Filtry cyfrowe. h(n) odpowiedź impulsowa. Filtr cyfrowy. Procesory sygnałowe (DSP), układy programowalne

Transkrypt

1 Filtry cyfrowe Procesory sygnałowe (DSP), układy programowalne x(n) Filtr cyfrowy y(n) h(n) odpowiedź impulsowa x(n) y(n) y(n) = x(n) h(n) 1

2 Filtry cyfrowe Po co filtrujemy sygnały? Aby uzyskać: redukcję zakłóceń sygnału (np. zakłóceń od sieci energetycznej) zmianę charakterystyki widmowej sygnału (preemfaza, deemfaza) wyodrębnienie zadanych składowych sygnału spośród jego innych składowych (detekcja) 2

3 Wygładzanie sygnału przez filtrowanie smoothing filters

4 Uo/Ui Analogowy filtr dolnoprzepustowy 1 Filter amplitude transfer function db.77 U i U o Charakterystyka amplitudowa: U U o i 1 1 RC 2 f[hz] f c =? 4

5 Charakterystyki częstotliwościowe - filtry idealne A(f) górnoprzepustowy A(f) dolnoprzepustowy f f A(f) pasmowoprzepustowy A(f) pasmowozaporowy f f 5

6 Charakterystyki częstotliwościowe filtrów Filtr dolno-przepustowy (np. filtr anty-alisingowy, redukcja zakłóceń) A(f) pasmo przepustowe f p f s pasmo przejściowe pasmo zaporowe f Filtr górno-przepustowy A(f) (np. preemfaza) f 6

7 Charakterystyki częstotliwościowe filtrów A(f) Filtr środkowo-przepustowy (np. detekcja cech sygnału) A(f) f Filtr środkowo-zaporowy (np. redukcja zakłóceń od sieci energetycznej) 5 Hz f 7

8 Charakterystyki częstotliwościowe filtrów - przykłady A(f) Filtr dolnoprzepustowy (redukcja zakłóceń) f V V

9 Charakterystyki częstotliwościowe filtrów - przykłady A(f) Filtr górno-przepustowy (np. usuwanie wartości średniej) f V V

10 Charakterystyki częstotliwościowe filtrów - przykłady Filtr środkowo-przepustowy A(f) (np. detekcja cech sygnału) 15 6 f V

11 Charakterystyki częstotliwościowe filtrów - przykłady A(f) Filtr środkowo-zaporowy (np. redukcja zakłóceń o zadanej częstotliwości) 5 Hz f

12 Zastosowania filtrów cyfrowych w przetwarzaniu elektrokardiogramu donoprzepustowe (redukcja zakłóceń o częstotliwościach radiowych, aktywności mięśni szkieletowych) górnoprzepustowe (eliminacja pełzania linii izoelektrycznej, f g =.5 Hz, zob. ecg_mit.mat ) pasmowoprzepustowe (wydzielanie składowych sygnału EKG, np. fali P, T, QRS) pasmowozaporowe (redukcja zakłóceń od sieci energetycznej, f=5 Hz) 12

13 Rodzaje filtrów A B C Wykreśl charakterystyki filtrów: Filtr? - Dolnoprzepustowy - Pasmowo-przepustowy - Górnoprzepustowy

14 Filtry cyfrowe SOI i NOI Filtry dzielimy również na: filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI) tzw. filtry nierekursywne filtry o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (NOI) tzw. filtry rekursywne

15 Filtry cyfrowe SOI i NOI Elementy (działania) potrzebne realizacji filtru cyfrowego: Sumator Mnożenie przez stałą Opóźnienie jednostkowe u 1 (k) u 2 (k) y(k) u(k) c y(k) u(k) z -1 y(k) k u k u k yk cuk yk uk 1 y

16 Idea filtracji cyfrowej x(n) współczynniki ruchomej średniej b współczynniki autoregresji a =1 y(n) z t -1 z t -1 x(n-1) b 1 a 1 y(n-1) z t -1 z t -1 x(n-2) b 2 a 2 y(n-2) z t -1 z t x(n-m) b M a N y(n-n) 16

17 Filtr o Skończonej Odpowiedzi Impulsowej(SOI) - przykład x(n) x(n-1) z t -1 b =.5 b 1 =.5 LP: y n.5xn.5xn 1 HP: y n.5xn.5xn 1 BP:?

18 Filtr o Nieskończonej odpowiedzi Impulsowej (NOI) - przykład y n a yn 1 xn 1 Pętla sprzężenia zwrotnego x(n) y(n) a 1 y(n-1) a1 y(n-1) t

19 19 Równanie różnicowe filtru N k M k k n y k a k n x k b n y a 1 Powyższe równanie jest równoważne zapisowi: M k N k k n x k b k n y k a a[]=1

20 Równanie różnicowe filtru y M n bk xn kak yn k k N k1 Jeżeli wszystkie współczynniki a(n) są zerowe to równanie różnicowe opisuje filtr cyfrowy SOI, w przeciwnym przypadku filtr NOI SOI ang. Finite Impulse Response (FIR) NOI ang. Infinite Impulse Response (IIR) 2

21 Prosty filtr dolnoprzepustowy (freqz) 1 Impulse response.5 h=[.5 -.5] Transfer function H L =FFT(h L ) N/2+1 f s /2

22 Prosty filtr górnoprzepustowy (freqz) 1 Impulse response h=[.5 -.5] Transfer function H H =FFT(h H ) N/2+1 f s /2

23 Połączenie kaskadowe filtrów x(n) h L h H y(n) x(n) h B y(n) h B =h L *h H h B =h L *h H H B ()= H L ()H H () 23

24 Prosty filtr pasmowoprzepustowy (freqz).5 Impulse response h B [.25.25] Transfer function.5 H B =FFT(h B ) N/2+1 f s /2 24

25 Prosty przykład filtru SOI Filtr o ruchomej średniej: y 1 5 n xn 4 xn 3 xn 2 xn 1 xn Określ wektory współczynników a i b dla tego filtru. Odpowiedź: a=[1]; b=[ ]; Zatem jest to dolnoprzepustowy filtr SOI 25

26 Prosty przykład filtru SOI Jaka jest odpowiedź impulsowa tego filtru? y 1 5 k xk 4 xk 3 xk 2 xk 1 xk xn Odpowiedź: h=[ ]; Wniosek: dla filtru SOI współczynniki filtru i jego! odpowiedź impulsowa to jest to samo! 1 5 k nk4 26

27 radiany Amplituda Prosty przykład filtru SOI 3 Charakterystyka fazowa Charakterystyka fazowa 1 Charakterystyka amplitudowa Charakterystyka amplitudowa tzw. zero filtru f [Hz] f [Hz] Odpowiedź impulsowa filtru

28 Prosty przykład filtru SOI Ćwiczenie: Zbadaj amplitudy i przesunięcia fazowe przebiegów wyjściowych filtru gdy na jego wejście podano: przebieg sinusoidalny f=1 Hz przebieg sinusoidalny f=5 Hz przebieg sinusoidalny f=2 Hz 28

29 Prosty przykład filtru SOI 1 1 Hz

32 Prosty przykład filtru SOI 2 input signal

33 Warunek liniowej fazy dla filtrów SOI Można projektować filtry SOI tak by zachować liniową charakterystykę fazową. Zapewniają to warunki symetrii dla współczynników filtru: h h M k hk M k hk dla k,1,, M dla M parzystych lub nieparzystych! Jaka jest korzyść z liniowej fazy filtru? Opóźnienie sygnału na wyjściu filtru jest niezależne od jego częstotliwości. 33

34 Filtr o liniowej fazie /4 opóźnienie fazowe s(t)=sin(t) t d opóźnienie czasowe s(t)=sin(2t) /2 opóźnienie czasowe Filtry o liniowej fazie opóźniają wszystkie częstotliwości 34 o ten sam czas!

35 Warunek liniowej fazy dla filtrów SOI h h M k hk M k hk dla k,1,, M czas dyskretny czas dyskretny 35

36 Wyj Wyj Zniekształcenia fazowe x we sin 1t sin2t x wy sin1t 2 sin 2t [sek] [sek] tzw. nieliniowe zniekształcenia fazowe (np. duże zniekształcenia sygnałów akustycznych) 36

37 Phase (degrees) Magnitude Response (db) Zniekształcenia fazowe - przykład Normalized frequency (Nyquist == 1) Normalized frequency (Nyquist == 1) 37

38 Inne przykłady filtrów SOI Ćwiczenie cd: Zbadaj charakterystyki filtrów o odpowiedzi impulsowej: h=.25*[1 2 1], tzw. filtr von Hanna (tzw. filtr Gaussa) h=[1-2 1], ~ druga pochodna sygnału 38

39 Projektowanie filtrów from scipy.signal import firwin Gdzie f jest tzw. częstoliwością znormalizowaną f=<,1>, przy czym 1 odowiada fs/2 39

40 Projektowanie filtrów SOI M=4 rząd filtru f off =.7*fs/2 3dB fs/2 fs 4

41 Projektowanie filtrów NOI -db -> Butterworth filter len(coeff[])=16 len(coeff[1])=17-3db -> fs/2-6db -> 41

42 Zastosowanie filtru a[]=1 42

43 Porównanie filtrów SOI i NOI SOI z definicji stabilne łatwe projektowanie łatwo zapewnić liniową fazę uzyskanie stromej charakterystyki jest możliwe dla dużego rzędu filtru skończoną dokładność reprezentacji współczynników filtru nie jest dokuczliwa NOI mogą być niestabilne bardziej złożone projektowanie nieliniowa faza możliwość uzyskiwania bardzo stromej charakterystyki problemy implementacyjne z uwagi na skończoną dokładność reprezentacji współczynników filtru 43

44 Idea filtru adaptacyjnego kolejne próbki sygnału x = 1 x(n-p+1)... x(n-1) x(n) w 1 w 2 w P w (n) y(n) d(n) Funkcja celu: E[d(n) w T x] = [(d(n) - y(n)) 2 ] = E[ 2 ] min 44

45 Adaptacyjna redukcja zakłóceń źródło sygnału źródło zakłóceń s(t) = x(t) + v(t) n(t) (tzw. wejście odniesienia) Filtr adaptacyjny + w S _ v(t) ^ Reguła adaptacji wag t e e(t) = ^ x(t) t 45

46 Adaptacyjna redukcja zakłóceń Minimum wielkości e(t) odpowiada najskuteczniejszej (zgodnie z minimum błędu średniokwadratowego) redukcji zakłóceń: e( t) s( t) vˆ( t) x( t) v( t) vˆ( t) E[ e 2 ] E[ x 2 ] 2E[ x( v vˆ)] = E[( v vˆ) 2 ] E[ x 2 ] c.n.d. sygnał i zakłócenie są nieskorelowane 46

47 Adaptacyjna redukcja zakłóceń Po usunięciu EKG matki Źródło: Widrow, B. ; Glover, J.R., Jr. ; McCool, J.M. ; Kaunitz, J. ;Williams, C.S. ; Hearn, R.H. ; Zeidler, J.R. ; Eugene Dong, Jr. ;Goodlin, R.C., Adaptive noise cancelling: Principles and applications, Proceedings of the IEEE vol: 63,no: 12,

48 Zastosowania filtracji adaptacyjnej Filtry adaptacyjne są stosowane głównie do filtracji sygnałów niestacjonarnych, np.: w adaptacyjnej redukcji zakłóceń mierzonego sygnału od sieci energetycznej oraz redukcji zakłóceń od elektronarzędzi chirurgicznych (f~12 Hz) do redukcji energii sygnału EKG matki przy pomiarze EKG płodu jako model predykcyjny sygnałów biologicznych do wykrywania ich zaburzeń (np. detekcji stanu fibrylacji komór serca implantowane defibrylatory) 48

49 Uśrednianie synchroniczne sygnału Filtry dolnoprzepustowe nie są skuteczne przy wygładzaniu sygnałów, w których pasmo zakłóceń pokrywa się z pasmem składowych użytecznych sygnału A(f) x sygnał użyteczny S t st nt zakłócenie N f A(f) sygnał użyteczny S Widma częstotliwościowe sygnału i zakłócenia N zakłócenie f 49

50 Uśrednianie synchroniczne sygnału Idea uśredniania synchronicznego Sygnały synchronizujące 5

51 Uśrednianie synchroniczne sygnału Uśrednianie synchroniczne sygnału jest skuteczne przy spełnieniu następujących warunków: składowe deterministyczne sygnału powinny występować okresowo (niekoniecznie w regularnych odstępach) sygnał zakłócający powinien być sygnałem losowym, nieskorelowanym ze składowymi deterministycznymi sygnału powinna istnieć możliwość detekcji cech sygnału potrzebnych do synchronizacji kolejnych jego cykli 51

52 Uśrednianie synchroniczne sygnału xˆ 1 N N n 1 x n x 1 x 2 x 3 x N x ^ 52

53 Uśrednianie synchroniczne sygnału Odchylenie standardowe sygnału: s Odchylenie standardowe zakłócenia: n Stosunek sygnału do zakłócenia: Po N uśrednieniach: SNR N N Zatem poprawa SNR po N uśrednieniach wynosi: s n N 1 2 SNR s n

54 Uśrednianie synchroniczne sygnału Zastosowania: detekcja podszumowa sygnału tj. dla s << n (zastosowania w telekomunikacji) analiza elektrycznych potencjałów wywołanych mózgu, tj. potencjałów generowanych w mózgu o amplitudzie kilku mikrowoltów na skutek okresowego pobudzenia bodźcem: świetlnym (potencjały wzrokowe), dźwiękowym (potencjały słuchowe) lub dotykowym (potencjały czuciowe) 54

55 Czuciowe potencjały wywołane M. F. El-Bab, COGNITIVE EVENT RELATED POTENTIALS DURING A LEARNING TASK, PhD, University of Southampton, UK. 55

56 Filtracja medianowa sygnałów Mediana element środkowy w ciągu uporządkowanych liczb, np.: x(n)={1, 5, -7, 11, -25, 3,, 11, 7} Porządkowanie (sortowanie) ciągu: x s (n)={-25, -7,, 1, 3, 5, 7, 11, 11 } Element środkowy 56

57 Filtracja medianowa sygnałów sortowanie M=2m+1=5 czas dyskretny M=5 57

58 Filtracja medianowa sygnałów Filtracja medianowa sygnału: x n med 3 (x n ) Kierunek przesuwania okna filtracji ???? 6 6 wyznacz medianę 58

59 Filtracja medianowa -przykład x(t) y=med(x) M= y=x-med(x)

60 Filtracja cyfrowa - podsumowanie 1. Idea filtracji sygnału 2. Charakterystyka częstotliwościowa filtru 3. Rodzaje filtrów 4. Real filters 5. Równania różnicowe 6. Filtry SOI i NOI 7. Liniowa faza i zniekształcenia fazowe 8. Projektowanie filtrów i filtrowanie sygnału 9. Filtracja adaptacyjna 1. Filtracja medianowa (filtracja nieliniowa) 6