 15 P p = 1 15 V = 1 3 P p = 15 V = Stron 10 z 1

11 Rozwiąznie zdni 7b). W C α C α h O B A A D O r E B Pole podstwy ostrosłup: Z OCD: P p = 1 sin α r = cos α r = cos α Z twierdzeni Pitgors: r + h = h = 4 cos α h = 4 cos α 1 4 cos α h = cos α 4 cos α 1 Stąd otrzymujemy V = sin α cos α 4 cos α 1 V = 3 6 sin α 4 cos α 1 KOMENTARZ DO ZADANIA 7. Rozwiąznie kilku zdń powiąznych poprzez treść lub metodę postępowni umożliwi wzrost ktywności uczniów, wpływ n lepsze zpmiętnie rozwżnych zgdnień, uczy formułowni i rozwiązywni problemów. Zstosowne podejście opier się n tzw. przedłużniu zdń. Stron 11 z 1

12 Zdni prowdzące do twierdzeń Zdnie 8. ) Stosując uogólnienie indukcyjne podj odpowiedni wzór. 1 = = = b) 1 3 = 1 = = (1 + ) = = ( ) = KOMENTARZ DO ZADANIA 8. Myślenie mtemtyczne obejmuje umiejętność postępowni dedukcyjnego, prowdzonego z użyciem odpowiedniej symboliki, jednk duże znczenie mją również intuicj i wyobrźni. Poprte rzetelną wiedzą, wspomgne umiejętnością posługiwni się nlogią i uogólniniem, pozwlją stwić pytni, formułowć problemy i hipotezy. Zdnie 9. Dny jest trójkąt równoboczny o obwodzie 3, wpisny w okrąg o promieniu r. Konstruujemy sześciokąt foremny, którego trzy wierzchołki pokrywją się z wierzchołkmi trójkąt (dokonując połowieni odpowiednich łuków okręgu). Oblicz pole tego sześciokąt. Sformułuj twierdzenie ogólne przyjmując: S n obwód n-kąt foremnego p n pole n-kąt foremnego (wpisnego w okrąg o promieniu r). Czy dotyczy ono tylko wielokątów foremnych? Odpowiedź. Dl pięciokąt: P 10 = 1r + r + 3r + 4r + 5r = S r 5 i ogólnie P n = 1 rs n. 3 1 r O 5 4 Stron 1 z 1