Metody Derricka-Pohożajewa i twierdzenia o nieistnieniu dla zagadnień eliptycznych
|
|
- Dawid Wolski
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 niwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Iwona Skrzyczak Nr albumu: Metody Derricka-Pohożajewa i twierdzenia o nieistnieniu dla zagadnień elitycznych Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA w ramach Międzywydziałowych Indywidualnych Studiów Matematyczno-Przyrodniczych Praca wykonana od kierunkiem dr hab. Agnieszki Kałamajskiej Instytut Matematyki Październik 008
2 Oświadczenie kierującego racą Potwierdzam, że niniejsza raca została rzygotowana od moim kierunkiem i kwalifikuje się do rzedstawienia jej w ostęowaniu o nadanie tytułu zawodowego. Data Podis kierującego racą Oświadczenie autora racy Świadom odowiedzialności rawnej oświadczam, że niniejsza raca dylomowa została naisana rzeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sosób niezgodny z obowiązującymi rzeisami. Oświadczam również, że rzedstawiona raca nie była wcześniej rzedmiotem rocedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni. Oświadczam onadto, że niniejsza wersja racy jest identyczna z załączoną wersją elektroniczną. Data Podis autora racy
3 Streszczenie W racy rzedstawiono kilka twierdzeń o nieistnieniu rozwiązań dla równań i nierówności różniczkowych cząstkowych. Rozatrywane są zagadnienia ostaci u = λ u q 1 u oraz u u q. Dowody twierdzeń bazują na metodzie Derricka Pohożajewa olegającej na mnożeniu obu stron równania nierówności) rzez odowiednie funkcje, a nastęnie całkowaniu ich rzez części. Jako narzędzia omocnicze wykorzystuje się wielokrotnie nierówności Younga i Höldera. Słowa kluczowe tożsamość Derricka-Pohożajewa, nieistnienie rozwiązań, -Lalasjan 11.1 Matematyka Dziedzina racy kody wg rogramu Socrates-Erasmus) Klasyfikacja tematyczna 35A05 General existence and uniqueness theorems 35D05 Existence of generalized solutions 35G30 Boundary value roblems for nonlinear higher-order PDE 35G0 General theory of nonlinear higher-order PDE Tytuł racy w języku angielskim Derrick-Pohozhaev nonexistence results for nonlinear ellitic PDEs.
4
5 Sis treści Wrowadzenie Wstę Definicje Podstawowe nierówności Oznaczenia Tożsamość Derricka-Pohożejewa i zagadnienia na ograniczonych obszarach gwiaździstych O ewnej własności geometrycznej obszaru gwiaździstego Równanie niemożliwe dla oeratora Lalace a gólnienie. Równania niemożliwe dla oeratora -Lalace a Nierówność na R n Przestrzeń rozwiązań Lematy omocnicze Nieistnienie nierówności różniczkowych Wstęne ustalenia Przyadek 0 < 1 < q < n 1) n Przyadek krytyczny 0 < 1 < q = n 1) n Podsumowanie Bibliografia
6
7 Wrowadzenie Podstawową srawą dla analityka jest orawność ostawienia zagadnienia które bada. Zagadnienie jest ostawione orawnie jeśli jego rozwiązanie istnieje i jest jednoznaczne w zadanej klasie oraz zależy w sosób ciągły lub gładki) od danych oczątkowych. W tej racy skuiamy się na ierwszej z owyższych cech zagadnienia - na jego istnieniu. Dowody omawianych twierdzeń bazują na metodzie Derricka Pohożajewa, olegającej na mnożeniu obu stron równania nierówności) rzez odowiednie funkcje, a nastęnie całkowaniu ich rzez części. Jako narzędzia omocnicze w dowodzeniu wykorzystuje się nierówności Younga i Höldera. W rozdziale 1 rzedstawiamy odstawowe fakty otrzebne rzy dowodzeniu. Rozdział wrowadza w metody Derricka Pohożajewa. Pokazujemy w nim nieistnienie klasycznych rozwiązań, na obszarze gwiaździstym, dla równania różniczkowego cząstkowego u = u q 1 u. Nastęnie okazujemy uogólnienie owyższego twierdzenia - nieistnienie rozwiązań, na obszarze gwiaździstym, dla -Lalasjanu: u = λ u q 1 u. W dowodach wykorzystujemy tożsamość Derricka-Pohożajewa. W Rozdziale 3 dowodzimy twierdzenie o nieistnieniu rozwiązań nieujemnych dla nierówności z -Lalasjanem u u q ) na R n w klasie nieujemnych funkcji tyu S α = {u W 1, loc Rn ) : u L 1 locr n ), u α W 1, loc Rn )}. Bardziej recyzyjną definicję zamieszczamy w Rozdziale 1, natomiast jej szczegółowe omówienie w Rozdziale 3.1. W tym miejscu ragnę gorąco odziękować ani dr hab. Agnieszce Kałamajskiej oraz anu Piotrowi Nayarowi za serdeczną i cierliwą omoc w rzygotowaniu tej racy. 5
8
9 Rozdział 1 Wstę W tym rozdziale zostały zebrane odstawowe informacje niezbędne rzy czytaniu tej racy Definicje Definicja 1.1. Niech 1 < <. -Lalasjanem funkcji u W 1, Ω) ozn. u) nazwiemy funkcję określoną formułą u = div Du Du), 1.1) gdzie ochodne D i u, i = 1,..., n są rozumiane w sensie dystrybucyjnym. Skoro u W 1, Ω), > 1, to każda składowa wektora Du Du należy do L 1 Ω) L 1 loc Ω), zatem dywergencja tego wektora jest dobrze określona w słabym sensie. Definicja 1.. Niech α < 0, > 1 i q 0. Zdefiniujmy zbiór S α nastęująco: S α = {u W 1, loc Rn ) : u L 1 locr n ), u α W 1, loc Rn )}. 1.) 1.. Podstawowe nierówności Twierdzenie 1..1 Nierówność Younga). Jeśli a, b > 0, 1 <, q <, q = 1, to ab a + bq q. 1.3) Twierdzenie 1.. Nierówność Schwartza). Jeśli x, y R n, a <, > jest iloczynem skalarnym, to < x, y > x y. 1.4) 1 Twierdzenie 1..3 Nierówność Höldera). Jeśli 1, q, obszarem oraz u L ), v L q ), to uv dx ) 1 ) 1 u dx v q q dx + 1 q = 1, jest ewnym 1.5) 1.3. Oznaczenia Fragmenty tej racy, które nie były całkiem szczegółowo oisane w tekstach źródłowych i zostały dorecyzowane, zostały oznaczone symbolem. 7
10
11 Rozdział Tożsamość Derricka-Pohożejewa i zagadnienia na ograniczonych obszarach gwiaździstych Jako wrowadzenie do zagadnień elitycznych na R n rzedstawimy dwa twierdzenia o nieistnieniu rozwiązań klasycznych zagadnień zadanych na obszarze gwiaździstym. Pierwsze z nich dotyczyć będzie równania z Lalasjanem o lewej stronie, drugie - z -Lalasjanem. Metoda dowodzenia obu twierdzeń olega na odcałkowaniu wyjściowego równania omnożonego rzez dwie różne funkcje: x Du oraz u, co rowadzi do srzecznych tożsamości. Ponadto wykorzystamy w dowodach jedynie ewien fakt geometryczny dotyczący obszaru gwiaździstego, który omawiamy oniżej..1. O ewnej własności geometrycznej obszaru gwiaździstego Obszar, na jakim mamy zadane równanie musi sełniać ewien warunek geometryczny. Definicja.1. Powiemy, że zbiór otwarty jest gwiaździsty względem unktu 0, jeśli dla każdego x odcinek {λx : 0 λ 1} jest zawarty w. W dowodzie twierdzenia skorzystamy z nastęującej własności zbioru gwiaździstego: Lemat.1 Wektor normalny do brzegu obszaru gwiaździstego). Załóżmy, że jest klasy C 1, a jest gwiaździsty względem 0. Wówczas x νx) 0 dla wszystkich x, gdzie ν oznacza jednostkowy wektor normalny zewnętrzny. Dowód. Ponieważ jest klasy C 1, więc jeśli x, to dla każdego ε > 0 istnieje liczba δ > 0 taka, że z warunków y x < δ i y wynika, że νx) y x) y x ε. W szczególności y x) lim su νx) 0. y x y x y Niech y = λx dla 0 < λ < 1. Wtedy y, gdyż jest gwiaździsty względem 0. Zatem To kończy dowód lematu. x νx) x = lim λx x) νx) 0. λ 1 λx x 9
12 .. Równanie niemożliwe dla oeratora Lalace a Twierdzenie..1. Niech będzie obszarem gwiaździstym względem unktu 0, którego brzeg jest klasy C 1. Ponadto niech n n q+1 > 0. Wówczas zagadnienie u = u q 1 u w, u = 0 na,.1) u 0 na nie ma rozwiązań w klasie C ). Dowód. Załóżmy, że u C ) jest rozwiązaniem.1). Krok 0. Mnożąc obie strony równania.1) rzez x Du i całkując o, otrzymujemy u)x Du)dx = u q 1 u)x Du)..) Oznaczmy lewą stronę rzez A, a rawą rzez B. Krok 1. Wówczas n n A = u xi x i x j u xj dx = u xi x j u xj ) xi dx i,j=1 Przy tym A 1 = n i,j=1 i,j=1 u xi δ ij u xj + u xi x j u xj x i dx = = 1 n ) Du dx + n i,j=1 Du + u xi ν i x j u xj ds =: A 1 + A. ) n Du j=1 x j x j dx =.3) Du ν x)ds..4) Z drugiej strony, skoro u = 0 na, więc gradient Dux) jest równoległy do wektora normalnego νx). Zatem Dux) = ± Dux) νx). Korzystając z tej równości, stwierdzamy, że A = Du ν x)ds..5) Łącząc.3)-.5) otrzymujemy A = n Du dx 1 Du ν x)ds. Krok. ) Wracając do.), wyliczymy B stosując wzór na słabą ochodną: d u q+1 dx j q+1 = u q u u u x j. Zauważmy, że funkcja u q+1 q+1 jest elementem rzestrzeni Sobolewa W 1,1 0 Ω), można więc zastosować do niej wzór na całkowanie rzez części [3], ar ). Obliczamy n n ) u B = u q 1 q+1 ux j u xj dx = x j dx = n u q+1 dx. j=1 j=1 q + 1 q + 1 x j Krok 3. Z tego rachunku i równości.) wynika, że n Du dx + 1 Du ν x)ds = 10 n u q+1 dx..6) q + 1
13 Równość ta nazywana jest tożsamością Derricka-Pohożajewa. Zbiór jest gwiaździsty, więc osługując się lematem, otrzymujemy z.6) nierówność n Du dx n u q+1 dx..7) q + 1 Jednakże, mnożąc równanie u = u q 1 u rzez u i całkując rzez części, uzyskujemy tożsamość Du dx = u q+1 dx. Wstawiając ten wynik do.7), stwierdzamy, że n n ) u q+1 dx 0. q + 1 ) Skoro jednak u 0, to n n q+1 0, co rowadzi do srzeczności z założeniem..3. gólnienie. Równania niemożliwe dla oeratora -Lalace a Twierdzenie Niech będzie obszarem ) gwiaździstym względem unktu 0, którego brzeg jest klasy C 1. Ponadto niech n n q+1 1 > 0. Wówczas zagadnienie u = u q 1 u w, u = 0 na,.8) u 0 na nie ma rozwiązań w klasie C ). Dowód. Załóżmy, że u C ) jest rozwiązaniem.8). Krok 0. Mnożąc obie strony równania.8) rzez x Du i całkując o, otrzymujemy ux)x Dux))dx = u q 1 u)x Du)dx..9) Oznaczmy lewą stronę rzez A, a rawą rzez B. Krok 1. W tym kroku wyliczymy A. Przez νx) oznaczmy jednostkowy wektor normalny zewnętrzny w unkcie x, a rzez ν i jego i-tą wsółrzędną, a rzez... ds - całkę względem ewnej miary określonej na brzegu obszaru. Skorzystamy ze wzoru div F g) = g div F + F Dg, dla ola wektorowego F = Du Du i funkcji g = Du x. Wtedy A = u)du x)dx = div Du Du))Du x)dx = ) = div Du Du)Du x) dx + Du Du) DDu x)dx =: A 1 + A. A 1 liczymy ze wzoru Gaussa-Ostrogradzkiego A 1 = div ) Du Du)Du x) dx = 1 To twierdzenie może być znane secjalistom, ale nie ma go w literaturze. ) Du Du)Du x) νds 11
14 ale Du = ± Du ν, zatem A 1 = Du x ν)ds. Rozważmy A = Du Du) DDu x)dx = Du a dx. Zauważmy, że Stąd a = Du Dx Du) = j A = = Du + i,j u xj i ) x i u xi = u xj δ ij u xi + x i u xi x j = )x j i,j u xj x i u xi x j = Du + i Du dx + Du i ) Du x i. x i ) Du x i dx =: B 1 + B. x i Całkując B otrzymujemy ) Du B = Du x i dx = i x i ) ) Du = Du ) Du x i dx + Du x i ν i ds =: C 1 + C, x i i i gdzie C 1 = ) Du x i i = n x i Du dx ) Du dx = 1 Du i,j i Du dx ) Du Du ) xi x i = i x i u xj u xi x j dx = n B 1 B, natomiast C = ) Du Du x ν)ds = 1 Du x ν)ds = 1 A 1. Stąd a co za tym idzie B = C 1 + C = C 1 1 A 1 = n B 1 B 1 A 1, B = 1 A 1 + nb 1 ). Podsumowując A = A 1 + A = A 1 + B 1 + B = A 1 + B 1 1 A 1 + nb 1 ) = Zatem d u q+1 dx j q+1 A = 1 n ) Du dx 1 1 ) Du x ν)ds. 1 n ) B ) A 1. Krok ). Wracając do.9), wyliczymy B stosując wzór na słabą ochodną: = u q u u u x j. Zauważmy, że funkcja u q+1 q+1 jest elementem rzestrzeni Sobolewa 1
15 W 1,1 0 Ω), można więc zastosować do niej wzór na całkowanie rzez części [3], ar ). Obliczamy B = n j=1 u q 1 ux j u xj dx = n j=1 Krok 3. Z tego rachunku i równości.9) wynika, że n 1 ) ) u q+1 x j dx = n q + 1 q + 1 x j Du dx ) Du x ν)ds = u q+1 dx. n u q+1 dx..10) q + 1 Równość ta również nazywana jest tożsamością Derricka-Pohożajewa. Zbiór jest gwiaździsty względem 0, więc osługując się Lematem.1, otrzymujemy z.10) nierówność ) n 1 Du dx n u q+1 dx..11) q + 1 Jednakże, mnożąc równanie u = u q 1 u rzez u i całkując rzez części, uzyskujemy tożsamość Du dx = u q+1 dx. Wstawiając ten wynik do.11), stwierdzamy, że Skoro jednak u 0, to n n ) q u q+1 dx 0. n n q+1 1 ) 0, co rowadzi do srzeczności z założeniem. waga.3.1. Przy założeniach owyższego twierdzenia zagadnienie u = λ u q 1 u w, u = 0 na, u 0 na,.1) gdzie λ > 0, nie ma rozwiązań w klasie C ). Dowód. Niech u sełnia założenia twierdzenia.3.1 i.1). Podstawmy u γ = γ u, gdzie γ dobierzemy za chwilę. Wówczas u γ = γ γ u) = γ γ λ u q 1 u) = γ γ q 1 λ u γ q 1 u γ = u γ q 1 u γ, o ile λ = γ q 1 γ > 0. Zatem niech γ = λ 1 q 1. Wobec tych obliczeń, z twierdzenia.3.1, wynika nieistnienie rozwiązań zagadnienia.1) w klasie C ). waga.3.. Podstawmy q = q + 1 i zaiszmy równanie.1) w ostaci u = λ u q u w, u = 0 na, u 0 na,.13) 13
16 gdzie λ > 0. Z owyższego rozumowania wynika, że równanie.13) nie ma rozwiązań w klasie C ), gdy q > n n = i < n. Zauważmy, że to wsółczynnik wystęujący w nierówności Sobolewa: ) 1 u dx C ) 1 Du dx. Istotnie, warunek n ñ 1 > 0 jest równoważny n > q ) 1 n q = q to owyższa nierówność jest równoważna n n < q. ) n. O ile < n, 14
17 Rozdział 3 Nierówność na R n W tym rozdziale zajmiemy się nieistnieniem rozwiązań w klasie S α zdefiniowanej w Rozdziale 1 oraz w treści twierdzenia) dla nastęującego zagadnienia: { u u q w R n, u 0, u 0 na R n 3.1), rzy ewnych założeniach na oraz q. Dowód twierdzenia bazuje na odobnej metodzie ostęowania co dowody Twierdzenia..1 i Twierdzenia.3.1, technika tego dowodu jest jednak bardziej skomlikowana. Zaczynamy od mnożenia obu stron nierówności rzez ewne funkcje i całkujemy obie strony. Nastęnie wykorzystując wielokrotnie elementarne nierówności tyu Younga wszystkie umieszczono w rozdziale 1.) oraz całkowanie rzez części dochodzimy do tezy. Zaczniemy od rozważań o rzestrzeni rozwiązań i lematów rzydatnych w dowodzie Przestrzeń rozwiązań Autorzy ublikacji [1] roonują klasę W 1, α,loc Rn ) = {u : R n R, u q+α, Du u α 1 L 1 locr n )}, gdzie α < 0, dla zagadnienia 3.1) w dwóch rzyadkach: 0 < 1 < q n 1) n albo 0 q 1, > 1 i n 1. Zauważmy jednak, że w tej klasie może ono mieć nietrywialne rozwiązania. W definicji klasy W 1, α,loc Rn ) nie zakładamy, że ux) jest dobrze określony w każdym unkcie. Podamy rzykład, w którym jest on określony rawie wszędzie. Twierdzenie Rozważmy =, q > 0 dowolne, n = 1 oraz funkcję okresową o okresie 7 określoną na odcinku [ 1 7, 1 7 ) wzorem Dla tak określonego u zachodzi: ux) = 7x oraz { u u q w R n, u 0, u 0 na R n 3.) u W 1, α,loc Rn ). 15
18 Dowód. Oczywiście tak określone u 0, u 0. Mamy nawet dla q > 1 [ ) 5 q 6 q ] u q x),, 7 7) a dla q < 1 [ ) 6 q 5 q ] u q x),, 7 7) czyli dla każdego q funkcja ux) jest daleko od zera i nieskończoności. Zachodzi u W 1, α,loc Rn ). Istotnie, funkcja wymierna, na obszarze ograniczonym, na którym jest izolowana od 0 i jest całkowalna z dowolną otęgą, zatem u q+α L 1 loc Rn ). W naszym rzyadku, na rzedziale [ 1 7, 1 7 ) mamy również: Du u α 1 = 14x) 7x + 6 [ α 1 ] 5 α 1 0,, 7) 7) więc Du u α 1 L 1 loc Rn ). Zauważmy, że rawie wszędzie ux) = u x) = 14 oraz dla każdego q Zatem rawie wszędzie { ) 5 q ) 6 q } q>0 u q < max, < = u 1 > u q. Zauważmy również, że w rzyadku klasy W 1, α,loc Rn ) nawet Du nie jest dobrze określone, gdyż nie zakładamy, by funkcja u była lokalnie całkowalna. Tym bardziej nie wiadomo czym jest div Du Du) = u. Możemy jednak, rzy dodatkowych założeniach udowodnić nieistnienie nietrywialnych rozwiązań zagadnienia 3.1). W dowodzie twierdzenia będziemy chcieli okazać nieistnienie nierówności omiędzy całkami, więc musimy zakładać, że u L 1 loc Rn ). Ponadto, do Lematu 3. otrzebujemy, by u α W 1, loc Rn ). Dlatego też, jako rzestrzeń rozwiązań roonujemy klasę: S α = {u W 1, loc Rn ) : u L 1 locr n ), u α W 1, loc Rn )}. Zauważmy dodatkowo nastęujący fakt: waga Warunek u α W 1, loc Rn ), gdzie α < 0, imlikuje, że warunek {u = 0} może być sełniony tylko na zbiorze miary 0 rzy wyborze dowolnego rerezentanta w klasie W 1, loc Rn )). Otwarte ytanie. Nie wiemy jak możliwie ogólną klasę zamiast S α można zaroonować, aby nadal nie istniały rozwiązania nierówności 3.1) na R n. 16
19 3.. Lematy omocnicze W dowodzie twierdzenia będziemy korzystali kilkakrotnie z nastęującej wersji nierówności Younga: 1 Lemat 3.1 Nierówność Younga z arametrem). Jeśli a, b, θ > 0, 1 <, q <, + 1 q = 1, to ab 1 aθ) + 1 ) b q. 3.3) q θ Dowód. Skorzystamy z najbardziej owszechnej wersji nierówności Younga 1.3): ) b Y oung ab = aθ) θ 1 aθ) + 1 q waga Mając daną liczbę a > 1, rzez a będziemy oznaczać liczbę do niej Hölderowsko srzężoną, a = a a 1. W dowodzie twierdzenia zastosujemy wzory z oniższego lematu. Lemat 3.. Niech α < 0, u S α, ϕ W 1, 0 BR)) i su ϕ BR), gdzie BR) - kula o romieniu R i środku w 0. Wówczas div Du Du)u α ϕ)dx 1) = Du Du Du α ϕ)dx R n BR) ) = α BR) b θ ) q. Du u α 1 ϕdx + Du Du Dϕ)u α dx BR) Dowód. Zauważmy, że skoro u α W 1, loc Rn ), a ϕ W 1, 0 BR)) i ma zwarty nośnik, to v = u α ϕ W 1, R n ) i ma zwarty nośnik. Łatwo okazać, że v W 1, 0 BR)). Z założenia u W 1, loc Rn ), zatem Du Du L loc Rn ) L R n ), 3.4) gdzie = 1, i u = div Du Du) wyznacza funkcjonał na W 1, 0 BR)) wzorem u, v) 3) = Du Du Dvdx. R n Z definicji klasy S α wiemy, że funkcjonał ten jest wyznaczany rzez funkcję lokalnie całkowalną, co oznacza, że u, v) = R n w vdx dla ewnej funkcji w L 1 loc Rn ), gdzie v C0 Rn ). Zauważmy, że z owodu gęstości C0 Rn ) w rzestrzeni W 1, R n ), wzór 3) ma sens również dla v W 1, R n ) o zwartym nośniku. Rozważając v = u α ϕ we wzorze 3) dostajemy wzór 1 : div Du Du)u α ϕ)dx = Du Du Du α ϕ)dx. 3.5) R n BR) Pozostaje uzasadnić wzór ). Wiadomo [3], ar ), że dla dowolnej funkcji v W 1,1 loc Rn ), jej ochodna liczona w sensie dystrybucyjnym jest tym samym, co ochodna v kierunkowa liczona klasycznie: x i x), rzy czym ostatni wzór ma sens dla rawie każdego x. 1 Autorzy wybierając zbiór S α nie założyli, że u α L 1 loc. Nie jest zatem oczywiste jak rozumieli całkowanie rzez części we wzorze 3.5). Stąd nasze założenie u α W 1, loc. 17
20 Dla ochodnej klasycznej mamy: Du α ϕ) = Du α ) ϕ + u α Dϕ = αu α 1 Dv + u α Dϕ, co kończy dowód lematu. waga 3... Zauważmy, że obie całki we wzorze ) o rawej stronie są skończone, choć nie widzimy tego we wzorze na S α. Całkowalność wyrażenia A = Du Du Dϕ)u α wynika ze wzoru 3.4) oraz z faktu iż Dϕ L, u α L loc. Całkowalność wyrażenia B = Du DuDu α ϕ) już wyjaśnialiśmy. Mamy zatem: α Du u α 1 ϕdx Ax)dx + Bx)dx i funkcja c = Du u α 1 jest nieujemna. Zatem jest ona całkowalna. W dowodzie twierdzenia będziemy korzystali ze wzoru, uzasadnionego oniższym lematem. Lemat 3.3. Niech R > 0 oraz 0 ξ 0 LiR + ), ξ LiR) będą zadane wzorami: 1, 0 t 1, ) ξ 0 t) = t +, 1 t, ξx) = ξ x 0 R. 3.6) 0, t, Zdefiniujmy ϕ formułą ϕ := ξ λ. 3.7) Wówczas, ϕ LiR n ) i dla α, β > 0 zachodzi nastęujący wzór: R< x <R Dϕ α z ewną stałą C = Cn, α, β, λ) R +, rzy założeniu, że Dowód. Zauważmy, że Zatem Podstawiając y = x R Jeśli tylko λ 1. R< x <R R< x <R ϕ β dx CR n α, 3.8) λβ α) + α > 1, λ ) Dϕx) = λ ) ) x R ξλ 1 x R Dξ. R Dϕ α ϕ β dx = λα ξ αλ 1) ) x R Dξ ) x α R R α R< x <R ξ λ ) dx. x β R otrzymujemy dalej Dϕ α ϕ β dx = λα R α R n Dξy) ξy)) αλ 1) βλ dy 1< x < 18
21 = R n α λ α ω n 1 1 ξ 0 t) ) ξ 0 t)) λβ α)+α tn 1 dt, gdzie ω n 1 to miara n 1-wymiarowej sfery. Zauważmy, że wyrażenie w nawiasie nie zależy od R. Zatem o ile będzie skończone, będzie szukanym C. Wystarczy oszacować całkę, wystęującą w tym wyrażeniu. o ile λβ α) + α > 1. Dξ 0 t) 1 ξ 0 t)) λβ α)+α tn 1 dt n 1 dt λβ α)+α 1 t + ) = = n v 1 dv λβ α)+α 1 n 1 λα β) α + 1, 3.3. Nieistnienie nierówności różniczkowych Naszym celem jest rzedstawienie ełnego dowodu nastęującego twierdzenia: Twierdzenie [1], tw..1). Jeśli < 1 < q < n 1) n. 0 < 1 < q = n 1) n oraz α oraz α max{1, 1 q+1 }, 0 ), albo max{1, 1 q+1, 1 q 1 }, 0 ), wówczas zagadnienie { u u q w R n, u 0, u 0 na R n 3.10) nie ma rozwiązań w klasie S α = {u W 1, loc Rn ) : u L 1 loc Rn ), u α W 1, loc Rn )}. Dowód. Dowód rzerowadzony zostanie w kolejnych etaach Wstęne ustalenia. Niech ϕ sełnia warunki lematu 3.3. Zauważmy, że dla tak określonego ϕ zachodzi ϕ W 1, 0 R n ) i ϕ 0. Niech α < 0 będzie arametrem, który również óźniej dobierzemy. Zauważamy, że onieważ u α jest funkcją całkowalną, to u > 0 oza ewnym zbiorem Z R n miary 0. 4 Dla uroszczenia zaisu wrowadźmy nastęujące oznaczenia: AR) = su ϕ = {x : x R}, P R) = {x : R < x < R}, R > 0. 3 Autorzy racy nie zakładają nic o α. Jest to błąd, gdyż w dowodzie w [1] korzysta się z wyisanych tu założeń. 4 Autorzy uznali w dowodzie, że można założyć, że u > 0 wstawiając do wzoru 3.10) funkcję u ε = u + ε i rozważając ε 0. To założenie jest jednak błędne, gdyż funkcja u ε może nie sełniać nierówności 3.10). 19
22 Lematy omocnicze Będziemy otrzebowali uzasadnienia, że zachodzą oniższe imlikacje. Fakt 1. Zachodzą: 1. Przy założeniach: 1 < α oraz 1 < q) zachodzi κ = α+q α+ 1 > 1.. Przy założeniach: 1 q+1 < α < 0 oraz 0 < 1) zachodzi a = α+q 1 α) 1) > Niech κ, a, > 1. Istnieje liczba λ = λ κ,a 1, taka że dla α 1 = κ, β 1 = 1)κ zachodzi λβ 1 α 1 ) + α 1 > 1 oraz dla α = a, β = 1)a zachodzi λβ α ) + α > Przy założeniach: κ = 1 α + 1 ) 1 = α + q α + q q + 1, a = ) ) + n a a zachodzi σ = n κ ) a α + q 1 α) 1) i a = a a 1 = qn ) n 1) q Przy założeniach: 1 q q 1 < α < 0 oraz 0 < 1 zachodzi m = 6. Przy założeniach: κ = α + q n 1), q = q + 1 n, a = 1 σ = n κ ) + 1 ) + a mamy σ = τ = Przy założeniach: 0 < 1 < q < n 1) n Dowód. α + q 1 α) 1), 1 a + 1 a = 1, 1 1 m = n a a 1 α) 1) > 1. 1 α) 1), q ), τ = n κ ) 1 + n m m zachodzi σ = qn ) n 1) q +1 < Istotnie, κ = α+q α+ 1 > 1 wtedy i tylko wtedy, gdy α + q > α Istotnie, a = α+q 1 α) 1) równoważne warunkowi, że α > 1 q+1. > 1 wtedy i tylko wtedy, gdy α + q > α α + 1, co jest 3. Weźmy λ =. Wówczas λβ 1 α 1 ) + α 1 = κ ) + κ = 0 > 1 i analogicznie λβ α ) + α = a ) + a = 0 > Istotnie, 1 σ = n κ ) = = + 1 ) + a n a a ) = n n + n a κ = n κ 1) 1 = n + α + q)1 1 a ) q ) + n 1 1 ) 1 = a a 1 = n 1)q + 1) + α + q)1 ) 1 α) 1) q + 1 qn ) 1)n 1 + α + 1 α) q + 1 = = qn ) n 1). q + 1 0
23 q 1 α) 1) 5. Istotnie, a = > 1 wtedy i tylko wtedy, gdy q warunkowi, że α > 1 q σ = τ wtedy i tylko wtedy, gdy n Zauważmy, że n κ a + n a = n 1 możemy zaisać nastęująco: Zauważmy jednak, że κ an = n 1 q, czyli że = n 1 1 q = n κ a + n m ) 1 a + 1 a κ a = 1 κ m an α+q q +1 1 α) 1) α+q 1 > 1 α, co jest równoważne n m a, równoważnie: = n κ a + n a.. Wówczas warunek na σ = τ = n κ a κ, co jest równoważne an = 1 1 m. Wystarczy więc okazać, że = 1 α) 1) q. nq +1) = ). Ale wobec q = n 1) n otrzymujemy tożsamość =. Z owyższych rozważań i unktu 4. mamy τ = σ = qn ) n 1) q +1, ale q = n 1) n, zatem τ = σ = n 1) n n ) n 1) n 1) n 1) = = 0. q + 1 q σ = qn ) n 1) q + 1 < n 1) n n ) n 1) n 1) n 1) = = 0. q + 1 q Przyadek 0 < 1 < q < n 1) n. Dowód tego rzyadku rzerowadzimy w kolejnych krokach. Krok 1. Szacowanie R n u q+α ϕdx. Mnożąc 3.10) rzez nieujemną funkcję u α ϕ i korzystając z Lematu 3. otrzymujemy: u q+α ϕdx = u q+α ϕdx α Du u α 1 ϕdx + Du < Du, Dϕ > u α dx R n AR) AR) P R) zatem AR) Schwartz α Du u α 1 ϕdx + Du 1 Dϕ u α dx, AR) P R) u q+α ϕdx + α Du u α 1 ϕdx Du 1 Dϕ u α dx =: B. 3.11) P R) P R) Zauważmy, że stąd wynika, że funkcja u q+α ϕ jest całkowalna. Ponieważ nierówność zachodzi dla dowolnego R, otrzymujemy u q+α L 1 loc Rn ). Z nierówności Younga 3.3) dla 5 a = Dϕ ϕ 1 u α + 1, b = Du 1 ϕ 1 u α 1 oraz θ = ε otrzymujemy: B = Du 1 ϕ 1 Dϕ ϕ 1 u α dx P R) C 1 ε) Du u α 1 ϕdx + C ε) P R) P R) u α+ 1 Dϕ dx, 3.1) ϕ 1 5 Zauważmy, że w zbiorze P R) funkcja ϕ jest ściśle dodatnia, więc b jest dobrze określoną liczbą. 1
24 gdzie C 1 ε) = ε, C ε) = Po ołączeniu 3.11) i 3.1) oraz odstawieniu nierówność 3.1) zamienia się w: AR) 1 ε 1) 3.13) C 3 ε) = α ε > 0, ε 0, α) 3.14) u q+α ϕdx + C 3 ε) Du u α 1 α+ 1 Dϕ ϕdx C ε) u dx. 3.15) P R) P R) ϕ 1 Wybierając κ > 1, takie że 1 κ + 1 κ = 1 i stosując do rawej strony nierówność Younga 3.3) dla a = u α+ 1 ϕ 1 κ, b = Dϕ ϕ 1 1 κ oraz θ = ε 1) otrzymujemy: AR) gdzie u q+α ϕdx+c 3 ε) Du u α 1 ϕdx C 4 ε) u α+ 1)κ Dϕ κ ϕdx+c 5 ε) dx, P R) P R) P R) ϕ 1)κ 3.16) C 4 ε) = C ε) ε 1)κ κ = ε1 ) 1 )κ κ = ε1 )1 κ), κ C 5 ε) = C ε) ε1 )κ κ = ε1 )+1 )κ κ Obie te stałe są większe od zera, gdyż C ε), ε, κ > 0. Stosując Fakt 1, unkt 1, możemy wybrać κ = zaisać nastęująco: gdzie α+q α+ 1 = ε1 )1+κ ) κ. 3.17). Wówczas nierówność 3.16) możemy C 6 ε) u q+α ϕdx + C 3 ε) Du u α 1 Dϕ κ ϕdx C 5 ε) dx, 3.18) AR) P R) P R) ϕ 1)κ Możemy wybrać takie ε, by C 6 ε) > 0. 6 Krok. Szacowanie R n u q ϕdx. ) 1 α+q C 6 ε) = 1 C 4 ε) = 1 ε1 ) α ) α+q) α+ 1 Mnożąc 3.10) rzez ϕ i odcałkowując rzez części otrzymujemy: u q ϕdx = R n AR) u q ϕdx = P R) P R) Du 1 u α 1) 1) Du < Du, Dϕ > dx Schwartz P R) ϕ 1 1 u 1 α) 1) ϕ 1 1 Dϕ dx Du 1 Dϕ dx 6 Zauważmy, że wówczas wykładnik ε jest dodatni. Zatem dla dostatecznie małych ε stała C 6 ε) może być dowolnie bliska jedynki.
25 Holder ) 1 Du u α 1 1 α) 1) Dϕ ϕdx u dx P R) P R) ϕ 1 ) ) Biorąc a > 1, takie że 1 a + 1 a = 1) i stosując nierówność Höldera dla ostatniego wyrażenia z 3.0), wyrażenie u q ϕdx może być oszacowane nastęująco: AR) u q ϕdx Du u α 1 ϕdx P R) ) 1 u a1 α) 1) ϕdx P R) ) 1 a P R) ) 1 Dϕ a a dx. ϕ 1)a 3.1) Stosując Fakt 1, unkt, możemy wybrać a takie, że a1 α) 1) = q + α. Połączmy 3.1) oraz 3.18). Wówczas AR) u q ϕdx C ε P R) ) 1 Dϕ κ dx ϕ 1)κ P R) ) 1 Dϕ κ a dx ϕ 1)κ P R) ) 1 Dϕ a a dx = ϕ 1)a gdzie C ε > 0. = C ε P R) ) 1 Dϕ κ + 1 a ) 1 Dϕ a a dx dx, 3.) ϕ 1)κ P R) ϕ 1)a Krok 3. Koniec dowodu w rzyadku 0 < 1 < q < n 1) n. Korzystając z lematu 3.3 w 3.) do wyrażeń: I = Dϕ κ dx i II = Dϕ a dx oraz ϕ 1)κ ϕ 1)a dobierając λ > 1 w oarciu o Fakt 1, unkt 3, otrzymujemy: u q x)dx u q ϕdx C R n κ ) a R n a ) 1 a = CR σ, 3.3) x <R AR) ) gdzie σ = n κ ) a + Fakt 1, unkt 4, otrzymujemy: ) n a a. Biorąc od uwagę nasze wybory κ oraz a i stosując σ = qn ) n 1). 3.4) q + 1 Z Faktu 1, unkt 7, wiemy, że σ < 0. Wówczas nierówność 3.3) imlikuje R n u q x)dx = 0 To zaś stoi w srzeczności z faktem, iż u > 0 rawie wszędzie. Krok 4. Podsumowanie warunków na arametry W analizie tego rzyadku korzystaliśmy z nastęujących warunków na arametry: 1. κ > 1 Fakt 1, unkt 1),. a > 1 Fakt 1, unkt ), 3. σ < 0 Fakt 1, unkt 7). względniając wszystkie założenia unktów 1, i 7 z Faktu 1, otrzymujemy nastęujący warunek wiążący arametry: n 1) 0 < 1 < q < oraz α max{1, 1 q + 1 ) n }, 0. 3
26 Przyadek krytyczny 0 < 1 < q = n 1) n. Dowód tego rzyadku rzerowadzimy w kolejnych krokach. W tym rzyadku określone w 3.4) σ = 0 Fakt 1, unkt 6). Krok 1. Szacowanie x <R uq dx. Z naszego wyboru ϕ arametr λ dobierzemy óźniej) oraz ze wzoru 3.0) mamy: u q x)ϕdx Du 1 Dϕ dx Du u α 1 ϕdx P R) x <R Du u α 1 ϕdx P R) ) 1 ) 1 P R) 1 α) 1) Dϕ u dx P R) ϕ 1 u m1 α) 1) ϕdx P R) gdzie m > 1 i 1 m + 1 m = 1. Stosując Fakt 1, unkt 5, możemy wybrać m = ) 1 m P R) ) 1 ) 1 Dϕ m m dx, ϕ 1)m q 1 α) 1). Zauważmy, że również w > 1 Fakt 1, rzyadku krytycznym, gdy q = n 1) n sełnione jest założenie κ = α+q α+ 1 unkt 1). Możemy zatem zastosować wzór 3.18) do wyrażenia: P R) Du u α 1 ϕdx. To daje: x <R u q x)dx C P R) ) 1 Dϕ κ ) 1 Dϕ m m ) 1 dx dx u q m dx. ϕ 1)κ P R) ϕ 1)m P R) 3.5) Krok. Koniec dowodu w rzyadku 0 < 1 < q = n 1) n. Po zamianie zmiennych otrzymujemy: gdzie u q x)dx C 0 R τ u q dx x <R P R) τ = n κ ) 1 ) 1 m + n m m = 0., 3.6) Istotnie, stosując Fakt 1, unkt 3 do trójki κ, m, ) zamiast κ, a, ) zauważamy, że istnieje λ > 1, takie, że dla obu ar α 1, β 1 ) i α 3, β 3 ), gdzie α 1 = κ, β 1 = 1)κ, α 3 = m, β 3 = 1)m, można zastosować Lemat 3.3 z tym samym arametrem λ. To wyjaśnia nierówność 3.6). Do momentu wyrowadzenia nierówności 3.3) nie korzystaliśmy z założeń na σ. W szczególności rzy naszych założeniach 3.3) jest sełnione. Z Faktu 1, unkt 6 mamy σ = τ = 0, stąd u q x)dx <. R n Nierówność 3.6) imlikuje, że istnieje taki ciąg {R k }, że R k oraz co kończy dowód. lim k x <R k u q dx = 0, 4
27 Krok 3. Podsumowanie warunków na arametry W analizie tego rzyadku korzystaliśmy z nastęujących warunków na arametry: 1. κ > 1 Fakt 1, unkt 1),. m > 1 Fakt 1, unkt 5), 3. σ = τ = 0 Fakt 1, unkt 6), 4. a > 1 Fakt 1, unkt ; warunek otrzebny do dowodu unktu 6). względniając wszystkie założenia unktów 1,, 5 i 6 z Faktu 1, otrzymujemy nastęujący warunek wiążący arametry: 0 < 1 < q = waga n 1) n oraz α max{1, 1 q + 1, 1 q 1 }, 0 ). Autorzy racy [1] rozatrzyli również rzyadek, gdy 0 q 1, > 1 i n 1. Ich dowód oierał się jednak na srzecznych założeniach wiążących arametry. Dowód. W dowodzie z racy [1] w tym rzyadku autorzy korzystają z faktów, iż κ = α + q α + 1 > 1 oraz a = α + q 1 α) 1) > 1. Jeżeli κ > 1 oraz 0 q 1, to α < 1. Jeżeli a > 1, to q + α > 1 α + α. względniając 0 q < 1 i α < 1 mamy: 1 q > 1 α > 1 1 ) = 1) + 1). Dzieląc stronami rzez 1 > 0 mamy 1 > + 1, czyli < 0, co jest srzeczne z założeniem, że > 1. 5
28
29 Rozdział 4 Podsumowanie Przegląd metod rozoczynamy od dowodu twierdzenia o nieistnieniu w klasie C ) nietrywialnych rozwiązań zagadnienia: { u = u q 1 u w, u = 0 na, gdzie n n q+1 > 0, a jest obszarem gwiaździstym względem unktu 0, którego brzeg jest klasy C 1. Nastęnie okazujemy uogólnienie owyższego twierdzenia. Dowodzimy nieistnienie w klasie C ) nietrywialnych rozwiązań zagadnienia: { u = λ u q 1 u w, u = 0 na, ) gdzie n n q+1 1 > 0 oraz λ > 0. Dowody obu owyższych twierdzeń olegają na odcałkowaniu wyjściowego równania o omnożeniu rzez różne funkcje: x Du oraz u, co rowadzi do srzecznych tożsamości. Zajmujemy się również nieistnieniem rozwiązań w klasie dla nastęującego zagadnienia: S α = {u W 1, loc Rn ) : u L 1 locr n ), u α W 1, loc Rn )}, { u u q w R n, u 0, u 0 na R n, rzy nastęujących założeniach na arametry: 1. 0 < 1 < q < n 1) n. 0 < 1 < q = n 1) n oraz α oraz α max{1, 1 q+1 ), }, 0 albo max{1, 1 q+1, 1 q 1 ). }, 0 W dowodzie, oza całkowaniem rzez części, wykorzystujemy wielokrotnie nierówności Höldera i Younga. 7
30
31 Bibliografia [1] E. Mitidieri, S. I. Pohozaev, Nonexistence of Positive Solutions for Quasilinear Ellitic Problems on R n, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Vol. 7, 1999, 1 3. [] L. C. Evans, Równania różniczkowe cząstkowe, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 004. [3] V. G. Mazja, Sobolev saces, Sringer-Verlag, New York,
Informacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoDOWODY NIERÓWNOŚCI HÖLDERA I MINKOWSKIEGO (DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO, I DO SPRAWDZENIA)
DOWODY NIERÓWNOŚCI HÖLDERA I MINKOWSKIEGO (DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO I DO SPRAWDZENIA) R R Tematem niniejszych notatek jest zbadanie warunków istnienia normy na ewnej rzestrzeni funkcji rzeczywistych określonych
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoZagadnienia stacjonarne
Zagadnienia stacjonarne Karol Hajduk 19 grudnia 2012 Nierówność wariacyjna (u (t), v u(t)) + a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f, v u), v V. Zagadnienie stacjonarne ma postać (u (t) = 0): a(u, v u) + Ψ(v) Ψ(u) (f,
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowon=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowo4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne
Równania w postaci Leibniza 4 1 4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne 4.1 Równania różniczkowe w postaci Leibniza Załóżmy, że P : D R i Q: D R są funkcjami ciągłymi określonymi
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 01/01 Seria VII styczeń 01 rozwiązania zadań 1. Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n liczba n! jest odzielna rzez n!
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoWażną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji odwrotnej
Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowo28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126
Problem Dirichleta, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 28 maja, 2012 Funkcje harmoniczne Niech będzie operatorem Laplace a w
Bardziej szczegółowoWykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf
Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych
Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział
Bardziej szczegółowo( n) Łańcuchy Markowa X 0, X 1,...
Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to rocesy dyskretne w czasie i o dyskretnym zbiorze stanów, "bez amięci". Zwykle będziemy zakładać, że zbiór stanów to odzbiór zbioru liczb całkowitych Z lub zbioru {,,,...}
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH
ĆWICZENIE 4 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): metoda tablic analitycznych, system aksjomatyczny S (aksjomaty, reguła dowodzenia), dowód w systemie S z dodatkowym zbiorem założeń, tezy systemu S, wtórne reguły
Bardziej szczegółowoWykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 4 listopada 2011 W trakcie poprzedniego wykładu zdefiniowaliśmy pojęcie k-kowektora na przestrzeni wektorowej. Wprowadziliśmy także iloczyn zewnętrzny wielokowektorów
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoSystem BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10
System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki
Bardziej szczegółowoCałki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej
Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,
Bardziej szczegółowoCałki powierzchniowe w R n
Całki powierzchniowe w R n Na początek małe uzupełnienie z algebry liniowej. Niech R n k oznacza przestrzeń liniową macierzy o n wierszach i k kolumnach. Dla dowolnej macierzy A R n k, gdzie k n, połóżmy
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb
Podróże o Imerium Liczb Część 08. Liczby Mersenne a, Fermata i Inne Liczby Rozdział 5 5. Okresy rozwinięć liczb wymiernych Andrzej Nowicki 20 maja 2012, htt://www.mat.uni.torun.l/~anow Sis treści 5 Okresy
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywsitej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus listopada 07r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowoFunkcje arytmetyczne
Funkcje arytmetyczne wersja robocza Jacek Cichoń Politechnika Wrocławska Wydział Podstawowych Problemów Techniki Liczbami naturalnymi nazywany tutaj zbiór N = {1, 2, 3...}. Zbiór liczb ierwszych oznaczamy
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1 WPROWADZENIE DO STATYKI PŁYNÓW 1/23
WYKŁAD 1 WPROWADZENIE DO STATYKI PŁYNÓW 1/23 RÓWNOWAGA SIŁ Siła owierzchniowa FS nds Siła objętościowa FV f dv Warunek konieczny równowagi łynu F F 0 S Całkowa ostać warunku równowagi łynu V nds f dv 0
Bardziej szczegółowoPrognozowalne kryterium całkowalności według A. N. Shiryaeva i A. S. Cherny ego Joanna Karłowska-Pik. Historia
1 Prognozowalne kryterium całkowalności według A. N. Shiryaeva i A. S. Cherny ego Joanna Karłowska-Pik Całka stochastyczna ( t ) H s dx s = H X. t Historia K. Itô (1944) konstrukcja całki stochastycznej
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoWykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej
Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoGLOBALNE OBLICZANIE CAŁEK PO OBSZARZE W PURC DLA DWUWYMIAROWYCH ZAGADNIEŃ BRZEGOWYCH MODELOWANYCH RÓWNANIEM NAVIERA-LAMEGO I POISSONA
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 896-77X 33, s.8-86, Gliwice 007 GLOBALNE OBLICZANIE CAŁEK PO OBSZARZE W PURC DLA DWUWYMIAROWYCH ZAGADNIEŃ BRZEGOWYCH MODELOWANYCH RÓWNANIEM NAVIERA-LAMEGO I POISSONA EUGENIUSZ
Bardziej szczegółowoDwa równania kwadratowe z częścią całkowitą
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoWokół nierówności Dooba
Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Tomasz Tkocz Nr albumu: 24957 Wokół nierówności Dooba Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA w ramach Międzywydziałowych Indywidualnych
Bardziej szczegółowoObliczanie długości łuku krzywych. Autorzy: Witold Majdak
Obliczanie długości łuku krzywych Autorzy: Witold Majdak 7 Obliczanie długości łuku krzywych Autor: Witold Majdak DEFINICJA Definicja : Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie Rozważmy krzywą Γ zadaną
Bardziej szczegółowoWykład 11 i 12. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ i 18 listopada 2011
Wykład 11 i 12 Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 15 i 18 listopada 2011 Zanim przejdziemy do formułowaniu lematu Poincaré musimy zdefiniować pojęcie transportu formy. Dyskutowaliśmy już wcześniej
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowo6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).
6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))
Bardziej szczegółowoFale biegnące w równaniach reakcji-dyfuzji
Fale biegnące w równaniach reakcji-dyfuzji Piotr Bartłomiejczyk Politechnika Gdańska Między teorią a zastosowaniami: Matematyka w działaniu Będlewo, 25 30 maja 2015 P. Bartłomiejczyk Fale biegnące 1 /
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe wiadomości wstępne
Całki krzywoliniowe wiadomości wstępne Łuk na płaszczyźnie to zbiór punktów (x, y o współrzędnych x = x(t, y = y(t, gdzie (x(t, y(t są funkcjami ciągłymi określonymi na przedziale bez punktów wielokrotnych.
Bardziej szczegółowoAnaliza II.2*, lato komentarze do ćwiczeń
Analiza.2*, lato 2018 - komentarze do ćwiczeń Marcin Kotowski 5 czerwca 2019 1 11 2019, zadanie 2 z serii domowej 1 Pokażemy, że jeśli f nie jest stała, to całka: f(x f(y B B x y dx dy jest nieskończona.
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowo1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera
1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera Na państwa użytek załączam precyzyjne sformułowania i dowody nierówności Hoeldera i Minkowskiego: Twierdzenie 1.1 Nierówność Hoeldera). Niech p, q będą takimi liczbami
Bardziej szczegółowoRachunek całkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1
Bardziej szczegółowoWstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowo13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad 3.nb 1. Wykład 3. Sformułujemy teraz warunki konieczne dla istnienia rozwiązań zagadnienia optymalizacyjnego:
ALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad 3.nb 1 Wykład 3 3. Otymalizacja z ograniczeniami Sformułujemy teraz warunki konieczne dla istnienia rozwiązań zagadnienia otymalizacyjnego: g i HxL 0, i = 1, 2,..., m (3.1)
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowoz pokryciem (O i ) i I rozkładu jedności (α i ) i I. Zauważmy najpierw, że ( i I α i )ω dω = d(1 ω) = d d(α i ω). Z drugiej jednak strony
Dowód: Niech M będzie jak w założeniach twierdzenia. Weźmy skończony atlas O i, ϕ i ) na M zgodny z orientacją. Zbiór indeksów I może być skończony, gdyż rozmaitość M jest zwarta. Õi, ϕ i ) oznaczać będzie
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 1 Przedmiot realizowany w układzie wykład 2 godz. tygodniowo ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń www.mini.pw.edu.pl/~figurny 2 Program zajęć Równania różniczkowe
Bardziej szczegółowoPochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:
Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Bardziej szczegółowoPraca domowa - seria 6
Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x
Bardziej szczegółowoMetoda rozdzielania zmiennych
Rozdział 12 Metoda rozdzielania zmiennych W tym rozdziale zajmiemy się metodą rozdzielania zmiennych, którą można zastosować, aby wyrazić jawnymi wzorami rozwiązania pewnych konkretnych równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoEntalpia swobodna (potencjał termodynamiczny)
Entalia swobodna otencjał termodynamiczny. Związek omiędzy zmianą entalii swobodnej a zmianami entroii Całkowita zmiana entroii wywołana jakimś rocesem jest równa sumie zmiany entroii układu i otoczenia:
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoElementy równań różniczkowych cząstkowych
Elementy równań różniczkowych cząstkowych Magdalena Jakubek kwiecień 2016 1 Równania różniczkowe cząstkowe Problem brzegowy i problem początkowy Klasyfikacja równań Rodzaje warunków brzegowych Najważniejsze
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
Bardziej szczegółowoGeometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2
Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na
Bardziej szczegółowoIn the paper we describe how to introduce the trigonometric functions using their functional characteristics and the Eisenstein series.
!" #$ %&' ( +*",-".0/1"3"4"5"67498:"5";=6?,@"A"-B5"-BCD4E?,@"
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.
Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu
Bardziej szczegółowoSpis wszystkich symboli
1 Spis wszystkich symboli Symbole podstawowe - pojedyncze znaki, alfabet grecki α β γ Γ δ ξ η ε ϕ ν ρ τ θ Θ ψ Ψ φ Φ Ω Υ Σ -alfa -beta - gamma - gamma (duże) - delta (małe) - delta (duże) -ksi -eta - epsilon
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (II)
Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego
Bardziej szczegółowoZajmijmy się najpierw pierwszym równaniem. Zapiszmy je w postaci trygonometrycznej, podstawiając z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Zad (0p) Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej wszystkie z C, które spełniają równanie ( iz 3 z z ) Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Szukane z C spełniają: iz 3 = z z Re [(z + 3) ( z 3) = 0 Zajmijmy się najpierw pierwszym
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II
Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoJak trudne jest numeryczne całkowanie (O złożoności zadań ciągłych)
Jak trudne jest numeryczne całkowanie (O złożoności zadań ciągłych) Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki leszekp@mimuw.edu.pl Horyzonty 2014 17-03-2014 Będlewo Zadania numeryczne
Bardziej szczegółowoGranica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej
Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej
Bardziej szczegółowo