Zamiana zmiennych w wyrażeniach różniczkowych

Transkrypt

1 Zamiana zmiennych w wyrażeniach różniczkowych Poniższy tekst stanowi treść jednego z moich wykładów dla studentów mechaniki. Postanowiłem go udostępnić szerszemu gronu, dotychczas korzystali z niego wyłącznie moi studenci, jeśli zechcieli wejść na moją stronę i ściągnąć odpowiedni plik. Świadomie zrezygnowałem z precyzyjnego formułowania założeń przyjmując, że rozważane funkcje są dostatecznie regularne, aby zachodziły żądane własności. Tym sposobem mogłem bardziej skupić się na technicznej stronie prezentowanego zagadnienia. Wszelkie sugestie poprawek będą mile widziane. Proszę o kierowanie ich drogą prywatnych wiadomości. Twierdzenie o pochodnych cząstkowych funkcji złożonej Załóżmy, że funkcje, mają pochodne cząstkowe w punkcie, a funkcja ma ciągłe pochodne cząstkowe w punkcie. Wtedy funkcja złożona ma w punkcie pochodne cząstkowe, które wyrażają się wzorami Powyższe twierdzenie znajduje zastosowanie w rozwiązywaniu równań różniczkowych cząstkowych, tj. takich równań różniczkowych, w których wraz z funkcją niewiadomą występują jej pochodne cząstkowe. Często właściwa zamiana zmiennych pozwala na znaczne uproszczenie równania różniczkowego, a co za tym idzie, na łatwiejsze jego rozwiązanie. Uwaga. W poniższych przykładach zawsze będziemy zakładać równość pochodnych mieszanych drugiego rzędu. Zapewnia ją np. ciągłość tych pochodnych (twierdzenie Schwarza). Przykład 1. Przekształcić wyrażenie różniczkowe wprowadzając nowe zmienne, Z powyższej zamiany zmiennych obliczamy Według wzorów na pochodne cząstkowe funkcji złożonej Uwzględniając wzory (1) otrzymujemy stąd 1 z :32

2 Wstawiamy do wzoru (2) w miejsce wyrażenie Korzystając jeszcze raz z (2) otrzymujemy Uwzględniając równość pochodnych mieszanych otrzymujemy stąd Podobną metodą obliczamy pochodne cząstkowe skąd po uwzględnieniu równości pochodnych mieszanych oraz 2 z :32

3 Po ponownym uwzględnieniu równości pochodnych mieszanych otrzymujemy Korzystając teraz ze wzorów (4), (5), (6) dostajemy Przykład 2. Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego cząstkowego Wprowadzając nowe zmienne, i korzystając z Przykładu 1 przekształcamy równanie (7) do postaci Całkujemy obie strony tego równania względem : skąd gdzie jest dowolną funkcją różniczkowalną jednej zmiennej (zauważmy, że stała całkowania w równaniu (8) nie zależy od, ale może zależeć od, gdyż jej pochodna cząstkowa względem musi wynosić 0). Całkując teraz obie strony równania (8) względem dostajemy 3 z :32

4 gdzie jest dowolną funkcją różniczkowalną jednej zmiennej. Wracając do zmiennych otrzymujemy stąd rozwiązanie równania (7): gdzie są dowolnymi funkcjami różniczkowalnymi jednej zmiennej. Widzimy więc, że równanie różniczkowe cząstkowe może mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Często przy rozwiązywaniu problemów natury technicznej interesuje nas nie tyle ogólna postać rozwiązania równania różniczkowego, ile konkretne jego rozwiązanie spełniające jakieś dodatkowe warunki (wynikające np. z natury rozpatrywanego zagadnienia). Przykład 3. Wyznaczyć rozwiązanie równania (7) spełniające warunki Wstawiając do wzoru (9) oraz korzystając z warunku (10) otrzymujemy Podstawmy w powyższych równaniach w miejsce skąd Podstawmy jeszcze w równaniu (13) w miejsce skąd Odejmując stronami od równania (14) równanie (12) otrzymujemy 4 z :32

5 Korzystając z (12) obliczamy Wstawiając tak wyznaczone do równania (9) otrzymujemy skąd po dokonaniu uproszczeń Łatwo sprawdzić, że spełnia równanie (7) wraz z warunkami (10) oraz (11). Jedną z częściej stosowanych zamian zmiennych jest przejście do współrzędnych biegunowych. Przykład 4. Wyrażenie zwane jest laplasjanem funkcji (równanie nazywamy równaniem Laplace'a). Rozpatrując laplasjan w obszarze rozłącznym z osią zapisać go współrzędnych biegunowych. Wprowadzamy współrzędne biegunowe i obliczamy skąd 5 z :32

6 Powyższe związki różniczkujemy względem i Ze wzorów na pochodne cząstkowe funkcji złożonej Uwzględniając (15), (17) otrzymujemy Podstawmy w powyższym wzorze w miejsce wyrażenie Stosujemy jeszcze raz wzór (20): Po uwzględnieniu równości pochodnych mieszanych oraz uporządkowaniu wyrażeń otrzymujemy stąd 6 z :32

7 Obliczymy teraz Ze wzorów na pochodne cząstkowe funkcji złożonej skąd po uwzględnieniu wzorów (16), (18) Podstawmy w powyższym wzorze w miejsce Po uwzględnieniu równości pochodnych mieszanych oraz uporządkowaniu wyrażeń otrzymujemy stąd Dodając teraz stronami wzory (21) i (23) otrzymujemy 7 z :32

8 Dziękuję wszystkim, którzy doszli do tego miejsca, za okazaną cierpliwość. 8 z :32