Kombinatorika a komplexní aritmetika

Transkrypt

1 a komplexní aritmetika katedra matematiky, FEL ČVUT v Praze, Jan Hamhalter Datum Komplexní čísla, kombinatorika 1/56

2 Historie: Zavedení komplexních čísel bylo motivováno snahou hledat kořeny polynomů. Chceme model rozšiřující aritmetiku reálných čísel a obsahující element (imaginární jednotku) i tak, že i 2 = 1. Definice Komplexní čísla jsou dvojice reálných čísel reprezentovaná ve tvaru (x, y) = x + iy, x, y jsou reálná čísla. Je-li z = x + iy, pak definujeme reálnou část a imaginární část z: Re z = x Im z = y. Datum Komplexní čísla, kombinatorika 2/56

3 Operace sčítání: komplexní čísla se sčítají po složkách. Operace násobení: komplexní čísla se násobí jako dvojčleny s použitím pravidla : i i = i 2 = 1. Tedy: (x + iy) + (u + iv) = x + u + (y + v)i. (x + iy)(u + iv) = xu yv + (yu + xv)i ( 2 + i) + (3 + 4i) = 1 + 5i, ( 2 + i)(3 + 4i) = 6 + 3i 8i 4 = 10 5i i 3 = i i 4 = 1, i 5 = i. Datum Komplexní čísla, kombinatorika 3/56

4 Algebraické zákony: z 1 z 2 = z 2 z 1, z 1 (z 2 z 3 ) = (z 1 z 2 ) z 3, z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3. Definice Pro komplexní číslo z = x + iy definujeme číslo komplexně sdružené: z = x i y a absolutní hodnotu (modul) z = x 2 + y 2 = z z. Datum Komplexní čísla, kombinatorika 4/56

5 Pravidla pro konjugaci a absolutní hodnotu: z = z, z w = z w z = z z w = z w Určete absolutní hodnotu komplexního čísla Řešení z = 2(2 + i)(10 i). z = i (10 i) = = Datum Komplexní čísla, kombinatorika 5/56

6 Dělení komplexních čísel Podíl: z = z 1 z 2, kde z 1 a z 2 jsou komplexní čísla, z 2 0, je komplexní číslo řešící rovnici zz 2 = z 1. Výpočet: z 1 z 2 = z 1 z 2 z 2 z 2 = z 1 z 2 z i 2 + i = (3 + i)(2 i) 5 = i. Datum Komplexní čísla, kombinatorika 6/56

7 Pravidla pro podíl: z 1 z 2 ( z1 z 2 = z 1 z 2. ) = z 1 z 2. Datum Komplexní čísla, kombinatorika 7/56

8 Komplexní (Gaussova) rovina z = x + iy... bod v rovině o souřadnicích (x, y). z... vzdálenost bodu z od počátku ϕ... úhel průvodiče bodu z s kladnou částí reálné osy, definujeme pro z 0. cos ϕ = Re z z Goniometrický tvar komplexního čísla: sin ϕ = Im z z z = z (cos ϕ + i sin ϕ) z 0. Poznámka: úhel ϕ v goniometrickém tvaru komplexního čísla je určen jednoznačně až na celistvé násobky 2π.. Datum Komplexní čísla, kombinatorika 8/56

9 1 = cos 0 + i sin 0 i = cos π 2 + i sin π 2. 1 = cos π + i sin π i = cos( 3 2 π) + i sin(3 2 π). Určete goninometrický tvar komplexního čísla z = 1 + i. Řešení z = 2 cos ϕ = 2 2 = sin ϕ. z = 2(cos π 4 + i sin π 4 ). Datum Komplexní čísla, kombinatorika 9/56

10 Určete goniometrický tvar komplexního čísla z = 1 2 (1 i 3) Řešení z = 2 cos ϕ = 1 2 sin ϕ = 3 2. z = 2(cos( π/3) + i sin( π/3)) = 2(cos(5/3π) + i sin(5/3π)). Datum Komplexní čísla, kombinatorika 10/56

11 Tvrzení Pro komplexní čísla v goniometrickém tvaru platí Je-li z 2 0, pak z 1 = z 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) z 2 = z 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) z 1 z 2 = z 1 z 2 [cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )]. z 1 = z 1 z 2 z 2 [cos(ϕ 1 ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 ϕ 2 )]. Datum Komplexní čísla, kombinatorika 11/56

12 Moivrova věta Pro z = z (cos ϕ + i sin ϕ) a přirozené n platí z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ). (1 + i) n = 2 n (cos nπ 4 + i sin nπ 4 ). (1 + i) 55 = 2 55 (cos 55π 4 = 2 55 (7 8 1)π (cos 4 + i sin + i sin 55π 4 ) = = 2 55 (cos( π 4 ) + i sin( π 4 )) = 2 55 ( 2/2 i 2/2). (7 8 1)π ) = 4 Datum Komplexní čísla, kombinatorika 12/56

13 y Stanovte algebraický tvar komplexního čísla z = 11+7i 5 3i i. Řešení i 5 3i = (11 + 7i)(5 + 3i) 34 = i + 33i = i 34 = = 1 + 2i. z = 1 + 2i i = 3 + 3i. Datum Komplexní čísla, kombinatorika 13/56

14 Stanovte algebraický tvar komplexně združeného čísla k číslu z = (2 + 9i) i. Řešení z = (2 9i) i = 77 36i i = 70 30i. Datum Komplexní čísla, kombinatorika 14/56

15 Stanovte algebraický tvar komplexního čísla Řešení z = 2 cos( 3 2 π) + i sin( 3 2 π) (cos( 1 4 π) + i sin( 1 4 π))3 z = 2(cos( 3 2 π 3 4 π)+i sin(3 2 π 3 4 π)) = 2(cos( 3 4 π)+i sin(3 4 π)) = = 2( i 2 ) = 1 + i. Datum Komplexní čísla, kombinatorika 15/56

16 Určete absolutní hodnotu komplexních čísel Řešení z = (3 2i) 2 (2 + 10i) w = (3 2i) 2 (2 + 10i). z = w = 9 12i i = 3 2i. w = 13. Datum Komplexní čísla, kombinatorika 16/56

17 Uved te do goniometrického tvaru komplexní čísla z = 3 + i 1 3i w = 1 i i 5. Řešení z = (3 + i)(1 + 3i) 10 = 10i 10 = i. z = cos( π 2 ) + i sin(π 2 ). w = i = 2 2 (cos( 7 4 π) + i sin(7 4 π)) = = 2(cos( 7 4 π) + i sin(7 4 π)). Datum Komplexní čísla, kombinatorika 17/56

18 Kombinatorické úlohy určují počet prvků množin, které vznikají různými výběry a množinovými operacemi. Při řešení těchto úloh se používají základní principy a kategorie shrnuté níže, množinová aritmetika a především pak logické myšlení! Datum Komplexní čísla, kombinatorika 18/56

19 Principy Základní pravidla pro počítání mohutností množin: Je-li A konečná množina, pak necht A označuje počet prvků množiny A. Speciálně, je-li A B = pak A B = A + B A B. A B = A + B. Speciálně, je-li A B, pak A B = A \ B + B \ A + A B. B \ A = B A. Datum Komplexní čísla, kombinatorika 19/56

20 Princip součtu Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B můžeme vybrat n způsoby, pak výběr bud A nebo B lze provést m + n způsoby. Princip doplňku Objekt B lze vybrat n způsoby. Je-li počet výběrů objektu B s vlastností V roven k, pak počet výběrů objektu B, které nemají vlastnost V, je n k. Datum Komplexní čísla, kombinatorika 20/56

21 A B = A B. A 1 A 2 A 3 A n = A 1 A 2 A n. Princip součinu Jestliže objekt A můžeme vybrat n způsoby a jestliže po každém takovém výběru lze objekt B vybrat m způsoby, pak výběr dvojice (A, B) v tomto pořadí lze provést nm způsoby. Datum Komplexní čísla, kombinatorika 21/56

22 Zámek sejfu má pět kotoučů, na každém je celkem dvanáct písmen. Kolik možných kódů připadá v úvahu pro jeho otevření? Řešení Podle principu součinu je celkový počet možností = 12 5 = Datum Komplexní čísla, kombinatorika 22/56

23 Kolik kódů k otevření sejfu v předchozím příkladě obsahuje alepoň jedno písmeno A? Řešení Podle principu doplňku je to celkový počet kódů minus počet kódů neobsahujících A. Tedy = Datum Komplexní čísla, kombinatorika 23/56

24 Základní kategorie 1. Variace s opakováním Variace k-té třídy s opakováním z n prvků jsou posloupnosti délky k, (uspořádané k-tice), jejímiž členy jsou prvky z n-prvkové množiny. Počet těchto variací: V o k (n) = nk. Kolik pětimístných telefonních čísel můžeme vytvořit z číslic 1,2,5? Řešení V o 5 (3) = 3 5 = 243. Datum Komplexní čísla, kombinatorika 24/56

25 2. Variace bez opakování Variace k-té třídy bez opakování z n prvků, kde k n, jsou prosté posloupnosti délky k, jejímiž členy jsou prvky z n-prvkové množiny. Tj. prvky se nesmí opakovat. Počet těchto variací: V k (n) = P k (n) = n(n 1) (n k + 1). Kolik lze vytvořit front délky 7 z deseti žáků? Řešení V 7 (10) = = Datum Komplexní čísla, kombinatorika 25/56

26 3. Permutace Permutace z n prvků jsou prosté posloupnosti délky n, jejímiž členy jsou prvky z n-prvkové množiny. (Speciální případ variací bez opakování, kde n = k.) Počet těchto permutací: Pokládáme přitom 0! = 1. P(n) = P n (n) = n! = n(n 1) 2 1. Kolik lze vytvořit front z deseti žáků? Řešení 10! = Datum Komplexní čísla, kombinatorika 26/56

27 4. Kombinace Kombinace k-té třídy z n prvků, kde k n, jsou k-prvkové podmnožiny n-prvkové množiny. Počet těchto kombinací: C k (n) = ( ) n k = 1 k! P k(n) = n! k!(n k)!. Kolika způsoby lze vybrat trojčlenný výbor z devíti žáků? Řešení ( ) 9 = = 84. Datum Komplexní čísla, kombinatorika 27/56

28 Tvrzení Platí, že C k (n) je počet posloupností nul a jedniček délky n, které obsahují právě k jedniček. Důvod: Zakódujeme danou podmnožinu M množiny {1, 2,..., n} posloupností nul a jedniček tak, že na i-tém místě je 1 (resp. 0), jestliže i M (resp. i M). Datum Komplexní čísla, kombinatorika 28/56

29 Důležité identity: ( ) ( ) n n =. k n k Počet k-prvkových podmnožin je stejný jako n k prvkových. ( ) n = k ( ) n 1 + k 1 ( n 1 k ). Počet k-prvkových podmnožin je roven součtu počtu podmnožin velikosti k, které obsahují vyznačený prvek, a počtu podmnožin velikosti k, které neobsahují vyznačený prvek. Datum Komplexní čísla, kombinatorika 29/56

30 5. Permutace s opakováním Kolik dalších slov lze vytvořit ze slova Mississippi změnou pořadí písmen? Řešení P(4, 4, 2, 1) 1 = 11! 1 = !4!2!1! Datum Komplexní čísla, kombinatorika 30/56

31 Permutace s opakováním jsou posloupnosti délky které obsahují n 1 stejných prvků prvního druhu n 2 stejných prvků druhého druhu... n k stejných prvků k-tého druhu. Počet těchto permutací: n = n 1 + n n k, P(n 1, n 2,..., n k ) = n! n 1!n 2! n k!. Datum Komplexní čísla, kombinatorika 31/56

32 Tvrzení P(n 1, n 2,..., n k ) je počet všech posloupností délky n = n 1 + n n k, přirozených čísel 1,... k, obsahujících n 1 jedniček, n 2 dvojek,..., n k -krát číslo k. P(k, n k) = n! k!(n k)! = ( ) n. k Datum Komplexní čísla, kombinatorika 32/56

33 6. Kombinace s opakováním Kombinace s opakováním k-té třídy z n druhů je výběr k objektů z n druhů objektů, ve kterém se mohou objekty stejného druhu opakovat. V cukrárně se prodávají čtyři druhy zákusků: větrníky, špičky, věnečny a laskonky. Kolika způsoby lze nakoupit sedm zákusků? Datum Komplexní čísla, kombinatorika 33/56

34 Řešení 7 objektů vybraných ze čtyř druhů. Zakódujeme každý takový nákup do posloupnosti nul a jedniček. Počet jedniček počet položek daného druhu, 0 přechod na nový druh. y 2 větrníky 1 špička 3 věnečky 1 laskonka větrníky 2 špičky 3 věnečky 0 laskonek větrníky 0 špiček 3 věnečky 1 laskonka Datum Komplexní čísla, kombinatorika 34/56

35 Počet všech možností = počet všech posloupností délky 10, majících sedm jedniček a tři nuly= P(7, 3) = 10! ( ) 10 7!3! = = Obecně je počet kombinací s opakováním k-té třídy z n prvků roven ( ) n + k 1 Ck o (n) = P(n 1, k) =. k Datum Komplexní čísla, kombinatorika 35/56

36 y V kole tančí sedm dívek. Kolika způsoby mohou být seřazeny? Řešení 7! rozestavení na přímce, na kruhu máme 7 symetríı (otočení). Tedy 7! = 6! = Datum Komplexní čísla, kombinatorika 36/56

37 Kolika způsoby je možno rozestavět osm věží na šachovnici tak, aby se neohrožovaly? Řešení Z každého řádku vybereme právě jednu pozici z 1,2,..., 8. Počet možností tak bude 8! = Datum Komplexní čísla, kombinatorika 37/56

38 Ve skříni je pět různých párů bot. Vybereme náhodně čtyři boty. Při kolika výběrech získáme alespoň jeden úplný pár? (Pořadí bot ve výběru nehraje roli.) Řešení Počet všech výběrů: ( ) 10 = Počet všech výběrů neobsahujících stejný pár= počet všech čtveřic vybraných z pěti druhů bot krát počet způsobů jak vybrat danou čtveřici= ( ) celkem: = 130. Datum Komplexní čísla, kombinatorika 38/56

39 Kolik existuje nejvýše šesticiferných čísel majících ve svém zápisu alespoň jednu šestku? Řešení Počet všech nejvýše šesticiferných čísel: 10 6 Počet všech takových čísel neobsahujících šestku: 9 6 celkem: = Datum Komplexní čísla, kombinatorika 39/56

40 Máme dvanáct cestujících, mezi nimi Romea a Julii. Cestující rozesadíme po třech do čtyřech různých kočárů. Při kolika takových rozesazení jsou Romeo a Julie ve stejném kočáru? Řešení Romea a Julii můžeme posadit do čtyřech kočárů a doplnit k nim deseti způsoby třetího pasažéra. Tj. 40 možností. Zbývá rozesadit zbývajících devět osob po třech do třech různých kočárů. Každé osobě dáme 1,2,3 podle čísla kočáru. Máme tedy všechny možné posloupnosti délky 9 obsahující tři jedničky, tři dvojky a tři trojky. Tj. P(3, 3, 3) možností. Celkem: 40 P(3, 3, 3) = 40 9! = = !3!3! Datum Komplexní čísla, kombinatorika 40/56

41 Krotitel šelem chce přivést do manéže 5 lvů a 4 tygry, přitom nesmějí jít dva tygři za sebou. Kolika způsoby může šelmy seřadit? (Lvi a tygři mají svá jména.) Řešení Rozestavme nejprve všechny lvy a nechme mezi každou dvojicí jednu mezeru. To je 5! možností. Přidejme ještě mezeru před prvním a posledním lvem. Máme tak 6 pozic, do kterých umístíme libovolně 4 tygry. To je V 4 (6) = možností. Celkem: 5! = Datum Komplexní čísla, kombinatorika 41/56

42 Degustujeme 6 různých druhů whiskey, mezi nimi vypijeme 3 sklenice vody. Nechceme vypít dvě sklenice vody po sobě. Kolik je možných degustací? Řešení Rozestavíme 6 sklenic whiskey, dáme mezi ně mezery, další dvě mezery doplníme před první a poslední whiskey. Máme tak 6 panáků whiskey a sedm mezer. Vybereme tři mezery a dáme do každé z nich sklenici vody. Počet možností: ( ) 7 6! = Datum Komplexní čísla, kombinatorika 42/56

43 Máme 9 židĺı v řadě. Rozesadíme na ně 4 studenty zkoušené z matematiky a tři z angličtiny. Chceme, aby se studenti různých předmětů střídali a zároveň nebyla dvě místa vedle sebe volná. Kolik je možností takto žáky rozesadit? Řešení Musíme začít s matematikou a vytvořit 7 pozic, ve které se střídají matici a angličtináři, což lze provést 4! 3! možnostmi. Na těchto 7 pozic opět vytvoříme 8 mezer. Do dvou mezer dáme židle, což můžeme udělat ( 8 2) možnostmi. Tedy celkem: ( ) 8 4! 3! = = Datum Komplexní čísla, kombinatorika 43/56

44 Jsou dány množiny A = {1, 2,..., 1000} B = {x A : x 6 Z}. C = {x A : x 8 Z}. D = {x A : 237 x 356}. ( je množina všech celých čísel.) Určete počet prvků množiny (B C) D Datum Komplexní čísla, kombinatorika 44/56

45 Řešení 1000 = a tedy B C = {x A : x 24 } B C = 41. D = = 120. B C D = {240, 264, 288, 312, 336} = 5. Tedy (B C) D = = 156. Datum Komplexní čísla, kombinatorika 45/56

46 Určete velikost množin A = {(x, y) : x, y, 1 x, y 100}. ( je množina celých čísel.) Řešení B = {(x, y) A : x y} C = A \ B. A = = B = = /2 = = C = A \ B = = Datum Komplexní čísla, kombinatorika 46/56

47 Literatura Hyánková, Sedláčková: Matematika pro zájemce o studium na vysokých školách, Vydavatelství ČVUT, Praha 2001 I.A.Vilenkin:, Polytechnická knižnice, Datum Komplexní čísla, kombinatorika 47/56

48 Samostatná práce C1 Dvě děti nasbíraly 10 heřmánků, 15 chrp, a 14 poměnek. Jakým způsobem si je mohou rozdělit? Kolik dostane první dítě heřmánků, chrp, poměnek (počet může být 0)? = Datum Komplexní čísla, kombinatorika 48/56

49 C2 Máme šest jablek a osm hrušek. Vybereme tři kusy ovoce. Při kolika výběrech máme alespoň jedno jablko? všechny výběry samé hrušky = ( ) ( ) 14 8 = = C3 Kolik existuje osmimístných číselných kódů obsahujících tři jedničky, dvě dvojky a tři trojky? P(3, 2, 3) = 8! 3!3!2! = 560. Datum Komplexní čísla, kombinatorika 49/56

50 C4 Na výletě je 9 chlapců. Rozděĺı se po 3 do 3 různých hotelových pokojů. Kolik existuje možností aby Pavel a Martin spali v jednom pokoji? ( ) 6 3 (počet pokojů) 7 (zbylý spolužák) (6 po třech do dvou pokojů) 3 = = 420. Datum Komplexní čísla, kombinatorika 50/56

51 C5 Na konferenci je 6 řečníků a dvě řecnice. Dvě řečnice nesmí jít po sobě a nesmí být ani na začátku ani na konci konference. Kolik je možných různých programů konference? Jak se tento počet změní budeme-li mít šest řečníků (s jednou přednáškou) a jednu řečnici se dvěma přednáškami? (Na obsahu přednášek nezáleží). Rozestavíme 6 řečníků a dáme mezi ně 5 mezer. Do dvou mezer umístíme řečnice. Polovina, tj ! 5 4 = 20 6! = Datum Komplexní čísla, kombinatorika 51/56

52 C6 Máme 6 různých párů ponožek, vybereme 4 ponožky. Při kolika takových výběrech získáme a) alespoň jeden úplný pár? b) právě jeden úplný pár? a) vše - počet s ani jednim úplným párem: ( ) ( ) = = b) vybereme jeden konkrétní pár: 6 způsobů. Zbude pět párů, ze kterých vybíráme dvojice netvořící pár. To je podobně jako v a) ( ) ( ) = = = 30. Datum Komplexní čísla, kombinatorika 52/56

53 C7 Kolika způsoby lze nakoupit 7 kusů ovoce, jsou-li v obchodě švestky, hrušky, jablka, pomeranče? 120, viz vzorový příklad na zákusky. Datum Komplexní čísla, kombinatorika 53/56

54 K1 Určete algebraický tvar komplexního čísla (1 + i)(3 + i) 1 i [ 1 + 3i]. K2 Určete číslo komplexně sdružené k 7 + 4i 3 2i.. [1 2i] Datum Komplexní čísla, kombinatorika 54/56

55 K3 Pro komplexní číslo z platí Stanovte z (3 + i)(2z i) = 5 7i. [2/5 4/5i] K4 Určete goniometrický tvar komplexního čísla z = i 5 2i. z = 6i = 6(cos π/2 + i sin π/2) Datum Komplexní čísla, kombinatorika 55/56

56 K5 Určete goniometrický tvar komplexního čísla z = 1 7i 4 + 3i. z = 1 i = 2(cos 5/4π + i sin 5/4π). K6 Určete goniometrický tvar komplexního čísla z = 2(cos(π/3) + i sin(π/3)) 5(cos π/4 + i sin π/4) 4. z = 10(cos 4/3π + i sin 4/3π). Datum Komplexní čísla, kombinatorika 56/56