Wykład 12. Reinhard Kulessa 1

Transkrypt

1 Wykład 6.5 Zjawsko samondukcj 7 Enega pola ndukcj magneycznej 8 Pądu zmenne 8. mpedancja obwodów pądu zmennego 8. Sumowane mpedancj 8.3 Moc pądu zmennego 8.4 Tansfomao 8.5 ezonans szeegowy (pądowy 8.6 ezonans ównoległy (napęcowy 8.7 Układ Dgana łumone enhad Kulessa

2 6.6 Zjawsko samondukcj Z doychczasowej dyskusj można odneść ważene, że sła elekomooyczna ndukcj powsaje ylko wedy, gdy zmenny sumeń ndukcj magneycznej pochodz z zewnąz. Tak jednak ne jes. Okazuje sę bowem, że sła elekomooyczna ndukcj powsaje ówneż wedy, gdy pęla, lub nny obwód z pądem sama jes pzyczyną zman sumena ndukcj. ozważmy dowolną pęlę z pądem. Γ A A dl Sumeń ndukcj magneycznej Φ M wywozony pzez pąd płynący w pęl wynos: µ µ dl Φ M B da da 3 4π A A Γ enhad Kulessa

3 ównane o możemy napsać w posac Φ. Współczynnk ndukcj własnej pęl z pądem jes węc ówny: da µ µ dl 3 4π A Γ M. (6.8 Gdy zmena sę naężene pądu w pzewodnku ndukuje sę słą elekomooyczna ndukcj: d ε nd. (6.9 d A. Polczmy współczynnk ndukcj własnej dla cewk o długośc l lczbe zwojów N pzekoju o powezchn A, pzez kóą płyne pąd o naężenu. enhad Kulessa 3

4 B( ( l nd ( czylśmy już dla akej cewk pole ndukcj magneycznej. Mamy węc: N Φ M B N A µ µ N A. l Współczynnk ndukcj własnej cewk wynos węc: N A µ µ (6. l enhad Kulessa 4

5 B. Współczynnk ndukcj własnej kabla koncenycznego Polczmy sobe jako pzykład ndukcję własną kabla koncenycznego. Twozą go dwa współśodkowe walce, w kóych anyównolegle płynne pąd o naężenu. Sefa zewnęzna jes wolna od pola ndukcj b magneycznej. Wokół cylnda a wewnęznego ozacza sę pole x ndukcj B(, jako zamknęe B( peścene, dla kóych: (x x (x B µ π ( Sumeń ndukcj magneycznej pzez zakeskowaną powezchnę wynos x x b µ µ x d. Φ M A B da d dx' π π enhad x Kulessa a 5

6 Mamy węc µ x a Φ M ln. π b Zmana sumena ndukcj magneycznej w czase wynos węc: dφ d µ. x π ln b a d d ( x Współczynnk ndukcj własnej kabla koncenycznego wynos węc: µ b x ln, (6. π a gdze x jes długoścą kabla. Waz z długoścą kabla zmena sę ówneż óżnca poencjału mędzy wewnęzna a zewnęzną częścą kabla: d ( x x ( x ( x. d d d enhad Kulessa 6

7 Zjawsko ndukcj własnej ma badzo ważne znaczene pzy włączanu wyłączanu obwodów / ( e d U d U / e / / e U zał wył enhad Kulessa 7

8 7 Enega pola ndukcj magneycznej Załóżmy, że mamy szpulę, dla kóej opó jes ówny zeo. W akm aze, aby uzymać w szpul pąd o naężenu lub d, ne zeba włożyć żadnej pacy. ównocześne pzy pzejścu z pądem od do d powsaje sła elekomooyczna ndukcj własnej, kóa spzecwa sę zmane naężena pądu. d d d d enhad Kulessa 8

9 Aby wymusć zmanę naężena pądu o d, zeba wykonać pacę: d dw d d d d( Wynka sąd, że aby zmenć pąd w szpul od do zeba wykonać pacę: W (7. ównocześne w szpul powsaje pole ndukcj magneycznej B µ ( µ N l µ µ o B l N Boąc ze wzou (6. wyażene na współczynnk samondukcj akej szpul, uzyskamy nasępujące wyażene na pacę W: enhad Kulessa 9

10 ( l A W B B H ( l A, (7. µ µ bo B µ µ H. (l A τ jes objęoścą zajmowaną pzez pole ndukcj magneycznej. Ozymujemy węc na gęsość eneg pola magneycznego wyażene: W w τ B H (7.3 ozważana doyczące szpul możemy uogólnć dla dowolnego pola, kóe jes jednoodne w objęośc dτ. Pole w objęośc dτ można sobe pzedsawć jako pochodzące od maleńkego solenodu. Wobec ego ównane (7.3 obowązuje dla każdego pzypadku. enhad Kulessa

11 8 Pądy zmenne 8. mpedancja obwodów pądu zmennego Pzy omawanu sły elekomooycznej ndukcj ozważalśmy SEM ndukcj dla obacającej sę pęl z pądem (ównane (6.4. sn, ε Φ ε ε Gdze jes ampludą pzedsawa najwększą waość SEM. Możemy użyć snusodalne zmenną w czase słę elekomooyczną jako źódło pądu. W dowolnym obwodze, opócz ej sły elekomooycznej pojaw sę sła elekomooyczna ndukcj własnej: ε S d d enhad Kulessa

12 ε Zgodne z pawem Kchoffa mamy ε ε S zyl, d ε sn (8. d ozwązana ego ównana będzemy szukal w posac: sn( ϕ gdze ϕ są sałym całkowana. Po wsawenu pzewdzanego ozwązana do ównana (8. klku pzekszałcenach ozymujemy; enhad Kulessa

13 g ϕ ε (8. Na naężene pądu ozymamy nasępujące wyażene: ε sn( acg (8.3 Dla obwodu z opoem pojemnoścą uzyskamy nasępujące ównana: ε Q enhad Kulessa 3

14 dq d d d d d d d ε cos ównane, kóe mamy ozwązać jes nasepujące: d ε cos (8.4 d znów szukając ozwązana akego jak popzedno, uzyskujemy: gϕ ε (8.5 4

15 enhad Kulessa 5 Naężene pądu płynącego w obwodze będze mało nasępującą posać: sn( acg ε. (8.6 Z Z Wyażena nazywamy opoem pozonym obwodu lub mpedancją.

16 Jedynym zeczywsym opoem w obwodze pądu pzemennego jes opó omowy. Sosując na opoy poszczególnych elemenów wyażena zespolone, możemy poblem obwodów zaweających e elemeny ozwązać badzej ogólne. Wpowadźmy nasępujące oznaczena: Ζ, Ζ, Ζ, ϑ e, na. p. Wedy sosując pawo Ohma możemy ozymać:, ϑ a sąd ( e[ ( ] Ζ ( e[ ϑ ( ]. enhad Kulessa 6

17 8. Sumowane mpedancj ozważmy obwód - posługując sę welkoścam zespolonym. ϑ e Ζ ϑ ϑζ Ζ ΖΖ ( e Pamęając, że dla lczby uojonej zachodz : e π/, oaz - e -π/, ozymujemy: e e ( π Ogólna zależność pomędzy zwykłym a eksponencjalnym zapsem lczby zespolonej jes nasępująca: enhad Kulessa 7 (8.7

18 Jeśl a ϕ o ρ a Ζ a b b, cosϕ Ζ a a ρ e b, snϕ a b b Zwązek pomędzy a, b, ρ ϕ, jes aka sama jak mędzy współzędnym układu kaezjańskego begunowego. a ρ cos ϕ, b ρ snϕ Dla ozważanego ównana (8.7, możemy naysować nasępujący dagam: enhad Kulessa 8

19 ϑ( ϕ ( / ( Z pzedsawonego ysunku możemy odczyać, że wyażene w nawase kwadaowym we wzoze (8.7 jes ówne: [ ] ( ϕ... e, A pzesunęce fazowe ϕ lczymy z wzou g ϕ. enhad Kulessa 9

20 W opacu o pawo Ohma możemy węc napsać: ( e( e ( ϕ cos( acg Do ezulau możemy dojść jeszcze szybcej ysują na dagame ylko składowe mpedancj. denyczne ozważana możemy pzepowadzć dla obwodu a. -, czy eż obwodu ϕ b. --. m(ζ Ζ e(ζ enhad Kulessa

21 Ozymujemy wedy: Ζ dla a. Z ( dla b. Należy jeszcze podkeślć, że mpedancje spełnają egułę dodawana opoów. Dla połączena szeegowego: Ζ Ζ A dla połączena ównoległego: ν ν (8.8 Ζ ν Ζ ν. enhad Kulessa

22 8.3 Moc pądu zmennego Załóżmy, że mamy źódło pądu zmennego o nasępujących paameach: ( ( cos cos( ϕ denyczną zależność napęca naężena ozymujemy ówneż, gdy w obwodze znajdują sę ówneż elemeny z ndukcyjnoścą pojemnoścą. hwlowa moc pądu wynos: ( ( P( ( ( enhad Kulessa

23 Polczmy śedną moc pądu dla jednego okesu T. P T T T P( d cos cos( T ϕ d ałka w powyższym ównanu ma waość: ½ cosϕ. Wobec ego: P eff cosϕ eff cosϕ (8.9 eff oaz eff oznaczają kolejno napęce naężene skueczne pądu. enhad Kulessa 3

24 8.4 Tansfomao Tansfomao służy do uzyskwana wększych lub mnejszych sł Elekomooycznych nż dają źódła pądu. l A p w ϑ N N Obwód pewony Obwód wóny Mamy dwa obwody połączone sumenem ndukcj magneycznej. Po włączenu zmennego napęca w obwodze pewonym, w obydwu obwodach powsają sły elekomooyczne ndukcj własnej wzajemnej. enhad Kulessa 4

25 W obwodze wónym pojawa sę ówneż spadek poencjału na opoze omowym.możemy węc napsać dwa ównana: ϑ p w w p w Z ego układu ównań elmnujemy d p /d, pamęając, że: w e ( w ϕ. Ozymamy wedy na naężene pądu w obwodze wónym wyażene: w ( e ( ϕ (8. enhad Kulessa 5

26 Dosajemy sąd bezpośedno, że gdy znamy,. ( e(, ( w w w Polczmy sobe jake jes naężene napęce pądu w obwodze wónym dla pzedsawonego na osanm ysunku ansfomaoze. dzeń o pzenkalnośc magneycznej µ>>, pzekoju A długośc l, zamyka w sobe lne ndukcj magneycznej, ak, że zaówno w uzwojenu pewonym wónym sumeń ndukcj jes ak sam. Możemy węc napsać: A µ µ N Z ównań ych wynka, że l A µ µ N l A µ µ NN l Pąd wóny wynos: enhad Kulessa 6

27 w (, e N N. Mamy węc: w N ( e( w( N cos. (8. Napęce na opoze w obwodze wónym wynos: N w( cos. (8. N w( Z osanego ównana mamy bezpośedno; w p N N (8.3 enhad Kulessa 7

28 Można ówneż pokazać polczywszy upzedno w podobny sposób naężene pądu pewonego, że p (8.4 p w w Oznacza o, ze cała moc z układu pewonego jes pzekazywana do układu wónego. 8.5 ezonans szeegowy (pądowy ϑ e ( mpedancja pzedsawonego obwodu wynos: Ζ ( enhad Kulessa 8

29 enhad Kulessa 9 Waość bezwzględna mpedancj jes ówna: ( Ζ ( ( ϕ Ζ e Z popzednch ozważań pamęamy, że: Wypadkową zawadę możemy ozymać gafczne. Ozymamy węc: g ϕ ϕ e( m( cos( ( ( Ζ Ζ (8.5 -/ Ζ ϕ

30 Najwększe naężene pądu będze wedy, gdy Ζ Ζ Oznaczając częsość dla kóej o zachodz pzez, częsość ezonansową, mamy: Dla częsośc ezonansowej zawada jes najmnejsza ówna sę. Wedy ówneż faza ϕ jes ówna zeo. ówneż naężene pądu jes maksymalne: ( cos Osłabene naężena pądu możemy uzyskać pzez zwększene opou. Opó en odgywa olę łumena. Pześledźmy zależność naężena pądu fazy dla dwóch óżnych opoów. enhad Kulessa 3

31 ( / / / ϕ( π/ Możemy wyznaczyć składowe napęca na poszczególnych elemenach obwodów ϑ Ζ Względna półszeokość kzywej ezonansowej jes ówna Q -π/ enhad Kulessa 3

32 enhad Kulessa 3 Q e e Q e e e e ϑ ϑ ϑ π π sn sn ( cos ( ( Współczynnk doboc Q Napęce zeczywse Q jes nazywany współczynnkem doboc Z powyższych wzoów wdzmy, że :. Suma zeczywsych napęć. Dla pojemnośc ndukcyjnośc Q >, czyl napęce na ych elemenach jes wększe od napęca źódła. 3. Gdy mamy słabe łumene, Q / kzywa ezonansowa jes symeyczna.

33 enhad Kulessa ezonans ównoległy (napęcowy ϑ e Zespolona waość naężena pądu będze wynosła Ζ ( ( ϑ ϑ ϑ ϑ Zakładając, że mamy do czynena ze słabym łumenem, możemy pomnąć w sosunku do.

34 Dagam mpedancj dla /Z wygląda nasępująco: Z - / ϕ -/ ezonans zachodz wedy gdy ( gϕ Z podanego na popzednej sone ównana ozymujemy na zeczywse waośc naężena pądu pzesunęce fazowe waośc: cos( ϕ Ζ ( ( / ( cos( ϕ (8.7 enhad Kulessa 34

35 enhad Kulessa 35 Dla częsośc ezonansowej zachodz:. ϕ,. /Z /( mn., Q ( Q / Możemy jeszcze podać waośc dla pądów częścowych: e e c ϑ ϑ π π sn sn / ( / ( Wdzmy, że, ale dla ezonansu.

36 8.7 Układ Dgana łumone Mamy obwód szeegowo połączonych -- z naładowanym kondensaoem. Poneważ ne pzykładamy napęca zmennego, ne ma zasosowana achunek na lczbach zespolonych. Możemy napsać: - d Q d / d d d d d d (8.8 enhad Kulessa 36

37 Jes o ównane ypu m x α x β x łumonego oscylaoa hamoncznego. ozwązane ego ównana dla słabego łumena (/ > ( /4 jes nasępujące: ( e cos (8.9 ( ozwązane o zawea ówneż pzypadek nepeodyczny czyl eksponencjalny zank naężena pądu. enhad Kulessa 37

38 Wedy gdy (/ >> ( /4 częsość Jes ówna częsośc własnej ne łumonego obwodu. ozważmy co dzeje sę z naężenem pola elekycznego E ndukcją magneyczną B. enhad Kulessa 38

39 . E ---- B Dla chwl sneje ylko pole E w kondensaoze.. E B Po zamknęcu klucza zaczyna płynąć pąd ozładowujący kondensao. Wywaza on pole B cewce, pzy czym E w kondensaoze znka. enhad Kulessa 39

40 E B Płynący pzez cewkę pąd sopnowo zanka, lecz w sume ładuje on kondensao pzecwne nż na począku. Znów mamy pole E óżne od zea ówne zeu pole ndukcj B. 4. znów kondensao sę ozładowuje woząc pole B lkwdując pole E, d.. E B enhad Kulessa 4

41 Wemy, że pole sneje ne ylko w poblżu źódeł pola, ale jes obsewowane na dużych odległoścach. Z popzednch ozważań wdać, że jes o pole zmenne w czase, czyl dgające w en sposób, że zmana pola elekycznego E geneuje zmanę pola ndukcj B. Dgane e zgodne z eoą względnośc mogą ozchodzć sę ne szybcej nż z pędkoścą śwała. Twozą one zw. falę elekomagneyczną. snene fal elekomagneycznych zosało pzewdzane już pzez Maxwella. Zesawmy sobe węc wszyske ównana Maxwella. enhad Kulessa 4