Sterowanie napędów maszyn i robotów

Transkrypt

1 Wykład 5 - Identyfikacja Instytut Automatyki i Robotyki (IAiR), Politechnika Warszawska Warszawa, 2015

2 Koncepcje estymacji modelu Standardowe drogi poszukiwania modeli parametrycznych M1: Analityczne określenie struktury i wartości parametrów modelu na podstawie opisu bilansowego M2: Przyjęcie a-priori charakteru zachowania napędu i wyznaczenie parametrów tego modelu w eksperymencie czynnym z rzeczywistym napędem M3: Identyfikacja struktury (ARMA, ARMAX), lub w przypadku jej założenia, szacowanie wartości parametrów modelu jedną ze znanych metod statystycznych (LS, RLS, ELS).

3 Koncepcje estymacji modelu M2: Wady analitycznego określenia struktury i wartości parametrów modelu na podstawie opisu bilansowego złożony opis, niska dokładność z powodu linearyzacji i uproszczeń, odpowiada tylko tym parametrom, dla których został wyznaczony (inwariantność), wymaga znajomości trudno dostępnych współczynników (np. tarcia), które zależą od konkretnego zastosowania.

4 Koncepcje estymacji modelu M1: Wady przyjęcia a-priori charakteru zachowania napędu i wyznaczenia parametrów tego modelu w eksperymencie czynnym z rzeczywistym napędem wymagania czasowe realizacji, brak możliwości zastosowania podczas normalnej pracy napędu, Sposoby estymacji parametrów modelu przez bezpośredni pomiar wielkości występujących w równaniach opisu modelu - np. zależność pulsacji drgań swobodnych od współczynnika sprężystości powietrza w komorach siłownika i obciążenia masowego, z wykorzystaniem parametrów odpowiedzi napędu na wymuszenie skokowe, prze porównanie odpowiedzi skokowej modelu i rzeczywistego napędu i zastosowanie metody a) prostych przybliżeń, b) momentowej, c) gradientowej.

5 Koncepcje estymacji modelu M3: Identyfikacja struktury (ARMA, ARMAX), lub w przypadku jej założenia, szacowanie wartości parametrów modelu jedną ze znanych metod statystycznych (LS, RLS, ELS). krótki czas identyfikacji w eksperymencie czynnym - podczas uruchomienia (off-line) możliwość identyfikacji w eksperymencie biernym - w warunkach normalnej pracy napędu (on-line) W przypadku układów napędowych metoda ta jest jedyną efektywną metodą określania struktury i parametrów modelu procesu ruchu.

6 Identyfikacja Identyfikacja systemów lub procesów Zespół metod, narzędzi i algorytmów mających na celu zbudować dynamiczny model systemu lub procesu na podstawie danych pomiarowych zebranych z wejścia i wyjścia. Model taki może opisywać: właściwości wejściowo-wyjściowe systemu - tworzony w oparciu o sekwencje sygnałów wejściowych i towarzyszące im sekwencje sygnałów wyjściowych, przebieg wyjścia systemu o wejściach pomiarowo niedostępnych - tworzony tylko w oparciu o mierzoną sekwencję sygnału wyjściowego. Model budowany jest poprzez wyszukiwanie zależności i relacji pomiędzy zmierzonymi danymi bez analizy procesu (brak szczegółowego badania zjawisk fizycznych zachodzących w procesie). System lub proces czarna skrzynka.

7 Etapy identyfikacji (1-5) Identyfikacja jest procesem iteracyjnym, w który można wyróżnić następujące etapy: 1 Przygotowanie eksperymentu identyfikacyjnego: Generacja pobudzeń wejść systemu, aby zebrać odpowiednie dane pomiarowe. 2 Przeprowadzenie eksperymentu identyfikacyjnego: Zebranie pomiarów. 3 Wstępne przetwarzanie danych pomiarowych: np. eliminacja błędów grubych, skalowanie, filtrowanie. 4 Wybór klasy dopuszczalnych modeli: Wybiera się klasę modeli deterministycznych lub stochastycznych, ciągłych lub dyskretnych, liniowych lub nieliniowych, stacjonarnych bądź niestacjonarnych. 5 Wybór typu modelu z wybranej klasy: W każdej klasie modeli istnieją modele różnych typów. (Przykładowo w klasie dyskretnych modeli stochastycznych istnieją modele AR, ARX, MA, MAX, ARMAX). Wybór konkretnego modelu może być poprzedzony wstępną, zgrubną analizą modelowanego systemu bądź pochodzących z niego sygnałów.

8 Etapy identyfikacji (6-8) 1 Wybór struktury modelu (dla modeli parametrycznych): Jest to bardzo trudny etap, który często sprowadza się do pełnego lub ograniczonego przeglądu wszystkich dopuszczalnych (i rozsądnych) struktur modeli danego typu. 2 Estymacja parametrów danego modelu: Na tym etapie wybiera się odpowiedni algorytm estymacji (np. metoda najmniejszych kwadratów - LS), pozwalający na wyznaczenie parametrów wybranego uprzednio modelu. 3 Weryfikacja modelu: Kończy pojedynczą iterację procesu identyfikacji. Na tym etapie należy rozstrzygnąć, czy wynik identyfikacji jest zadowalający. Można w tym celu: porównać sygnał wyjściowy modelu z sygnałem rzeczywistym (najlepiej dla innego zbioru danych - zbioru danych testowych), sprawdzić, czy model ma zbyt bogatą strukturę (nadmiar parametrów), sprawdzić inne cechy modelu, decydujące o jego przydatności (np. stabilność, odwracalność).

9 Modele parametryczne Model AR (ang.autoregressive) Model auto-regresyjny, zawiera wyłącznie wyrazy pomierzonego wcześniej sygnału wyjściowego ŷ(k) = a 1 y(k 1) a 2 y(k 1)... a n y(k n) (1) gdzie: y - sygnał wyjściowy, k - czas dyskretny, T = kt p, n - szerokość okna pomiarowego, a i, i = 1,.., n - współczynniki modelu. Stosowany, gdy: nie można pomierzyć sygnału wejściowego sygnał wejściowy jest bliżej nie określony

10 Modele parametryczne Model ARX (ang.autoregressive with exogenous input) Model auto-regresyjny z zewnętrznym wejściem (z dołączonym sygnałem zakłócającym) ŷ(k) = a 1 y(k 1)... a n y(k n) + c 1ˆη(k 1) c n ˆη(k n) (2) gdzie: ˆη(k) - zakłócenie (szacowanie wpływu zakłócenia), a i, c i i = 1,.., n - współczynniki modelu. Założenia: sygnał zakłócenia ma charakter dyskretnego białego szumu zakłócającego obiekt, szum biały - sygnał stochastyczny o średniej 0 i wariancji σ 2, oraz o funkcji kowariancji { σ γ(h) = 2, h = 0 (3) 0, h 0

11 Modele parametryczne Model MA (ang.moving Average) model ruchomej średniej, jest uśrednionym (za pomocą wagowych współczynników b) wpływem sygnału wejściowego ŷ(k) = b 0 u(k d) b n u(k n d) (4) gdzie: u(k) - sygnał sterujący (wejściowy), d - dyskretna wartość opóźnienia.

12 Modele parametryczne Model MAX (ang. Moving Average with exogenous input) Model MA z zewnętrznym wejściem (z dołączonym sygnałem zakłócającym) ŷ(k) = b 0 u(k d)+...+b n u(k n d)+c 1ˆη(k 1)+...+c n ˆη(k n) (5) Założenia: sygnał zakłócenia ma charakter dyskretnego białego szumu zakłócającego obiekt, wektor wejść modelu jest nieskorelowany z wektorem zakłóceń.

13 Modele parametryczne Model ARMA (ang. Auto-Regressive with Moving Average) Model stanowiący połączenie modelu AR z modelem MA (zawiera zarówno sygnał wejściowy jak i przeszłe wartości wyjścia z procesu) ŷ(k) = a 1 y(k 1)... a n y(k n)+b 0 u(k d)+...+b n u(k n d) (6) Założenia: sygnał zakłócenia ma charakter dyskretnego białego szumu zakłócającego obiekt, wektor wejść modelu jest nieskorelowany z wektorem zakłóceń.

14 Modele parametryczne Model ARMAX (ang. Auto-Regressive Moving Average with exogenous input) model ARMA z zewnętrznym wejściem (z dołączonym sygnałem zakłócającym) ŷ(k) = a 1 y(k 1)... a n y(k n)+ +b 0 u(k d) b n u(k n d)+ +c 1ˆη(k 1) c n ˆη(k n) (7) Założenia: sygnał zakłócenia ma charakter dyskretnego białego szumu zakłócającego obiekt, wektor wejść modelu jest nieskorelowany z wektorem zakłóceń.

15 Algorytmy stosowane w identyfikacji Do algorytmów powszechnie stosowanych w identyfikacji systemów (procesów), do szacowania współczynników modeli parametrycznych należą: metoda najmniejszych kwadratów LS (ang. Least Squares) z odmianami: rekurencyjna metoda LS RLS (ang. Recursive Least Squares) rozszerzona macierzowa metoda ELS (ang. Extendend Least Squares) metoda zmiennych instrumentalnych IV (ang. Instrumental Variable) metoda największej wiarygodności ML (ang. Maximum Likelihood)

16 Metoda najmniejszych kwadratów LS Metoda najmniejszych kwadratów Metoda najmniejszych kwadratów (ang. Least Squares) to standardowa metoda przybliżania rozwiązań układów nadokreślonych, tzn. zestawu równań, w którym jest ich więcej niż zmiennych. Końcowe rozwiązanie tą metodą minimalizuje sumę kwadratów błędów przy rozwiązywaniu każdego z równań. Algorytm metody najmniejszych kwadratów w wersji off-line ma postać: Θ LS = [V T V ] 1 V T Y (8) gdzie: V - wektor wejść modelu, Y - wektor wyjść modelu. Najszybsza i najprostsza metoda szacowania współczynników modelu. Brak iteracji w przypadku obliczeń modeli o strukturach AR, MA, ARMA (problemy przy ARMA i ARMAX). Ze względu na formę modelu oszacowanie LS istnieje praktycznie zawsze (z wyjątkiem stałych wartości sygnałów wejść do modelu).

17 Metoda najmniejszych kwadratów LS - ARMA V = Θ LS = b 0... b n a 1... a n Θ LS = [V T V ] 1 V T Y (9) y(1) v(1), Y = y(2)..., V = v(2)... y(n) v(n) (10) u(1 d)... u(1 n d) y(0)... y(1 n) u(2 d)... u(2 n d) y(1)... y(2 n). u(n d)... u(n n d) y(n)... y(n n) (11)

18 Metoda najmniejszych kwadratów LS Problemy stosowania metody LS W wielu przypadkach pomiary wartości sygnałów są dokonywane sekwencyjnie w trybie ciągłym on line. Wówczas szacowanie parametrów obliczane jest dla coraz większej liczby danych co wymaga coraz większego nakładu obliczeniowego i czasu. Algorytm LS wymaga odwracania macierzy [V T V ], co wpływa na stabilność i dokładność rozwiązania. Można obliczać estymować macierz pseudo-odwrotną, ale to wprowadza dodatkowe błędy oszacowania.

19 Metoda najmniejszych kwadratów rekurencyjny RLS Do obliczeń on-line opracowano wersję rekurenycjnego algorytmu LS, w której po każdym kolejnym pomiarze ma miejsce aktualizacja poprzednio wyznaczonych wartości parametrów P(k) = [V (k) T V (k)] 1 (12) Θ RLS (k) = P(k)V T (k)y (k) (13) Θ RLS (k + 1) = P(k + 1)V T (k + 1)Y (k + 1) = = P(k + 1)[V T (k)y (k) + v T (k + 1)y(k + 1)] Θ RLS (k + 1) = Θ RLS (k) + Θ RLS (k) = = Θ(k) + P T (k + 1)[y(k + 1) v(k + 1)Θ(k)] Wartość parametrów w chwili k + 1 równa się wartości parametrów w chwili k z poprawką wynikającą z wartości sygnałów wejściowych i wyjściowych w chwili k + 1. Algorytm ten nie wymaga odwracania macierzy, tak jak ma to miejsce w przypadku metody LS (7). (14) (15)

20 Metoda najmniejszych kwadratów rozszerzona macierzowa ELS Metoda rozszerzona macierzowa ELS jest rozszerzeniem metody LS dla układów, w których błędy pomiarowe są ze sobą skorelowane. Układy tego typu są modelowane między innymi jako modele typu ARMAX.

21 Metoda zmiennych instrumentalnych IV Gdy w zadaniu identyfikacji liniowego obiektu dynamicznego występuje skorelowanie zakłóceń można zastosować metodę zmiennych instrumentalnych (IV). Polega ona na częściowym zastąpieniu w estymatorze LS macierzy wejść do modelu V przez macierz wielkości pomocniczych W (instrumentalnych) Θ IV = [W T V ] 1 W T Y (16) Macierz W zmiennych pomocniczych z definicji nie powinna zawierać wartości skorelowanych z wektorem błędów modelu, co powinno zapewnić nieobciążenie oszacowania współczynników modelu, również w przypadku zakłóceń skorelowanych. Utworzenie dobrej macierzy zmiennych instrumentalnych nie jest proste, ale w przypadku jej utworzenia metoda daje lepsze rezultaty niż metoda LS

22 Metoda największej wiarygodności ML Metoda największej wiarygodności (ML) pozwala wyprowadzić najbardziej efektywne estymatory, przy czym jest ona dostosowana do procesów, dla których adekwatny jest opis w formie modeli ARMAX. W wyniku oszacowań powinien powstać model, który zapewnia właściwości białego szumu dla oszacowanych błędów wyjścia modelu. Estymator jest najbardziej złożony (z dotychczas omawianych) i jest realizowany iteracyjnie. Θ ML (k + 1) = Θ ML (k) + κ(k)l T ΘΘ(Θ(k)) 1 L T Θ(Θ(k)) (17) gdzie: Θ ML (k) - kolejna iteracja wektora współczynników modelu, L T Θ - wektor pierwszych pochodnych funkcji wiarygodności, L T ΘΘ - macierz drugich pochodnych funkcji wiarygodności, κ(k) - wartość długości kroku. Przybliżeniem początkowym Θ(0) wektora współczynników modelu jest zwykle oszacowanie uzyskane metodą LS.

23 Wykład 5 - Identyfikacja Instytut Automatyki i Robotyki (IAiR), Politechnika Warszawska Warszawa, 2015