WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIIa ZAKRES PODSTAWOWY

Transkrypt

1 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE III ZAKRES PODSTAWOWY 1. ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA prowdzi rozumownie skłdjące się z niewielkiej liczby kroków z wykorzystniem wzorów skróconego mnożeni - dowodzi i uzsdni stosuje ogólny zpis liczb nturlnych przystych, nieprzystych, podzielnych przez 3 itp. wykorzystuje dzielenie z resztą do przedstwieni liczby nturlnej w postci k + r prowdzi rozumownie skłdjące się z niewielkiej liczby kroków dotyczące podzielności liczb, tkże z wykorzystniem wzorów skróconego mnożeni Uczeń otrzymuje ocenę dobrą lub brdzo dobrą, jeśli opnowł powyższą wiedzę i umiejętności orz dodtkowo: przeprowdz dowody wymgjące większej liczby kroków, m.in. przeksztłcjąc wzory skróconego mnożeni przeprowdz dowody wymgjące większej liczby kroków dotyczące podzielności liczb z wykorzystniem wzorów skróconego mnożeni przeprowdz dowody tworząc łńcuch rgumentów i uzsdni jego poprwność przeprowdz dowód nie wprost. PLANIMETRIA II stosuje wzory n długość okręgu, długość łuku okręgu, pole koł i pole wycink koł do obliczni pól i obwodów figur określ wzjemne położenie okręgów, mjąc dne promienie tych okręgów orz odległość ich środków oblicz pol figur, stosując zleżności między okręgmi (proste przypdki) określ liczbę punktów wspólnych prostej i okręgu przy dnych wrunkch stosuje włsności stycznej do okręgu do rozwiązywni prostych zdń rozpoznje kąty wpisne i środkowe w okręgu orz wskzuje łuki, n których są one oprte stosuje twierdzenie o kącie środkowym i kącie wpisnym, oprtych n tym smym łuku stosuje twierdzenie Pitgors wykorzystuje wzory n przekątną kwdrtu i wysokość trójkąt równobocznego podje i stosuje różne wzory n pole trójkąt orz potrfi je przeksztłcć oblicz pole trójkąt, dobierjąc odpowiedni wzór 1 stosuje w zdnich wzór n pole trójkąt: P h orz wzór n pole trójkąt równobocznego o boku : P stosuje podczs rozwiązywni zdń wzór n pole trójkąt P b sin rozwiązuje zdni dotyczące okręgu wpisnego w trójkąt prostokątny lub równoboczny rozwiązuje zdni związne z okręgiem opisnym n trójkącie podje wzory n pole równoległoboku, rombu i trpezu stosuje podczs rozwiązywni zdń wzór n pole równoległoboku P = bsinα wykorzystuje funkcje trygonometryczne do wyznczni pól czworokątów oblicz odległość punktów w ukłdzie oblicz obwód wielokąt lub jego pole, mjąc dne współrzędne jego wierzchołków stosuje wzór n odległość między punktmi do rozwiązywni prostych zdń wyzncz współrzędne środk odcink, mjąc dne współrzędne jego końców orz wyzncz współrzędne jednego z końców odcink mjąc dne współrzędne środk odcink i drugiego 1

2 końc odcink rysuje figury symetryczne w dnej symetrii osiowej orz w symetrii środkowej określ liczbę i wskzuje osie symetrii figury wskzuje środek symetrii figury znjduje obrzy figur geometrycznych w symetrii osiowej względem osi ukłdu znjduje obrzy figur geometrycznych w symetrii środkowej względem środk ukłdu stosuje włsności symetrii osiowej i środkowej do rozwiązywni prostych zdń oblicz pole figury, stosując zleżności między okręgmi stosuje włsności stycznej do okręgu do rozwiązywni trudniejszych zdń stosuje twierdzenie o kącie środkowym i kącie wpisnym, oprtych n tym smym łuku orz wnioski z tego twierdzeni do rozwiązywni zdń o większym stopniu trudności wykorzystuje umiejętność wyznczni pól trójkątów do obliczni pól innych wielokątów rozwiązuje zdni związne z okręgiem wpisnym w dowolny trójkąt i opisnym n dowolnym trójkącie stosuje włsności środk okręgu opisnego n trójkącie w zdnich z geometrii nlitycznej stosuje wzór n odległość między punktmi orz środek odcink do rozwiązywni trudniejszych zdń stosuje włsności symetrii osiowej i środkowej do rozwiązywni trudniejszych zdń dowodzi twierdzeni dotyczące kątów w okręgu orz dowodzi wzoru n pole trójkąt rozwiązuje zdni z plnimetrii o zncznym stopniu trudności stosuje przesunięcie figury o wektor do rozwiązywni zdń opisuje równniem okrąg o dnym środku i przechodzący przez dny punkt wyzncz środek i promień okręgu, mjąc jego równnie 3. GEOMETRIA NA PŁASZCZYŹNIE KARTEZJAŃSKIEJ stosuje wzory n długość odcink i środek odcink do wyznczni innych odcinków lub punktów orz pól i obwodów figur znjdujących się w ukłdzie, wyzncz równnie prostej przechodzącej przez dw punkty oblicz współrzędne punktu przecięci dwóch prostych wyzncz równnie symetrlnej odcink, wyzncz równnie prostej zwierjącej wysokość trójkąt lub jego środkową oblicz współrzędne wierzchołków wielokątów rozwiązuje zdni związne z prostymi prostopdłymi i prostymi równoległymi wyzncz prmetr dl którego proste są prostopdłe lub równoległe wyzncz współrzędne punktów w dnej symetrii osiowej lub środkowej rozpoznje figury osiowosymetryczne i środkowosymetryczne oblicz odległość punktu od prostej Uczeń otrzymuje ocenę dobrą lub brdzo dobrą, jeśli opnowł powyższą wiedzę i umiejętności orz dodtkowo: stosuje włsności stycznej do okręgu do rozwiązywni zdń stosuje wzory n odległość między punktmi i środek odcink do rozwiązywni zdń dotyczących równoległoboków rozwiązuje zdni z geometrii n płszczyźnie krtezjńskiej o zncznym stopniu trudności, wymgjące dokonni wielu powyższych opercji rozwiązuje zdni dotyczące równni okręgu, jego środk i promieni

3 4. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA stosuje regułę mnożeni i regułę dodwni w typowych sytucjch przedstwi drzewo lub tbelkę ilustrującą zbiór wyników dnego doświdczeni w prostych sytucjch określ zbiór wszystkich zdrzeń elementrnych dnego doświdczeni określ zbiór zdrzeń elementrnych sprzyjjących dnemu zdrzeniu losowemu określ zdrzeni przeciwne, zdrzeni niemożliwe i zdrzeni pewne stosuje klsyczną definicję prwdopodobieństw do obliczni prwdopodobieństw zdrzeń losowych w prostych, typowych sytucjch, wykorzystuje regułę mnożeni i dodwni do obliczni prwdopodobieństw zdrzeń losowych stosuje twierdzenie o prwdopodobieństwie sumy zdrzeń w prostych sytucjch Uczeń otrzymuje ocenę dobrą lub brdzo dobrą, jeśli opnowł powyższą wiedzę i umiejętności orz dodtkowo: zpisuje zdrzeni w postci sumy, iloczynu orz różnicy zdrzeń oblicz prwdopodobieństw zdrzeń losowych, stosując klsyczną definicję prwdopodobieństw stosuje twierdzeni o prwdopodobieństwie sumy zdrzeń i różnicy zdrzeń stosuje włsności prwdopodobieństw do obliczni prwdopodobieństw zdrzeń rozwiązuje zdni o zncznym stopniu trudności dotyczące prwdopodobieństw przeprowdz dowody twierdzeń dotyczących prwdopodobieństw zdrzeń 5. STATYSTYKA oblicz średnią rytmetyczną, średnią wżoną liczb z podnymi wgmi, wyzncz medinę, dominntę oblicz średnią rytmetyczną, średnią wżoną, wyzncz medinę, dominntę dnych przedstwionych n digrmie w prostych przypdkch oblicz odchylenie stndrdowe wykorzystuje średnią rytmetyczną, medinę, dominntę i średnią wżoną do rozwiązywni zdń Uczeń otrzymuje ocenę dobrą lub brdzo dobrą, jeśli opnowł powyższą wiedzę i umiejętności orz dodtkowo: oblicz wrincję i odchylenie stndrdowe zestwu dnych przedstwionych w tbeli interpretuje średnią rytmetyczną, medinę, dominntę i średnią wżoną rozwiązuje zdni o większym stopniu trudności dotyczące sttystyki rozwiązuje zdni o brdzo dużym stopniu trudności dotyczące sttystyki 6. STEREOMETRIA wskzuje w wielościnch rzut prostokątny dnego odcink określ liczbę ścin, wierzchołków i krwędzi grnistosłupów i ostrosłupów sporządz rysunek wielościnu wrz z oznczenimi oblicz pol powierzchni bocznej i cłkowitej grnistosłupów i ostrosłupów prostych rysuje sitkę grnistosłup lub ostrosłup prostego oblicz długości przekątnych grnistosłupów prostych w prostych przypdkch stosuje definicje i włsności funkcji trygonometrycznych do obliczni pól powierzchni grnistosłupów i ostrosłupów w prostych sytucjch 3

4 oblicz objętości grnistosłupów i ostrosłupów prwidłowych wskzuje kąt między przekątną grnistosłup płszczyzną podstwy tego grnistosłup wskzuje kąt między dnym odcinkiem w ostrosłupie płszczyzną podstwy tego ostrosłup wskzuje kąt między sąsiednimi ścinmi wielościnów rozwiązuje typowe zdni dotyczące kąt między prostą płszczyzną oblicz pol powierzchni i objętości wielościnów z zstosowniem funkcji trygonometrycznych i twierdzeń plnimetrii stosuje i przeksztłc wzory n pol powierzchni i objętości wielościnów oblicz pol powierzchni i objętości brył obrotowych w prostych sytucjch Uczeń otrzymuje ocenę dobrą lub brdzo dobrą, jeśli opnowł powyższą wiedzę i umiejętności orz dodtkowo: przeprowdz wnioskowni dotyczące położeni prostych w przestrzeni wyzncz, w trudniejszych przypdkch, kąt między dnym odcinkiem w ostrosłupie płszczyzną podstwy tego ostrosłup rozwiązuje, w trudniejszych przypdkch, zdni z wykorzystniem miry kąt między prostą płszczyzną oblicz mirę kąt dwuściennego między ścinmi wielościnu oblicz pol powierzchni i objętości brył obrotowych z zstosowniem funkcji trygonometrycznych i twierdzeń plnimetrii rozwiązuje zdni o zncznym stopniu trudności dotyczące stereometrii przeprowdz dowody twierdzeń dotyczących związków mirowych w wielościnch i bryłch obrotowych POWTÓRZENIE PRZED MATURĄ 1. LICZBY RZECZYWISTE określ liczby rzeczywiste w szczególności: zn definicję liczb cłkowitych, liczb wymiernych, względnie pierwszych; rozpoznje wśród podnych liczb liczby nturlne, cłkowite, wymierne, niewymierne; podje przykłdy liczb pierwszych, złożonych, odwrotnych, przeciwnych, przystych, nieprzystych; stosuje cechy podzielności liczb; podje dzielniki dnej liczby; wykonuje dzielenie z resztą; porównuje liczby wymierne; podje przykłd liczby wymiernej zwrtej między dwiem dnymi liczbmi orz przykłdy liczb niewymiernych; zzncz n osi liczbowej dną liczbę wymierną; wyzncz rozwinięcie dziesiętne ułmków zwykłych; stosuje twierdzenie dotyczące rozwinięci dziesiętnego liczb wymiernych i niewymiernych; wskzuje wśród podnych liczb w postci dziesiętnej liczby wymierne, niewymierne; wyzncz wskzną cyfrę po przecinku liczby podnej w postci rozwinięci dziesiętnego okresowego; wyzncz przybliżeni dziesiętne dnej liczby rzeczywistej z zdną dokłdnością (również przy użyciu klkultor), określ, czy dne przybliżenie jest przybliżeniem z ndmirem, czy z niedomirem; oblicz wrtości wyrżeń rytmetycznych wykonując dodwnie, odejmownie, mnożenie, dzielenie, potęgownie, pierwistkownie, z zchowniem kolejności wykonywni dziłń w zbiorch liczb cłkowitych, wymiernych i rzeczywistych; posługuje się w obliczenich pierwistkmi dowolnego stopni i stosuje prw dziłń n pierwistkch, w szczególności: oblicz wrtość pierwistk dowolnego stopni z liczby nieujemnej orz wrtość pierwistk nieprzystego stopni z liczby rzeczywistej; wyłącz czynnik przed znk pierwistk; włącz czynnik pod znk pierwistk; usuw niewymierność 1 z minownik wyrżeń typu, b c d ; stosuje twierdzeni o dziłnich n pierwistkch do uprszczni wyrżeń; wyzncz wrtości wyrżeń rytmetycznych zwierjących pierwistki nieprzystego i przystego stopni z liczb rzeczywistych, stosując 4

5 prw dziłń n pierwistkch; oblicz potęgi o wykłdnikch cłkowitych i stosuje prw dziłń n potęgch o wykłdnikch cłkowitych, w szczególności przedstwi liczbę w notcji wykłdniczej, stosuje twierdzeni o dziłnich n potęgch do uprszczni wyrżeń lgebricznych, stosuje twierdzeni o dziłnich n potęgch do obliczni wrtości wyrżeń, przedstwi liczby rzeczywiste w różnych postcich (np. ułmk zwykłego, ułmk dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwistków, potęg) wykonuje obliczeni procentowe, w szczególności oblicz procent dnej liczby, oblicz, jkim procentem jednej liczby jest drug liczb, wyzncz liczbę, gdy dny jest jej procent, określ o ile procent jedn liczb jest większ (mniejsz) od drugiej, posługuje się procentmi w rozwiązywniu prostych zdń prktycznych wykonuje dziłni n liczbch zpisnych w postci notcji wykłdniczej wykonuje trudniejsze dziłni łączne n liczbch rzeczywistych przedstwi liczbę podną w postci ułmk dziesiętnego nieskończonego okresowego w postci ułmk zwykłego wykonuje obliczeni procentowe, oblicz podtki, zysk z lokt rozwiązuje złożone zdni tekstowe, wykorzystując obliczeni procentowe oceni dokłdność zstosownego przybliżeni, oblicz błąd przybliżeni wykorzystuje podstwowe włsności potęg również w zgdnienich związnych z innymi dziedzinmi wiedzy np. z fizyką, chemią, informtyką. rozwiązuje zdni o zncznym stopniu trudności dotyczące liczb rzeczywistych. JĘZYK MATEMATYKI posługuje się pojęciem przedziłu liczbowego, zzncz przedziły n osi liczbowej, w szczególności rozróżni pojęci: przedził otwrty, domknięty, lewostronnie domknięty, prwostronnie domknięty, nieogrniczony; zzncz przedziły n osi liczbowej; odczytuje i zpisuje symbolicznie przedziły zznczone n osi liczbowej; wymieni liczby nleżące do przedziłu, spełnijące określone wrunki; zpisuje zbiory w postci przedziłów liczbowych, np. A x R : x 4 x 1 4,1 sprwdz, czy dn liczb rzeczywist jest rozwiązniem równni lub nierówności rozwiązuje nierówności pierwszego stopni z jedną niewidomą i zpisuje zbiór rozwiązń nierówności w postci przedziłu; zzncz n osi liczbowej zbiór rozwiązń nierówności; wykonuje dziłni n wyrżenich lgebricznych, w szczególności mnoży sumę lgebriczną przez sumę lgebriczną używ wzorów skróconego mnożeni n ( b)² orz ² b², w szczególności zn wzory skróconego mnożeni i stosuje je w prostych przykłdch; przeksztłc wyrżenie lgebriczne z zstosowniem wzorów skróconego mnożeni; usuw niewymierność z minownik ułmk z wykorzystniem wzorów skróconego mnożeni; stosuje wzory skróconego mnożeni do wykonywni dziłń n liczbch postci, rozwiązuje nierówności pierwszego stopni z jedną niewidomą z wykorzystniem wzorów skróconego mnożeni oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej, w szczególności oblicz wrtość bezwzględną dnej liczby wymiernej; oblicz wrtość wyrżeń zwierjących wrtość bezwzględną, wyzncz wrtość bezwzględną wyrżeń niewymiernych typu oblicz błąd bezwzględny i błąd względny przybliżeni orz rozwiązuje zdni z wykorzystniem błędu względnego lub bezwzględnego liczby wyzncz iloczyn, sumę i różnicę przedziłów orz zzncz je n osi liczbowej i zpisuje 5

6 symbolicznie rozwiązuje nierówności liniowe o zncznym stopniu trudności przeksztłc wyrżeni lgebriczne, korzystjąc z włsności wrtości bezwzględnej rozwiązuje zdni o zncznym stopniu trudności dotyczące zbiorów, przedziłów i włsności wrtości bezwzględnej 3. FUNKCJA LINIOWA określ funkcje z pomocą wzoru, tbeli, wykresu, opisu słownego; zn nzwy osi ukłdu, zzncz punkty w ukłdzie ; zn numercję ćwirtek ukłdu ; rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu; zn definicję funkcji, miejsc zerowego, zpis symboliczny punktu(x,f(x)); zn postć kierunkową i ogólną prostej orz przeksztłc równnie ogólne prostej do postci kierunkowej i odwrotnie rysuje wykres funkcji liniowej, korzystjąc z jej wzoru orz m wiedzę, że wykresem funkcji liniowej jest prost; sprwdz lgebricznie i grficznie, czy dny punkt nleży do wykresu funkcji liniowej; oblicz wrtość funkcji liniowej dl dnego rgumentu i odwrotnie wyzncz równnie prostej przechodzącej przez dw dne punkty (w postci kierunkowej lub ogólnej) orz wyzncz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dne dw punkty bd równoległość i prostopdłość prostych n podstwie ich równń kierunkowych, w szczególności zn wrunek prostopdłości i równoległości prostych; sprwdz w oprciu o wzory, czy proste są prostopdłe lub równoległe; sprwdz, dl jkich wrtości prmetru dwie proste są równoległe, prostopdłe wyzncz równnie prostej, któr jest równoległ lub prostopdł do prostej dnej w postci kierunkowej i przechodzi przez dny punkt, tzn. wyzncz współczynnik kierunkowy prostej orz wrtość wyrzu wolnego "b" wyzncz wzór funkcji liniowej n podstwie informcji o funkcji lub o jej wykresie, w szczególności wyzncz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dny punkt i jest równoległy do wykresu dnej funkcji liniowej; wyzncz wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dny punkt i jest prostopdły do wykresu dnej funkcji liniowej; wyzncz wzór funkcji liniowej, której wykresem jest prost przedstwion w ukłdzie wskzuje współczynnik kierunkowy i wyrz wolny "b" orz interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej, w oprciu o wzór funkcji i o wykres; podje n podstwie wzoru funkcji liniowej współrzędne punktu przecięci wykresu z osią OY; określ monotoniczność funkcji w oprciu o wzór i wykres; określ monotoniczność funkcji w zleżności od prmetru; określ przez które ćwirtki przechodzi wykres funkcji; określ włsności funkcji liniowej w zleżności od wrtości prmetrów występujących w jej wzorze posługuje się poznnymi metodmi rozwiązywni równń do obliczeni, dl jkiego rgumentu funkcj przyjmuje dną wrtość, tkże oblicz miejsce zerowe funkcji, również w zdnich z prmetrem; wyzncz współrzędne punktów przecięci wykresu funkcji liniowej z osimi ukłdu odczytuje z wykresu, włsności funkcji tzn. dziedzinę, zbiór wrtości, miejsce zerowe orz monotoniczność; wyzncz lgebricznie orz odczytuje z wykresu funkcji liniowej zbiór rgumentów, dl których funkcj liniow przyjmuje wrtości dodtnie (ujemne) wykorzystuje interpretcję geometryczną ukłdu równń pierwszego stopni z dwiem niewidomymi: z wcześniejszych etpów edukcyjnych rozwiązuje ukłdy równń liniowych z dwiem niewidomymi metodą podstwini i metodą przeciwnych współczynników; rozstrzyg, czy dny ukłd dwóch równń liniowych jest oznczony, nieoznczony czy sprzeczny; ukłd i rozwiązuje ukłd równń do zdni z treścią; zn interpretcję grficzną ukłdów równń w ukłdzie ; określ liczbę rozwiązń ukłdu w oprciu o 6

7 rysunek i nzwę, potrfi rozstrzygć poprzez przeksztłceni czy dny ukłd jest oznczony, nieoznczony lub sprzeczny wyzncz równni prostych zwierjących odpowiednie odcinki trójkąt lub czworokąt wykorzystuje włsności funkcji liniowej do interpretcji zgdnień geometrycznych, fizycznych itp. (tkże osdzonych w kontekście prktycznym); sprwdz, czy dne trzy punkty są współliniowe oblicz pole figury ogrniczonej wykresmi funkcji liniowych orz osimi ukłdu znjduje współrzędne wierzchołków wielokąt, gdy dne są równni prostych zwierjących jego boki rozwiązuje trudniejsze zdni tekstowe prowdzące do ukłdów równń liniowych z dwiem niewidomymi rozwiązuje lgebricznie ukłd trzech równń liniowych z trzem niewidomymi wykorzystuje włsności funkcji liniowej w zdnich dotyczących wielokątów w ukłdzie rozwiązuje lgebricznie ukłd trzech równń liniowych z trzem niewidomymi rozwiązuje grficznie ukłd równń, w którym występuje wrtość bezwzględn 4. FUNKCJE rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi sposobmi (wzorem, tbelką, wykresem, opisem słownym) poprwnie stosuje pojęci związne z pojęciem funkcji: dziedzin, zbiór wrtości, rgument, wrtość i wykres funkcji odczytuje z wykresu dziedzinę, zbiór wrtości, miejsc zerowe, njmniejszą i njwiększą wrtość funkcji wyzncz dziedzinę funkcji określonej tbelą lub opisem słownym wyzncz dziedzinę funkcji dnej wzorem, wymgjącym jednego złożeni oblicz miejsc zerowe funkcji dnej wzorem oblicz wrtość funkcji dl różnych rgumentów n podstwie wzoru funkcji oblicz rgument odpowidjący podnej wrtości funkcji sprwdz lgebricznie położenie punktu o dnych względem wykresu funkcji dnej wzorem wyzncz współrzędne punktów przecięci wykresu funkcji dnej wzorem z osimi ukłdu rysuje w prostych przypdkch wykres funkcji dnej wzorem sporządz wykresy funkcji: y f ( x p), y f ( x) q, y f ( x p) q,, y f( x) n podstwie dnego wykresu funkcji y f (x) odczytuje z wykresu wrtość funkcji dl dnego rgumentu orz rgument dl dnej wrtości funkcji n podstwie wykresu funkcji określ rgumenty, dl których funkcj przyjmuje wrtości dodtnie, ujemne określ n podstwie wykresu przedziły monotoniczności funkcji wskzuje wykresy funkcji rosnących, mlejących i stłych wśród różnych wykresów stosuje funkcje i ich włsności w prostych sytucjch prktycznych rysuje wykres funkcji przedziłmi liniowej i omwi jej włsności rozpoznje i opisuje zleżności funkcyjne w otczjącej ns rzeczywistości przedstwi dną funkcję n różne sposoby 7

8 określ dziedzinę orz wyzncz miejsc zerowe funkcji dnej wzorem, który wymg kilku złożeń n podstwie wykresu funkcji określ liczbę rozwiązń równni f(x) = m w zleżności od wrtości prmetru m n podstwie wykresu funkcji odczytuje zbiory rozwiązń nierówności: f ( x) m, f ( x) m, f ( x) m, f ( x) m dl ustlonej wrtości prmetru m odczytuje z wykresów funkcji rozwiązni równń i nierówności typu f(x) = g(x), f(x)<g(x), f(x)>g(x) 1 uzsdni, że funkcj f x nie jest monotoniczn w swojej dziedzinie x rozwiązuje zdni o zncznym stopniu trudności dotyczące funkcji 5. FUNKCJA KWADRATOWA szkicuje wykres funkcji kwdrtowej, korzystjąc z jej wzoru, w szczególności rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności, rysuje wykres funkcji kwdrtowej w postci knonicznej i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży do wykresu dnej funkcji kwdrtowej ustl wzór funkcji kwdrtowej w postci knonicznej n podstwie informcji o przesunięcich wykresu przeksztłc wzór funkcji kwdrtowej z postci knonicznej do postci ogólnej i odwrotnie oblicz współrzędne wierzchołk prboli znjduje brkujące współczynniki funkcji kwdrtowej, znjąc współrzędne punktów nleżących do jej wykresu rozwiązuje równni kwdrtowe z jedną niewidomą, w szczególności rozwiązuje równni kwdrtowe niepełne metodą rozkłdu n czynniki orz stosując wzory skróconego mnożeni tkże rozwiązuje równni kwdrtowe, stosując wzory n pierwistki wyzncz lgebricznie współrzędne punktów przecięci prboli z osimi ukłdu określ liczbę pierwistków równni kwdrtowego w zleżności od znku wyróżnik sprowdz funkcję kwdrtową do postci iloczynowej, o ile możn ją w tej postci zpisć odczytuje miejsc zerowe funkcji kwdrtowej z jej postci iloczynowej przeksztłc wzór funkcji kwdrtowej z postci iloczynowej do postci ogólnej i odwrotnie (o ile jest to możliwe) rozwiązuje nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą wyzncz njmniejszą i njwiększą wrtość funkcji kwdrtowej w przedzile domkniętym n podstwie wykresu określ liczbę rozwiązń równni f(x) = m w zleżności od prmetru m, gdzie y = f(x) jest funkcją kwdrtową rozwiązuje zdni tekstowe prowdzące do wyznczni wrtości njmniejszej i njwiększej funkcji kwdrtowej rozwiązuje zdni tekstowe prowdzące do równń lub nierówności kwdrtowych przeksztłc n ogólnych dnych wzór funkcji kwdrtowej z postci ogólnej do postci knonicznej wyprowdz wzory n współrzędne wierzchołk prboli wyprowdz wzory n pierwistki równni kwdrtowego rozwiązuje zdni o zncznym stopniu trudności dotyczące funkcji kwdrtowej 8

9 6. PLANIMETRIA I rozróżni trójkąty: ostrokątne, prostokątne, rozwrtokątne stosuje twierdzenie o sumie mir kątów w trójkącie sprwdz, czy z trzech odcinków o dnych długościch możn zbudowć trójkąt uzsdni przystwnie trójkątów, wykorzystując cechy przystwni wykorzystuje cechy przystwni trójkątów do rozwiązywni prostych zdń uzsdni podobieństwo trójkątów, wykorzystując cechy podobieństw zpisuje proporcje boków w trójkątch podobnych wykorzystuje podobieństwo trójkątów do rozwiązywni elementrnych zdń sprwdz, czy dne figury są podobne oblicz długości boków figur podobnych stosuje w zdnich twierdzenie o stosunku pól figur podobnych wskzuje w wielokątch odcinki proporcjonlne stosuje twierdzenie Pitgors wykorzystuje wzory n przekątną kwdrtu i wysokość trójkąt równobocznego oblicz wrtości funkcji trygonometrycznych kąt ostrego w trójkącie prostokątnym, gdy dne są boki tego trójkąt rozwiązuje trójkąty prostokątne 1 stosuje w zdnich wzór n pole trójkąt: P h orz wzór n pole trójkąt 3 równobocznego o boku : P 4 stosuje cechy przystwni trójkątów do rozwiązywni trudniejszych zdń geometrycznych wykorzystuje podobieństwo trójkątów do rozwiązywni prktycznych problemów stosuje włsności podobieństw figur podczs rozwiązywni zdń problemowych orz zdń wymgjących przeprowdzeni dowodu rozwiązuje zdni wymgjące uzsdnieni i dowodzeni z zstosowniem twierdzeni Tles rozwiązuje zdni o zncznym stopniu trudności dotyczące przystwni i podobieństw figur 7. SUMY ALGEBRAICZNE rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy podobne w sumie lgebricznej orz mnoży sumy lgebriczne przeksztłc wyrżeni lgebriczne, uwzględnijąc kolejność wykonywni dziłń używ wzorów skróconego mnożeni n, w szczególności przeksztłc wyrżenie lgebriczne z zstosowniem wzorów skróconego mnożeni, stosuje wzory skróconego mnożeni do wykonywni dziłń n liczbch postci równni kwdrtowe niepełne stosując wzory skróconego mnożeni rozwiązuje równni kwdrtowe niepełne metodą rozkłdu n czynniki rozwiązuje równni kwdrtowe, stosując wzory n pierwistki przedstwi trójmin kwdrtowy w postci iloczynowej b c, rozwiązuje korzyst z definicji pierwistk do rozwiązywni równń typu, tkże do rozwiązywni równń wyższych stopni korzyst z włsności iloczynu przy rozwiązywniu równń typu x(x+1)(x-7)=0 rozwiązuje równni wyższych stopni, stosując zsdę wyłączni wspólnego czynnik przed nwis 9

10 rozwiązuje zdni o zncznym stopniu trudności dotyczące rozwiązywni równń wyższego stopni rozwiązuje zdni tekstowe prowdzące do równń kwdrtowych korzystjąc z wykresu wielominu, podje miejsc zerowe, zbiór rgumentów, dl których wielomin przyjmuje wrtości dodtnie/ujemne/niedodtnie/nieujemne rozwiązuje zdni tekstowe z zstosowniem wykresu lub wzoru wielominu 8. FUNKCJE WYMIERNE wskzuje wielkości odwrotnie proporcjonlne stosuje zleżność między wielkościmi odwrotnie proporcjonlnymi do rozwiązywni prostych zdń wyzncz współczynnik proporcjonlności podje wzór proporcjonlności odwrotnej, znjąc współrzędne punktu nleżącego do wykresu szkicuje wykres funkcji f ( x), gdzie 0 i podje jej włsności (dziedzinę, zbiór x wrtości, przedziły monotoniczności) szkicuje wykresy funkcji f ( x) q orz f ( x) i odczytuje jej włsności x x p wyzncz symptoty wykresu powyższych funkcji dobier wzór funkcji do jej wykresu oblicz wrtość wyrżeni wymiernego dl dnej wrtości zmiennej wyzncz dziedzinę prostego wyrżeni wymiernego rozwiązuje proste równni wymierne, prowdzące do równń liniowych lub kwdrtowych, np. wykorzystuje wyrżeni wymierne do rozwiązywni prostych zdń tekstowych rozwiązuje zdni tekstowe, stosując proporcjonlność odwrotną szkicuje wykres funkcji f ( x) w podnych przedziłch x wyzncz współczynnik tk, by funkcj f ( x) spełnił podne wrunki x wyzncz wzory funkcji f ( x) q orz f ( x) spełnijących podne wrunki x x p wykorzystuje wyrżeni wymierne do rozwiązywni trudniejszych zdń tekstowych wykorzystuje wielkości odwrotnie proporcjonlne do rozwiązywni zdń tekstowych dotyczących prędkości rozwiązuje zdni o zncznym stopniu trudności dotyczące funkcji i wyrżeń wymiernych przeksztłc wzór funkcji homogrficznej do postci knonicznej i szkicuje wykres funkcji f ( x) q orz podje jej włsności x p 9. FUNKCJE WYKŁADNICZE I LOGARYTMY oblicz potęgi o wykłdnikch wymiernych i stosuje prw dziłń n potęgch o wykłdnikch wymiernych, tkże zpisuje dną liczbę w postci potęgi o wykłdniku wymiernym, zpisuje dną liczbę w postci potęgi o dnej podstwie, uprszcz wyrżeni, stosując prw dziłń n potęgch, porównuje liczby przedstwione w postci potęg (proste 10

11 przypdki) wyzncz wrtości funkcji wykłdniczej dl podnych rgumentów sprwdz, czy punkt nleży do wykresu funkcji wykłdniczej wyzncz wzór funkcji wykłdniczej, znjąc współrzędne punktu nleżącego do jej wykresu szkicuje wykresy funkcji wykłdniczych dl różnych podstw, w szczególności stosując przesunięcie wzdłuż osi OX lub OY, stosując przeksztłcenie w symetrii względem osi OX lub OY orz określ jej włsności, podje odpowiednie złożeni dl podstwy logrytmu lub liczby logrytmownej oblicz logrytm dnej liczby stosuje równości wynikjące z definicji logrytmu do prostych obliczeń wyzncz podstwę logrytmu lub liczbę logrytmowną, gdy dn jest jego wrtość rozwiązuje równni wykłdnicze, stosując logrytm oblicz logrytm iloczynu, ilorzu i potęgi, stosując odpowiednie twierdzeni o logrytmch porównuje liczby przedstwione w postci potęg odczytuje rozwiązni nierówności n postwie wykresów funkcji wykłdniczych stosuje twierdzenie o logrytmie iloczynu, ilorzu i potęgi do uzsdnieni równości wyrżeń wykorzystuje włsności funkcji wykłdniczej i włsności logrytmu do rozwiązywni zdń o kontekście prktycznym wykorzystuje twierdzenie o zminie podstwy logrytmu w zdnich rozwiązuje zdni o zncznym stopniu trudności dotyczące funkcji wykłdniczej i logrytmicznej 10. CIĄGI wyzncz kolejne wyrzy ciągu, gdy dnych jest kilk jego początkowych wyrzów szkicuje wykres ciągu wyzncz wzór ogólny ciągu, mjąc dnych kilk jego początkowych wyrzów wyzncz początkowe wyrzy ciągu określonego wzorem ogólnym lub słownie wyzncz wyrz n 1 ciągu określonego wzorem ogólnym wyzncz, które wyrzy ciągu przyjmują dną wrtość bd, w prostszych przypdkch, monotoniczność ciągu uzsdni, że dny ciąg nie jest monotoniczny, mjąc dne jego kolejne wyrzy podje przykłdy ciągów rytmetycznych i geometrycznych wyzncz wyrzy ciągu rytmetycznego, mjąc dny pierwszy wyrz i różnicę wyzncz wzór ogólny ciągu rytmetycznego, mjąc dne dowolne dw jego wyrzy sprwdz, czy dny ciąg jest rytmetyczny (proste przypdki) wyzncz wzór ogólny ciągu geometrycznego, mjąc dne dowolne dw jego wyrzy sprwdz, czy dny ciąg jest geometryczny (proste przypdki) stosuje średnią rytmetyczną do wyznczni wyrzów ciągu rytmetycznego (proste przypdki) oblicz sumę n początkowych wyrzów ciągu rytmetycznego i geometrycznego wyzncz wyrzy ciągu geometrycznego, mjąc dny pierwszy wyrz i ilorz stosuje włsności ciągu rytmetycznego lub geometrycznego do rozwiązywni zdń określ monotoniczność ciągu rytmetycznego i geometrycznego (proste przypdki) wyzncz wrtości zmiennych tk, by wrz z podnymi wrtościmi tworzyły ciąg rytmetyczny lub geometryczny oblicz wysokość kpitłu przy różnym okresie kpitlizcji oblicz oprocentownie lokty i okres oszczędzni (proste przypdki) 11

12 wyzncz wzór ogólny ciągu spełnijącego podne wrunki uzsdni, że dny ciąg jest rytmetyczny lub że dny ciąg jest geometryczny stosuje średnią geometryczną do rozwiązywni zdń rozwiązuje równni z zstosowniem wzoru n sumę wyrzów ciągu rytmetycznego i geometrycznego stosuje wzór n sumę n początkowych wyrzów ciągu geometrycznego w zdnich stosuje wzór n sumę n początkowych wyrzów ciągu rytmetycznego w zdnich rozwiązuje zdni związne z kredytmi dotyczące okresu oszczędzni i wysokości oprocentowni wyzncz wyrzy ciągu określonego rekurencyjnie oblicz grnice ciągów rozwiązuje zdni o zncznym stopniu trudności dotyczące ciągów 11. TRYGONOMETRIA podje definicje funkcji trygonometrycznych kąt ostrego w trójkącie prostokątnym podje wrtości funkcji trygonometrycznych kątów 30, 45, 60 oblicz wrtości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych w trójkącie prostokątnym odczytuje z tblic wrtości funkcji trygonometrycznych dnego kąt ostrego znjduje w tblicch kąt ostry, gdy dn jest wrtość jego funkcji trygonometrycznej rozwiązuje trójkąty prostokątne oblicz wrtości pozostłych funkcji trygonometrycznych, mjąc dny sinus, cosinus, tngens kąt podje związki między funkcjmi trygonometrycznymi tego smego kąt stosuje zleżności między funkcjmi trygonometrycznymi do uprszczni wyrżeń zwierjących funkcje trygonometryczne stosuje funkcje trygonometryczne do rozwiązywni prostych zdń również osdzonych w kontekście prktycznym zzncz kąt w ukłdzie, wskzuje jego rmię początkowe i końcowe wyzncz wrtości funkcji trygonometrycznych kąt, gdy dne są współrzędne punktu leżącego n jego końcowym rmieniu określ znki funkcji trygonometrycznych dnego kąt oblicz wrtości funkcji trygonometrycznych szczególnych kątów, np.: 90, 10, 135 stosuje związek między współczynnikiem kierunkowym kątem nchyleni prostej do osi OX oblicz wrtości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych w brdziej złożonych sytucjch rozwiązuje zdni o podwyższonym stopniu trudności dotyczące funkcji trygonometrycznych uzsdni związki między funkcjmi trygonometrycznymi rozwiązuje zdni dotyczące funkcji trygonometrycznych z zkresu rozszerzonego, określonego w podstwie progrmowej dl IV etpu edukcyjnego. Oprcownie włsne, z wykorzystniem dostępnych mteriłów dydktycznych Brbr Brtek 1