Wst p do sieci neuronowych, wykªad 06, Walidacja jako±ci uczenia. Metody statystyczne.
|
|
|
- Grzegorz Ostrowski
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wst p do sieci neuronowych, wykªad 06, Walidacja jako±ci uczenia. Metody statystyczne. Maja Czoków, Jarosªaw Piersa Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikoªaja Kopernika Projekt pn. IKS - Inwestycja w Kierunki Strategiczne na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK realizowany w ramach Poddziaªania Programu Operacyjnego Kapitaª Ludzki
2 1 Przykªad Przeuczenie sieci 2 Przypomnienie ze statystyki Problem Modele walidacji danych 3 Eksperyment my±lowy Bª dy pierwszego i drugiego rodzaju 4 Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania
3 Przykªad Przeuczenie sieci 1 Przykªad Przeuczenie sieci 2 Przypomnienie ze statystyki Problem Modele walidacji danych 3 Eksperyment my±lowy Bª dy pierwszego i drugiego rodzaju 4 Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania
4 Przykªad Przykªad Przeuczenie sieci Rozwa»my problem XOR; (Poprawnie) nauczona sie daje poprawn odpowied¹ na wszystkich 4 przykªadach, Tablica haszuj ca da ten sam efekt bez zaawansowanej teorii i przy porównywalnym (albo i mniejszym) koszcie pami ciowym, Ale co si stanie, gdy zapytamy si o klasykacj punktu (1.3, 0.5)?
5 Przykªad Przykªad Przeuczenie sieci Co si stanie, gdy zapytamy si o klasykacj punktu (1.3, 0.5)? Tablica haszuj ca: (zale»nie od wybranego j zyka) ArrayIndexOutOfBoundsException, Segmentation Sie neuronowa: zwróci (jak ±) odpowied¹ dla ka»dego z punktów na pªaszczy¹nie, Od czego zale»y odpowied¹? fault itp.
6 Wnioski Przykªad Przeuczenie sieci nie chcemy w zbiorze treningowym ka»dej mo»liwej warto±ci jaka mo»e pa±, chcemy reprezentatywn próbk przestrzeni o jak sie b dzie pytana podczas normalnego dziaªania,
7 Przykªad Przeuczenie sieci Co to jest reprezentatywna próbka? Co autor mo»e mie na my±li:
8 Przykªad Przeuczenie sieci Co to jest reprezentatywna próbka? Co sie mo»e z tego zrozumie :
9 Przykªad Przeuczenie sieci jest zdolno±ci sieci do porawnej klasykacji danych, na których sie nie byªa uczona.
10 Przykªad Przeuczenie sieci Dane ucz ce:
11 Przykªad Przeuczenie sieci Sie niedouczona:
12 Przykªad Przeuczenie sieci Sie dobrze nauczona:
13 Przykªad Przeuczenie sieci Sie przeuczona:
14 Przeuczenie sieci Przykªad Przeuczenie sieci przeuczenie sieci wyst puje, gdy sie uczy si przykªadów na pami, zdarza si to, gdy sie ma zbyt wiele punktów swobody (za du»o neuronów do nauczenia w porównaniu do skomplikowania problemu i ilo±ci danych), przeuczona sie traci umiej tno± generalizacji.
15 Systuacja ekstremalna Przykªad Przeuczenie sieci Dane ucz ce:
16 Systuacja ekstremalna Przykªad Przeuczenie sieci Wewn trzna reprezentacja
17 Przypomnienie ze statystyki Problem Modele walidacji danych 1 Przykªad Przeuczenie sieci 2 Przypomnienie ze statystyki Problem Modele walidacji danych 3 Eksperyment my±lowy Bª dy pierwszego i drugiego rodzaju 4 Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania
18 Przypomnienie ze statystyki Przypomnienie ze statystyki Problem Modele walidacji danych Dana jest próbka losowa x 1,..., x n warto±ci, losowanych niezale»nie z rozkªadu X. rednia z próby deniowana jest jako x = n i=1 x i n rednia jest zgodnym estymatorem warto±ci oczekiwanej rozkªadu X (o ile EX istnieje!).
19 Przypomnienie ze statystyki Przypomnienie ze statystyki Problem Modele walidacji danych Estymator wariancji (o ile rozkªad X posiada wariancj!): ˆσ 2 = 1 n 1 n (x i x) 2 i=1 Estymator odchylenia standardowego: ˆσ = 1 n (x i x) n 1 2 i=1
20 Przypomnienie ze statystyki Przypomnienie ze statystyki Problem Modele walidacji danych Mediana próbki losowej x 1,..x n. Niech x i1,..., x in b dzie t próbk po posortowaniu. Mediana jest zdeniowana jako: je»eli n jest nieparzyste x i(n+1/2) (element na samym ±rodku posortowanej listy), je»eli n jest parzyste x i n/2 +xi n/2+1 2 (±rednia dwóch ±rodkowych elementów)
21 Zagadnienie Przypomnienie ze statystyki Problem Modele walidacji danych Dane niech b dzie zbiór punktów ucz cych wraz z poprawnymi odpowiedziami, Skonstruowana i nauczona zostaªa sie neuronowa, Chcemy oceni jako± klasykacji i generalizacji uzyskanej sieci.
22 Proste rozwi zanie Przypomnienie ze statystyki Problem Modele walidacji danych Po nauczeniu sieci sprawdzamy ile z przykªadów jest klasykowanych poprawnie, Obliczamy ilo± wszystkich przykªadów, Przypisujemy: jako± uczenia := ilo± przykªadów sklasykowanych poprawnie ilo± wszystkich przykªadów
23 Proste rozwi zanie Przypomnienie ze statystyki Problem Modele walidacji danych Rozwi zanie to jest za proste,»eby byªo prawdziwe! nie mówi nic o zachowaniu si sieci na danych, których nie widziaªa, preferuje uczenie si danych na pami, ignoruje generalizacj, zalet jest to,»e maksymalnie wykorzystuje zestaw danych do uczenia.
24 Walidacja prosta Przypomnienie ze statystyki Problem Modele walidacji danych dane ucz ce s losowo dzielone na dwa rozª czne zbiory: próbk ucz c U, próbk testow T, sie jest uczona za pomoc próbki ucz cej, jako± sieci jest badana tylko za pomoc próbki testowej jako± := ilo± przykªadów T sklasykowanych poprawnie ilo± wszystkich przykªadów w T
25 Walidacja prosta Przypomnienie ze statystyki Problem Modele walidacji danych
26 Walidacja prosta Przypomnienie ze statystyki Problem Modele walidacji danych Uwagi i niebezpiecze«stwa: wi kszy wpªyw na wynik mo»e mie zaimplementowany algorytm, U U T, ni» rozs dnym minimum dla U jest okoªo 1 4 caªego zbioru, z drugiej strony U nie powinno by wi ksze ni» 9 10 caªego zbioru, podaj c wynik, zawsze podajemy proporcje w jakich podzielono zbiór, mamy informacj o mo»liwo±ci generalizacji, ale algorytm uczenia sieci korzystaª tylko z uªamka dost pnej wiedzy,
27 k-krotna walidacja krzy»owa Przypomnienie ze statystyki Problem Modele walidacji danych Ang. k-fold cross-validation dane ucz ce s losowo dzielone na k rozª cznych i równolicznych zbiorów: T 1,..., T k, dla i = 1...k powtarzamy uczymy sie na zbiorze ucz cym T 1...T i 1 T i+1 T k, testujemy tak nauczon sie na danych T i (na tych danych sie nie byªa uczona), zapami tujemy rezultat (stosunek poprawnie sklasykowanych obiektów w T i do wsyztkich obiektów w T i ) jako r i podajemy wszystkie rezultaty r i, lub przynajmniej ich ±redni, median, minimum, maksimum i odchylenie standardowe,
28 k-krotna walidacja krzy»owa Przypomnienie ze statystyki Problem Modele walidacji danych
29 k-razy dwukrotna walidacja krzy»owa Przypomnienie ze statystyki Problem Modele walidacji danych Ang. k-times 2-fold cross-validation odmiana walidacji krzy»owej, dla i = 1...k powtarzamy: wykonujemy 2-krotn walidacj, za ka»dym razem losujemy zbiory treningowy i testowy od nowa, zapami tujemy wyniki r i1 r i2 (po dwa na ka»d iteracj ), zwracamy statystyki uzyskanych wyników,
30 k-razy dwukrotna walidacja krzy»owa Przypomnienie ze statystyki Problem Modele walidacji danych
31 Leave One Out Przypomnienie ze statystyki Problem Modele walidacji danych odmiana walidacji krzy»owej, w której k = ilo± elementów w T, dla i = 1...n powtarzamy: uczymy sie na zbiorze ucz cym T \T i, testujemy sie na pozostaªym przykªadzie T i, zapami tujemy wynik r i (b dzie on albo +1, albo 0), obliczamy ±redni i odchylenie standardowe wyników, mo»na stosowa w przypadku maªej ilo±ci danych w zbiorze T.
32 Leave One Out Przypomnienie ze statystyki Problem Modele walidacji danych
33 Eksperyment my±lowy Bª dy pierwszego i drugiego rodzaju 1 Przykªad Przeuczenie sieci 2 Przypomnienie ze statystyki Problem Modele walidacji danych 3 Eksperyment my±lowy Bª dy pierwszego i drugiego rodzaju 4 Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania
34 Bª dy i bª dy Eksperyment my±lowy Bª dy pierwszego i drugiego rodzaju je»eli przyjmowana klasykacja jest binarna to mo»emy si pomyli na dwa sposoby: przypadek, który jest pozytywny, faªszywie ocenimy jako negatywny (ang. false negative error ) przypadek, który jest negatywny, faªszywie ocenimy jako pozytywny (ang. false positive), który bª d jest gorszy?
35 Przykªad Eksperyment my±lowy Bª dy pierwszego i drugiego rodzaju egzamin z przedmiotu (np. WSN) powinien testowa wiedz zdaj cych je»eli zdaj cy zna materiaª i dostaª ocen pozytywn, to egzaminator poprawnie oceniª wiedz, je»eli zdaj cy nie zna materiaªu i nie zaliczyª, to ocena jest poprawna, je»eli zdaj cy umiaª, ale mimo tego nie zaliczyª, to egzaminator popeªniª bª d (false negative), je»eli zdaj cy nie umiaª a zaliczyª, to egzaminator popeªniª (dramatyczny) bª d (false positive). poniewa» zawsze przysªuguje egzamin poprawkowy, to ostatnia opcja jest najgorsza...
36 Bª dy pierwszego i drugiego rodzaju Eksperyment my±lowy Bª dy pierwszego i drugiego rodzaju klasykacja pozytywna klasykacja negatywna faktyczny stan poprawna odpowied¹ false negative jest pozytywny true positive (bª d II-go rodzaju) faktyczny stan false positive poprawna odpowied¹ jest negatywny (bª d I-go rodzaju) true negative
37 Bardziej»yciowe przykªady Eksperyment my±lowy Bª dy pierwszego i drugiego rodzaju ltr antyspamowy, kontrola bezpiecze«stwa na lotnisku, diagnoza lekarska, diagnoza usterek technicznych, kontrola jako±ci,
38 Wra»liwo± i specyczno± Eksperyment my±lowy Bª dy pierwszego i drugiego rodzaju wra»liwo± testu (ang. sensitivity) jest odsetkiem pozytywnych odpowiedzi modelu w±ród faktycznych pozytywnych przypadków, test o wysokiej wra»liwo±ci popeªnia maªo bª dów II-go rodzaju TPR = true positives positives specyczno± testu (ang. specicity) jest odsetkiem negatywnych odpowiedzi w±ród faktycznych negatywnych przypadków, test o wysokiej specyczno±ci popeªnia maªo bª dów I-go rodzaju true negatives TNR = negatives
39 Wra»liwo± i specyczno± Eksperyment my±lowy Bª dy pierwszego i drugiego rodzaju stuprocentowa wra»liwo± tak na ka»dy przypadek pozytywny, stuprocentowa specyczno± nie na ka»dy przypadek negatywny (bardzo asertywny test), wysokie oba wska¹niki s cech dobrych testów (co oznacza: trudne do osi gni cia), znaj c cel (np. unikanie faªszywych alarmów), szukamy najlepszego kompromisu kontroluj c wa»niejsz statystyk,
40 Reciever Operation Characteristic Eksperyment my±lowy Bª dy pierwszego i drugiego rodzaju Funkcja wra»liwo±ci testu w zale»no±ci od progu przyjmowania odpowiedzi:
41 Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania 1 Przykªad Przeuczenie sieci 2 Przypomnienie ze statystyki Problem Modele walidacji danych 3 Eksperyment my±lowy Bª dy pierwszego i drugiego rodzaju 4 Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania
42 Co robi je»eli wyniki s ci gªe? Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania bª dy mierzymy jako odlegªo± uzyskanego wyniku od oczekiwanego: ERR = E(t) O(t) t lub kwadrat odlegªo±ci ERR = t (E(t) O(t)) 2
43 Co robi je»eli wyniki s ci gªe? Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania w przypadku wielowymiarowym dodatkowo suma po wspóªrz dnych ERR = (E i (t) O i (t)) 2 t im mniejszy bª d, tym lepsza klasykacja i
44 Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania Regresja liniowa / Metoda najmniejszych kwadratów danych mamy n punktów na R 2 : (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) chcemy znale¹ równanie prostej y = ax + b przybli»aj cej te punkty
45 Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania Regresja liniowa / Metoda najmniejszych kwadratów danych mamy n punktów na R 2 : (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) chcemy znale¹ równanie prostej y = ax + b przybli»aj cej te punkty idea: znajdziemy równanie prostej f, która minimalizuje odlegªo± od tych punktów n (f (x i ) y i ) 2 i=1
46 Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania Regresja liniowa / Metoda najmniejszych kwadratów
47 Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania Regresja liniowa / Metoda najmniejszych kwadratów posta prostej f (x) = ax + b bª d E(a, b) = i (f (x i) y i ) 2 = i (ax i + b y i ) 2
48 Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania Regresja liniowa / Metoda najmniejszych kwadratów posta prostej f (x) = ax + b bª d E(a, b) = i (f (x i) y i ) 2 = i (ax i + b y i ) 2 bª d chcemy minimalizowa, wi c liczymy pochodne po a i po b E a = i (ax i + b y i ) 2 a E b = i (ax i + b y i ) 2 b
49 Regresja liniowa Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania E = (ax i + b y i ) 2 = 2(ax i + b y i ) (ax i + b y i ) a a a i i 2(ax i + b y i )x i = 2(a x 2 i + b x i x i y i ) i i i i =
50 Regresja liniowa Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania E = (ax i + b y i ) 2 = 2(ax i + b y i ) (ax i + b y i ) a a a i i 2(ax i + b y i )x i = 2(a x 2 i + b x i x i y i ) i i i i Podobnie E = (ax i + b y i ) 2 = 2(ax i + b y i ) (ax i + b y i ) b b b i i 2(ax i + b y i )1 = 2(a x i + b 1 y i ) i i i i = =
51 Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania Regresja liniowa / Metoda najmniejszych kwadratów Oznaczmy S 1 = i 1 = n S x = i x i S y = i y i S xy = i x i y i S xx = i x 2 i
52 Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania Regresja liniowa / Metoda najmniejszych kwadratów Nasze równania teraz wygl daj nast puj co: 2(aS xx + bs x S xy ) = 0 2(aS x + bs 1 S y ) = 0
53 Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania Regresja liniowa / Metoda najmniejszych kwadratów Nasze równania teraz wygl daj nast puj co: 2(aS xx + bs x S xy ) = 0 2(aS x + bs 1 S y ) = 0 as xx + bs x = S xy as x + bs 1 = S y
54 Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania Regresja liniowa / Metoda najmniejszych kwadratów Nasze równania teraz wygl daj nast puj co: 2(aS xx + bs x S xy ) = 0 2(aS x + bs 1 S y ) = 0 as xx + bs x = S xy as x + bs 1 = S y a = b = n Sxy Sx Sy n Sxx Sx 2 Sxx Sy Sxy Sx n Sxx Sx 2
55 Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania Regresja liniowa / Metoda najmniejszych kwadratów Je»eli f (x) = a d x d + a d 1x d 1 + a 1 x + a 0 bª d E(a, b) = i (f (x i) y i ) 2
56 Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania Regresja liniowa / Metoda najmniejszych kwadratów Je»eli f (x) = a d x d + a d 1x d 1 + a 1 x + a 0 bª d E(a, b) = i (f (x i) y i ) 2 ponownie liczymy pochodne po ka»dym ze wspóªczynników E a i = j (a d x d j a 1 x 1 j + a 0 y j ) 2 a j dla i = 0...d,
57 Aproksymacja wielomianem st. 2 Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania
58 Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania Regresja liniowa / Metoda najmniejszych kwadratów E a i = j ) 2 (a d x dj a 1 x 1 (ad x d a j 0 y j ) j + a 0 y j a i dla i = 0...d,
59 Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania Regresja liniowa / Metoda najmniejszych kwadratów E a i = j ) 2 (a d x dj a 1 x 1 (ad x d a j 0 y j ) j + a 0 y j a i dla i = 0...d, E a i = j ) 2 (a d x dj a 1 x 1 j + a 0 y j x i j dla i = 0...d,
60 Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania Regresja liniowa / Metoda najmniejszych kwadratów E a i = j ) 2 (a d x dj a 1 x 1 (ad x d a j 0 y j ) j + a 0 y j a i dla i = 0...d, E a i = j ) 2 (a d x dj a 1 x 1 j + a 0 y j x i j dla i = 0...d, E a i = a d j x d+i j a 1 j x 1+i j + a 0 j x i j j y j x i j = 0
61 Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania Regresja liniowa / Metoda najmniejszych kwadratów Oznaczmy: S x k = j x k j S yx k = j y j x k j
62 Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania Regresja liniowa / Metoda najmniejszych kwadratów Otrzymujemy ukªad równa«: S x 2d S x 2d 1... S x d+1 S x d S x 2d 1 S x 2d 2... S x d S x d 1.. S x d S x d 1... S x 1 S x 0 a n a n 1. a 0 = S yx d S yx d 1. S yx 0
63 Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania Aproksymacja wielomianem zbyt wysokiego stopnia dla wysokich stopni wielomianu d i zªo±liwych danych problem mo»e by ¹le uwarunkowany (np. w danych jest para (x i, y i )(x j, y j ) gdzie x i jest do± bliski x j, a odpowiadaj ce im y znacznie si ró»ni ), wielomian traa idealnie (niemal idealnie, je»eli d < n 1) w ka»dy z punktów ucz cych, ale nie oddaje tego, co si dzieje poza nimi, je»eli d n (ilo± danych), to prostszym rozwi zaniem jest interpolacja wielomianowa Lagrange'a.
64 Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania Aproksymacja wielomianem zbyt wysokiego stopnia
65 Zadania Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania znajd¹ wielomiany stopni 1, 2 i 3 przybli»aj cy punkty (0, 0), (1, 1), (2, 3), znajd¹ wielomiany stopni 1, 2 i 3 przybli»aj cy punkty (0, 0), (1, 1), (2, 3), (4, 0), (*) znajd¹ wielomian interpolacyjny Lagrange'a stopnia 1, 2 i 3 dla danych z zada«powy»ej, zaimplementuj uczenie perceptronu i prostej sieci skierowanej na przykªadzie XOR (lub innym nietrywialnym), zbadaj jako± uczenia w obu przypadkach, Skorzystaj z walidacji prostej, krzy»owej, LOO, estymacji poprawnie klasykowanych punktów itp.
66 Zadania Regresja liniowa prosta Regresja liniowa wielomian stopnia d Zadania zbadaj specyczno± i wra»liwo± (sensitivity and specicity) nauczonej sieci z zadania wy»ej, (**) kontroluj c r cznie próg neuronu a tym samym wra»liwo± testu (zawsze nie do zawsze tak), wy±wietl wykres zale»no±ci specyczno±ci od wra»liwo±ci (wykres ROC). (**) Oblicz numerycznie pole pod wykresem (AUC) z zadania powy»ej.
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 09, Walidacja jakości uczenia. Metody statystyczne.
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 09, Walidacja jakości uczenia. Metody statystyczne. Maja Czoków, Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2011-12-06 1 Przykład
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 13-14, Walidacja jakości uczenia. Metody statystyczne.
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 13-14,. Metody statystyczne. M. Czoków, J. Piersa Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University, Toruń, Poland 2011.01.11 1 Przykład Przeuczenie
Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for regression) / 13
Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference for regression) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 2 czerwca 2016 Elementarna statystyka Wnioskowanie o regresji (Inference 2 czerwca for
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Informacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Rozdziaª 13. Przykªadowe projekty zaliczeniowe
Rozdziaª 13 Przykªadowe projekty zaliczeniowe W tej cz ±ci skryptu przedstawimy przykªady projektów na zaliczenia zaj z laboratorium komputerowego z matematyki obliczeniowej. Projekty mo»na potraktowa
Metody bioinformatyki (MBI)
Metody bioinformatyki (MBI) Wykªad 9 - mikromacierze DNA, analiza danych wielowymiarowych Robert Nowak 2016Z Metody bioinformatyki (MBI) 1/42 mikromacierze DNA Metoda badawcza, pozwalaj ca bada obecno±
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Ekonometria - wykªad 8
Ekonometria - wykªad 8 3.1 Specykacja i werykacja modelu liniowego dobór zmiennych obja±niaj cych - cz ± 1 Barbara Jasiulis-Goªdyn 11.04.2014, 25.04.2014 2013/2014 Wprowadzenie Ideologia Y zmienna obja±niana
Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci
Statystyka opisowa. Wykªad II. Elementy statystyki opisowej. Edward Kozªowski.
Statystyka opisowa. Wykªad II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis tre±ci Mediana i moda 1 Mediana i moda 2 3 4 Mediana i moda Median m e (warto±ci ±rodkow ) próbki x 1,..., x n nazywamy ±rodkow liczb w
Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO
Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia
Lab. 02: Algorytm Schrage
Lab. 02: Algorytm Schrage Andrzej Gnatowski 5 kwietnia 2015 1 Opis zadania Celem zadania laboratoryjnego jest zapoznanie si z jednym z przybli»onych algorytmów sªu» cych do szukania rozwi za«znanego z
Wst p do sieci neuronowych 2010/2011 wykªad 7 Algorytm propagacji wstecznej cd.
Wst p do sieci neuronowych 2010/2011 wykªad 7 Algorytm propagacji wstecznej cd. M. Czoków, J. Piersa Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University, Toru«, Poland 2010-11-23
Ekonometria. wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego (2) Ekonometria 1 / 33 Plan wicze«1 Wprowadzenie 2 Ocena dopasowania R-kwadrat Skorygowany R-kwadrat i kryteria informacyjne 3 Ocena istotno±ci zmiennych
Listy i operacje pytania
Listy i operacje pytania Iwona Polak iwona.polak@us.edu.pl Uniwersytet l ski Instytut Informatyki pa¹dziernika 07 Który atrybut NIE wyst puje jako atrybut elementów listy? klucz elementu (key) wska¹nik
Uczenie Wielowarstwowych Sieci Neuronów o
Plan uczenie neuronu o ci gªej funkcji aktywacji uczenie jednowarstwowej sieci neuronów o ci gªej funkcji aktywacji uczenie sieci wielowarstwowej - metoda propagacji wstecznej neuronu o ci gªej funkcji
EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
EGZAMIN MAGISTERSKI, 12.09.2018r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach Zadanie 1. (8 punktów) O rozkªadzie pewnego ryzyka S wiemy,»e: E[(S 20) + ] = 8 E[S 10 < S 20] = 13 P (S 20) = 3 4 P (S 10) = 1
Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów
Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów Teoria Interpolacja polega na znajdowaniu krzywej przechodz cej przez wszystkie w zªy. Zdarzaj si jednak sytuacje, w których dane te mog by obarczone
Równania ró»niczkowe I rz du (RRIR) Twierdzenie Picarda. Anna D browska. WFTiMS. 23 marca 2010
WFTiMS 23 marca 2010 Spis tre±ci 1 Denicja 1 (równanie ró»niczkowe pierwszego rz du) Równanie y = f (t, y) (1) nazywamy równaniem ró»niczkowym zwyczajnym pierwszego rz du w postaci normalnej. Uwaga 1 Ogólna
wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia
wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. wiczenia 1 2 do wiczenia 3 4 Badanie do±wiadczalne 5 pomiarów 6 7 Cel Celem wiczenia jest zapoznanie studentów z etapami przygotowania i
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 02 Perceptrony c.d. Maszyna liniowa.
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 02 Perceptrony c.d. Maszyna liniowa. Maja Czoków, Jarosław Piersa, Andrzej Rutkowski Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2018-10-15 Projekt
Statystyka. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Statystyka Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Statystyka Statystyka: nauka zajmuj ca si liczbowym opisem zjawisk masowych oraz ich analizowaniem, zbiory informacji liczbowych. (Sªownik
Stan dotychczasowy. OCENA KLASYFIKACJI w diagnostyce. Metody 6/10/2013. Weryfikacja. Testowanie skuteczności metody uczenia Weryfikacja prosta
Stan dotychczasowy OCENA KLASYFIKACJI w diagnostyce Wybraliśmy metodę uczenia maszynowego (np. sieć neuronowa lub drzewo decyzyjne), która będzie klasyfikować nieznane przypadki Na podzbiorze dostępnych
Jakość uczenia i generalizacja
Jakość uczenia i generalizacja Dokładność uczenia Jest koncepcją miary w jakim stopniu nasza sieć nauczyła się rozwiązywać określone zadanie Dokładność mówi na ile nauczyliśmy się rozwiązywać zadania które
Metody probablistyczne i statystyka stosowana
Politechnika Wrocªawska - Wydziaª Podstawowych Problemów Techniki - 011 Metody probablistyczne i statystyka stosowana prowadz cy: dr hab. in». Krzysztof Szajowski opracowanie: Tomasz Kusienicki* κ 17801
Vincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy. Radosªaw Klimek. J zyk programowania Java
J zyk programowania JAVA c 2011 Vincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy Zadanie 6. Napisz program, który tworzy tablic 30 liczb wstawia do tej tablicy liczby od 0 do 29 sumuje te elementy tablicy,
1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Algorytmy zwiazane z gramatykami bezkontekstowymi
Algorytmy zwiazane z gramatykami bezkontekstowymi Rozpoznawanie j zyków bezkontekstowych Problem rozpoznawania j zyka L polega na sprawdzaniu przynale»no±ci sªowa wej±ciowego x do L. Zakªadamy,»e j zyk
Biostatystyka, # 5 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 5 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisªaw Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowa«Matematyki i Informatyki ul. Gª boka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Wykªad 6: Model logitowy
Wykªad 6: Model logitowy Ekonometria Stosowana SGH Model logitowy 1 / 18 Plan wicze«1 Modele zmiennej jako±ciowej idea 2 Model logitowy Specykacja i interpretacja parametrów Dopasowanie i restrykcje 3
przewidywania zapotrzebowania na moc elektryczn
do Wykorzystanie do na moc elektryczn Instytut Techniki Cieplnej Politechnika Warszawska Slide 1 of 20 do Coraz bardziej popularne staj si zagadnienia zwi zane z prac ¹ródªa energii elektrycznej (i cieplnej)
Materiaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Interpolacja Lagrange'a, bazy wielomianów
Rozdziaª 4 Interpolacja Lagrange'a, bazy wielomianów W tym rozdziale zajmiemy si interpolacj wielomianow. Zadanie interpolacji wielomianowej polega na znalezieniu wielomianu stopnia nie wi kszego od n,
Wst p do sieci neuronowych, wykªad 14 Zespolone sieci neuronowe
Wst p do sieci neuronowych, wykªad 14 Zespolone sieci neuronowe M. Czoków, J. Piersa Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University, Toru«, Poland 2011-18-02 Motywacja Liczby
Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Aleksandra Ki±lak-Malinowska akis@uwm.edu.pl http://wmii.uwm.edu.pl/ akis/ Czym zajmuje si statystyka? Statystyka zajmuje si opisywaniem i analiz zjawisk masowych otaczaj cej czªowieka
Modele wielorównaniowe. Problem identykacji
Modele wielorównaniowe. Problem identykacji Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Identykacja 1 / 43 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Trzy przykªady 3 Przykªady: interpretacja 4 Warunki identykowalno±ci 5 Restrykcje
XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy
Podstawy statystycznego modelowania danych - Wykªad 7
Podstawy statystycznego modelowania danych - Wykªad 7 Tomasz Suchocki ANOVA Plan wykªadu Analiza wariancji 1. Rys historyczny 2. Podstawy teoretyczne i przykªady zastosowania 3. ANOVA w pakiecie R Tomasz
In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia
Uwagi: 27012014 poprawiono kilka literówek, zwi zanych z przedziaªami ufno±ci dla wariancji i odchylenia standardowego In»ynierskie zastosowania statystyki wiczenia Przedziaªy wiarygodno±ci, testowanie
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 02 Perceptrony c.d. Maszyna liniowa.
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 02 Perceptrony c.d. Maszyna liniowa. Maja Czoków, Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2012-10-10 Projekt pn. Wzmocnienie
Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru
5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, r Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach ( Niezale»ne szkody maja rozkªady P (X i = k) = exp( 1)/k!, P (Y i = k) = 4+k ) k (1/3) 5 (/3) k, k = 0, 1,.... Niech S = X 1 +... + X 500 + Y 1 +... + Y 500. Skªadka
Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 02 Perceptrony c.d. Maszyna liniowa.
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 02 Perceptrony c.d. Maszyna liniowa. Maja Czoków, Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2011-10-11 1 Modelowanie funkcji logicznych
Kolokwium Zadanie 1. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona
Kolokwium 3 0.0. Zadanie. Dla jakich warto±ci parametrów a i b funkcja sklejona a : π, f() = cos() : π < π, a + b : π < jest ci gªa? Rozwi zanie: Funkcja jest ci gªa we wszystkich punktach poza, by mo»e,
Opis matematyczny ukªadów liniowych
Rozdziaª 1 Opis matematyczny ukªadów liniowych Autorzy: Alicja Golnik 1.1 Formy opisu ukªadów dynamicznych 1.1.1 Liniowe równanie ró»niczkowe Podstawow metod przedstawienia procesu dynamicznego jest zbiór
Analiza Matematyczna MAT1317
Analiza Matematyczna MAT37 Wydziaª Informatyki i Zarz dzania Listy zada«nr -0 cz ±ciowo na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykªady i zadania, GiS, Wrocªaw 008 M.Gewert,
1 Ró»niczka drugiego rz du i ekstrema
Plan Spis tre±ci 1 Pochodna cz stkowa 1 1.1 Denicja................................ 1 1.2 Przykªady............................... 2 1.3 Wªasno±ci............................... 2 1.4 Pochodne wy»szych
x y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9
Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s
Uczenie Maszynowe: reprezentacja wiedzy, wybór i ocena modelu, drzewa decyzjne
Uczenie Maszynowe: reprezentacja, wybór i ocena modelu, drzewa decyzjne Plan reprezentacja reguªy decyzyjne drzewa decyzyjne i algorytm ID3 zªo»ono± modelu wybór i ocena modelu przetrenowanie i sposoby
Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 03 Warstwy RBF, jednostka Adaline.
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 3 Warstwy, jednostka Adaline. Maja Czoków, Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 211-1-18 1 Pomysł Przykłady Zastosowanie 2
KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu
➏ Filozoa z elementami logiki Na podstawie wykªadów dra Mariusza Urba«skiego Sylogistyka Przypomnij sobie: stosunki mi dzy zakresami nazw KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE Trzy znaczenia sªowa jest trzy rodzaje
Zbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 1
Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 1 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Analiza wariancji
Elementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH
STATYSTYCZNE MODELOWANIE DANYCH BIOLOGICZNYCH WYKŠAD 4 03 listopad 2014 1 / 47 Plan wykªadu 1. Testowanie zaªo»e«o proporcjonalnym hazardzie w modelu Cox'a 2. Wybór zmiennych do modelu Cox'a 3. Meta analiza
Pakiety statystyczne - Wykªad 8
Pakiety statystyczne - Wykªad 8 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Analiza wariancji 1. Rys historyczny 2. Podstawy teoretyczne
Funkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Ekonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 9: Metody numeryczne: MCMC Andrzej Torój 1 / 17 Plan wykªadu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 / 17 Plan prezentacji Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 3 3 / 17 Zastosowanie metod numerycznych
Matematyka z elementami statystyki
Matematyka z elementami statystyki Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Korelacja Zale»no± funkcyjna wraz ze wzrostem jednej zmiennej nast puje ±ci±le okre±lona zmiana druiej zmiennej.
2. (8 punktów) 3. (8 punktów) 4. (8 punktów) 5. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach
Matematyka w ekonomii i ubezpieczeniach 1. (8 punktów) Znajd¹ rozwi zanie poni»szego zagadnienia programowania liniowego: Zmaksymalizowa x 1 2x 2 + x 3 x 5 przy ograniczeniach x 1 3x 2 + x 3 + 2x 5 = 8
ZADANIA. Maciej Zakarczemny
ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Proste modele o zªo»onej dynamice
Proste modele o zªo»onej dynamice czyli krótki wst p do teorii chaosu Tomasz Rodak Festiwal Nauki, Techniki i Sztuki 2018 April 17, 2018 Dyskretny model pojedynczej populacji Rozwa»my pojedyncz populacj
Liniowe zadania najmniejszych kwadratów
Rozdziaª 9 Liniowe zadania najmniejszych kwadratów Liniowe zadania najmniejszych kwadratów polega na znalezieniu x R n, który minimalizuje Ax b 2 dla danej macierzy A R m,n i wektora b R m. Zauwa»my,»e
CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski
III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych
Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch proporcji (Two-sample problem: comparing two proportions)
Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie dwóch proporcji (Two-sample problem: comparing two proportions) Alexander Bendikov Uniwersytet Wrocªawski 25 maja 2016 Elementarna statystyka Dwie próby: porównanie
Listy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki.
Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki 10 marca 2008 Spis tre±ci Listy 1 Listy 2 3 Co to jest lista? Listy List w Mathematice jest wyra»enie oddzielone przecinkami i zamkni te w { klamrach }. Elementy
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj
Ekonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 2: Bayesowska estymacja równania ze staª. Elementy j zyka R (2) Ekonometria Bayesowska / 24 Plan wykªadu Model ze staª 2 Podstawy j zyka R 3 Bayesowska analiza modelu ze staª
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:
Ekstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6
Modele liniowe i mieszane na przykªadzie analizy danych biologicznych - Wykªad 6 Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu Model mieszany
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Ekonometria. wiczenia 8 Modele zmiennej jako±ciowej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 8 Modele zmiennej jako±ciowej (8) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Modele zmiennej jako±ciowej 2 Model logitowy Specykacja i interpretacja parametrów Dopasowanie i restrykcje 3 Predykcja
Ekonometria. wiczenia 3 Autokorelacja, heteroskedastyczno±, wspóªliniowo± Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 3 Autokorelacja, heteroskedastyczno±, wspóªliniowo± (3) Ekonometria 1 / 29 Plan wicze«1 Wprowadzenie 2 Normalny rozkªad 3 Autokorelacja 4 Heteroskedastyczno± Test White'a Odporne bª
Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia prostopadłościennego za pomocą arkusza kalkulacyjngo.
Konspekt lekcji Przedmiot: Informatyka Typ szkoły: Gimnazjum Klasa: II Nr programu nauczania: DKW-4014-87/99 Czas trwania zajęć: 90min Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia
Ukªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II.
Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Marek Zawadowski Zadanie 1 Napisz
Funkcje. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Funkcje Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Uzasadnij,»e równanie x 3 + 2x 2 3x = 6 ma dwa niewymierne pierwiastki. Funkcja f dana jest wzorem f (x) = 2x + 1. Rozwi» równanie f (x +
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
NUMER IDENTYFIKATORA:
Społeczne Liceum Ogólnokształcące z Maturą Międzynarodową im. Ingmara Bergmana IB WORLD SCHOOL 53 ul. Raszyńska, 0-06 Warszawa, tel./fax 668 54 5 www.ib.bednarska.edu.pl / e-mail: liceum.ib@rasz.edu.pl
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów
Modele wielorównaniowe. Estymacja parametrów Ekonometria Szeregów Czasowych SGH Estymacja 1 / 47 Plan wykªadu 1 Po±rednia MNK 2 Metoda zmiennych instrumentalnych 3 Podwójna MNK 4 Estymatory klasy k 5 MNW
Ekonometria Bayesowska
Ekonometria Bayesowska Wykªad 6: Bayesowskie ª czenie wiedzy (6) Ekonometria Bayesowska 1 / 21 Plan wykªadu 1 Wprowadzenie 2 Oczekiwana wielko± modelu 3 Losowanie próby modeli 4 wiczenia w R (6) Ekonometria
Elementarna statystyka
Elementarna statystyka Alexander Bendikov 26 marca 2017 Klasyczny model: eksperyment o jednakowo prawdopodobnych wynikach Zaªo»enia: 1 Przestrze«próbek S ma sko«czenie wiele wyników ω 1, ω 2,..., ω n,