Laboratorium Podstaw Robotyki ĆWICZENIE 5

Transkrypt

1 Laboratorium Podstaw Robotyki Politechnika Poznańska Katedra Sterowania i Inżynierii Systemów ĆWICZENIE 5 Rotacje 3D, transformacje jednorodne i kinematyka manipulatorów. Celem ćwiczenia jest analiza wybranych sposobów reprezentacji obrotów układów współrzędnych w przestrzeni 3D, analiza własności macierzy rotacji oraz transformacji jednorodnych, a także analiza rozwiązania zadania prostego i odwrotnego kinematyki dla manipulatorów w postaci otwartych szeregowych łańcuchów kinematycznych. Podczas realizacji ćwiczenia wykorzystany będzie pakiet Robotics Toolbox pozwalający na obliczenia kinematyczne w środowisku Matlab. Manipulatory robotów o otwartych łańcuchach kinematycznych można rozważać jako układ składający się z ciągu sztywnych ogniw połączonych za pomocą przegubów (złączy). Przeguby stanowią ruchome połączenia pomiędzy sąsiadującymi ogniwami w łańcuchu. Zazwyczaj są to złącza o jednym stopniu swobody (1-DOF - z ang. Degree Of Freedom) w postaci osi obrotu (przeguby obrotowe) lub osi przesuwu (przeguby przesuwne lub inaczej pryzmatyczne). Symboliczne oznaczenia obu typów złączy zamieszczono na rys. 1. W ogólności, złącza o n stopniach swobody, (n-dofs), można modelować jako układ n przegubów 1-DOF, łączących n 1 ogniw o zerowej długości. Liczba przegubów holonomicznych manipulatorów przemysłowych odpowiada liczbie stopni swobody całego mechanizmu. W robotach przemysłowych najczęściej stosuje się 6 przegubów, co umożliwia osiągnięcie pozycji końcówki roboczej w 3D z dowolną orientacją wewnątrz przestrzeni roboczej manipulatora (z dala od ograniczeń w przestrzeni złączy). Jednoznaczna lokalizacja końcówki roboczej manipulatora w przestrzeni zadania (w globalnym Rys. 1: Symboliczna reprezentacja przegubów manipulatora: obrotowego (A), przesuwnego (B). układzie {B} przestrzeni kartezjańskiej) wymaga zdefiniowania i przywiązania układu współrzędnych do wyróżnionego punktu końcówki. Przyjmijmy, że układ ten związany jest ze środkiem kołnierza ostatniego ogniwa manipulatora, a oś Z tego układu zorientowana jest wzdłuż kierunku 1

2 Laboratorium Podstaw Robotyki 5 2 natarcia (podjazdu) narzędzia robota (patrz rys. 2). Pozycję początku układu końcówki wyrażoną w układzie {B} oznaczać będziemy za pomocą wektora p B 6 = [p B 6x pb 6y pb 6z ]T, a orientację osi tego układu względem osi układu {B} za pomocą ortonormalnej macierzy rotacji R B 6 = [n B 6 ob 6 ab 6 ]. Reprezentacja pozycji układu końcówki jest jednoznaczna i oczywista jako uporządkowana trójka liczb reprezentujących współrzędne p x, p y oraz p z punktu będącego środkiem układu końcówki względem poszczególnych osi ortokartezjańskiego układu {B}. Reprezentacja orientacji natomiast może wynikać z różnych konwencji opisu obrotów osi układu końcówki względem osi układu {B}. Wybrane reprezentacje orientacji oraz znaliza własności macierzy rotacji są przedmiotem dalszej części ćwiczenia. Rys. 2: Manipulator przemysłowy z przywiązanym układem współrzędnych końcówki roboczej. 1 Rotacje w 3D i ich reprezentacje Oznaczmy przez {B} oraz {A} dwa kartezjańskie układy współrzędnych o wspólnym początku w punkcie O i ortogonalnych wersorach osi tych układów: i, j, k (dla układu {B}) oraz n, o, a (dla układu {A}) skierowanych odpowiednio wzdłuż osi X, Y i Z. Przyjmijmy że pierwszy układ współrzędnych jest bazowym układem odniesienia, natomiast drugi może się dowolnie obracać względem niego. Dla lepszego zobrazowania załóżmy, że układ {A} jest na stałe związany z bryłą sztywną umocowaną w punkcie O. Orientację układu {A} względem układu {B} możemy zapisać za pomocą następujących równań: n = n x i + n y j + n z k, o = o x i + o y j + o z k, a = a x i + a y j + a z k,

3 Laboratorium Podstaw Robotyki 5 3 gdzie n x, n y, n z stanowią składowe wersora n wzdłuż odpowiednich osi układu {B}. Powyższe równania można zapisać w postaci następującej ortonormalnej macierzy rotacji: R B A = [ n o a ] = n x o x a x n y o y a y = nt i o T i a T i n T j o T j a T j R 3 3. (1) n z o z a z n T k o T k a T k Powyższa macierz może być interpretowana na trzy sposoby [4]: jako reprezentacja orientacji osi układu {A} względem osi układu {B}, jako operator obrotu wektora d w nowy wektor Rd w tym samym układzie współrzędnych, jako operator przekształcenia współrzędnych punktu d A we współrzędne w układzie {B} (po uzgodnieniu początków układów {A} i {B}). Macierz rotacji (1) jest nadmiarową (redundantną) reprezentacją rotacji. Minimalna reprezentacja rotacji w przestrzeni 3D składa się z trzech niezależnych parametrów zwanych kątami Eulera odpowiadających złożeniu sekwencji trzech elementarnych obrotów układu {A} względem wybranych osi w przestrzeni. Reprezentacja taka zwana jest także lokalną parametryzacją grupy SO(3), której elementami są macierze rotacji 1. Opis taki nie jest jednoznaczny - istnieje dwanaście różnych zbiorów kątów Eulera odpowiadających możliwym sekwencjom rotacji elementarnych. W robotyce najbardziej popularne są następujące dwie kowencje: 1. kąty XYZ (zwane kątami RPY z ang. Roll-Pitch-Yaw kołysanie boczne, kołysanie wzdłużne, zbaczanie): wyjściowa macierz rotacji R B A wynika ze złożenia następującej sekwencji obrotów realizowanych wokół osi ustalonego układu odniesienia {B}: obrót o kąt ψ wokół osi X B, obrót o kąt ϑ wokół osi Y B, obrót o kąt ϕ wokół osi Z B : R B A RPY = R AZB (ϕ) R AYB (ϑ) R AXB (ψ) = (2) cos ϕ sin ϕ 0 cos ϑ 0 sin ϑ = sin ϕ cos ϕ cos ψ sin ψ = sin ϑ 0 cos ϑ 0 sin ψ cos ψ cos ϕ cos ϑ cos ϕ sin ϑ sin ψ sin ϕ cos ψ cos ϕ sin ϑ cos ψ + sin ϕ sin ψ = sin ϕ cos ϑ sin ϕ sin ϑ sin ψ + cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ϑ cos ψ cos ϕ sin ψ (3) sin ϑ cos ϑ sin ψ cos ϑ cos ψ 2. kąty ZYZ (zwane kątami precesji, nutacji, obrotu własnego): wyjściowa macierz rotacji R B A wynika ze złożenia następującej sekwencji obrotów realizowanych wokół osi bieżącego układu odniesienia {A}: obrót o kąt ϕ wokół osi Z A, obrót o kąt ϑ wokół osi Y A, obrót o kąt ψ wokół osi Z A : R B A ZYZ = R AZA (ϕ) R AYA (ϑ) R AZA (ψ) = (4) cos ϕ sin ϕ 0 cos ϑ 0 sin ϑ cos ψ sin ψ 0 = sin ϕ cos ϕ sin ψ cos ψ 0 = sin ϑ 0 cos ϑ cos ϕ cos ϑ cos ψ sin ϕ sin ψ cos ϕ cos ϑ sin ψ sin ϕ cos ψ cos ϕ sin ϑ = sin ϕ cos ϑ cos ψ + cos ϕ sin ψ sin ϕ cos ϑ sin ψ + cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ϑ (5) sin ϑ cos ψ sin ϑ sin ψ cos ϑ 1 Chodzi tutaj o grupę w sensie struktury algebraicznej. Symbol SO(3) oznacza grupę specjalnych macierzy ortogonalnych o wymiarze 3 3 (z ang. Special Orthogonal Group)

4 Laboratorium Podstaw Robotyki 5 4 Z macierzami rotacji związane są dwa podstawowe zadania parametryzacji: P1. zadanie proste parametryzacji orientacji DParO polega na obliczeniu macierzy R B A dla zadanych kątów Eulera ϕ, ϑ, ψ (czyli dla zadanych parametrów) definujących elementarne obroty osi układu końcówki roboczej manipulatora: DParO: ϕ, ϑ, ψ R B A ; (6) zadanie proste można rozwiązać podstawiając wartości kątów Eulera do jednej z ogólnych postaci macierzy (3) lub (5) (w zależności od przyjętej konwencji opisu), P2. zadanie odwrotne parametryzacji orientacji IParO polega na znalezieniu kątów Eulera ϕ, ϑ, ψ (czyli wartości parametrów) pozwalających na realizację zadanej macierzy rotacji (orientacji) R B A układu końcówki roboczej: IParO: R B A ϕ, ϑ, ψ; (7) zadanie to rozwiązujemy poprzez porównanie odpowiednich elementów zadanej macierzy R B A z odpowiednimi elementami ogólnej postaci macierzy rotacji (3) lub (5) (w zależności od przyjętej konwencji opisu). Rozwiązanie zadania parametryzacji odwrotnej orientacji przedstawiono w pracach [3, 4]. Do obliczeń związanych z parametryzacją prostą i odwrotną orientacji (w konwencji RPY oraz ZYZ) służą cztery funkcje pakietu Robotics Toolbox o nazwach: eul2tr, tr2eul oraz rpy2tr, tr2rpy. Ich opis można znaleźć w dokumentacji [2] lub w pomocy podręcznej środowiska Matlab. 1.1 Zapoznać się z opisem następujących funkcji pakietu Robotics Toolbox: rotx, roty, rotz, eul2tr, rpy2tr, tr2eul, tr2rpy (patrz [2, 1]). 1.2 Korzystając z funkcji rotx, roty, rotz utworzyć macierz rotacji: R 0 3 = R Z ( π/3) R Y (π/6) R X ( π/4) (8) oraz podać dwie interpretacje tak utworzonej macierzy z punktu widzenia osi, wokół których realizowane są obroty składowe i kolejności ich realizacji. Zwizualizować orientację układu {3} w układzie zerowym za pomocą funkcji tr3d. 1.3 Na przykładzie macierzy R 0 3 numerycznie sprawdzić następujące własności macierzy rotacji: det(r) = +1 (dla układów prawoskrętnych), R 1 R T, n T o = o T a = a T n 0, n = o = a = 1, n o = a, o a = n, a n = o, gdzie R [n o a].

5 Laboratorium Podstaw Robotyki Napisać definicję macierzy rotacji R 0 3u w reprezentacji ZYZ definiującą układ współrzędnych {3} jako złożenie następującej sekwencji obrotów realizowanych względem osi układu ustalonego (tu: układu {0}): A1. obrót wokół osi Z o kąt φ = π 2 [rad], A2. obrót wokół osi Y o kąt ϑ = π 2 [rad], A3. obrót wokół osi Z o kąt ψ = π[rad]. Naszkicować układ {0}, układ {3} i wszystkie układy pośrednie związane z obrotami składowymi. Na podstawie wykonanego rysunku napisać postać wynikowej macierzy rotacji R 0 3u. 1.5 Korzystając z funkcji rotz, roty, rotx obliczyć macierz rotacji R 0 3u i porównać ją z wyprowadzoną wyżej postacią. Zwizualizować orientację układu {3} w układzie zerowym za pomocą funkcji tr3d. 1.6 Powtórzyć wszystkie powyższe operacje przyjmując teraz, że macierz R 0 3b wynika ze złożenia obrotów A1-A3 względem osi układów bieżących. Wynik sprawdzić korzystając z funkcji eul2tr. Porównać otrzymaną macierz obrotu R 0 3b z macierzą R0 3u. Zwizualizować orientację otrzymanego układu {3} w układzie zerowym za pomocą funkcji tr3d. 1.7 Napisać definicję macierzy rotacji R 0 3u w reprezentacji XYZ definiującą układ współrzędnych {3} jako złożenie następującej sekwencji obrotów realizowanych względem osi układu ustalonego (tu: układu {0}): B1. obrót wokół osi X o kąt φ = π 2 [rad], B2. obrót wokół osi Y o kąt ϑ = π 2 [rad], B3. obrót wokół osi Z o kąt ψ = π[rad]. Naszkicować układ {0}, układ {3} i wszystkie układy pośrednie związane z obrotami składowymi. Na podstawie wykonanego rysunku napisać postać wynikowej macierzy rotacji R 0 3u. 1.8 Korzystając z funkcji rotz, roty, rotx obliczyć macierz rotacji R 0 3u i porównać ją z wyprowadzoną wyżej postacią. Wynik sprawdzić korzystając z funkcji rpy2tr. Zwizualizować orientację układu {3} w układzie zerowym za pomocą funkcji tr3d. 1.9 Powtórzyć wszystkie powyższe operacje przyjmując teraz, że macierz R 0 3b wynika ze złożenia obrotów B1-B3 względem osi układów bieżących. Porównać otrzymaną macierz obrotu R 0 3b z macierzą R0 3u. Zwizualizować orientację otrzymanego układu {3} w układzie zerowym za pomocą funkcji tr3d Dana jest macierz obrotu: R B A = (9) Naszkicować orientację układu współrzędnych {A} w układzie bazowym {B} Korzystając z funkcji tr2eul oraz tr2rpy obliczyć kąty Eulera odpowiadające zadanej orientacji R B A. Zinterpretować otrzymane wyniki W opariu o przeprowadzoną interpretację i korzystając z funkcji rotz, roty, rotx obliczyć ponownie macierz R B A jako złożenie odpowiednich rotacji składowych.

6 Laboratorium Podstaw Robotyki Transformacje jednorodne Transformacje jednorodne umożliwiają jednoznaczny i zwarty opis zarówno położenia jak i orientacji układu współrzędnych {A} w układzie {B} za pomocą następującej macierzy: [ ] TA B R B = A p B A R (10) gdzie R B A jest macierzą rotacji reprezentującą orientacje osi układu {A} w układzie {B}, zaś wektor p B A = [p Ax p Ay p Az ] T reprezentuje położenie początku układu {A} względem początku układu {B}. Przekształcenie punktu D A, reprezentowanego we współrzędnych jednorodnych wektorem d A = [(d A ) T 1] T = [d x d y d z 1] T, do układu {B} wynika teraz z następującej operacji: d B = T B A d A d B = R B Ad A + p B A. Transformacja odwrotna, która reprezentuje orientacje osi i położenie początku układu {B} w układzie {A} określona jest w następujący sposób: [ ] TB A = (T A B (R B ) 1 = A ) T (R B A )T p B A R (11) 2.1 Dane są trzy układy współrzędnych: {B}, {S} oraz {P } oraz dany jest punkt reprezentowany przez wektor r P wyrażony w układzie współrzędnych P jako: r P = Relacje między poszczególnymi układami współrzędnych definiują następujące wektory i macierze: d B S = 2 5, d P S = 3 6, R B S = , R P S = , gdzie d jest wektorem łączącym początki odpowiednich układów. Stosując formalizm transformacji jednorodnych obliczyć współrzędne wektora r B. 2.2 Korzystając z funkcji tf3d zwizualizować wszystkie układy współrzędnych na jednym wykresie (układ {B} potraktować jako układ globalny) i sprawdzić poprawność uzyskanych wyników. 3 Zadanie kinematyki prostej i odwrotnej manipulatorów Kinematyka zajmuje się analizą ruchu bez uwzględnienia sił wywołujących ten ruch. Badając ruch w sensie kinematycznym, rozpatrujemy jedynie położenie obiektów oraz pochodne położenia, tj. prędkość i przyspieszenie. W tym miejscu skupimy uwagę na kinematyce pozycji i orientacji (inaczej: na kinematyce położenia), które wynikają jedynie z geometrycznych (statycznych) własności manipulatorów o otwartych łańcuchach kinematycznych. Wyróżnia się dwa zadania kinematyki położenia: K1. zadanie kinematyki prostej położenia DKin polega ono na określeniu pozycji i orientacji układu współrzędnych końcówki roboczej manipulatora w postaci macierzy T6 0 R 4 4 względem układu globalnego (tu: zerowego) na podstawie zadanego zestawu wartości współrzędnych konfiguracyjnych q = [q 1... q 6 ] T R 6 manipulatora: DKin: q T 0 6, (12)

7 Laboratorium Podstaw Robotyki 5 7 K2. zadanie kinematyki odwrotnej położenia IKin polega ono na określeniu zestawu wartości współrzędnych konfiguracyjnych q = [q 1... q 6 ] T R 6 manipulatora odpowiadających zadanej pozycji i orientacji układu współrzędnych końcówki roboczej manipulatora w postaci macierzy T 0 6 R4 4 względem układu globalnego (tu: zerowego): IKin: T 0 6 q. (13) Zadanie kinematyki prostej daje zawsze jednoznaczne rozwiązanie. Natomiast zadanie odwrotne kinematyki może mieć kilka rozwiązań w przestrzeni zmiennych konfiguracyjnych. Może sie zdarzyć także, że rozwiązań tych będzie nieskończenie wiele, bądź rozwiazanie nie będzie istnieć w zbiorze liczb rzeczywistych. Takie sytuacje mają miejsce w tzw. punktach osobliwych odwzorowania kinematyki. Kluczowe znaczenie dla problemu kinematyki położenia posiada macierz przekształcenia T6 0 związana z końcówką roboczą. Wyznaczenie postaci tej macierzy jako funkcji współrzędnych konfiguracyjnych dla danego manipulatora wymaga zdefiniowania i przywiązania układów współrzędnych do poszczególnych ogniw łańcucha manipulatora oraz określenia składowych macierzy transformacji T j i (q) definiujących układ i-tego ogniwa w układzie j-tym. Wypadkowa macierz reprezentująca położenie końcówki w układzie zerowym (globalnym) dla manipulatora 6-DOF z parami kinematycznymi klasy piątej 2 wynika z następującego złożenia: T 0 6 (q) = T 0 1 (q 1 ) T 1 2 (q 2 )... T j i (q i)... T 5 6 (q 6 ). (14) Jednym z systematycznych sposobów definiowania i przywiązywania układów współrzędnych do ogniw manipulatora jest notacja Denavita i Hartenberga (w skrócie: notacja D-H). Pozwala ona na jednoznaczny wybór położenia początku O i ustalenia orientacji osi X, Y, Z i-tego układu współrzędnych w szeregowym łańcuchu kinematycznym, a także definiuje cztery podstawowe parametry kinematyczne: długość ogniwa a i, kąt skręcenia ogniwa α i, odsunięcie przegubu d i oraz kąt obrotu ogniwa (kąt przegubu) θ i. Notacja D-H stosuje trzy podstawowe zasady związane z przyporządkowaniem i-tego układu współrzędnych: I. oś Z i układu i-tego pokrywa się z osią przegubu i + 1, II. oś X i układu i-tego jest prostopadła do osi Z i 1 oraz Z i i jest skierowana od przegubu i do przegubu i + 1, III. oś Y i uzupełnia prawoskrętny układ współrzędnych. Parametry kinematyczne mają w notacji D-H następujące definicje: a i odległość wzdłuż osi X i od początku O i do przecięcia osi X i oraz Z i 1, d i odległość wzdłuż osi Z i 1 od początku O i 1 do przeciecia osi X i oraz Z i 1 (jeśli przegub jest pryzmatyczny, to d i jest zmienną przegubową), α i kąt między osiami Z i 1 oraz Z i mierzony wokół osi X i, θ i kąt między osiami X i 1 oraz X i mierzony wokół osi Z i 1 (jeśli przegub jest obrotowy, to θ i jest zmienną przegubową). 2 Są to połączenia o jednym stopniu swobody dla dwóch sąsiadujących ogniw, w postaci obrotu lub przesuwu wzdłuż wybranej osi w przestrzeni.

8 Laboratorium Podstaw Robotyki 5 8 Przy tak zdefiniowanych parametrach i układach współrzędnych przywiązanych zgodnie z notacją D-H, macierz przekształcenia jednorodnego T j i (q i) przyjmuje następującą postać: T j i (q i) = cos θ i cos α i sin θ i sin α i sin θ i a i cos θ i sin θ i cos α i cos θ i sin α i cos θ i a i sin θ i 0 sin α i cos α i d i, (15) gdzie q i θ i dla przegubu obrotowego lub q i d i dla przegubu pryzmatycznego. Algorytm definiowania i przywiązywania układów współrzędnych do poszczególnych ogniw manipulatora o n stopniach swobody, a także sposób określania macierzy przekształceń jednorodnych dla notacji D-H można przedstawić w postaci kilku następujących kroków: Krok 1: Umieścić i oznaczyć osie przegubów Z 0,..., Z n 1 zgodnie z zasadą I. Krok 2: Przyjąć bazowy układ współrzędnych. Jego początek O 0 umieścić dowolnie na osi Z 0. Osie X 0 i Y 0 wybrać tak, aby układ był prawoskrętny. Dla i = 1,..., n 1 wykonać kroki 3, 4, 5. Krok 3: Umieścić środek O i w miejscu, gdzie wspólna normalna do osi Z i i Z i 1 przecina oś Z i. Jeśli oś Z i przecina oś Z i 1, to umieść początek O i w tym przecięciu. Jeśli Z i i Z i 1 są równoległe, to umieść O i na przegubie i. Krok 4: Przyjąć oś X i wzdłuż wspólnej normalnej osi Z i 1 i Z i przechodzącej przez początek O i lub w kierunku normalnej do płaszczyzny obu tych osi, jeśli Z i 1 i Z i przecinają się. Krok 5: Wybrać oś Y i tak, aby układ był prawoskrętny. Krok 6: Ustalić układ współrzędnych końcówki roboczej O n X n Y n Z n. Zakładając, że oś Z n jest obrotowa, przyjąć wersor a wzdłuż kierunku osi Z n 1. Wybrać początek O n na osi Z n (preferowany jest środek chwytaka lub czubek narzędzia, z którym pracuje robot). Przyjąć wersor o w kierunku zamykania chwytaka oraz n jako n = o a (jeśli narzędzie nie jest zwykłym chwytakiem, przyjąć wersory n i o według uznania zachowując zasady układu prawoskrętnego). Krok 7: Utworzyć tabelę parametrów kinematycznych a i, d i, α i, θ i (zgodnie z definicjami w notacji D-H). Krok 8: Obliczyć macierze przekształceń jednorodnych T i 1 i (q i ) według wzoru (15). Krok 9: Korzystając ze złożenia (14) obliczyć macierz T0 n (q) opisującą pozycję i orientację układu końcówki roboczej w układzie bazowym. Pakiet Robotics Toolbox zawiera funkcje link oraz robot pozwalające na definicję struktury kinematycznej manipulatora na podstawie tabeli parametrów kinematycznych zdefiniowanych zgodnie z notacją D-H. Inne dostępne funkcje takie, jak fkine, ikine pozwalają na rozwiązanie odpowiednio zadania prostego i odwrotnego kinematyki dla zdefiniowanej uprzednio struktury manipulatora. Szczegółowy opis działania i wywołania tych funkcji oraz innych przydatnych skryptów pakietu Robotics Toolbox zawiera dokumentacja [2] oraz podręczna pomoc środowiska Matlab.

9 Laboratorium Podstaw Robotyki Zapoznać się z opisem następujących funkcji pakietu Robotics Toolbox: link, puma560, robot, drivebot, robot/plot, jtraj, fkine (patrz [2, 1]). 3.2 Dane są dwie struktury manipulatorów 3R o trzech stopniach swobody jak na rys. 3 (manipulator z łokciem i kiść sferyczna). Dla każdego z manipulatorów utworzyć tabele parametrów kinematycznych α i, a i, θ i, d i zgodnie z konwencją opisu kinematyki wg Denavita i Hartenberga. 3.3 Korzystając z funkcji link oraz robot utworzyć modele kinematyczne obu manipulatorów w przestrzeni roboczej Matlaba. 3.4 Korzystając z funkcji fkine rozwiązać zadanie proste kinematyki obu manipulatorów dla następującego zestawu zmiennych konfiguracyjnych: q 1 = 0 0 0, q 2 = π 2 0 π 2, q 3 = π 0 π 2 Przeprowadzić wizualizacje położenia efektora końcowego każdego manipulatora dla powyższych zmiennych konfiguracyjnych (funkcja plot(robot,q)) i sprawdzić wyniki obliczeń funkcji fkine. 3.5 Korzystając z funkcji jtraj wygenerować macierz trajektorii wielomianowych Q(t) = [q 1 (t) q 2 (t) q 3 (t)] dla poszczególnych złączy manipulatora z łokciem (w wywołaniu funkcji jtraj przyjąć N=200 punktów pośrednich). Przeprowadzić wizualizację ruchu manipulatora dla wygenerowanych trajektorii z złączach (funkcja plot(robot,q)).. Rys. 3: Przykładowe struktury manipulatorów 3R: manipulator z łokciem (A), kiść sferyczna (B). 3.6 Zapoznać się z opisem następujących funkcji pakietu Robotics Toolbox: ctraj, ikine, ikine560 (patrz [2, 1]). 3.7 Do przestrzeni roboczej Matlaba wprowadzić strukturę manipulatora Puma 560 (funkcja puma560) i wykreślić ją w oknie graficznym dla zerowych kątów konfiguracyjnych (funkcja plot(p560,qz)). Korzystając z polecenia drivebot przemieścić manipulator i zapamiętać dwie lokalizacje manipulatora w przestrzeni kartezjańskiej: T 0 oraz T 1 (bieżące wartości kątów konfiguracyjnych manipulatora można odczytać stosując polecenie q=plot(p560)). 3.8 Napisać skrypt, który będzie realizował (wizualizował) ruch manipulatora pomiędzy zapamiętanymi lokalizacjami: początkową T 0 i końcową T 1 (przyjąć sto lokalizacji pośrednich do interpolacji trajektorii pomiędzy zapamiętanymi lokalizacjami w przestrzeni kartezjańskiej wykorzystać funkcję ctraj).

10 Laboratorium Podstaw Robotyki 5 10 Literatura [1] P.I. Corke. A robotics toolbox for MATLAB. IEEE Robotics and Automation Magazine, 3(1):24 32, Marzec [2] P.I. Corke. Robotics Toolbox for MATLAB. CSIRO Manufacturing and Technology, [3] K. Kozłowski, P. Dutkiewicz, W. Wróblewski. Modelowanie i sterowanie robotów. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, [4] M. W. Spong, M. Vidyasagar. Dynamika i sterowanie robotów. WNT, Warszawa, 1997.