Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów

Transkrypt

1 Wykład 4 - Opis bilansowy, linearyzacja Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015

2 Metodyka projektowania sterowania Zrozumienie obiektu, możliwości, ograniczeń zapoznanie się z dokumentacją obiektu, zbieranie informacji z obiektu (pomiary), wykonanie eksperymentów na obiekcie. Modelowanie: opis bilansowy, uproszczenie opisu identyfikacja Określenie sterowania Badanie algorytmu sterowania

3 Metodyka projektowania sterowania Model obiektu Podstawą do prawidłowego doboru nastaw sterowania jest zbudowanie modelu procesu, który będzie jak najwierniej symulował układ rzeczywisty. Proces (zachowanie lub model) muszą być znane, aby wyznaczyć i uaktualnić algorytm sterowania. Model referencyjny model oparty na wiedzy i obserwacji (np. model bilansowy). Model projektowy uproszczenie modelu referencyjnego stosowane w syntezie sterowania.

4 cz.1: Opis bilansowy

5 Opis bilansowy ruchu tłoka siłownika pneumatycznego Opis bilansowy ruchu tłoka siłownika pneumatycznego ze sterowaniem dławieniowym będzie wymagał rozważenia następujących zjawisk: Proces 1: Stan termodynamiczny procesu ruchu tłoka Proces 2: Dławienie przepływu powietrza w rozdzielaczu proporcjonalnym Opis wg: Proces 3: Przemiany stanu powietrza w komorach siłownika Proces 4: Tribologia ruchu tłoka siłownika Olszewski M.: Sterowanie pozycyjne pneumatycznego napędu siłownikowego. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2002.

6 Opis bilansowy ruchu tłoka siłownika pneumatycznego (napęd dławieniowy) Rysunek : Pneumatyczny, dławieniowy napęd siłownikowy w ujęciu a) termodynamicznym - otwarte układy komór siłownika w zamkniętym układzie otoczenia-zasilania napędu, b) przepływowym - cztery nastawne opory pełnomostkowego rozdzielacza proporcjonalnego oraz opory nieszczelności.

7 Stan termodynamiczny procesu ruchu tłoka Chwilowy związek zmian ciśnienia dp nt wywołujących proces ruchu tłoka ds, ze stanem termodynamicznym jest opisany zależnością dp nt = κ V nt {R [ϑ zas dm zas,nt + ϑ nt dm nt,atm + ϑ nt dm nt,atm nie + ϑ pt dm pt,nt nie ] P nt dv nt + κ 1 κ α Q [A cyl nt (ϑ nt ϑ atm ) + A tlo nt (ϑ nt ϑ pt )] } Zmiana położenia ds - uwzględniając zmianę objętości komory dv nt = A tlo nt ds opisana jest zależnością ds = 1 P nta nt {R [ϑ zas dm zas,nt + ϑ nt dm nt,atm + ϑ nt dm nt,atm nie + ϑ pt dm pt,nt nie ] 1 κ V ntdp nt + κ 1 κ α Q [A cyl nt (ϑ nt ϑ atm ) + A tlo nt (ϑ nt ϑ pt )] } (2) (1)

8 Dławienie przepływu powietrza w rozdzielaczu proporcjonalnym Istotą sterowania dławieniowego napędu pneumatycznego jest przeciwsobne nastawianie wartości dwóch powierzchni przepływowych, połączonych w układzie półmostkowym z komorą roboczą siłownika oraz ze źródłem zasilania i spływem (otoczeniem). Rysunek : Dławienie przepływu powietrza roboczego przez: a) dyszę z zaokrągloną krawędzią wpływową okna i b) krawędzie suwakowego zespołu dławiącego.

9 Dławienie przepływu powietrza w rozdzielaczu proporcjonalnym Stopień dławienia: δ nt,atm = Arnt,atm A r max = δ zas,pt = Arzas,pt A r max = = (sr s rprkr + s rof ) s r max s r,prkr Φ(s r s rprkr + s rof ) (3) gdzie: δ zas,nt = Arzas,nt A r max = δ pt,atm = Arpt,atm A r max = = ( sr s rprkr s rof ) s r max s r,prkr Φ( s r s rprkr s rof ) { 1, gdy a 0 Φ(a) = 0, gdy a 0 s r max - maksymalna wartość przemieszczenia suwaka (względem położenia środkowego (neutralnego), δ i,j - stopień dławienia przeciwsobnych gałęzi układu mostkowego, A ri,j - chwilowe wartości powierzchni przepływowych oporów, d r -średnica suwaka, s rpkr - przekrycie krawędzi sterujących, s rof - asymetria położenia suwaka. (4) (5)

10 Dławienie przepływu powietrza w rozdzielaczu proporcjonalnym Pełny bilans przepływów do komór siłownika tworzy łącznie 7 przepływów składowych, po 4 dla każdej z komór. gdzie: q m nt = q mnt + q mntnie + q mpt,ntnie + q mrntnie (6) q m pt = q mpt + q mptnie q mpt,ntnie + q mrptnie (7) dwa strumienie główne q mnt i q mpt w gałęziach mostka dławieniowego komory nad- i pod- tłokowej. trzy przepływy nieszczelnościowe: pomiędzy komorami (q mpt,ntnie ) i pomiędzy komorami i otoczeniem (q mntnie, q mptnie ). dwa przecieki nieszczelności suwaka rozdzielacza: q mrntnie i q mrptnie

11 Przemiany stanu powietrza w komorach siłownika Dynamika przemian stanu powietrza roboczego w komorach siłownika decyduje o kształtowaniu się wartości siły napędowej - po uwzględnieniu obciążenia masowego napędu, o dynamice ruchu tłoka. Proces ten przebiega w kilku fazach: Fazy dla napełniania komory - (opróżnianie analogicznie) Faza 1: postój po wymianie ciepła Q nt układu energetycznego komory i otoczenia aż do izotermicznego wyrównania temperatur wewnętrznych i temperatury zewnętrznej. Faza 2: zmiana wartości ciśnienia P nt pod wpływem zmiany masy powietrza dm nt i ruchu tłoka dv nt. Faza 3: po zakończonej fazie ruchu,dm nt = 0, dv nt = 0, dalsza politropowo-izochoryczna zmiana ciśnienia P nt stałej masy powietrza m ntkonc w komorze nt. Faza 4: dalsza zmiana ciśnienia P nt, ale już tylko pod wpływem ekstensywnej wymiany ciepła z otoczeniem, głównie przez naturalną konwekcję (współczynnik przenikania ciepła α Qeks ). Dla dokładniejszego opisu zachowania się tłoka należałoby w modelu uwzględnić również te przemiany, które zachodzą w poszczególnych fazach.

12 Tribologia ruchu tłoka siłownika Do głównych problemów badań, opisu i uwzględnienia zjawisk tribologicznych w sterowaniu układów napędowych, należy zaliczyć: Różnorodność charakterystyk tarciowych napędów pneumatyka: budowy pierścieni uszczelniających, prowadzących i zgarniających tłoka i tłoczyska, materiału uszczelnień i gładzi siłowników oraz sposobu i środków smarowania. Zależność charakterystyki tarciowej od jednostkowego wykonania - pneumatyka: powierzchnie gładzi i odchyłek średnicy cylindra i tłoczyska (różnice do kilkunastu procent nominalnej siły napędowej). Zmienność czasową i parametryczną poszczególnych składników siły tarcia pneumatyka: czasu postoju i przebiegu eksploatacyjnego uszczelnień na wartość tarcia spoczynkowego oraz zmienność ciśnieniowej charakterystyki tarciowej uszczelnień. Konieczność uwzględnienia w sterowaniu oprócz właściwości napędu zachowań ciernych innych elementów układu i napędzanego urządzenia pneumatyka: praca zespołu przeniesienia ruchu tłoka na suwadło siłownika Drgania cierne (ang. stick-slip) w obszarze małych prędkości ruchu - działa w obszarze decydującym o jakości sterowania(!). Znaczący udział składowych oporów ruchu w bilansie sił (momentów) układu napędowego - pneumatyka: niska wartość ciśnienia zasilania - kilkadziesiąt procent nominalnej siły napędowej.

13 Tribologia ruchu tłoka siłownika drgania cierne stick slip Rysunek : Zachowanie dynamiczne pneumatycznego napędu dławieniowego w zależności od sygnału sterującego (u/u max): a) dominacja zachowania inercyjnego, b) dominacja zachowania oscylacyjnego, c) dominacja zachowania oscylacyjnego ze składową drgań ciernych e) wyłącznie drgania cierne.

14 Tribologia ruchu tłoka siłownika W przypadku pneumatycznego układu napędowego dobrym przybliżeniem opisu zachowań ciernych jest model dwuskładnikowy opierający się na stosunkowo niewielkiej liczbie danych doświadczalnych. F t (P nt, P pt, v, t) = F tp (P nt, P pt ) + F tv (v, t) (8) Pierwszy składnik modelu odpowiada ciśnieniowym zachowaniom ciernym napędu F tp (P nt, P pt ) = f tpcyl d cyl P nt P pt + 2 f tptloi d tloi P nt,pti P atm (9) gdzie: f tpcyl, f tptlo - współczynniki tarcia charakterystyki ciśnieniowej, d cyl - średnica tłoka, d tloi - średnica jednego z tłoczysk siłownika i=1

15 Tribologia ruchu tłoka siłownika Drugi składnik odpowiada prędkościowym zachowaniom ciernym całego układu napędowego( prędkość, kierunek prędkości), a więc np. siłownika razem z prowadnicami ruchu suwadła itp. [ ( ] a1 (F tp max F tp min ) 1 v v gr1 ) Φ( vgr1 v ) sgn(v)+ (F F tv (v, t) = tp min sgn(v) + f tv v)e f tvk [ v, gdy sgnv = sgna ( ] a2 (F tp max F tp min ) 1 v v gr2 ) Φ( vgr2 v ) sgn(v)+ (F tp min sgn(v) + f tv v)e f tvk v, gdy sgnv = sgna (10) gdzie: (F tpmax F tpmin ) - obszar zmiany tarcia przylgowego F tp w czasie przywierania t przy. ] F tp (t) = F tp min + (F tp max F tp min ) [1 e t tprzy (11) oraz v gr1, v gr2 - prędkość graniczna rozbiegu i dobiegu, f tv, f tvk główny i korekcyjny współczynnik tarcia płynowego.

16 cz.2: Linearyzacja

17 Linearyzacja opisu bilansowego procesu ruchu Wyznaczony opis bilansowy jest dobrym narzędziem do symulowania procesu ruchu w pneumatycznym układzie napędowym. Jednak w przypadku sterowania ma on ograniczone zastosowanie. Wyznaczone modele obiektów w postaci zależności bilansowych nie pozwalają jednoznacznie określić algorytmu syntezy sterowania. Do wyznaczania nastaw sterowania wykorzystuje się modele parametryczne, liniowe, przybliżające lokalne zachowania dynamiczne układów napędowych. Uproszczenie zapisu do postaci liniowej może być uzyskane poprzez linearyzację, czyli proces tworzenia modelu liniowego, który aproksymuje model nieliniowy. Wyróżniamy: linearyzację statyczną dotyczy elementów statycznych, w przypadku gdy układy opisane są równaniem algebraicznym, linearyzację dynamiczną dotyczy elementów dynamicznych, w przypadku gdy układy opisane są równaniem różniczkowym (lub różnicowym).

18 Linearyzacja opisu bilansowego procesu ruchu Linearyzacja statyczna polega na Etap 1: przeniesieniu układu do punktu pracy, określeniu punktu pracy układu χ 0 : {x 0, y 0 } (12) Etap 2: zastąpieniu sygnałów w opisie matematycznym odchyleniami tych wartości w punkcie pracy, { x = x x 0 y = y y 0 (13) Etap 3: zastąpieniu krzywej, reprezentującej zależność y od x, styczną do niej w punkcie pracy. δy = k x = df x dx x (14) x=x0

19 Linearyzacja opisu bilansowego procesu ruchu Rysunek : Linearyzacja statyczna.

20 Linearyzacja opisu bilansowego procesu ruchu Linearyzacja dynamiczna polega na rozwinięciu funkcji nieliniowej w szereg potęgowy Taylora w otoczeniu punktu pracy. f (x, ẋ,..., x (m), y, ẏ,..., y (n) ) = f (x 0, 0,..., 0, y 0, 0,..., 0)+ + m i=0 df x0,...,y dx (x (i) x (i) (i) 0,... 0 ) + n i=0 df (y dy x0,...,y (i) y (i) (i) 0 ) + R n 0,... (15) gdzie R n reszta nieliniowa równa sumie wyrazów szeregu Taylora zawierających pochodne cząstkowe wyższych rzędów Przy założeniu, że odchylenie od punktu pracy jest niewielkie, można w szeregu Taylora pominąć część nieliniową (wyrażenie, w którym występują wyższe pochodne, R n = 0). Otrzymane równanie jest równaniem liniowym, które opisuje dynamikę układu w punkcie pracy oraz w jego niewielkim otoczeniu.

21 Linearyzacja zależności opisującej ciśnienie P nt w komorze nadtłokowej Dane jest nieliniowe równanie bilansowe opisujące zmiany ciśnienia w komorze nadtłokowej siłownika pneumatycznego. κ dp nt = V nt {R [ϑ zas dm zas,nt + ϑ nt dm nt,atm + ϑ nt dm nt,atm nie + ϑ pt dm pt,nt nie ] P nt dv nt + κ 1 κ α Q [A cyl nt (ϑ nt ϑ atm ) + A tlo nt (ϑ nt ϑ pt )] } (16) UWAGA: Należy liczyć się z różnymi opisami zachowania procesu zmian ciśnienia względem zmian masy powietrza wpływającego i wypływającego z komory o objętości V nt, przez opory mostka zespołu dławiącego rozdzielacza, wynikającymi z konieczności uwzględnienia w otoczeniu punktu pracy (P nt0, V nt0,...) warunków podkrytycznego lub krytycznego przepływu.

22 Linearyzacja zależności opisującej ciśnienie P nt w komorze nadtłokowej Nieliniowe równanie bilansowe opisujące zmiany ciśnienia w komorze nadtłokowej siłownika pneumatycznego po rozwinięciu w szereg Taylora w otoczeniu punktu pracy. dp nt(t,ψ) dt = κpnt0 V nt0 κrϑ nt,atm V nt0 dv nt(t) dt + κrϑzas,nt0 V nt0 dm zas,nt(t) dt +... dm zas,nt(t) dt + (17) gdzie:ψ - funkcja przepływu.

23 Linearyzacja zależności opisującej ciśnienie P nt w komorze nadtłokowej Postępowanie takie nie rozwiązuje problemu znalezienia modelu liniowego o właściwościach dających się określić przez równanie o postaci: { ẋ = Amc x(t) + B mc u(t) (18) y(t) = C mc x(t) + D mc u(t) Poszukując modelu zmiennych stanu dla potrzeb syntezy sterowania napędów, koniecznością staje się uproszczenie opisu bilansowego.

24 Uproszczenia opisu bilansowego Kilkakrotnie wyższa częstotliwość drgań swobodnych suwaka wraz z przetwornikiem elektromechanicznym w rozdzielaczu proporcjonalnym od częstotliwości drgań swobodnych tłoka, tłoczyska (suwadła) i masy obciążającej siłownika umożliwia wprowadzenie następujących liniowych modeli dynamiki procesu dławienia: zachowania oscylacyjnego dv r (t) dt = ωor 2 sr (t) 2ωor Dr vr (t) + Cr ω2 or u(t) (19) gdzie: v r prędkość suwaka rozdzielacza, C r = s rmax /u max - współczynnik przetwarzania sygnału sterującego u(t) na ruch suwaka s r (t) (po unormowaniu C r = 1[m]), ω or - pulsacja drgań swobodnych, D r - współczynnik tłumienia. zachowania inercyjnego ds r (t) dt = 1 T r s r (t) + Cr T r u(t) (20) zachowania proporcjonalnego (najdalej idące uproszczenie) s r (t) = C r u(t) (21)

25 Uproszczenia opisu bilansowego Kolejnym uproszczeniem jest pominięcie własnej, złożonej dynamiki procesu przetwarzania elektrycznego sygnału sterującego u(t) na ruch suwaka s r (t) w rozdzielaczu. Pozwala to zapisać zmianę masy powietrza w komorze nadtłokowej w punkcie pracy jako: dm nt dt = k qm zas, nt o U nt + k qm zas, atm o U nt (22) gdzie: U nt - energia wewnętrzna masy gazu w komorze nadtłokowej. Współczynniki k qm zas, nt o (i analogicznie k qm zas, atm o ) określa zależność k qm zas, nt o = d [ du q m zas,nt C m zas,nt max, u(t), P zas, P nt, b zas,nt, Φ( P ] m,...) P zas DALSZE UPROSZCZENIE ZALEŻNOŚCI następna strona (23)

26 Uproszczenia opisu bilansowego W dalszym uproszczeniu i przyjęciu wyłącznie liniowego związku wartości przewodności masowej przepływu C m zas,nt z wysterowaniem rozdzielacza u(t), otrzymuje się zależność k qm zas,nt = C m zas,nt max u max (24) gdzie współczynnik k qm zas,nt (in. k qm nt lub k qm ) - stała rozdzielacza proporcjonalnego, po przyjęciu jednakowej (w typowym opisie katalogowym) przewodności C m max półmostka lub pełnego mostka dławieniowego.

27 Uproszczenia opisu bilansowego Ze względu na quasi-przekaźnikowe zachowanie się układu napędowego możliwe jest pominięcie przy tworzeniu modelu lokalnego napędu składowej cieplnej zmian ciśnienia W wyniku pominięcia opis procesu zmian ciśnienia w komorach siłownika, np. dp nt (t), w otoczeniu punktu pracy, może być doprowadzony, po przybliżeniu liniowym z pominięciem pochodnych wyższego rzędu w rozwinięciu Taylora, do równania o postaci dp nt dt = n nt0p nt0 A tlo nt v(t) + n nt0rϑ nt0 k qm nt u nt (t) (25) V nt0 V nt0 gdzie: u nt (t) - napięcie wysterowania rozdzielacza proporcjonalnego (dla komory nadtłokowej), k qm nt - stała rozdzielacza proporcjonalnego.

28 Uproszczenia opisu bilansowego Lokalnemu uproszczeniu poddany może być opis zachowań tribologicznych. Ponieważ występuje zbieganie się w trakcie sterowania ciśnień w komorze nad- i podtłokowej do wartości określonej dla u 0 w statycznej charakterystyce ciśnieniowej rozdzielacza (hamowanie); to wybierając dla ciśnień P nt u=0 i P pt u=0 odpowiednią charakterystykę prędkościową tarcia, sprowadza się równanie ruchu tłoka siłownika do postaci dv(t) dt = k tv P m obc v(t) + A tlo nt m obc P nt (t) A tlo pt m obc P pt (t) (26) gdzie k tv P0 jest współczynnikiem podawanym przez producenta serwonapędu, zgodnie z zależnością k tv P = a emp A tlo (27) gdzie: a emp 80000, [Ns/m 3 ] jest wyznaczane empirycznie.

29 Wykład 4 - Opis bilansowy, linearyzacja Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015