Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów

Transkrypt

1 Wykład 5 - Model silnika DC w przestrzeni zmiennych stanu z czasem ciągłym i z czasem dyskretnym Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2016

2 Równanie dynamiki silnika DC Do wyznaczenia transmitancji silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym, należy przyjąć zerowe obciążenie, czyli: co daje transmitancję operatorową postaci M obc = 0 (1) G(s) = ω s U s (s) = k m L w Js 2 + (R w J + L w B)s + (k m k e + R w B) (2) Tak więc otrzymujemy układ liniowy, stacjonarny, mający charakter układu oscylacyjnego.

3 Parametry silnika elektrycznego DC Do przeprowadzenia numerycznej symulacji działania silnika należy zdefiniować jego parametry (współczynniki i stałe). Załóżmy, że: R w = 2 Ω, J = 0.1 kgṁ2 s 2, L w = 0.1 H, B = 0.5 Nmṡ rad, ke = 0.1 V ṡ rad, km = 0.1 Nm A,

4 Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fizykalne Do zaprojektowania układu regulacji pozycji / prędkości serwomechanizmu, poszukiwany jest model dynamiki układu w postaci modelu w przestrzeni stanów z czasem ciągłym { Ẋ (t) = Amc X (t) + B mc U(t) (3) y(t) = C mc X (t) + D mc U(t) gdzie: X (t) R n - wektor stanu, U(t) R m - wektor sygnałów sterujących, y(t) R p - sygnał wyjściowy wyjście / wektor sygnałów wyjściowych, A mc R n n - macierz stanu B mc R n m - macierz sterowania, C mc R p m - macierz wyjścia. Fizykalne zmienne stanu: minimalna liczba niezależnych zmiennych fizycznych. Fazowe zmienne stanu: Zmienne stanu określone w ten sposób, że kolejna zmienna jest równa pochodnej poprzedniej. Wyznaczane przy założeniu jednowymiarowego, liniowego, stacjonarnego, ciągłego układu dynamicznego.

5 Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fizykalne Model fizykalnych zmiennych stanu, można wyznaczyć, na podstawie układu równań wiążących zależności elektryczne i mechaniczne silnika DC di w U z = R w i w + L w dt + k eω s k m i w = J dω (4) s + Bω s + M obc dt po przekształceniu di w dt = k e ω s R w i w + 1 U z L w L w L w dω s = B dt J ω s + k m J i w 1 J M obc można przyjąć następujący wektor stanu i sterowań [ ] [ ] iw Uz X fiz =, U fiz = ω s M obc (5) (6)

6 Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fizykalne Model zmiennych stanu z wykorzystaniem zmiennych fizykalnych, z wykorzystaniem wektora stanu i sterowań: [ ] [ ] iw Uz X fiz =, U fiz = ωs M obc (7) jest następujący R w k e Ẋ fiz = L w L w k m B X fiz + J J Y = [ 0 1 ] X fiz + [ 0 0 ] U fiz 1 L w J U fiz (8) { Ẋfiz = A fiz X fiz + B fiz U fiz Y = C fiz X fiz + D fiz U fiz (9)

7 Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fazowe Mając transmitancję operatorową postaci G(s) = ω s U s (s) = k m L w Js 2 + (R w J + L w B)s + (k m k e + R w B) (10) stosując następujące podstawienia kω0 2 = k m L w J, 2ξω 0 = R w J + L w B L w J, ω 2 0 = k mk e + R w B L w J (11) można ją zapisać w postaci transmitancji układu oscylacyjnego G(s) = Y (s) U(s) = k T 2 s 2 + 2ξTs + 1 G(s) = Y (s) U(s) = kω 2 0 s 2 + 2ξω 0 s + ω 2 0 (12) (13) gdzie: 0 < ξ < 1 - współczynnik tłumienia, ω 0 - pulsacja drgań nietłumionych.

8 Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fazowe Opis elementu oscylacyjnego w postaci transmitancji operatorowej kω 2 0 G(s) = s 2 + 2ξω 0 s + ω0 2 (14) Układ ten jest opisany równaniem 2-go rzędu, więc wymaga q = 2 zmiennych stanu, definiujących stan układu w dowolnej chwili czasu. Korzystając z metody bezpośredniej otrzymuje się następujące równania stanu ẋ 1 (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = ω 2 0 x 1(t) 2ξω 0 x 2 (t) + u(t) (15) równanie wyjścia y(t) = kω 0 x 1 (t) (16)

9 Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fazowe Model zmiennych stanu z wykorzystaniem zmiennych fazowych: X faz = [ x1 x 2 ], U faz = U z (17) jest następujący [ ] [ ] Ẋ faz = ω0 2 X 2ξω faz + U 0 1 faz Y = [ kω0 2 0 ] (18) X faz + [0] U faz { X faz = A faz (t)x faz + B faz (t)u faz (t) Y = C faz X faz + D faz U faz (19)

10 Równania stanu - zmienne fazowe Model z czasem ciągłym stanu procesu ruchu jako człon oscylacyjny zachowań prędkościowych Ẋ (t) = X (t) + 0 U(t) (20) 0 ω0 2 2ξω 0 1 Fazowe zmienne stanu są następujące x 1 (t) = s(t) x 2 (t) = v(t) x 3 (t) = a(t) y(t) = [1 0 0] X (t) (21) (22)

11 Równania stanu - zmienne fazowe Podany model obliczeniowy z czasem ciągłym procesu ruchu w układzie napędowym ma następujące 4 zalety: 1 pojęcia typu wzmocnienie prędkościowe, pulsacja drgań, tłumienie są dla inżynierów zrozumiałe, a wartości parametrów - intuicyjne i inżyniersko weryfikowalne, 2 jakościowo poprawnie modeluje zależność dynamiki napędu od położenia elementu ruchomego, obciążenia masowego i warunków pracy, 3 spełnia warunki sterowalności i obserwowalności układu w sensie Kalmana oraz istotny w przypadku układu napędowego warunek sterowalności wyjściowej, 4 przekłada się w implementacyjnie prosty sposób w algorytm wyboru macierzy sprzężeń zwrotnych, uwzględniając założone właściwości statyczne i dynamiczne układu pozycyjnego.

12 Równania stanu - dyskretyzacja modeli Chcąc zaprojektować układ regulacji w technice mikroprocesorowej, poszukiwany jest model dynamiki układu w postaci modelu w przestrzeni stanów z czasem dyskretnym { X (k + 1) = Amd X (k) + B md U(k) y(k) = C md X (k) (23) gdzie: X (k) R n - wektor stanu, U(k) R m - wektor sygnałów sterujących, y(k) R p - sygnał wyjściowy wyjście / wektor sygnałów wyjściowych, A md R n n - macierz stanu B md R n m - macierz sterowania, C md R p m - macierz wyjścia.

13 Równania stanu - dyskretyzacja modeli Transformacja ciągłych równań różniczkowych do dyskretnych równań różnicowych. Uwzględniając : czas dyskretny k, okres próbkowania (dyskretyzacji) Tp sterowanie sygnałami odcinkowo - stałymi zmienianymi wyłącznie w chwili próbkowania (sygnałami schodkowymi), czyli: U(t) = U(kT p ) dla t kt p, (k + 1)T p (24) oraz dla modelu fazowych zmiennych stanu oznaczając: A mc = A faz, B mc = B faz, C mc = C faz (25)

14 Równania stanu - dyskretyzacja modeli Równanie stanu modelu przekształca się, zgodnie z zasadami dyskretyzacji w postać: X (k + 1) = exp(a mc T p )X (k) + T p 0 exp (A mc t)b mc dt U(k) (26) gdzie A md = exp (A mc T p ) = L 1 [(si A mc ) 1 ]; (27) B md = T p 0 exp (A mc t)b mc dt = A 1 mc [exp (A mc T p ) I ]B mc, det A 0 (28)

15 Równania stanu - dyskretyzacja modeli W przypadku modelu opisanego pulsacją drgań swobodnych ω 0 i tłumieniem ξ macierz A md wyznaczana może być zgodnie z definicją A md = e Amc Tp = L 1 [(si A mc ) 1 ] t=tp (29) 1 2ξω0 2 + s 1 s s(2ξω0 2 s + ω2 0 + s2 ) s(2ξω0 2s + ω2 0 + s2 ) A md = L 1 (2ξω s) 1 (2ξω0 2 s + ω2 0 + s2 ) (2ξω0 2s + ω2 0 + s2 ) ω0 2 s 0 (2ξω0 2s + ω2 0 + s2 ) (2ξω0 2s + ω2 0 + s2 ) t=t p (30) gdzie L 1 - odwrotne przekształcenie Laplace a. B md = A 1 mc (A md I )B mc, det A mc 0 (31)

16 Równania stanu - dyskretyzacja modeli Ostatecznie otrzymuje się model z czasem dyskretnym: { X (k + 1) = Amd X (k) + B md U(k) y(k) = C md X (k) (32) UWAGA: W praktyce do realizacji w czasie rzeczywistym procedur identyfikacji i sterowania przy użyciu formalnie uzyskanych macierzy modelu dyskretnego zaleca się stosować przybliżony sposób transformacji opisu modelu ciągłego w dyskretny.

17 Równania stanu - dyskretyzacja modeli (uproszczenia) szereg Taylora Jeśli funkcja f : D Y, gdzie D R oraz Y jest przestrzenią unormowaną i ma w punkcie x 0 D pochodne dowolnego rzędu, to można rozważać szereg n=0 gdzie przyjęto f (0) (x 0 ) = f (x 0 ). 1 n! f (n) (x 0 )(x x 0 ) n, (33) Jeżeli x 0 = 0, to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina. Rozwinięcie funkcji w szereg Maclaurina ma następującą postać f (n) (0) f (x) = f (0) + x n (34) n! n=1 Dla funkcji wykładniczej, szereg Maclaurina ma postać e x x n = n! n=1 (35)

18 Równania stanu - dyskretyzacja modeli (uproszczenia) W praktyce do realizacji w czasie rzeczywistym procedur identyfikacji i sterowania przy użyciu formalnie uzyskanych macierzy modelu dyskretnego zaleca się stosować przybliżony sposób transformacji opisu modelu ciągłego w dyskretny polegający na: Krok 1: zastąpieniu funkcji exp (A mc T p ) szeregiem funkcyjnym MacLaurina, Krok 2: zapisie macierzy A md i B md w postaci A md = i=0 A i mc T i i! p; B md = T p i=0 A i mc (i + 1)! T i pb mc (36) Krok 3: uwzględnieniu tylko kilku pierwszych (lub pierwszego) wyrazów tego rozwinięcia.

19 Równania stanu - dyskretyzacja modeli (uproszczenia) Postępowanie to odwołuje się do transformacji Tustina polegającej na ograniczeniu rozwinięcia potęgowego operatora s do jednego wyrazu przy wyznaczaniu transmitancji dyskretnej. Transformacja Tustina polega na aproksymacji Padé funkcji eksponencjalnej z = e st (37) Przekształcenie metodą Tustina polega na wykorzystaniu następujących podstawień przy transformacji z przestrzeni s Laplace a (okład z czasem ciągłym) do przestrzeni z (układ z czasem dyskretnym): s = 2 T (z 1) (z + 1) (38)

20 Równania stanu - dyskretyzacja modeli (uproszczenia) Model z czasem ciągłym Ẋ (t) = X (t) U(t) 0 ω0 2 2ξω 0 1 y(t) = [1 0 0] x 1 (t) Doprowadzany jest przez usunięcie z zależności wyrazów z czynnikiem T p wyższym niż kwadratowy, do postaci modelu z czasem dyskretnym X (k +1) = 1 T p αt p βt p 0 2αβ 1 αt p 2β(1 β) X (k) U(k) gdzie y(k) = [1 0 0] X (k) α = 1 2 ω2 0T p ; β = 1 2ξω 0 T p

21 Równania stanu - dyskretyzacja modeli (uproszczenia) Prawidłowość doboru okresu próbkowania i przeprowadzenia powyższej aproksymacji wynika z twierdzenia Kotielnikowa- Shannona, określającego pod jakim warunkiem z sygnału dyskretnego x(k) złożonego z próbek danego sygnału ciągłego x(t), można wiernie odtworzyć sygnał x(t). Częstotliwość próbkowania musi być większa niż dwukrotność najwyższej składowej częstotliwości w mierzonym sygnale. ω p = 2π T p ; ω p 2ω 0 T p π ω 0 (39) Taka aproksymacja znajduje swe uzasadnienie w stwierdzeniu skali różnic wartości pomiędzy pulsacją próbkowania ω p wynikająca z okresu T p a pulsacją ω 0. Przy milisekundowym okresie próbkowania, np. Tp < 0.8, 2 > ms, otrzymuje się pulsację próbkowania ω p < 7850, 3140 > rd/s która jest o rzędy wielkości większa od pulsacji drgań swobodnych ω 0 < 10, 60 > rd/s zachowań ruchowych (siłowych) napędu: takie częstotliwości charakteryzują nawet szybkie napędy pozycyjne.

22 Wykład 5 - Model silnika DC w przestrzeni zmiennych stanu z czasem ciągłym i z czasem dyskretnym Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2016